Теорема Ферма та 380 років на її доказ

Не багато ідей і міркувань займали думки та увагу вчених-математиків та самоучок так довго, як Велика теорема Ферма. Ця теорема – найвідоміше математичне твердження, на підтвердження якого знадобилося понад 380 років. Більше того, в 1908 році ажіотаж навколо неї був запеклий після обіцянки присудити премію за її рішення.

Вся складність доказу цієї теореми полягала в тому, що треба було довести відсутність рішення. Здавалося, що її суть так легко зрозуміти, але як важко було її вирішити!

Доказ цієї єдиної математичної теореми тісно пов'язане з розвитком історії математики, формуванням нових напрямів та поглибленням людського знання про абстракції. Про те, хто довів теорему Ферма і скільки часу на це пішло, ми поговоримо у цій статті.

Юрист П'єр де Ферма - "король серед любителів математики"

П'єр де Ферма (1601-1665) – французький суддя та самоучка, відомий як автор найскладнішої теореми всіх часів. Свою кар'єру та життєвий шлях Ферма пов'язав із юриспруденцією, і працював у місцевому парламенті маленького містечка Кастр (до 1789 року «парламентом» у Франції називали суди).

Крім блискучої кар'єри в суді, П'єр також захоплювався математикою, був самоукою, черпаючи свої знання з книг і листування зі своїми однолітками, вченими та філософами того часу – Декартом, Паскалем, Бернардом де Бессі та іншими. Незважаючи на його статус аматора, професійні математики цінували листування з П'єром Ферма та називали його «королем серед аматорів».Головний інтерес він проявляв до теорії чисел, яка на початку 17 століття стала дуже популярною у Франції завдяки новим виданням праць давньогрецьких математиків. Вивчаючи їх, Ферма зміг обґрунтувати основні проблеми вирішення численних завдань, що стали основними у розвиток класичної теорії чисел.

Найбільше впливу на П'єра Ферма справила книга «Арифметика», вивчаючи яку він списував поля власними міркуваннями, які згодом змінили розвиток математичного мислення. У цій книзі грецький математик і алгебри батько Діофант Олександрійський описував натуральні числа Піфагора. На підставі «Арифметики» Ферма, вирішуючи завдання складних рівнянь із кількома невідомими, сформулював легендарне твердження, пізніше назване на його честь Великою теоремою Ферма. Доказ теореми зайняв близько 380 років.

Найбільший науковий внесок Ферма у розвиток математики в тому, що він звернув увагу на роль, яку займають прості числа.

Велика теорема Ферма

Міркування Ферма про натуральні числа були не єдиними, і навіть не Піфагор першим їх обґрунтував. Історія обчислень натуральних чисел була відома ще в Шумері та Стародавній Індії, але тільки Піфагор записав ці міркування в сучасній математичній формулі: x 2 + y 2 = z 2, а Ферма збільшив кількість невідомих: x n + y n = z n .

Особливий інтерес до натуральних чисел відродився на початку 17 століття після видання «Арифметики» Діофанта. Ця книга стала особливо популярною серед вчених та філософів, які намагалися раціонально пояснити світоустрій, виключаючи всякий божественний початок. Серед них був і П'єр Ферма.

Під час читання «Арифметики» йому на думку спала ідея замінити показник ступеня 2 у теоремі Піфагора будь-яким іншим числом. Тоді він зрозумів: рішення такій думці не існує, і це можна довести. Але сам доказ не записав через відсутність місця у книжці. На сторінках книги II, обмірковуючи завдання 8, Ферма записав лише таке:

«Неможливо розкласти куб на два куби, біквадрат на два біквадрати, на два ступені з тим самим показником. Я знайшов цьому справді чудовий доказ, але поля книги надто вузькі для нього».

Довести висунуте твердження Ферма, що немає простого рішення для рівняння, наприклад, 3 2 +4 2 =5 2 коли n˃2, що є цілим числом, згодом змогли небагато. Сьогодні відомо, що Ферма довів відсутність рішення для n=4. А з його листування відомо, що він також здійснив і доказ для n=3, але знайти його серед листів не вдалося.

Міркування Ферма про прості числа стало широко відомим після того, як у 1670 році його син Самюель опублікував книгу «Арифметика», але вже з коментарями батька. Шлях доказу зайняв понад 350 років. Сотні математиків намагалися довести твердження Ферма, а це вийшло лише в Ендрю Уайлса в 1993 році.

Примітно, що очевидної практичної цінності Велика теорія Ферма не має. Але її формулювання хвилювало уми сотень математиків, що, своєю чергою, справді приносило плоди у розвитку теорії математики. Крім легендарної Великої (чи «Останньої», як її називають) теореми Ферма, щонайменше важливу роль розвитку математики займає інша теорема – мала.

Мала теорема Ферма - це ще одна знаменита міркування, яку Ферма описав у листі до свого друга в 1640 році.Читається ця теорема так: якщо ціле число п не ділиться на просте число р, то п р - 1 -1 ділиться на число р.

Доказ цієї теореми не зайняв стільки часу та зусиль, як у випадку з її попередницею, але її роль у розвитку математичного мислення безсумнівно безцінна. Сьогодні вона є однією з найважливіших теорем елементарної теорії чисел, криптографії та сучасної алгебри.

Велика теорема Ферма: доказ

Велика теорема Ферма була детально пояснена навіть самим автором. Можливо, його папери загубилися, але, швидше за все, він сам не бачив необхідності.

Вся справа в тому, що скупе, на наш погляд, пояснення твердження на полях книжки «Арифметика» незрозуміле для нас, але так не здаватиметься, якщо врахувати контекст, у якому Ферма розвивав свої ідеї. Протягом свого життя він вів активне листування з іншими вченими та аматорами математики, і це були довгі дискусії в письмовій формі, де дуже важливим було розуміння логічності та чергування листів. Це було суспільство, члени якого розуміли одне одного з півслова. Тому в багатослівності у такому середовищі просто не було потреби.

Іншим припущенням, чому Ферма не розвинув детальне пояснення своєї теореми, у тому, що він не був професійним математиком, як, наприклад, Рене Декарт чи Франсуа Вієт, і тим більше він не намагався досягти визнання у цій сфері, крім схвалення друзів та однодумців , який, очевидно, вже отримав. Проте Ферма розумів оригінальність своїх ідей і підходів, а також те, що його методи мислення допомагають іншим математикам.

Захоплюючись теорією простих чисел, Ферма розумів, що натуральні числа є нескінченними.Він вважав, що знайдений ним метод є загальним, і його можна буде використати, щоб довести будь-які теореми натуральних чисел. Але реальність виявилася іншою. Метод виявився не таким універсальним, як міркував Ферма. І на доказ цього вченим знадобилося понад три сторіччя.

На початку 1990-х років теорему Ферма вже довели для показників різних ступенів аж до 4 000 000. Але все ж таки вчені продовжували шукати показник, для якого теорема виявиться хибною.

Математик з Прінстонського університету Ендрю Уайлс зміг довести теорему в 1993 році, виконавши свою мрію, яка з'явилася в 10-річному віці. Протягом довгих років він стежив за численними методами, за допомогою яких вчені намагалися довести теорему Ферма. І в 1986 році, залишивши всі свої проекти, він сам зайнявся доказом цієї теорії, який зайняв 7 років.

У своєму доказі він використав складні методи обчислення. Його робота спиралася на праці гігантів із різних напрямів математики. Теорема Ферма - це складна головоломка, вирішити яку стало можливим, поєднуючи поетапно різні підходи та методи доказу. Виписуючи тисячі сторінок, Уайлз зміг довести Велику теорему Ферма.

Це був довгий шлях, який полягав у підрахунку нескінченностей, розгляд всіх раніше використаних підходів з метою знайти власний метод доказу. Спочатку Уайлс підрахував усі еліптичні функції, а також модулярні еліптичні функції, де як одних, так і інших нескінченно багато, щоб показати, що їх обчислення еквівалентні. Хоча цей підхід виявився неефективним, він допоміг усвідомити, куди рухатися далі.Ці обчислення допомогли Уайлсу зрозуміти, що треба замість доказу гіпотези Таніями-Сімури для еліптичних кривих, довести цю ж гіпотезу лише напівстабільних кривих.

Далі він звернувся до теорії Галуа, і з її допомогою зміг визначити еліптичні рівняння та довести, що можна провести асоціацію з елементами модулярних форм. Так Уайлсу вдалося переформулювати завдання на більш податливі поняття. Але це був лише перший крок, який зайняв два роки.

Пізніше він намагався вирішити теорему з допомогою теорії Івасави, але її виявилося недостатньо, тому Уайлс використовував ще й інструменти системи Ейлера. Однак пізніше він зрозумів, що найбільш підходящим підходом є підхід Коливагіна-Флаха. І тут нова тактика почала приносити плоди.

На початку 1993 Уайлс підключив до вирішення теореми друга Ніка Каца. Вони вирішили, що на основі нового університетського курсу «Обчислення на еліптичних кривих» вони зможуть поетапно викласти теорему Ферма. Під час цього курсу перевіряли різні етапи доказу.

Остаточні результати та перший публічний доказ Вайлз представив на конференції в Кембриджі у червні 1993 року. Для цього йому знадобилося три години. Рукопис займав 200 сторінок. Потім вирішення завдання підтвердив комітет експертів, і, після уточнення кількох неточностей, 1995 року теорему Ферма офіційно було доведено.

Внесок П'єра Ферма у розвиток науки

Історія математики просто немислима без внеску вченого-самоучка П'єра Ферма. Але через відокремлений спосіб життя і вузьке коло спілкування його ідеї вчені змогли оцінити лише після його смерті та завдяки його сину Семюелю, який у 1870 році почав публікувати нариси та роздуми батька.

Ферма та його ідеї багато в чому стали основоположними у розвиток нових математичних теорій. Його сильною стороною був творчий підхід і необмеженість рамками однієї дисципліни: Ферма застосовував методи алгебри в геометричних завданнях, що заклало підстави аналітичної геометрії. Тому справедливо вважати, що Ферма, поруч із Декартом, вплинув формування аналітичної геометрії, і навіть те, що у своїй листуванні з Паскалем він заклав основи теорії ймовірності.

Ідеї ​​та підходи П'єра Ферма були настільки неординарними, що його міркування та тлумачення вирішення завдань вплинули на Ньютона і навіть Галілея, а інший французький математик Марен Мерсен у своїй книзі «Універсальна гармонія» взагалі назвав Ферма математичним генієм.

До речі, якщо вам цікаво, як розвинути мислення, краще розуміти абстракції та утримувати в голові довгі формули, помічати закономірності та створювати нові ідеї, пропонуємо вам спробувати наші програми «Мнемотехніки» та «ТРВЗ на практиці». І нехай безпосередньо з математикою вони не пов'язані, зате представлена ​​в них інформація, вправи та завдання чудово підходять для підвищення рівня інтелекту, а його, як ви знаєте, можна використовувати у будь-якій галузі.

Бажаємо удачі та до зустрічі на уроках наших курсів!

Радимо також прочитати:

• Сторітелінг
• 10 лінгвістичних концепцій, які корисно знати кожному
• Віденський гурток, або Що не так із логічним позитивізмом?
• 25 людей із найвищим рівнем інтелекту у світі
• Філософія у дії: як позитивізм шукає істину
• Вавилонське стовпотворіння
• Неопозитивізм та принцип верифікації
• Санкт-Петербурзький феномен: кожен вирішує сам!
• Інтелектуальні суперздатності. Вибери свою!
• 14 книг, які допоможуть вам краще зрозуміти математику
• Професія математик: двічі по два чотири

РОЗДІЛ 4 Аналітична геометрія

Наукова діяльність Ферма не обмежувалася теорією чисел. У XVII столітті починали розвиватися аналітична геометрія та математичний аналіз, і вчений став одним із їхніх основоположників. І тепер, на відміну від історії з теорією чисел, французький математик діяв як частину наукової спільноти, що сприяло повному визнанню його відкриттів ще за життя.

І знову для того, щоб зрозуміти вклад Ферма в науку, звернемо свій погляд назад, до самого народження алгебри. Після величезної еллінської слави протягом Середніх віків західна математика пережила період згасання: у Європі складно знайти оригінальну роботу з математики до Фібоначчі, який жив межі XII і XIII століть. У мусульманському світі, навпаки, грецька спадщина була вивчена та розвинена далі. Мусульмани, серед багатьох інших грецьких авторів, переклали Аристотеля, Евкліда, Птолемея, Аполлонія та Діофанта. Крім того, вони також зробили дві найважливіші речі: розвинули алгебру і ввели в ужиток арабські цифри, поширивши їх разом із використанням десяткових дробів.

Неможливо уявити розвиток західної математики без мови арабських чисел. Греки не вміли висловлювати ірраціональні числа, а нездатність висловити щось є на заваді розвитку наукової думки. Тільки уявляючи собі якийсь об'єкт, людина здатна розмірковувати про неї. З цієї причини запровадження арабських чисел стало однією з великих наукових революцій. Ми отримали насамперед поняття "нуль". Нарешті стало ясно, що "ніщо" можна висловити. Також виникла форма запису десяткових дробів, наближена до запису ірраціональних чисел.Крім того, арабська система дала нам можливість здійснювати алгоритмічно (тобто на основі правил) основні операції: додавання, віднімання, множення, поділ. Замість роботи з рахунками, які необхідні при використанні римських цифр, вперше стало можливим здійснювати операції в розумі відповідно до простих правил, які може вивчити будь-який школяр.

Іншим великим нововведенням ісламської культури була систематизація алгебри. Видатний ісламський математик Мухаммед ібн Муса аль-Хорезмі (780-850) написав трактат з алгебри, в якому класифікував різні типи рівнянь і висловив думку, що дві частини рівняння подібні до чаш урівноважених ваг: те, що віднімається або додається в віднімають або додані в іншій.

Завдяки проникненню арабської культури в Європу стала можливою поява та розвиток однієї зі шкіл математики XVI та XVII століть — ренетів, які просто займалися обчисленнями, ґрунтуючись на арабській традиції та власних перших відкриттях. Вони були перш за все прагматиками, які не бажали витрачати час на суворість грецького доказу. У цій суміші традицій і розвивалася діяльність Ферма. З одного боку, реїстський прагматичний підхід до вирішення завдань, з іншого — геометри та їхня пристрасть до систематизованих та вивірених результатів. Але найбільший вплив на героя цієї книги зробив математик Франсуа Вієт; його роботи є сполучною ланкою, що поєднує різні напрями наукової діяльності Ферма. Насамперед йдеться про створену Вієтом символічну алгебру та її методи роботи з рівняннями.

Вже Діофант в епоху еллінської іноді користувався символами для позначення числових величин, але саме Вієт створив нову мову, який, як і індо-арабський запис, дозволяв виражати до того часу невимовні речі. Вієт був першим, хто систематично використовував літери, щоб позначати константи та невідомі.

Символічна алгебра дозволяє уявити невідоме нам число: воно вже не "річ", а х. Дійсно, як у випадку з Великою теоремою можна виразити числа, "яких, можливо, навіть не існує", - х, у та z з рівняння Ферма. Символічна алгебра дозволяє розмірковувати про цілих класах завдань і робити твердження про нескінченну кількість схожих проблем, знаючи лише їхню алгебраїчну структуру, зв'язок між змінними за допомогою рівняння. Тобто можна говорити про рівняння у загальному вигляді. Наприклад, можна швидко і просто сказати, що a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) і що це виконується за будь-яких a і b. Символічна алгебра звільняє наш розум від важких словесних описів і дозволяє розмірковувати на іншому рівні, так само, як арабські цифри допомагають нам рахувати. Революція у цій галузі стала можливою завдяки Вієту, та був і Декарту.

Тепер потрібно зупинитися на деяких поняттях. Давньогрецькі математики прагнули суворих бездоганних доказів: вони називалися "синтетичними" і йшли від гіпотези теореми до її укладання, з використанням логічних правил, крок за кроком. Але рідко вчений слідує таким прямим шляхом, коли робить свої відкриття. Математик користується (і греки були винятком) евристичними, неформальними методами перевірки своєї правоти, як спробувати скласти доказ.У Стародавній Греції пробні шляхи, якими намагалися дослідити доказ, можна порівняти з будівельними лісами, прибраними з остаточної редакції доказу. Вони називалися аналізом (слід зауважити, що це слово має абсолютно інше значення в сучасній математиці), тоді як доказ був синтезом. Аналіз ведеться від висновку до гіпотези, у той час як звичайний, суворий і синтетичний доказ завжди слідує у протилежному напрямку. На розчарування своїх читачів XVI і XVII століть, греки не залишили слідів використовуваного ними аналітичного методу, повністю стираючи їх і демонструючи лише строгість і красу синтетичного доказу. Папп, який кілька століть писав про вершини еллінської математики, був одним з небагатьох авторів, який залишив якісь свідчення аналізу.

На перший погляд, використання такого прийому здається дивним. Зворотні теореми необов'язково вірні (див., наприклад, малу теорему Ферма). Отже, переведення аналізу (руху у зворотному напрямку) в синтетичний доказ (скажімо так, у правильному напрямку, від гіпотези до висновку) не є автоматичним. Але греки вдавалися до вправних методів, що дозволяють інвертувати аналіз і перетворювати його на доказ за правилами. Зокрема, вони помітили, що у геометрії у багатьох випадках кроки справді можна інвертувати. В інших випадках вони з тією самою метою застосовували допоміжні гіпотези.

Аналіз у вигляді, у якому ним займалися греки, також прижився в арабських алгебраїстів і ренетів. У алгебрі рівняння переважно інвертуються. Якщо згідно з деякими правилами перетворити рівняння, то можна здійснити і зворотну процедуру.Наприклад, ми можемо перейти від запису a 2 - b 2 до запису (a + b) (a - b), так само як і здійснити зворотний перехід. Так відбувається тому, що два рівних між собою вирази вільно взаємозамінні. , якщо грунтувати аналіз на алгебрі, користуючись лише діями з рівняннями і тотожностями, то докази автоматично будуть істинними. Вищесказане призвело його до революційного твердження про те, що аналіз та алгебра — це одне й те саме;

Тепер були загальні методи роботи з рівняннями, і завдання можна було вирішувати у два етапи: постановка, тобто переведення задачі в область символічної алгебри у вигляді рівняння, та алгебраїчні дії для знаходження рішення. щоб наголошувати на вирішенні приватного рівняння, як робили реісти, Вієт зосередився на правилах дій, здійснених над рівнянням: складання членів в обох частинах, відніманні членів, зведенні в ступінь, добуванні коренів, множенні або розподілі. Крім того, він шукав загальні види операцій, які залежали б тільки від структури рівняння. здійснювати такі дії.

Якщо ми бачимо вираз 3 + 2, то наша природна реакція полягає в тому, щоб, як робили реісти, здійснити додавання і поставити 5. Але при цьому ми втрачаємо структуру вихідного виразу, сам факт того, що це додавання. міркувати у загальному вигляді про складання. Символічна алгебра дозволяє нам міркувати про структури.Можна сказати, що символічна алгебра зосереджується на синтаксисі рівняння, забуваючи про його зміст та значення до отримання кінцевого рішення. У той же час алгебра Вієта припускала, що об'єкти, з якими ми працюємо (константи та невідомі), необов'язково мають бути числами. Вони можуть бути чим завгодно - кутами в тригонометрії, геометричними елементами, - всім, до чого застосовні додавання, множення, зведення в ступінь і таке інше. Алгебра, яка раніше була лише відгалуженням арифметики, де акцент робився на вирішенні числових завдань, тепер перетворюється на універсальну мову математики.

Математика - це наука про порядок і міру, про красиві і прості ланцюжки міркувань.

Рене Декарт

У цьому місці нашої розповіді має стати очевидним, яке значення мала для нашого героя робота Вієта, з якою Ферма познайомився у Бордо. Справді, ми вже спостерігали у Ферма тенденцію йти від часткового до загального, аналізувати структуру рівнянь, що вирішують цілий клас завдань, — перевагу, яку він віддавав загальному методу перед конкретним рішенням локального завдання. Вієт не тільки пропонував методи та рішення, він створив математичну програму, доведену Ферма до останніх висновків. Але він був не один. Інший великий мислитель, Рене Декарт, дійшов таких же висновків. Вони втрьох — Вієт, Декарт і Ферма — створили методи сучасної математики, назавжди розірвавши їхній зв'язок із елегантними побудовами Евкліда та давньогрецьких геометрів. Туди, де раніше царювали креслення, побудовані з допомогою лінійки і циркуля, тепер прийшли алгебраїчні дії, що відбуваються щоразу над більш незвичайними об'єктами.Алгебра дійсно перетворилася на їхні руки в переважний спосіб математичних міркувань.

Очевидно, що Ферма багатьом завдячує математиці Вієту, проте залишається спірним, наскільки останній вплинув на Декарта. Деякі історики, наприклад Богран, припускають знайомство Декарта з роботами Вієта, інші вважають, що Декарт, за його власними словами, прийшов до своїх результатів незалежно. Але так як він систематизував краще за Вієта, його запис виявився набагато яснішим (згадаємо, що зрозумілий запис в математиці може осяяти, тоді як неясна здатна збити з думки). Також його теорія рівнянь була настільки вищою за теорію Вієта, що через одне покоління вона повністю перемогла, залишивши останнього в забутті. Там, де Вієт користувався виснажливими казуїстиками, що дуже відповідають образу думки адвоката, Декарт міркував як філософ.

Незважаючи на свої революційні здогади, Вієт у якихось аспектах залишався прив'язаним до минулого. Він невідома, зведена в квадрат, мала дуже специфічне значення: це справжній, геометричний квадрат, площа. Те саме для невідомої, зведеної в куб: це куб, об'єм. І, незважаючи на те, що він був здатний уявити великі ступеня (четверті, п'яті), що не мають очевидного геометричного значення, йому не вдалося зробити основного кроку: подумати про те, що многочлен може бути неоднорідним, тобто його члени можуть мати різні ступені : ax 3 + bx 2 + cx = d. Для нього подібне було як додавання груш з яблуками, лінії з кубом, квадрата з крапкою. Це немає геометричного сенсу.Таким чином він сформулював закон однорідності: багаточлени мають бути сумами одночленів однієї й тієї ж міри (квадрати із квадратами, куби з кубами).

Очевидно, що на плечах Вієта ще тримався весь тягар грецької спадщини, в якому числа не мають виміру, а геометричні постаті — мають. Комбінувати їх немає сенсу. Для греків поняття виміру неминуче пов'язані з множенням геометричних елементів: дві перемножені лінії дають прямокутник, а прямокутник, помножений третю лінію, дає паралелепіпед.

Без сумніву, Рене Декарт (1596-1650) - найзначніша постать у філософії XVII століття, і найбільше примітна відмова цього вченого вірити у щось, що неможливо довести. Він народився в Лаз, у провінції Франції Турень, закінчив університет Пуатьє в галузі права, але незабаром вступив на військову службу до армії Моріца Нассауського у війні Фландрії проти Іспанії. Він також брав участь у Тридцятилітній війні під командуванням герцога Максиміліана I Баварського, а також в облозі Ла-Рошелі, яку Олександр Дюма описав у своєму романі про мушкетерів.

Коли Декарт служив в армії, у нього сталося осяяння: всі істини повинні бути пов'язані і засновані на первинній істині, тобто "я мислю, отже, я існую". Декарт переконався, що розум — це шлях до знання. Більшу частину свого життя після звільнення з армії він провів у Голландській Республіці, переїжджаючи з університету до університету. У 1637 році вчений опублікував "Міркування про метод" з додатками. Через чотири роки також побачили світ "Роздуми про першу філософію". Коли Декарт почав переслідувати католицький світ, його запросила королева Швеції Христина стати її наставником.Кажуть, що звичка королеви вставати рано і тримати вікна відчиненими похитнула здоров'я мислителя, який помер від запалення легенів 11 лютого 1650 року. Через 13 років папа Олександр VII включив роботи Декарта до списку заборонених книг.

Ферма було не так просто звільнитися від цієї грецької спадщини, яка заважала роботі з більш загальними багаточленами. Він досяг мети, але у своєму звичному стилі, не підводячи твердої теоретичної бази до відмови застосовувати вищезгаданий закон. Декарт, навпаки, обґрунтував свою відмову від закону однорідності. Він був першим, хто використовував верхні індекси (до яких ми так звикли) для позначення операції зведення в ступінь, і він зробив це частково заради того, щоб звільнитися від недоліків попереднього запису. Ось приклад запису алгебри Вієта: · A quad + + G planum А - Z solido. Quad, planum і solido - це ступеня, в які зводяться A, G і Z відповідно для збереження однорідності з явною геометричною інтерпретацією. Декарт відмовився від такої інтерпретації, говорячи:

"Я сам довго був обдурений цими назвами [квадрат, куб]. Зрештою, після численних експериментів я помітив: немає нічого, що можна було б вирішити з цією інтерпретацією, чого не можна було б вирішити без неї простіше і ясніше і що від таких назв слід відмовитися, щоб вони не плутали думки.

Декарт стверджує, що якщо, наприклад, трикутник з деяким кутом і сторонами а і 1 подібний до трикутника з тим же кутом і сторонами ab і b, то всі геометричні пропорції співвідносяться один з одним за масштабом і вибрана одиниця виміру довільна. Іншими словами, добуток ab, що має ступінь 2 і є, отже, квадратом, зовсім не відрізняється від лінійного числа b.Так, не варто думати, що представлені різні математичні об'єкти.

У результаті метод Вієта забули, і переміг Декарт, що важливо: абсолютна вірність Ферма своєму, умовно кажучи, вчителю Вієту затьмарила власний внесок тулузця, що часто здавалося тьмяним його сучасникам і послідовникам, які перейняли запис та ідеї Декарта. яким Ферма виявився незрозумілим сучасниками.

Існує і ще одна грань роботи Вієта, яка вплинула на діяльність Ферма. роботі "Введення в аналітичне мистецтво" (1571) Вієт стверджував: оскільки в його аналізі передбачалося, що це етапи докази оборотні, синтез у його грецької формі не потрібен.

Ферма зробив даний принцип Вієта однією з основ свого математичного дослідження. доказ для Ферма (як і для Вієта) будувати доказ як у греків вже не мало сенсу. Це було зайве. Проблема, звичайно ж, у тому, що його сучасники не перебували під таким впливом аналітичного методу Вієта, як він не зміг побачити цієї невідповідності, що призвело до багатьох суперечок і розчарувань.Нарешті, цікаво помітити, як було показано деяких прикладах, що Ферма використовував символічну алгебру своїх пошуків, але майже завжди представляв результат у словесному вигляді. Таким чином, Ферма перебував на рубежі двох традицій: між одним, давнім, вмираючим світом математики та іншим, який лише зароджувався.

Настав час трохи затриматись на хронології. У цій книзі в хронологічному порядку вже було розказано майже все математичне життя Ферма. Але "інше життя" вченого, про яке зараз піде мова, протікала паралельно і в деяких випадках навіть передувала описаному нами, тому варто повернутися назад у часі, в Бордо.

Ферма жив у Бордо у другій половині 1620-х років. На той час він уже вдосконалив свій метод максимумів і мінімумів і почав відновлювати роботу Аполлонія Пергського про плоскі геометричні місця, пряму лінію і коло. Цей твір був втрачений, але той факт, що Папп залишив опис багатьох античних робіт, дозволив математикам XV і XVI століть, які перетворилися на справжніх археологів знання, спробувати відновити втрачене. Діяльність Вієта включала, по-перше, таке відновлення, а по-друге, переклад результатів класиків новою мовою аналітичного мистецтва.

Ферма вдалося значною мірою відновити роботу Аполлонія згідно з тим, як її резюмував Папп, який узагальнив 147 теорем та 8 лем, але одна теорема заважала йому рухатися далі. Частковий доказ, який він навів, його не задовольняв. Після повернення Тулузу в 1631 року Ферма почав аналізувати цю проблему у світлі нових методів.Вже 1635 року з'являються явні ознаки те, що він використовував ці методи на вирішення класичних проблем. Зрештою він виклав свою теорію в маленькому трактаті під назвою "Вступ до теорії плоских і просторових місць" (латиною Ad locos pianos et solidos isagoge, далі - Isagoge), який послав до Парижа Мерсенну і Робервалю наприкінці 1636-го - початку 1637 року. Саме тоді Ферма почав своє листування з Мерсенном, наповнюючи Париж дивовижними результатами, не тільки з теорії чисел, а й з геометрії і з того, що з часом було названо аналізом. Його роботи привернули увагу французького математика Жиля де Роберваля (1602-1675), який працював зі схожими проблемами та став відданим шанувальником судді з Тулузи.

Isagoge був першим етапом великої революції. Вієт вже пропонував розв'язання геометричних завдань алгебраїчними методами, але його завдання зводилися до знаходження деяких точок (які б виконували певну умову) або перетинів між простими геометричними фігурами, такими як пряма і коло, в яких рішенням незмінно була точка. Ферма пішов ще далі, йому вдалося досягти революційного результату: ні більше ні менше - звести всю геометрію (царицю наук, згідно з Платоном) до скромної алгебри, що служила ще покоління назад тільки для вирішення числових завдань, що не мають видимого математичного значення. Тулузький математик винайшов аналітичну геометрію. Поспішаємо помітити, що інший великий мислитель зробив те саме майже одночасно і незалежно. Це Рене Декарт, якому зазвичай приписують першість настільки, що координати, якими ми користуємося, отримали назву "декартових".Однак, хоча немає сумнівів, що ідеї у Декарта дозріли раніше, ніж у Ферма, саме тулузький вчений був першим, хто їх опублікував.

У розділі 2 цієї книги йдеться про те, як математики шукають мости між областями, які на перший погляд є різними і не мають жодного зв'язку. Один із перших прикладів подібної діяльності з побудови мостів - це аналітична геометрія, яка так називається, оскільки в ній використовується аналітичне мистецтво (алгебра) для опису всієї геометрії. Несподівано виявляється, що всі геометричні проблеми можуть бути вирішені за допомогою алгебри на основі визначення кривих як геометричних місць точок.

Графік кривої у двовимірному просторі, загальне рівняння якої у = ax 2 + bx 2 + cx + d.

Геометричне місце точок - це безліч точок, зазвичай нескінченне: те, що ми називаємо кривою, незважаючи на те, що не всі ці множини - криві в повсякденному розумінні. Ця множина повинна мати певну властивість. Наприклад, всі точки, рівновіддалені від однієї нерухомої, визначають геометричне місце точок під назвою 4окружність", а всі точки, відстань від яких до заданої точки дорівнює відстані до заданої прямої, визначають геометричне місце точок під назвою "парабола".

Таким чином, щоразу можна визначати все більш складні криві.

Під час вивчення геометричних місць точок, визначених Аполлонієм, у Ферма, як і в Декарта, сталося осяяння: ці множини, перебуваючи на площині, можуть бути повністю визначені рівнянням із двома невідомими.

Виявилося, що розмірність не залежить, як вважалося до того часу, від рівня рівня — від того, квадратне воно чи кубічне. Вона залежить від чистих невідомих.Так, якщо у нас є дві невідомі, то вийдуть дві криві на площині (два виміри). Якщо змінна лише одна, виходять точки на лінії (одне вимір), які аналізував Вієт. Якщо їх три, виходять поверхні у трьох просторових вимірах.

Не важливо, що рівняння це багаточлен третього ступеня; воно визначає не тривимірну поверхню, а, якщо в ньому дві невідомі, лише двовимірну криву (див. малюнок).

Тепер ніщо не заважало аналізувати багаточлени більшою мірою. Ця зміна поняття розмірності стала кроком шляху до аналітичної геометрії. До того ж ці змінні були пов'язані один з одним за допомогою невизначеного рівняння, тобто рівняння з нескінченним числом точок геометричного місця точок.

До аналітичної геометрії геометричні місця крапок описувалися відповідно до їх властивостей, наприклад у випадку з конічними перерізами - перетинами об'єму та площини. Аналітична геометрія повністю змінила парадигму, дозволивши, щоб обмежена кількість кривих, які вивчали греки і які мали будуватися по одній, помножилося до нескінченності. Це не перебільшення. Справді, кількість рівнянь із двома невідомими нескінченно, і оскільки кожному їх відповідає крива, кількість можливих кривих також нескінченно.

Крім того, алгебраїзація геометрії дозволяла ввести в останню гнучкість алгебраїчних операцій - додавання, віднімання, множення, поділу, зведення в ступінь і вилучення кореня, - що разом з теорією рівнянь дозволяло вирішувати багато завдань майже механічно.

АПОЛОНІЙ І КОНІЧНІ ПЕРЕЧЕННЯ

Аполлоній Пергський (бл. 262 - бл.190 до н.е.) систематизував вивчення кривих, званих конічними перерізами, яким він дав їхню сьогоднішню назву. Конічні перерізи визначаються перетином площиною конуса під різними кутами. Можна довести, що, крім випадків вироджених перерізів, всі види конічних перерізів можна звести до таких випадків. Якщо перетнути конус паралельно утворює, результатом перерізу буде парабола; якщо кут між площиною та віссю конуса більше, ніж кут при утворюючій, виходить еліпс; коли січна площина перпендикулярна осі - коло; нарешті, якщо площина перетинає обидві порожнини конуса, бачимо гіперболу. Властивості, сформульовані математиком з Перге, дозволили кожній з них мати визначальну характеристику, яка відрізняє її від решти всіх конічних перерізів і виражена у вигляді пропорції. Саме на основі цих характеристик Декарт та Ферма будували своє вивчення відповідних рівнянь.

У порівнянні з трудомістким нарисним методом грецьких геометрів аналітична геометрія була надзвичайно потужним методом вирішення завдань. Це довів Ферма, взявшись за деякі теореми Паппа, які до цього ніхто не міг довести, а також зайнявшись завданням Галілея і поправивши самого тосканського вченого. У той час як Галілей думав, що гарматне ядро, що падає до центру Землі, рухається круговою траєкторією, Ферма з'ясував, що дана траєкторія є спіраллю. Галілей у листуванні з Ферма погодився з його поправкою.

Тим часом робота Декарта в цій галузі хоч і призвела до вкрай багатих результатів, була занедбана. Він хотів показати новий спосіб думки, а не знаходити нові математичні результати.Парадоксально, що в 1637 році, коли математична кар'єра Ферма тільки-но починалася, Декарт з власної волі закінчував свою. Опублікована ним "Геометрія" була частиною книги, що містить три наукові трактати, яким передувало знамените "Міркування про метод". Вона в очах самого Декарта була лише ілюстрацією того методу, що він відкрив, незаперечним доказом сили його філософії. Ця робота, опублікована в 1637, стала лебединою піснею математики Декарта, а саме в той час Ферма почав працювати з найбільшим запалом. Ці два генія мали між собою мало спільного. Декарт вніс величезний внесок у науку, проте просто як факт слід зазначити, що його математичний геній сяяв лише протягом кількох чудових років. Декарт був передусім філософом, а Ферма — математиком у чистому вигляді. Вони використовували різні підходи до вирішення завдань. Для Декарта було достатньо розробити метод, а Ферма необхідно було застосовувати його до вирішення математичних завдань.

Ілюстрація методу координат Фарма та того, як визначається геометричне місце точок.

Як згадувалося, інтерес Ферма до аналітичної геометрії виник з його спроб відновити твір Аполлонія. У процесі цієї роботи він прийшов до думок, які відбив у своєму Isagoge, де можна прочитати наступне:

"Кожного разу, коли дві величини [дві невідомі) перебувають у рівності. існує таке геометричне місце. що кінцева точка [цих величин] описує пряму або криву лінію".

Згідно з істориком Карлом Бойєром, це твердження становить одну з найбільших революцій в історії математики. Його не можна довести безпосередньо; це постулат.Але Ферма присвячує залишок свого маленького трактату ілюстрації його користі, аналізуючи окремий випадок кривих: конічні перерізи, пряму лінію і коло (яку в давнину не вважали за конічний перетин).

Ферма не створював прямокутну систему координат, яка так добре знайома нам сьогодні. Його аналітична геометрія одновісна: визначається лише вісь абсцис. Однак очевидно, що він приховано використовує вісь ординат щодо відстані.

На малюнку показано елементи аналітичної геометрії Ферма. У нас є рівняння з двома невідомими x та y та константою c, ?(x, y) = c. Відстань х₀ — це явно значення абсциси, тоді як ордината задана значенням довжини відрізка у₀. Зауважте, що кут ? необов'язково прямий, як це було б у сучасній системі декартових координат. Насправді кут довільний (пізніші автори зрозуміли, що набагато простіше зробити кут - прямим). Точка, яка рухається геометричним місцем точок, — А. Ми можемо бачити, як вона рухається до положення А', яке відповідає абсцисі х₁ і ординаті у₁. Слід зазначити, що?₀, у₀) -?₁, у₁) = c, тобто рівняння виконується всім точок А геометричного місця точок, і навпаки, точки А повністю визначаються рівнянням. Це ключова відповідність між геометрією та алгеброю, яку надає аналітична геометрія (запис сучасний — Ферма не використовував запис функції ?(x, у)).

У цьому вся викладі є приховане поняття, яке було основним для розвитку аналізу: безперервна зміна. Використовуючи єдину вісь, Ферма зосередився на тому, як рухається крапка по кривій, що визначає геометричне місце.Це концептуально відрізняється від процесу графічного представлення точок на площині з двома координатними осями та приміщення між ними кривою, як більшість з нас навчилося робити при складанні графіка. Бачення Ферма динамічно: воно відповідає точці, що рухається якоюсь траєкторією, і, отже, майже випадково Ферма надав фізичну реальність аналітичної геометрії, яка виявилася основною в подальших роботах Ньютона, Лейбніца і сім'ї Бернуллі. Інша відмінна характеристика системи Ферма в тому, що вона включає тільки позитивні величини в області і абсцис, і ординат, тому його криві завжди знаходяться в першій чверті площині і, отже, іноді втрачається від половини до трьох чвертей їх протяжності. Парабола з вершиною на початку координат і фокусом на осі х, наприклад, була б лише половиною параболи.

ГРАФІЧНІ РІШЕННЯ РІВНЯННЯ ВИЩОГО СТУПЕНЯ

У додатку, який вийшов через деякий час після Isagoge, Ферма представив загальний метод перетворення рівняння третього чи четвертого ступеня на систему рівнянь другого ступеня. Йдеться про пошук точки перетину між двома кривими. Так, рівняння х 3 + bx 2 = bс за допомогою введення нової змінної у перетворюється на два невизначені рівняння: х 2 + bx = by, с = ху. Йдеться про перетин між параболою і гіперболою. На жаль, геометричний "дух" методу завадив Ферма знайти більше одного кореня (перетину), оскільки під впливом греків він задовольнявся лише одним позитивним коренем.Математик користувався цими результатами для виступу проти класифікації кривих Декарта в полеміці, яка на сьогоднішній день виявилася безплідною, оскільки ці класифікації, як з'ясувалося, не мають значення.

Центральна теорема, яку Ферма доводить у своєму Isagoge, полягає в тому, що всі конічні перерізи, крім прямої лінії та кола, можуть бути виражені загальними рівняннями другого ступеня або першого ступеня (у випадку прямого). ступеня на сім "канонічних" випадків, доводячи, що будь-яке рівняння першого або другого ступеня можна звести до одного з них: вони належать, відповідно, до кола, еліпсу, параболі, двом видам гіперболи та двом видам прямої лінії. творів, таких як "Дані" Евкліда, трактат "Конічні перерізи" Аполлонія або робота Вієта.

Як і Вієт, Ферма незмінно опускає синтетичний доказ, вважаючи його тривіальним і користуючись лише аналітичним методом, щоб дійти від рівняння до геометричного місця точок. Місця точок також є рівняння. Крім того, у своїх доказах Ферма використовував, надмірно не виділяючи. їх ряд перетворень, типових для аналітичної геометрії, таких як переміщення кола (щоб його центр збігався з початком координат), обертання параболи або зміна змінної.Вчений уже знав, що він може здійснити ці перетворення і його результат все одно не втратить узагальненості.

Заклавши основи аналітичної геометрії на площині, Ферма потім взявся за спроби поширити свої результати на тривимірний простір. Однак його математичні методи не впоралися з таким завданням. і не досяг своєї мети.

Декарт був першим, хто міркував про алгебри як про розумовий процес, але ясно, що Ферма, менш схильний до філософії, був твердим прихильником даного підходу. Але, ймовірно, він був одним з останніх математиків, які так глибоко цікавилися класиками. традицію, відновивши найзначніші роботи, проте насправді поховав її.