Як правильно розкривати дужки в математичних виразах

При розкритті дужок у виразі використовується поєднана властивість додавання, яке говорить:

Якщо до потрібно додати суму двох чисел, то можна до цього додати спочатку перше доданок, а потім друге.

Застосовуючи цю властивість, слід дотримуватися наступного правила розкриття дужок:

Якщо перед дужками стоїть знак «+», усі числа, які стоять усередині дужок, зберігають свій знак.

Це правило застосовується, як у вираженні зустрічається дві чи більше дужки.

a + (b - c) + d + (-f) = a + b - c + d - f

Важко з математикою? Не хвилюйся, ми допоможемо! Реєструйся на курс математики для 6 класу і ми допоможемо зрозуміти предмет! Записатись 📙

Правило розкриття дужок під час віднімання

Якщо перед дужками стоїть знак "-", то при їх розкритті слід знаки доданків поміняти на протилежні.

Коли в дужках перед першим доданком знак відсутній, це означає, що воно позитивне і при розкритті дужок стає негативним.

Рішення таких прикладів складається з дій:

• розкриваються дужки;
• змінюється знак кожного доданка на протилежний.

Випадки, коли у виразі присутні складання та віднімання дужок.

10a + (19b – 34c) – 50 – (m + n)

У цьому прикладі дужки розкриваються за алгоритмом:

• до першої дужки застосовується правило додавання;
• друга дужка розкривається правилом віднімання.

10a + 19b – 34 c – 50 – m – n

Розкриття дужок у складних виразах.

Складне вираз — це вираз, у якому використовуються дужки та знаки поділ/множення.

Розкриття дужок під час множення

Дії розкриття дужок при множенні будуються виходячи з роботи розподільного чи поєднувального властивості множення.

Застосування тієї чи іншої властивості множення залежить від дії усередині дужок. Якщо це додавання чи віднімання, працює розподільна властивість. При множенні чи розподілі застосовується поєднана властивість.

1. Розкриття дужок, відповідно до розподільчої властивості.

Щоб помножити суму на число, потрібно помножити на це число кожне доданок та скласти отримані результати.

Щоб помножити різницю на число, потрібно помножити на це число, що спочатку зменшується, потім віднімається, і з першого твору відняти друге.

У математиці скорочення записів знак множення перед числом і дужкою не ставиться.

Якщо загальний множник є негативною величиною, всі значення в дужках множаться на (–1) і змінюють свої знаки на протилежні:

2. Розкриття дужок, згідно з поєднаною властивістю:

Твори трьох і більше множників не зміниться, якщо цю групу множників замінити їх твором.

(b ∙ c ∙ d) ∙ a = b ∙ c ∙ d ∙ a

У разі, коли у дужках виконується множення, розкриття відбувається як при додаванні - просто розкриваються дужки і всі значення перемножуються:

При розкритті дужок необхідно враховувати правило символів.

При розподілі всередині дужок, розкриття відбувається так:

Коли загальний множник перебуває перед дужками, то:

• загальний множник множиться на перше число у дужках і ділиться на друге число:

• або загальний множник ділиться на друге число у дужках і множиться на перше число:

Коли загальний множник перебуває після дужок, то:

• загальний множник множиться на перше число в дужках і поділяється на друге:

• загальний множник ділиться на друге число у дужках і множиться на перше:

Дужка на дужку

Коли потрібно перемножити кілька дужок один на одного, потрібно кожен член першої дужки помножити на кожен член другої дужки:

(a + b) ⋅ (c – d) = a ⋅ (c – d) + b ⋅ (c – d) = ac – ad + bc – bd

Алгоритм дій при розкритті дужки на дужку:

1. Перша дужка розкривається, кожен її доданок множиться на другу дужку.
2. Виконується множення числа на дужку, наводяться такі складові.

Дужка у дужці

У математиці можуть зустрічатися приклади, коли дужки входять до інших дужок.

Алгоритм дій такого типу прикладів:

1. Послідовно розкривається кожна дужка, починаючи з внутрішньої.
2. Дужки розкриваються згідно з прийнятими правилами розкриття дужок при складанні, відніманні, множенні та розподілі.
3. Наводяться подібні доданки для подальшого вирішення математичного виразу чи рівняння

8x + y(4 – (2x – y)) = 8x + y(4 – 2x + y) = 8x + 4y – 2xy + y²

Розкриття дужок під час поділу

Якщо знак поділу стоїть після дужок — кожне число усередині дужок поділяється на дільник, який стоїть після дужок:

(a + b): c = a: c + b: c;

(a - b): c = a: c - b: c.

Якщо знак поділу стоїть перед дужками, то поділяється на кожне число в дужках:

c: (a + b) = c: a + c: b;

c: (a - b) = c: a - c: b.

Якщо знак поділу стоїть перед дужкою:

• або ділене ділиться на друге число у дужках, а потім ділиться на перше:

Якщо знак поділу стоїть після дужки:

• перше число у дужках ділиться на дільник і множиться на друге:

• або друге число у дужках ділиться на дільник і множиться на перше:

Якщо всередині дужок виконується поділ:

• ділене ділиться на перше число всередині дужки і множиться на друге:

• перше число у дужках ділиться на дільник і ділиться на друге число:

Не забуваймо, що при розкритті дужок необхідно враховувати правило знаків, описане вище:

Приклади розв'язання задач

Додавання.

Формули розкриття дужок:

120 + (350 + 270) = 120 + 350 + 270

25 + (37a - 10b) = 25 + 37a - 10b

1000 + (-420 + 4) = 1000 – 420 + 4

268 + (-150 – 79) = 268 – 150 – 79

956 + (67 – 96 + 48) – 832 = 956 + 67 – 96 + 48 – 832

780 + (1348 + 290) + (420 – 100) = 780 + 1348 + 290 + 420 – 100

Віднімання.

45 – (-7 + 14) = 45 + 7 - 14

10 – (2 + 3) = 10 – 2 - 3

255 – (177 + 58 – 200) = 255 – 177 – 58 + 200

1375 - (-219a - 35b) + 27 = 1375 + 219a + 35b

390 + (734 – 220) – 79 – (100 + 657) = 390 + 734 – 220 – 79 – 100 – 657

множення.

Множення, коли у дужках додавання.

8 ∙ (2 + 3) = 8 ∙ 2 + 8 ∙ 3

(4 + 5) ∙ 7 = 4 ∙ 7 + 4 ∙ 7

Множення, коли в дужках віднімання.

7 ∙ (8 – 6) = 7 ∙ 8 – 7 ∙ 6

(12 – 3) ∙ 5 = 12 ∙ 5 – 3 ∙ 5

Примноження, коли перед дужками стоїть «-»

-9 ∙ (2 + 3) = -9 ∙ 2 – 9 ∙ 3

-4 ∙ (10 – 5) = -4 ∙ 10 + 4 ∙ 5

Множення за дужками та всередині дужок.

Множення, коли всередині дужок поділ.

Розмноження дужки на дужку.

(a + b) ⋅ (c - d) = a ⋅ (c - d) + b ⋅ (c - d) = ac - ad + bc - bd

(7x + 3) ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ (8x – 5) + 3 ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ 8x – 7x ⋅ 5 + 3 ⋅ 8x – 3 ⋅ 5 = 56 x² – 35 - 15 =

Розподіл.

Поділ, коли всередині дужок додавання або віднімання.

(a + b) : c = a : c + b : c

(a – b) : c = a : c – b : c

c : (a + b) = c : a + c : b

c : (a – b) = c : a – c : b

(12 + 6) : 3 = 12 : 3 + 6 : 3

(12 – 6) : 3 = 12 : 3 – 6 : 3

18 : (6 + 3) = 18 : 6 + 18 : 3

18 : (6 – 3) = 18 : 6 – 18 : 3

Поділ, коли всередині дужок множення або поділ.

24 : (12 ⋅ 2) = 24 : 12 : 2

24 : (12 ⋅ 2) = 24 : 2 : 12

(12 ⋅ 2) : 24 = 12 : 24 ⋅ 2

(12 ⋅ 2) : 24 = 2 : 24 ⋅ 12

24 : (12 : 2) = 24 : 12 ⋅ 2

(24 : 6) : 2 = 24 : 6 : 2

Розкриття дужок

Розкриттям дужок є дія, при якій дужки забираються з виразу та замінюються на тотожне попередньому.

Правила розкриття дужок

1. Чи є перед дужкою знак плюса "+".
2. Чи є перед дужкою знак мінуса «–».
3. Чи стоїть перед нею якесь число знаком множення.
4. Або дужка поділяється на якесь число.

Якщо стоїть плюс, то при розкритті дужки просто опускаються і листується вираз у них. Тобто:

c + (-3f - 2d) = c - 3f - 2d;

20 + 15 + (14 – 5) = 20 + 15 + (14 – 5) = 20 + 15 + 14 – 5 = 44;

14 – 10 + (5 + 12) = 14 – 10 + 5 + 12 = 21.

Якщо стоїть мінус, то при розкритті всі знаки літер та чисел змінюються на протилежні:

2a - (3c + 4x) = 2a - 3c - 4x;

15 – (–5 + 10) = 15 + 5 – 10 = 10;

100 – (100 – 1000) = 100 – 100 + 1000 = 1000.

Коли перед дужкою стоїть число з операцією множення, то кожне доданок у дужці множиться дане число. Причому від цього, позитивне чи негативне є число, залежить знак отриманих творів:

a – b (c + d) = a – b * (c + d) = a – b * c – b * d = a – bc – bd;

b + 12a (3x - 4f) = b + 36ax - 48af;

15 – 10 (56 – 8) = 15 – 10 * 56 + 10 * 8 = 15 – 560 + 80 = –465;

12 – 2 (2 + 3) = 12 – 2 * 2 – 2 * 3 = 12 – 4 – 6 = 2.

Аналогічно і при розподілі на якесь число буде ділитися окремо кожен елемент, що знаходиться в дужці:

a + (c + cd): с = a + c: c + cd: c = a + 1 + d;

b + (3xf - 4fx): fx = b + 3xf: fx - 4fx: fx = b + 3 - 4;

12 + (15 + 5) : 5 = 12 + 15 : 5 + 5 : 5 = 12 + 3 + 1 = 16;

100 + (100 + 220) : (–20) = 100 – 100 : 20 – 220 : 20 = 100 – 5 – 11 = 84.

Якщо дано вираз, що містить велику кількість дужок, спочатку розкривають внутрішні дужки. Дужки, що не знаходяться один в одному, зазвичай розкривають зліва направо.