Паралельне перенесення в геометрії

Паралельним перенесенням називають зміну площини зі зміщенням точок у однаковому напрямі певну відстань.

Паралельне перенесення строго визначають через декартові координати або через вектор. Припустимо, що у площині є декартові координати х і у. Сформулюємо тоді визначення паралельного перенесення. Визначення 2

Паралельне перенесення є перетворення фігури F з переходом якоїсь точки з координатами (х;у) в точку з координатами (х+а; у+b), де а і b позначають деякі числа, однакові для кожної з точок (х;у) , Що належать фігурі F.

Паралельне перенесення на заданий вектор є відображенням площини на саму себе, при якому передбачено відображення кожної точки A таку точку

Іспити на носі? Не хвилюйся, ми допоможемо! Реєструйся на курс підготовки до ОДЕ з математики та підготуємося до іспитів разом! Записатись 📙

В рамках певної площини вираз паралельного перенесення з аналітичної точки зору у прямокутній системі координат (x, y) передбачає таке: Джерело: ru.wikipedia.org

Властивості, якими має паралельне перенесення у просторі

1. Паралельне перенесення можна визначити, як вид руху, тобто у процесі перенесення відстань зберігається без змін.
2. У процесі паралельного перенесення відбувається зміщення точок по паралелях або прямих, які збігаються, на однакову відстань.
3. Якщо реалізовано паралельне перенесення, то кожна з прямих перейде в результаті в пряму, яка є їй паралельною, або в саму себе.
4. При будь-яких точках A і A1 допустимо лише одне паралельне перенесення, що передбачає перехід точки A в точку A1.

З паралельним переносом можна зіткнутися щодо багатьох предметів, зокрема, фізики і геометрії. Наприклад, в алгебрі за допомогою паралельного перенесення спрощується побудова графіків для вирішення легких та складних завдань у класі.

Формула паралельного перенесення

Припустимо, що у площині, де розташовані осі Ox і Oy, побудована фігура. Позначимо її S. У процесі паралельного перенесення можна спостерігати перехід кожної з точок розглянутої фігури в точку А' на однакову відстань.

Зі сказаного вище можна зробити висновок про те, що трансформація фігури S в фігуру Формула 1

Отримати координати нової фігури, утвореної внаслідок паралельного перенесення, можна за допомогою наступних формул:

Перехід точки A (x; y) у точку

У деяких літературних джерелах можна зустріти таке формулювання теореми, як: точка A1 є образом точки A, що можливо при реалізації паралельного перенесення на вектор (a;b). У такому разі точка A є прообразом.

Види паралельного перенесення

Запишемо види руху в межах деякої площини:

• паралельне перенесення будь-якої фігури, у тому числі, трапеції;
• осьова симетрія;
• поворот навколо точки;
• центральна симетрія.

При паралельному перенесенні поступальний рух точок є переміщення в однаковому напрямку на однакову відстань. Таким чином, відбувається відображення фігури на площині. При переміщенні точок на однаковий вектор цей вектор називають вектором переносу.

Так як паралельне перенесення характеризується властивістю, при якому в процесі руху не змінюється напрям, справедливим є і зворотне твердження.В результаті рух при стабільному напрямку можна вважати паралельним переносом.

Паралельне перенесення

Якщо нам дано вектор, то паралельним перенесенням на вектор називається відображення площини на себе, при якому довільна крапка Е відображається в таку точку Е₁, що.

Доказ:

Дано: крапки Е і До відображаються в крапки Е₁ і До₁ при паралельному перенесенні на .

Довести: паралельне перенесення - рух.

Доказ:

Крапки Е і До не лежать на одній прямій паралельній вектору.

За умовою точки Е і До відображаються в крапки Е₁ і До₁ відповідно при паралельному перенесенні на вектор , тоді за визначенням паралельного перенесення і , тому , отже, і , отже, ЇЇ₁ КК₁ (т.к. точки Е і До не лежать на одній прямій паралельній вектору ) і ЇЇ₁ = КК₁. Отже, за ознакою паралелограма чотирикутник ЇЇ₁До₁До - паралелограм, тому за властивістю паралелограма ЄК = Е₁До₁, тобто. відстань між точками Е і До дорівнює відстані між точками Е₁ і До₁. Отримуємо, що паралельне перенесення зберігає відстані між точками, отже, є окремим випадком руху.

Крапки Е і До лежать на одній прямій паралельній вектору.

За умовою точки Е і До відображаються в крапки Е₁ і До₁ відповідно при паралельному перенесенні на вектор , тоді за визначенням паралельного перенесення і тому , отже, , значить, ЇЇ₁ = КК₁. (1)

ЄК = КК₁ + ЄК₁, Е₁До₁ = ЇЇ₁ + ЄК₁, тоді, враховуючи (1), Отримаємо: ЄК = Е₁До₁, тобто. відстань між точками Е і До дорівнює відстані між точками Е₁ і До₁. Отримуємо, що паралельне перенесення зберігає відстані між точками, отже, є окремим випадком руху.

приклад

Побудувати А₁У₁З₁, який виходить з АВС паралельним перенесенням на вектор.

Дано: АВС, вектор .

Побудувати: А₁У₁З₁ паралельним перенесенням на вектор.

Рішення:

Побудуємо точки А₁, У₁, З₁, які виходять з точок А, У, З відповідно, паралельним перенесенням на вектор. Для цього від точок А, У і З відкладемо вектори, рівні вектору. З'єднуючи попарно крапки А₁, У₁, З₁ відрізками, отримаємо шуканий А₁У₁З₁.