3.4. Імітаційне моделювання
- 3.4.1. Статистичне моделювання
- 3.4.2. Метод Монте-Карло
- Багатомасштабне моделювання матеріалів та процесів 4.1. Види багатомасштабного моделювання 4.2. Багатомасштабне моделювання енергетичних процесів 4.3. Моделювання у наноструктурній галузі 4.4.Програмне забезпечення моделювання наносистем Контрольні питання Список литературы
Вступ
Різні елементи математичного моделювання застосовувалися разом із появою точних наук. З цим фактом пов'язано те, що частина їх носять імена корифеїв науки, наприклад, Ньютона і Ейлера, а слово «алгоритм» походить від імені середньовічного арабського вченого Аль-Хорезмі. Друге «народження» цієї методології припало на кінець 40-х — початку 50-х років XX століття і було зумовлене, принаймні, двома причинами: появою комп'ютерів, хоч і скромних за нинішніми мірками, проте позбавили вчених від величезної по обсягу рутинної обчислювальної роботи, та безпрецедентним соціальним замовленням на виконання національних програм СРСР та США з створення ракетно-ядерного щита, які були реалізовані традиційними методами. За допомогою математичного моделювання це завдання було вирішено. На першому етапі ядерні вибухи та польоти ракет моделювалися за допомогою ЕОМ, а вже згодом були реалізовані на практиці. Цей факт сприяв подальшому розвитку методології моделювання, без якого нині не реалізується жодні великомасштабний технологічний, екологічний чи економічний проект [1]. Технічні, екологічні, економічні та інші системи, вивчені сучасної наукою, більше піддаються дослідженню звичайними теоретичними методами. Прямий натурний експеримент над ними довгий, дорогий, часто або небезпечний, або просто неможливий, оскільки багато хто з цих систем існує в «єдиному екземплярі». Ціна помилок та прорахунків у поводженні з ними неприпустимо висока.Тому математичне моделювання є неминучим складником науково-технічного прогресу. Математичне моделювання, будучи методологією, використовується як інструмент у наукових дисциплінах подібно до математики, фізики та біології і не конкурує з ними. Майже у всіх сферах творчої діяльності застосовується моделювання, починаючи від дослідників і закінчуючи воєначальниками. Математичне моделювання має забезпечуватися виконанням таких вимог: чітке формулювання основних понять та припущень, засноване на досвіді (апостеріорний), аналіз адекватності використовуваних моделей, гарантована точність обчислювальних алгоритмів тощо. буд. При моделюванні об'єктів, що важко формалізуються, потрібно додатково враховувати розмежування математичних і нематематичних термінів, а також особливості використання існуючого математичного апарату до вивчення об'єктів.
1. Поняття «моделювання» та «модель»
Можна виділити кілька етапів створення методології математичного моделювання: Поява точних наук. - Кінець 40-х-початок 50-х років XX століття: - Поява комп'ютерів; - Розробка ядерних технологій. - Поява інформаційного суспільства.
Методологія математичного моделювання стає інтелектуальним ядром інформаційних технологій. У ранньому віці людина починає взаємодіяти із різними моделями. Гра по побудові конструкцій з кубиків є створенням деяких моделей. При навчанні поширене використання моделей у тій чи іншій формі. Для вивчення правил, наприклад, російської мови застосовуються різні схеми та таблиці, які є моделями, що відображають властивості об'єкта, що вивчається.Підготовку тексту можна розглядати як моделювання певної події чи явища за допомогою рідної мови. На уроках точних наук також використовуються макети реальних об'єктів, що вивчаються [2]. Слід зазначити, що у дорослому житті людина постійно стикається з моделями реальних об'єктів, процесів і явищ. При цьому для створення складних виробів потрібна робота колективів розробників. Як приклад можна навести великий адронний колайдер (де планується провести моделювання Великого вибуху, після якого, згідно з гіпотезою, виник наш Всесвіт) та всім відомий фільм «Титанік», де для сцен загибелі корабля було використано понад десять моделей судна.
Інструментом математичного моделювання насамперед є математика. В даний час математичне моделювання застосовується в: · Традиційних областях - фізика, хімія, біологія; · нових галузях та дисциплінах - технічні, екологічні та економічні системи. Складності: - Прямий натурний експеримент або небезпечний, або неможливий; - Система існує в єдиному екземплярі; · Соціальні процеси.
1.1. Модель
Що таке модель? Модель від латів. modulus - міра, мірило, зразок, норма). Під моделлю можна розуміти: зразок, що служить еталоном (стандартом) для серійного або масового відтворення (модель автомобіля, модель одягу тощо), а також тип, марка будь-якого виробу, конструкції; · Виріб (виготовлений з дерева, глини, воску, гіпсу та ін), з якого знімається форма для відтворення в іншому матеріалі (металі, гіпсі та ін); · Людину, що позує художнику (натурник), і взагалі зображувані об'єкти («натура»);
1.2. Цілі побудови моделей
· пристрій, що відтворює, що імітує (зазвичай у зменшеному масштабі) будову та дію будь-якого іншого пристрою в наукових, практичних (наприклад, у виробничих випробуваннях) або спортивних цілях. це модель. Для того щоб продемонструвати систему кровообігу, лектор звертається до намальованого плаката – це модель. картина Айвазовського «Дев'ятий вал» — це модель. зробити це абсолютно повно і всебічно. Однак використання спрощеної моделі, що відображає окремі риси об'єкта, що досліджується, дозволяє ясніше побачити. взаємозв'язок причин і наслідків, входів та виходів, швидше зробити необхідні висновки, ухвалити правильні рішення [3].
Реальний об'єкт у порівнянні з моделлю складний для аналізу і менш інформативний. Необхідно зауважити, що дослідження безпосереднім чином більшості об'єктів і явищ неможливе.Серед цілей моделювання можна виділити такі [2]: · Зрозуміти, як влаштований конкретний об'єкт: яка його структура, внутрішні зв'язки, основні властивості, закони розвитку, саморозвитку та взаємодії з навколишнім світом; · Навчитися управляти об'єктом або процесом, визначити найкращі способи управління при заданих цілях та критеріях; · прогнозувати прямі та непрямі наслідки реалізації заданих способів та форм впливів на об'єкт. Модель може бути представлена у різний спосіб. У широкому значенні модель визначають як відображення найістотніших властивостей об'єкта.
1.3. Властивості моделей
Основними вимогами до математичних моделей є вимоги адекватності, універсальності та економічності (рис. 1).
Адекватність. Модель вважається адекватною, якщо відбиває задані властивості з прийнятною точністю. Точність визначається як ступінь збігу значень вихідних параметрів моделі та об'єкта. Точність моделі різна у різних умовах функціонування об'єкта. Ці умови характеризуються зовнішніми параметрами. У просторі зовнішніх параметрів виділити область адекватності моделі, де похибка менша за задану гранично допустиму похибку. Визначення області адекватності моделей — складна процедура, яка потребує великих обчислювальних витрат, які швидко зростають із збільшенням розмірності простору зовнішніх параметрів. Це завдання за обсягом може значно перевершувати завдання параметричної оптимізації самої моделі, тому для об'єктів, що знову проектуються, може не вирішуватися. Універсальність. Визначається в основному числом і складом зовнішніх і вихідних параметрів, що враховуються в моделі. Економічність. Модель характеризується витратами обчислювальних ресурсів для її реалізації – витратами машинного часу та пам'яті. Простота. Модель, за якої бажаний результат досягається за той самий час з тією ж точністю при врахуванні меншої кількості факторів при розрахунку, називається простою. Потенційність (передбачуваність). Можливість отримання нових знань про об'єкт, що досліджується, за допомогою застосування моделі. Достатня точність результатів розв'язання задачі, надійність функціонування моделі. Здатність до вдосконалення моделі без її корінної ситуації. Простота форм вихідних даних та їх заповнення під час видачі завдання на розрахунок.
За допомогою моделі, що розробляється, вирішується широке коло завдань. Суперечливість вимог до моделі володіти широкою областю адекватності, високим ступенем універсальності та високою економічністю зумовлює використання ряду моделей для об'єктів одного й того самого типу.
1.4. Форми представлення моделі
Серед форм представлення моделей можна виділити такі [4]: · Інваріантна - запис співвідношень моделі за допомогою традиційної математичної мови безвідносно до методу розв'язання рівнянь моделі; · Аналітична - запис моделі у вигляді результату аналітичного рішення вихідних рівнянь моделі; · Алгоритмічна - запис співвідношень моделі та обраного чисельного методу рішення у формі алгоритму; · схемна (графічна) - представлення моделі деякою графічною мовою (наприклад, мова графів, еквівалентні схеми, діаграми і т.д.п.); · Фізична - представлення моделей як зменшених копій реальних апаратів та технологічних процесів; · аналогова - моделі, засновані на подобі явищ, що мають різну фізичну природу, але описуються однаковими математичними рівняннями.
1.5. Моделювання
У міру того, як якась наука стає більш точною, в ній у все більших масштабах застосовується математичний опис досліджуваних об'єктів і явищ. Зокрема, цей принцип давно утвердився у багатьох галузях фізики. Однак це не завжди знаходить розуміння серед фахівців у галузі нанотехнології через відсутність досвіду математичного моделювання наносистем. Щоб уникнути марного конструювання та збирання численних дорогих прототипів наносистем, потрібно спочатку детально розробити структуру та технологію збирання нанооб'єкта або молекулярного кластера. Для цього використовують методи комп'ютерного моделювання. За допомогою моделювання, заснованого на великій кількості експериментальної інформації, можна описати поведінку наносистем, що проектуються. Крім того, комп'ютерне моделювання у ряді випадків є каталізатором для експериментальних досліджень та виробництва. Останнім часом розширюється коло завдань, під час вирішення яких застосовується комп'ютерне моделювання. Якщо в минулому моделювання, зокрема комп'ютерне, було спрямоване на кількісний опис процесів у матеріалах, то в даний час велика увага приділяється створенню нових перспективних матеріалів та прогнозу їх властивостей [5]. Розглядаючи елементарну картину загального методу пізнання світу (див. рис. 2), можна ідентифікувати реальний та умоглядний світ.У реальному світі спостерігають різні явища і процеси, що відбуваються як у природному, так і в техногенному середовищі. поведінка об'єктів або результати спостережень за явищами; що дозволяють передбачити поведінку та результати у майбутньому.
Моделювання одна із методів пізнання, вивченням яких займається спеціальна галузь знань — методологія. Моделювання — це особливий метод пізнання навколишнього світу, який відноситься до загальнонаукових методів. Він може застосовуватися як на емпіричному, так і на теоретичному рівнях. положеннях, а другий - відтворення, імітацію стану системи на основі аналізу її поведінки (імітаційне моделювання) [5]. Поняття моделювання по А. А. Ляпунову [6] визначається як опосередковане практичне або теоретичне дослідження об'єкта, при якому безпосередньо вивчається не сам об'єкт, що цікавить нас, а деяка допоміжна штучна або природна система (модель): · що знаходиться в деякій об'єктивній відповідності з пізнаваним об'єктом; здатна заміщати його у певних відносинах; інформацію про об'єкт, що найбільш моделюється.Моделювання не є розширенням теорії чи експерименту – його слід розглядати як окрему позицію між теорією та експериментом. Більше того, моделювання є новим видом здобуття наукових знань з деякими загальними рисами, запозиченими з теорії та експерименту.
1.6. Класифікація моделювання
Велика кількість типів моделювання та їхня постійна зміна не дозволяють створити логічно закінчену класифікацію. В даний час моделювання можна умовно поділити на матеріальне, або фізичне моделювання, та ідеальне моделювання (див. рис. 3). Матеріальним (фізичним) моделюванням прийнято називати моделювання, у якому реальному об'єкту протиставляється збільшена чи зменшена копія, вивчені властивості якої переносяться об'єкт з допомогою теорії подоби. p align="justify"> При матеріальному моделюванні дослідження об'єкта відбувається при його відтворенні в іншому масштабі. Тут можливе кількісне перенесення результатів експерименту з моделі на оригінал. Однак для аналізу складних об'єктів та процесів, якими є більшість електронних схем, конструкцій та технологічних процесів виробництва радіоелектронної техніки, приладобудування, машинобудування та інших промислових галузей, застосування матеріального моделювання важко, оскільки доводиться використовувати велику кількість критеріїв та обмежень, які можуть бути несумісні, а найчастіше і нездійсненні. Прикладами матеріального моделювання є макети в архітектурі та макети моделей та експериментальних зразків при створенні різних транспортних та літальних засобів (аеродинамічна труба).
Мал. 3. Види моделювання
Ідеальним моделюванням називається моделювання, у якому реальному об'єкту протиставляється опис їх у вигляді мови, графіки, таблиць, математичних выражений. Головна відмінність ідеального моделювання від матеріального в тому, що воно засноване не на матеріалізованій аналогії об'єкта та моделі, а на аналогії ідеальної, мислимої та завжди носить теоретичний характер. Натурне та аналогове моделювання є складовими матеріального моделювання (рис. 4).
Мал. 4. Види матеріального моделювання
Натурне моделювання - моделювання, при якому реальному об'єкту ставиться у відповідність його збільшений або зменшений матеріальний аналог, що допускає дослідження за допомогою наступного перенесення властивостей процесів, що вивчаються, і явищ з моделі на об'єкт на основі теорії подоби. Як приклад натурного моделювання можна навести випробування нового автомобіля чи літака в аеродинамічній трубі. Аналогове моделювання — моделювання, засноване на аналогії процесів і явищ, що мають різну фізичну природу, але формально, що однаково описуються.
1.7. Класифікація моделей
Ідеальне моделювання можна поділити на такі типи: інтуїтивне, знакове та наукове (рис. 5).
Мал. 5. Види ідеального моделювання
Інтуїтивне моделювання — моделювання, засноване на інтуїтивному уявленні про об'єкт дослідження, що не піддається формалізації або не потребує її. Наукове моделювання — завжди логічно обґрунтоване моделювання, що використовує мінімальну кількість припущень, прийнятих як гіпотези на підставі спостережень за об'єктом моделювання.Наприклад, інтуїтивної моделі можна віднести життєвий досвід людини з лікування захворювань за допомогою методів народної медицини. Знакове моделювання — моделювання, що використовує як моделі знакові зображення будь-якого виду: схеми, графіки тощо. буд. Прикладом знакового моделювання є ноти музичних творів, хімічні формули тощо. буд.
1.7. Класифікація моделей
Можна навести таку класифікацію моделей (див. рис. 6) [2]. При аналізі поведінки об'єкта-оригіналу формується уявний його образ або ідеальна модель, яка називається когнітивною.
Мал. 6. Взаємовплив рівнів моделювання
Подання когнітивної моделі природною мовою називають змістовною моделлю. Залежно від цілей моделі класифікуються на описові, пояснювальні та прогностичні [2]. Описовою моделлю можна назвати будь-який опис об'єкта. Пояснювальна модель має забезпечити пояснення причин знаходження системи у поточному стані. Прогностична модель має забезпечувати розуміння поведінки об'єкта у майбутньому. Концептуальною моделлю прийнято називати змістовну модель, при формулюванні якої використовуються поняття та уявлення предметних галузей знання, що займаються вивченням об'єкта моделювання. Виділяють три види концептуальних моделей: логіко-семантичні, структурно-функціональні та причинно-наслідкові. Логіко-семантична модель - Модель з описом об'єкта в термінах та визначеннях відповідних предметних областей. Структурно-функціональна модель - Модель розгляду об'єкта як єдиного цілого, з подальшим вивченням його окремих елементів або підсистем.
1.7. Класифікація моделей
Причинно-наслідкова модель - Модель, що застосовується для пояснення та прогнозування поведінки об'єкта. Формальна модель є представленням концептуальної моделі за допомогою однієї чи кількох формальних мов. Інформаційна модель - Модель, що містить автоматизовані довідники, реалізовані за допомогою систем управління базами даних. Формальна класифікація моделей ґрунтується на класифікації використовуваних математичних засобів [7]. Часто будується у формі дихотомій (розподіл на дві частини). Наприклад, один із популярних наборів дихотомій: · Лінійні або нелінійні моделі; · Зосереджені або розподілені системи; · Детерміновані або стохастичні; · Статичні або динамічні; · дискретні чи безперервні тощо. буд. Кожна побудована модель є лінійної чи нелінійної, детермінованої чи стохастичної. Природно, що можливі й змішані типи: в одному відношенні зосереджені (у частині параметрів), в іншому — розподілені моделі тощо. Класифікація за способом представлення об'єкта. Поряд із формальною класифікацією, моделі різняться за способом представлення об'єкта: · Структурні; · функціональні. Структурні моделі представляють об'єкт як систему зі своїм пристроєм та механізмом функціонування. Функціональні моделі не використовують таких уявлень і відображають лише зовні сприймається поведінка (функціонування) об'єкта. У їхньому граничному вираженні вони називаються також моделями «чорної скриньки». Можливі також комбіновані типи моделей, які іноді називають моделями сірого ящика.
Моделі, що заміщають технологічний об'єкт, залежно від типу образу поділяють на три види: абстрактні, аналогові та фізичні. Анотація моделі ґрунтуються на можливості опису технічного об'єкта (системи) мовою символів, прийнятою в тій чи іншій галузі науки шляхом відволікання від неіснуючих ознак. Абстрактні моделі можуть бути математичними та нематематичними. Процес дослідження технічного об'єкта за допомогою абстрактної моделі включає три етапи: · Побудова описової моделі процесу, яка повинна відповідати на питання «що відбувається», «чому так відбувається», «за яких умов це можливо», «що може статися при зміні даних параметрів та зовнішніх умов»; · Запис інформативної моделі за допомогою певної системи символів; · Дослідження функціонування створеної абстрактної моделі різними методами аналізу, більшість з яких спирається на математичний аналіз. Аналогові моделі засновані на подобі явищ, що мають різну фізичну природу, але описуються однаковими математичними рівняннями. Подібність математичного опису цих процесів дозволяє експериментально та теоретично підтверджувати результати, отримані в одній галузі, відповідними результатами з іншої. Прикладами аналогових моделей можуть бути електричні і механічні коливання. Фізичні моделі мають таку ж фізичну природу, як і досліджуваний об'єкт, і застосовують у тих випадках, коли важко провести випробування реальних об'єктів у реальних умовах. У хімічній технології застосовують фізичні моделі - зменшені копії реальних апаратів та технологічних процесів (розрізняють лабораторні установки і так називають
Контрольні питання та завдання
ні пілотні). При використанні результатів необхідно враховувати ефект масштабування.
Контрольні питання та завдання
- Що таке модель та моделювання?
- Назвіть цілі моделювання.
- Які види моделювання?
- Перелічіть властивості моделей.
- Які форми представлення моделей вам відомі?
- Назвіть відмінність ідеального моделювання від матеріального.
- Що таке когнітивна модель?
- Які моделі називають змістовними?
- Назвіть різновиди змістовних моделей.
- Чим концептуальна модель відрізняється від змістовної?
- Які види концептуальних моделей ви знаєте?
- За якими класифікаційними ознаками можна підрозділяти моделі?
- Які моделі, залежно від способу представлення об'єкта, ви знаєте?
2. Математичні моделі та їх класифікації
2.1. Математична модель
Поняття «математичне моделювання» в останні кілька десятиліть є досить поширеним у науковій літературі, зокрема, у природничо-технічній. В даний час практично на будь-якому проектному чи конструкторському підприємстві застосовуються математичні моделі. В останні роки широкого поширення набуло застосування математичного моделювання в наукових дослідженнях, особливо в таких галузях, як економіка, управління, історія, біологія та ін. Математичною моделлю називається сукупність рівнянь або інших математичних співвідношень, що відображають основні властивості об'єкта, що вивчається, або явища в рамках прийнятої умоглядної фізичної моделі та особливості його взаємодії з навколишнім середовищем на просторово-часових межах області його локалізації. Математичні моделі різних процесів у континуальних системах будуються, зазвичай, мовою диференціальних рівнянь, дозволяють точно описати стан процесу у будь-якій точці простору у довільний час. Основними властивостями математичних моделей є адекватність і простота, що вказують на ступінь відповідності моделі об'єкту, що вивчається, і можливості її реалізації. Процес формулювання математичної моделі називається постановкою завдання [8]. Під математичним моделюванням можна розуміти процес побудови та вивчення математичних моделей. Розгорнуте визначення дано у роботі [2]: математичне моделювання — це ідеальне наукове знакове формальне моделювання, у якому опис об'єкта складає мовою математики, а дослідження моделі з використанням тих чи інших математичних методів.
Математична модель описує залежність між вихідними даними та шуканими величинами [4]. Елементами узагальненої математичної моделі є (див. рис. 7): · безліч вхідних даних (змінні) X , Y ; X - Сукупність змінних, що варіюються; Y - незалежні змінні (константи); · Математичний оператор L , Який визначає операції над цими даними, під яким розуміється повна система математичних операцій, що описують чисельні чи логічні співвідношення між множинами вхідних та вихідних даних (змінні); · безліч вихідних даних (змінних) G ( X , Y ); є сукупність критеріальних функцій, що включає (при необхідності) цільову функцію.
Математична модель є математичним аналогом проектованого об'єкта. Ступінь адекватності її об'єкту визначається постановкою та коректністю розв'язків задачі проектування. Безліч змінних параметрів, що варіюються. X утворює простір параметрів, що варіюються Rx (простір пошуку), який є метричним з розмірністю n , що дорівнює числу параметрів, що варіюються. Безліч незалежних змінних Y утворюють метричний простір вхідних даних Ry. У тому випадку, коли кожен компонент простору Ry задається діапазоном можливих значень, безліч незалежних змінних відображається деяким обмеженим простором простору Ry. Безліч незалежних змінних Y визначає середовище функціонування об'єкта. е. зовнішні умови, у яких працюватиме проектований об'єкт. Це можуть бути: · технічні параметри об'єкта, які не підлягають зміні у процесі проектування; · фізичні обурення середовища, з яким взаємодіє об'єкт проектування; · Тактичні параметри, які має досягати об'єкт проектування.
2.3. Нелінійність математичних моделей
Вихідні дані узагальненої моделі утворюють метричний простір критеріальних показників RG.
2.3. Нелінійність математичних моделей
Простота моделей багато в чому пов'язана з їхньою лінійністю. З погляду математики це відповідає принципу суперпозиції ,_ При якому будь-яка лінійна комбінація рішень у свою чергу теж є рішення шуканої задачі. Користуючись принципом суперпозиції, можна, знайшовши рішення у будь-якому окремому випадку, побудувати рішення у більш спільній ситуації. У цьому про закономірності загального випадку робиться висновок з урахуванням властивостей частки. Для лінійних моделей відгук об'єкта зміну якихось умов пропорційний величині цієї зміни. У разі відсутності виконання принципу суперпозиції для математичних моделей знання щодо поведінки частини об'єкта нелінійного явища не дає інформації про поведінку всього об'єкта в цілому. Більшість реальних процесів та відповідних їм математичних моделей не лінійні. Лінійні моделі є наближенням реального об'єкта і вирішують лише окремі випадки. Так, нелінійними стають моделі популяцій з урахуванням обмеження доступних ресурсів [1].
2.4. Ступінь відповідності математичної моделі об'єкту
Математична модель ніколи не буває тотожна об'єкту, що розглядається, і не передає всіх його властивостей і особливостей. Вона є лише наближеним описом об'єкта і має завжди наближений характер. Точність відповідності визначається ступенем відповідності адекватності моделі та об'єкта. При побудові математичної моделі доводиться висувати додаткові гіпотези. Модель тому ще називають гіпотетичною. Основним критерієм застосування моделі є експеримент. Критерій практики дозволяє порівнювати гіпотетичні моделі та вибирати з них найбільш підходящу.Кожен об'єкт описується обмеженою кількістю моделей або їх систем. Процес моделювання значно легше реалізується під час використання уніфікації математичних моделей, тобто. е. використання наборів готових моделей. Існує можливість перенесення готових моделей з одних на інші, ідентичні, аналогічні. Аналогічними називають об'єкти та процеси, що описуються однаковими за формою рівняннями, що містять різні фізичні величини та параметри, пов'язані між собою однаковими операторами. Величини, які в аналогічних рівняннях стоять на однакових місцях, називають аналогами. Математична модель описує реальний об'єкт із якимось наближенням. Ступінь відповідності опису реального процесу визначається повнотою обліку впливів, що обурюють. За відсутності чи незначності збурень, що діють як усередині, так і поза об'єктом, можна однозначно визначити вплив вхідних та керуючих параметрів на вихідні.
2.5. Класифікація математичних моделей
В даний час існує безліч моделей різного типу, які отримали розвиток в результаті застосування методів математичного моделювання в різних областях. У зв'язку з цим виникає необхідність у певній класифікації існуючих і математичних моделей, що з'являються [2–3, 9].Існують такі види класифікацій математичних моделей залежно від: · Складності об'єкта моделювання; · Оператора моделі; · Вхідних та вихідних параметрів; · Цілі моделювання; · Способу дослідження моделі; · Об'єктів дослідження; · Приналежності моделі до ієрархічного рівня опису об'єкта; · Характеру властивостей, що відображаються; · Порядку розрахунку; · Використання управління процесом. За складністю об'єкта дослідження моделі поділяються на прості та досліджувальні об'єкти-системи (рис. 8). У простих моделях внутрішню будову об'єкта не розглядається і складові його елементи та підпроцеси не враховуються. Объект-система є сукупністю взаємозалежних елементів, які взаємодіють із довкіллям як із єдиним цілим.
Об'єкт мо делювання
Мал. 8. Класифікація математичних моделей за складністю об'єкта
Залежно від оператора моделі вони поділяються на лінійні, нелінійні, алгоритмічні, прості та складні (див. рис. 9). За наявності лінійної залежності вихідних параметрів
від вхідних математична модель називаються лінійною, відповідно у разі нелінійної залежності модель – нелінійна. При забезпеченні оператором моделі функціональної залежності вихідних параметрів від вхідних у вигляді виразу алгебри модель є простою. Модель, що включає системи диференціальних та інтегральних співвідношень, називається складною. У разі побудови імітатора моделі поведінки об'єкта за допомогою алгоритму його називають оператором моделі. При цьому сама модель є алгоритмічною.
Мал. 9. Класифікація математичних моделей залежно від оператора моделі
Класифікація математичних моделей залежно від вхідних та вихідних параметрів представлена на рис. 10. За характером моделюваного процесу моделі поділяються на: · Детерміновані, які відповідають детермінованим процесам, що мають строго однозначний зв'язок між фізичними величинами, що характеризують стан системи у будь-який момент часу; детермінована модель дозволяє однозначно обчислити та передбачити значення вихідних величин за значеннями вхідних параметрів та керуючих впливів; · Невизначені, які виходять з того, що зміна визначальних величин відбувається випадковим чином
2.5. Класифікація математичних моделей
і значення вихідних величин знаходяться у імовірнісній відповідності до вхідних величин і не визначаються однозначно.
Мал. 10. Класифікація математичних моделей залежно від вхідних та вихідних параметрів
Моделі з невизначеними параметрами можна поділити на такі групи [2]: Стохастичні - значення всіх або окремих параметрів моделі визначаються випадковими величинами, заданими щільністю ймовірності. · Випадкові - значення всіх або окремих параметрів моделі визначаються випадковими величинами, які залежать від оцінки щільності ймовірності, що визначається в результаті обробки обмеженої експериментальної вибірки даних параметрів. · Інтервальні — значення всіх або окремих параметрів моделі описуються інтервальними величинами, заданими
ним інтервалом, утвореним мінімальними та максимально можливими значеннями параметра. · Нечіткі - значення всіх або окремих параметрів моделі описуються функціями приналежності відповідному нечіткому множині.Моделі по відношенню до розмірності простору класифікуються на одновимірні, двовимірні та тривимірні. Такий поділ застосовується для моделей, що мають як параметри координати простору. По відношенню до часу моделі ділять на динамічні та статичні. Деякі характеристики моделей є незмінними, тобто не змінюють своїх значень протягом часу, а деякі змінюються за певними законами. Якщо стан системи змінюється з часом, то моделі називають динамічними, інакше статичними. Статичне моделювання служить для опису стану об'єкта у фіксований час, а динамічний — на дослідження об'єкта у часі. Розподіл моделей на якісні та кількісні, дискретні та безперервні, а також на змішані відбувається залежно від виду використовуваних безлічі параметрів моделі. З метою моделювання моделі діляться на дескриптивні, оптимізаційні та управлінські (див. рис. 11). Серед цілей дескриптивних моделей можна назвати встановлення законів зміни параметрів моделі. Прикладом цієї моделі є модель руху ракети після запуску. За допомогою оптимізаційних моделей можна розраховувати оптимальні критерії параметрів моделювання. З іншого боку, ці моделі можуть застосовуватися для пошуку оптимального режиму управління процесом. До оптимізаційних моделей можна віднести модель ракети попередньої моделі з метою підйому на необхідну висоту за обмежений час.
2.5. Класифікація математичних моделей
Мал. 11. Класифікація математичних моделей залежно від цілей моделювання
З метою прийняття ефективних управлінських рішень у сферах життєдіяльності людини застосовуються управлінські моделі. Залежно від методу реалізації моделі ділять на аналітичні, якщо можна отримати вихідні параметри як аналітичних висловів, і алгоритмічні, дозволяють отримати лише наближені значення шуканих параметрів (рис. 12).
Мал. 12. Класифікація математичних моделей залежно від методу реалізації моделі
За об'єктами дослідження математичні моделі класифікують на: · Об'єкти з високим ступенем інформації, якщо в процесі моделювання відомі повні системи рівнянь, що описують всі сторони процесу, що моделюється, і всі числові значення параметрів цих рівнянь;
· Об'єкти з нульовим рівнем інформації; математична модель такого об'єкта будується з урахуванням статистичних експериментальних даних; · Об'єкти з відомими основними закономірностями; значення констант у математичних рівняннях опису моделі встановлюють з досвіду; · Об'єкти, про поведінку яких є відомості емпіричного характеру; їм використовують методи фізичного моделювання із застосуванням математичного планування експерименту. За приналежністю моделі до ієрархічного рівня опису об'єкта. Ієрархічний рівень включає: мікрорівень (типовими процесами є масообмінні, теплофізичні, гідродинамічні), моделювання здійснюється з метою синтезу технологічного процесу для окремого або декількох агрегатів; · макрорівень - моделювання процесів, що мають більш високий рівень агрегації; моделі застосовують для синтезу поточного управління технологічним процесом одного агрегату чи технологічного комплексу загалом; · Метарівень - моделювання процесів у сукупності агрегатів і що зв'язують їх матеріально-енергетичних потоків; такі моделі служать для синтезу технологічного комплексу як єдиного цілого, тобто синтезу управління розвитком. За характером властивостей моделі поділяють на : · функціональні моделі, що використовуються для опису фізичних та інформаційних процесів, що протікають при функціонуванні об'єкта; · Структурні, що описують склад і взаємозв'язки елементів системи (процесу, об'єкта). Класифікація математичних моделей за порядком розрахунку. Поділяють на прямі, зворотні, індуктивні:
2.5. Класифікація математичних моделей
· Прямі застосовуються для визначення кінетичних, статичних та динамічних закономірностей процесів; · Зворотні (інверсійні) використовуються для визначення, наприклад, допустимих відхилень режимів обробки; · індуктивні застосовуються для уточнення математичних рівнянь кінетики, статики чи динаміки процесів з використанням нових гіпотез чи теорій. Специфічні особливості всіх видів моделей відбиваються, насамперед, у завданні та формі початкових та граничних умов.У прямих моделях кінетичні закономірності характеризують перебіг процесу у часі та встановлюють зміну у часі його параметрів: концентрацій, температур, хімічного складу при відомих потоках та параметрах робочих тіл. Статичні закономірності визначають кінцеві критичні та рівноважні значення параметрів процесу та робочого компонента. Рівняння статики отримують переважно при обробці експериментальних даних. Динамічні закономірності визначають властивості об'єктів розробки систем автоматичного регулювання. Динамічні властивості задаються характером вихідної реакції об'єкта стандартні обурення на вході. Під стандартними збуреннями у хімічній технології мають на увазі, наприклад, зміну концентрації, тиску, температури та ін. Рішення застосовуваної моделі системи диференціальних рівнянь представляється у вигляді відношення зображення вихідного сигналу до зображення вхідного сигналу, яке називається передатною функцією. Зворотні (інверсні) моделі застосовують для визначення значення вхідних параметрів або інших заданих властивостей оброблюваних речовин або продуктів, а також для визначення допустимих відхилень режимів обробки, що не суттєво впливають на якість продукту або показники
цеса. При визначенні вхідних параметрів виходять із тривалості процесу, заданих величин кінцевих параметрів чи оптимальних властивостей вихідних продуктів (хімічного складу, фізичних властивостей та ін.). Зворотні моделі застосовують для моделювання кінетичних, статичних та динамічних зворотних завдань. Як правило, оберненими завданнями є завдання оптимізації процесів та параметрів апаратів.Індуктивні моделі необхідні для встановлення або уточнення математичних рівнянь кінетики, статики та динаміки процесів і найчастіше реалізуються експериментально або аналітично з використанням нових гіпотез, форм опису або теорій з подальшою перевіркою адекватності математичного опису. Адекватність математичного опису в регресійних моделях оцінюється зіставленням результатів статистичної обробки пробних дослідів, проведених при тих самих параметрах процесу, з розрахунковими значеннями величин, обчислених з урахуванням математичної моделі.
Класифікація математичних моделей залежно від використання управління процесом Математичні моделі поділяються на:
- Моделі прогнозу або розрахункові моделі без управління. Основне призначення цих моделей - дати прогноз про поведінку системи у часі та у просторі, знаючи початковий стан та інформацію про поведінку її на кордоні. Прикладами можуть бути моделі розподілу тепла, електричного поля, хімічної кінетики, гідродинаміки.
- Оптимізаційні моделі: · Стаціонарні моделі використовуються лише на рівні проектування різних технологічних систем; · Динамічні - як на рівні проектування, так і, головним чином, для оптимального управління різними процесами - технологічними, економічними та ін.
2.5. Класифікація математичних моделей
У задачах оптимізації є два напрями. До першого належать детерміновані завдання. Вся вхідна інформація в них є повністю обумовленою. Другий напрямок відноситься до стохастичних процесів. У цих завданнях деякі параметри мають випадковий характер або містять елемент невизначеності.Методи відшукання екстремуму функції багатьох змінних із різними обмеженнями часто називаються методами математичного програмування.
Змістовна класифікація моделей У роботі [10] дана класифікація математичних моделей, що використовуються у фізиці та в природничих науках. У книзі [11] ця класифікація проаналізована та розширена. Вона сфокусована на етапі побудови змістовної моделі.
- Гіпотеза. Ці моделі «є пробним описом явища, причому автор або вірить у його можливість, або вважає навіть його істинним». Приклад: модель Сонячної системи Птолемею і модель Коперника (удосконалена Кеплером), модель атома Резерфорда і модель Великого Вибуху. Якщо модель першого типу побудована, це означає, що вона тимчасово визнається за істину і можна сконцентруватися інших проблемах. Однак це не може бути точкою у дослідженнях, але лише тимчасовою паузою: статус моделі першого типу може бути лише тимчасовим.
- Феноменологічна модель. Ця модель містить механізм опису явища. Однак цей механізм недостатньо переконливий і не може бути підтверджений наявними даними або погано узгоджується з наявними теоріями та накопиченим знанням про об'єкт. Тому феноменологічні моделі мають статус тимчасових рішень. Вважається, що відповідь все ще невідома, і необхідно продовжити пошук «справжніх механізмів». Приклад: моделі теплороду та кваркова модель елементарних частинок. Роль моделі у дослідженні
- Математичні моделі та їх класифікації
може змінюватися з часом, може статися так, що нові дані та теорії підтвердять феноменологічні моделі і ті будуть підвищені до статусу гіпотези.Аналогічно, нове знання може поступово суперечити моделям-гіпотезам першого типу і ті можуть бути переведені в другий. Так, кваркова модель поступово перетворюється на розряд гіпотез; атомізм у фізиці виник як тимчасове рішення, але з перебігом історії перейшов у перший тип. А ось моделі ефіру і зараз перебувають поза наукою.
- Наближення. Якщо можна побудувати рівняння, що описують досліджувану систему, це не означає, що їх можна вирішити навіть за допомогою комп'ютера. Загальноприйнятий прийом у разі — використання наближень. Рівняння замінюються лінійними. Стандартний приклад – закон Ома.
- Спрощення. У цій моделі відкидаються деталі, які можуть помітно не завжди контрольовано вплинути на результат. Приклади: застосування моделі ідеального газу до неідеального, рівняння стану Ван-дер-Ваальса, більшість моделей фізики твердого тіла, рідин та ядерної фізики. Шлях від мікроопису до властивостей тіл (або середовищ), що складаються з великої кількості частинок, дуже довгий. Доводиться відкидати багато деталей.
- Евристична модель. Евристична модель зберігає лише якісну подобу реальності та дає передбачення лише «по порядку величини». Типовий приклад - наближення середньої довжини вільного пробігу у кінетичній теорії. Воно дає прості формули коефіцієнтів в'язкості, дифузії, теплопровідності, що узгоджуються з реальністю по порядку величини. Але при побудові нової фізики далеко не відразу виходить модель, яка дає хоча б якісний опис об'єкта. У цьому випадку часто використовують модель за аналогією, що відображає дійсність хоч якоюсь межею.
- Аналогія.Ця модель вперше виникла, коли взаємодія в системі нейтрон-протон намагалися пояснити
Контрольні питання та завдання
за допомогою взаємодії атома водню з протоном. Ця аналогія і привела до висновку, що повинні існувати обмінні сили взаємодії між нейтроном і протоном, які аналогічні обмінним силам у системі H - H +, обумовленим переходом електрона між двома протонами.
- Думковий експеримент. Сюди можна віднести міркування, які зрештою призводять до суперечності.
- Демонстрація можливостей. Це теж уявні експерименти з уявними сутностями, які демонструють, що передбачуване явище узгоджується з базовими принципами та внутрішньо несуперечливим. Один із найзнаменитіших таких експериментів — геометрія Лобачевського (Лобачевський називав її «уявною геометрією»).
Контрольні питання та завдання
- Що таке математична модель та математичне моделювання?
- Назвіть елементи узагальненої математичної моделі.
- Перелічіть ознаки, якими класифікуються математичні моделі.
- У чому різниця простих моделей від складних?
- Перелічіть типи моделей залежно від оператора моделювання.
- Як класифікуються моделі в залежності від вхідних та вихідних параметрів?
- Чим відрізняються дескриптивні та управлінські моделі?
- Для яких цілей застосовуються прямі та зворотні моделі?
- У чому відмінність моделей прогнозу оптимізаційних моделей?
- Опишіть типи змістовної класифікації моделей.
3. Побудова математичної моделі та обчислювальний експеримент
3.1. Етапи побудови математичної моделі
Побудова математичних моделей є досить важким процесом, що включає великі витрати матеріальних та тимчасових ресурсів, а також передбачає необхідність у фахівцях високого рівня з компетенціями як у предметній галузі, так і в таких галузях, як прикладна математика, чисельні методи, програмування, сучасні обчислювальні системи. Серед етапів процесу побудови моделей можна виділити такі (див. рис. 13) [1–2]:
- Обстеження об'єкта моделювання та формулювання технічного завдання на розробку моделі. Конструювання моделі починається зі словесно-смислового опису об'єкта чи явища. Ця стадія містить відомості загального характеру про природу об'єкта, інформацію про цілі його дослідження та деякі припущення. Даний етап можна назвати формулюванням передмоделі. Мета етапу - розробка змістовної постановки задачі моделювання, тобто. е. створення сукупності питань про об'єкт моделювання, записаних у словесній формі.
- Концептуальна та математична постановка задачі. На цьому етапі відбувається завершення ідеалізації об'єкта, відкидаються несуттєві фактори та ефекти. Мета концептуальної постановки завдання полягає у формулюванні основних питань та наборі гіпотез щодо властивостей та поведінки об'єкта моделювання у термінології спеціальних дисциплін. Через війну припущення описуються математично для кількісного аналізу виконання. На етапі складання математичного опису попередньо виділяють основні явища та елементи в об'єкті та потім встановлюють зв'язки між ними. Далі кожного виділеного елемента і явища записують рівняння, що відбиває його функціонування.Крім того, математичний опис включають рівняння зв'язку між різними виділеними явищами. Залежно від процесу математичний опис може бути представлений у вигляді алгебраїчної системи, диференціальних рівнянь. Процес отримання сукупності математичних рівнянь, що однозначно описують об'єкт моделювання, називається математичною постановкою задачі моделювання.
- Якісний аналіз та перевірка коректності моделі. Для контролю правильності отриманої системи математичних співвідношень потрібно проведення низки обов'язкових перевірок: · Контроль розмірності; · Контроль порядків; · Контроль характеру залежностей; · Контроль екстремальних ситуацій; · Контроль граничних умов; · Контроль фізичного сенсу; · Контроль математичної замкнутості. Поняття «коректність моделі» дуже важливе, особливо в прикладній математиці, оскільки неможливе застосування чисельних методів до некоректно поставлених завдань. Встановити коректність математичного завдання є складним завданням. Для забезпечення коректності математичної моделі мають бути виконані усі контрольні перевірки. На цьому етап побудови математичної моделі закінчується і далі слідує «обчислювальний експеримент», проте багато авторів та наступні етапи відносять до процесу побудови математичної моделі, у зв'язку з чим обговорення поняття «обчислювальний експеримент» буде розглянуто нижче.
(^) Обстеження об'єкта моделювання та форму лювання технічного завдання на роз робку моделей (змістовна пост а новка задач і) Концептуальна і математична пост а новка задачі Якість венний ан ал із і перевірка коректності моделей і Вибори обгрунтування методів розв'язання задач і Пошук рішення Розробка алгоритму розв'язування та дослідження його властивостей, реалізації алгоритму у вигляді програми для ЕОМ Аналітичні Інші методи Перевірка мо справ і Практичне використання пост роєн ної моделі та 1 2 3 4 5 а 5 б 6 7 Мал. 13. Етапи побудови математичної моделі
_4. Вибір та обґрунтування вибору методів вирішення задачі._d Створена модель досліджується будь-якими можливими методами, у тому числі із взаємною перевіркою. Оскільки всі моделі вирішуються теоретично, останнім часом широко використовуються обчислювальні методи. Ця обставина важлива при аналізі нелінійних об'єктів, оскільки
3.1. Етапи побудови математичної моделі
дення таких об'єктів невідоме. Залежно від методу вирішення завдання всі методи поділяються на: · Аналітичні. Дані методи є придатними для аналізу результатів, проте вони застосовні лише щодо простих моделей. За наявності аналітичного рішення задачі чисельне рішення практично не застосовується; · Алгоритмічні. Для алгоритмічних методів реалізується обчислювальний експеримент із комп'ютера. Етап вибору методу рішення та розробки моделюючої програми передбачає вибір найбільш ефективного (за швидкістю отримання рішення та його найбільшої точності) методу рішення з наявних методів, реалізацію його у формі алгоритму рішення.
- Пошук рішення чи реалізація алгоритму як програм для ЕОМ. Цей етап буде розглянуто при описі обчислювального експерименту.
- Перевірка адекватності моделі. На даному етапі визначається відповідність об'єкту та сформульованим припущенням. При цьому виконується дослідження моделі на досягнення поставленої мети будь-якими способами, наприклад, порівняння з експериментом або зіставлення з іншими підходами. Модель необхідно відкинути або модифікувати у разі отримання з її допомогою результату, що істотно відрізняється від справжнього. Етап встановлення ступеня відповідності моделі об'єкту є заключним. Для перевірки адекватності математичної моделі реальному процесу слід порівняти результати вимірів на об'єкті в ході процесу з результатами передбачення моделі в ідентичних умовах.
- Практичне використання моделі. Незалежно від сфери застосування створеної моделі необхідно провести якісний та кількісний аналіз результатів моделювання, який дозволяє:
- Побудова математичної моделі та обчислювальний експеримент
· Виконати модифікацію аналізованого об'єкта, знайти його оптимальні характеристики; · Позначити область застосування моделі; · Перевірити обґрунтованість гіпотез, прийнятих на етапі математичної постановки, оцінити можливість спрощення моделі з метою підвищення її ефективності за збереження необхідної точності; · Показати, в якому напрямку слід розвивати модель надалі.
3.2. Підходи до побудови математичних моделей
При побудові моделей використовують два принципи: · Дедуктивний (від загального до приватного); · Індуктивний (від частки до загального).При першому підході розглядається окремий випадок загальновідомої фундаментальної моделі. Тут при заданих припущеннях відома модель пристосовується до умов об'єкта, що моделюється. Наприклад, можна побудувати модель вільно падаючого тіла на основі відомого закону Ньютона і як допустиме наближення прийняти модель рівноприскореного руху для малого проміжку часу. Другий спосіб передбачає висування гіпотез, декомпозицію складного об'єкта, аналіз, потім синтез. Тут широко використовується подібність, аналогічне моделювання, висновок з метою формування будь-яких закономірностей у вигляді припущень про поведінку системи. Наприклад, у такий спосіб відбувається моделювання будови атома. Згадаймо моделі Томсона, Резерфорда, Бора. Серед підходів до розробки математичних моделей відносять [12]:
3.2. Підходи до побудови математичних моделей
1. Фундаментальні закони природи. Даний принцип є найпоширенішим і полягає у використанні фундаментальних законів природи стосовно конкретної ситуації. Як правило, закони визнані, доведені досвідом та є базою науково-технічних досягнень. У цьому немає потреби у їх додаткової обгрунтованості. Через війну найголовніше питання виникає під час виборів конкретного закону на вирішення певного завдання. 2. Варіаційні принципи. Даний підхід за широтою та універсальністю можна порівняти з першим підходом і полягає у застосуванні варіаційних принципів. , які є твердженнями про об'єкт, що досліджується. У цьому вибір варіантів поведінки складає підставі певних умов.Отримані варіаційні принципи класу явищ дозволяють однаково створювати відповідні математичні моделі Даний підхід дозволяє не враховувати конкретну природу процесу. 3. Застосування аналогій під час побудови моделей. Метод аналогій застосовується, коли неможливо вибрати фундаментальні закони або варіаційні принципи. ), з якої можна пояснити явище радіоактивного розпаду. 4. Ієрархічний підхід до одержання моделей. Побудова математичних моделей з урахуванням всіх значимих факторів не завжди буває зручною і виправданою. рівня можуть бути досить простими, типовими, що допускають широку уні.
фікацію та використання набору готових моделей. При ієрархічній побудові загальної моделі складна система оптимізації всієї системи розпадається на ряд приватних задач оптимізації на різних рівнях. ряду завдань меншої розмірності. При цьому слід враховувати взаємний вплив елементів та рівнів.
5. Блоковий принцип. При побудові математичних моделей широко використовують блоковий принцип.Модель будується з окремих логічно закінчених блоків, що відображають ту чи іншу сторону процесу, що розглядається. і замінювати їх на нові. Загальний математичний опис моделі є сукупністю математичних описів окремих. Блоків. Застосування блочного принципу побудови математичних моделей дозволяє в багатьох випадках вирішити проблему масштабування процесів. Принципово кожен блок математичної моделі може мати різну ступінь деталізації математичного опису. системи рівнянь математичної моделі процесу загалом. блоку повинно включати рівняння, параметрами яких є тільки фізико-хімічні властивості речовин.
3.3.
3.3.
Зазвичай моделювання використовується для обчислення таких величин, які не можна отримати з обмежених можливостей теоретичних моделей Якщо теорія дає бажані кількісні висновки, то моделювання навряд чи необхідно.Але моделювання часто застосовується і для розширення теоретичних моделей з метою отримання нових емпіричних знань, а також для розширення емпіричних понять у тих сферах, де вони поки не можуть бути отримані. І тут велика роль належить обчислювальному експерименту. За рахунок розв'язання різних хімічних, фізичних, біологічних та інших завдань теоретичний аналіз перетворився на нову методологію проведення досліджень, яка називається обчислювальним експериментом. У табл. 1 показано порівняння лабораторного та обчислювального експерименту [5]. Таблиця 1
Аналогії між обчислювальним та лабораторним експериментом Лабораторний експеримент Обчислювальний експеримент Зразок Модель Фізичний прилад Програма для комп'ютера Калібрування Тестування програми Вимір Розрахунок Аналіз даних Аналіз даних
Жодне технічне досягнення не вплинуло на інтелектуальну діяльність людини, як електронно-обчислювальні машини. Поява комп'ютерів призвело до неймовірних змін у продуктивності інтелектуальної праці за рахунок зростання швидкості виконання арифметичних та логічних операцій за допомогою ЕОМ. На початку XXI століття з'явилася реальна можливість використовувати їх у наукових дослідженнях.
проходження не тільки як великих арифмометрів, але і звернутися за їх допомогою до вивчення таких розділів математики, які раніше були практично не доступні для досліджень. Це було зрозуміло ще при вирішенні на недосконалих ЕОМ складних математичних завдань ядерної фізики, балістики, прикладної небесної механіки.Основа обчислювального експерименту - це математичне моделювання, теоретична база цього процесу - прикладна математика, а технічне забезпечення - це потужні електронно-обчислювальні машини. 13–14]. Наукове дослідження реального процесу можна проводити теоретично чи експериментально незалежно. друг від друга. Такий шлях пізнання істини носить односторонній характер. Обчислювальний експеримент - Це експеримент над математичною моделлю об'єкта на ЕОМ, який полягає в тому, щоб за одними параметрами моделі обчислити інші її параметри і на цій основі зробити висновки про властивості явища, що описується математичною моделлю Обчислювальний експеримент є циклічним процесом, що складається з наступних етапів ( рис.14):
2
3
4
5
1 - побудова математичної моделі; 2 - розробка методу розрахунку; 4 - розрахунки на комп'ютері;
3.3.
- Побудова математичної моделі. На першому етапі проводиться вибір фізичної моделі, для якої визначаються обов'язкові для розгляду і другорядні фактори, якими можна знехтувати. При цьому визначаються припущення або обмеження моделі, в рамках яких результати моделювання можна вважати коректними.Ця модель формулюється з допомогою диференціальних чи інтегродиференціальних рівнянь, т. е. з урахуванням математичних термінів.
- Створення методу розрахунку.У обчислювальному експерименті завжди використовується алгоритмічний метод рішення, що представляє послідовність алгебраїчних формул і логічних операторів При цьому для однієї математичної задачі можуть існувати різні обчислювальні алгоритми. на три типи [2]: · Непереборна похибка, пов'язана з неточним завданням вихідних даних. · Похибка методу, пов'язана з переходом до дискретного аналога вихідної задачі. в тому числі і до обчислювальних алгоритмів [2]: · Реалізація, тобто забезпечення рішення Завдання за допустимий машинний час. · Точність - Отримання рішення вихідної задачі з певною похибкою і за кінцеве число операцій.
- Побудова математичної моделі та обчислювальний експеримент
· Стійкість, т. е. у процесі обчислень має зростати похибка.Для створення найбільш точних обчислювальних алгоритмів необхідно формувати численні модифікації з урахуванням специфічних особливостей конкретної математичної задачі. лінійних та нелінійних рівнянь; · розв'язання систем лінійних рівнянь; нелінійних рівнянь; · Розв'язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь; · Розв'язання крайових диференціальних рівнянь; Для реалізації моделі можливе застосування різних альтернативних алгоритмічних методів. у зв'язку з цим вибір методу рішення здійснюється в залежності від забезпечення найкращої ефективності, стійкості та точності результатів.
- Розробка програми на основі алгоритму для реалізації на комп'ютері Створення надійного та функціонального програмного забезпечення (ПЗ), може бути, навіть більш складним у порівнянні з попередніми етапами Реалізація на цьому етапі залежить від знання сучасних алгоритмічних мов, технологій та мов обчислювальних систем. . Сучасне програмування є самостійною наукою зі своїми фундаментальними принципами, підходами та методами. містить мови програмування, транслятори, компілятори та бібліотеки стандартних модулів.Процес розробки програм можна поділити на такі етапи [16]: · Створення технічного завдання; · Розробка структури програми; · Математичний опис; · алгоритмізація; · Кодування програмною мовою; · Тестування та налагодження; · Супровід та експлуатація. Процес від розробки математичних моделей до створення програм у середньому триває 3–5 років. Для створення кінцевого програмного комплексу необхідно продумати стратегію розвитку, забезпечити його модульність, а також узгодженість вхідних і вихідних параметрів. Серед сучасних технологій програмування виділяють такі: · Структурне програмування; · Абстрактне програмування; · Об'єктно-орієнтоване програмування; · Візуальне програмування.
- Проведення розрахунків на комп'ютері. Тут найвиразніше проявляється схожість із натурним експериментом. Відмінність у цьому, що у лабораторії експериментатор з допомогою спеціально побудованої установки «задає питання» природі, тоді як фахівці з обчислювального експерименту з допомогою комп'ютера ставлять ці питання математичної моделі. Відповідь в обох випадках виходить у вигляді деякої цифрової інформації, яку слід розшифрувати. Слід зазначити, що достовірність моделі забезпечується точністю інформації під час обчислювального експерименту. Саме з цієї причини проводять тестові випробування. Вони необхідні для того, щоб «налагодити» програму та перевірити адекватність математичної моделі.
- Побудова математичної моделі та обчислювальний експеримент
- Обробка результатів розрахунків.На цьому етапі виконується всебічний аналіз результатів розрахунку та висновки, після яких або стає зрозумілою необхідність уточнення моделі, або результати, пройшовши перевірку на розумність і надійність, передаються замовнику для виконання Додатково можна продовжити класифікацію наступними етапами.
- Проводить натурний експеримент для отримання даних, необхідних для уточнення моделі.
- Накопичення експериментальних даних.
- Побудова математичної моделі.
- Автоматична побудова програмної реалізації математичної моделі 1 0. Автоматизоване знаходження чисельного рішення 1 1. Автоматизоване перетворення обчислювальних результатів на форму, зручну для аналізу 1 2. Прийняття рішення про продовження натурних експериментів. - Програма_._ Досвід вирішення великих завдань показує, що метод математичного моделювання і обчислювальний експеримент з'єднують у собі переваги традиційних теоретичних і експериментальних методів дослідження. · можливість дослідження кожного фактора окремо, у той час як у реальності вони діють одночасно; нереалізованих практично процесів.
3.3.
Обчислювальний експеримент за допомогою математичного моделювання знаходить все нові та нові застосування в різних галузях науки та техніки [3]: · Енергетична проблема. Завдання атомної промисловості ефективно вирішуються з допомогою математичного моделювання. Зокрема, при дослідженні фізичних процесів, що відбуваються в атомних та термоядерних реакторах, використовується обчислювальний експеримент, який при сукупності з натурним експериментом прискорює та спрощує дослідження у цій галузі. · Космічна техніка. Математичне моделювання використовується для розрахунку руху літальних засобів, завдань аеродинамічного опору, а також аналізу радіолокаційних даних, наприклад, зображень з супутників. Ключову роль цьому випадку грає проблема підвищення якості вимірювальної апаратури.
Встановлено, що вимірювальний прилад у зв'язці з ЕОМ може отримати результати, які можна порівняти з приладами найвищої якості. У результаті сукупність вимірювальних і обчислювальних засобів дозволяє виходити новий рівень вирішення завдань. · Технологічні процеси. Завдання синтезу матеріалів, зокрема із заданими властивостями, розробка обчислювальної техніки та елементної бази, аналіз технологічних режимів конструкцій, процесів лазерної плазми вирішуються нині з допомогою математичного моделювання. · Екологічні проблеми. У цій галузі математичне моделювання дозволяє вирішувати такі питання, як прогнозування та управління екологічними системами, оскільки вони можуть бути поодинокими. · Гео- та астрофізичні явища. Дослідження клімату, прогнозування різних стихійних лих, а також вивчення розвитку зірок та походження Всесвіту неможливе без математичного моделювання. · Хімія. Математичне моделювання застосовується для розрахунку хімічних реакцій та вивчення хімічних процесів на різних рівнях. · Біологія. Найбільший інтерес до моделювання викликаний необхідністю вирішення фундаментальних проблем генетики та морфогенезу, а також створення нових перспективних методів біотехнології.
3.4. Імітаційне моделювання
В даний час не існує єдиної точки зору щодо того, що розуміти під імітаційним моделюванням. Визначень терміну «імітаційне моделювання» досі існує велика кількість [17–18]. Імітаційне моделювання — метод, що дозволяє будувати моделі, що описують процеси так, як вони проходили б насправді. Таку модель можна «програти» у часі як для одного випробування, так і заданої їх множини. При цьому результати визначатимуться випадковим характером процесів. За цими даними можна отримати досить стійку статистику. Інше визначення: імітаційне моделювання - Це метод дослідження, при якому система, що вивчається, замінюється моделлю, з достатньою точністю описує реальну систему, і з нею проводяться експерименти з метою отримання інформації про цю систему. Існує клас об'єктів, котрим з різних причин не розроблено аналітичні моделі, або розроблено методи рішення отриманої моделі. І тут математична модель замінюється імітатором чи імітаційною моделлю.
Імітаційна модель - логіко-математичний опис об'єкта, який може бути використаний для експериментування на комп'ютері з метою проектування, аналізу та оцінки функціонування об'єкта. Імітаційну модель можна як безліч правил (диференціальних рівнянь, карт станів, автоматів, мереж тощо. п.), які визначають, який стан система перейде у майбутньому із заданого поточного стану. Імітація - Це процес «виконання» моделі, що проводить її через (дискретні або безперервні) зміни стану в часі. Імітація як метод вирішення нетривіальних завдань отримала початковий розвиток у зв'язку зі створенням ЕОМ у 1950-х - 1960-х роках. Мета імітаційного моделювання полягає у відтворенні поведінки досліджуваної системи на основі результатів аналізу найбільш суттєвих взаємозв'язків між її елементами або, іншими словами, у розробці симулятора досліджуваної предметної галузі для проведення різних експериментів.
До імітаційного моделювання вдаються, коли: · дорого чи неможливо експериментувати на реальному об'єкті; · Неможливо побудувати аналітичну модель: у системі є час, причинні зв'язки, наслідок, нелінійності, стохастичні (випадкові) змінні; · Необхідно імітувати поведінку системи у часі. Спробуємо проілюструвати процес імітаційного моделювання порівняння з класичною математичною моделлю. При побудові математичної моделі складної системи може виникнути низка труднощів.Модель, як правило, містить велику кількість параметрів, багато зв'язків між елементами та різноманітні нелінійні обмеження, реальні системи найчастіше схильні до впливу випадкових різних факторів, облік яких аналітичним шляхом представляє дуже великі труднощі, часто непереборні при великому їх числі. Ці проблеми і зумовлюють застосування імітаційного моделювання. Основною перевагою імітаційного моделювання порівняно з аналітичною є можливість вирішення складніших завдань. Імітаційні моделі дозволяють досить просто враховувати такі фактори, як наявність дискретних та безперервних елементів, нелінійні характеристики елементів системи, численні випадкові впливи та інші, які часто створюють труднощі під час аналітичних досліджень. В даний час імітаційне моделювання - найефективніший метод дослідження систем, а часто і єдиний практично доступний метод отримання інформації про поведінку системи, особливо на етапі її проектування.
В імітаційному моделюванні розрізняють два методи: · Метод статистичного моделювання; · Метод статистичних випробувань (Монте-Карло). Метод Монте – Карло - Чисельний метод, який застосовується для моделювання випадкових величин і функцій, ймовірнісні характеристики яких збігаються з рішеннями аналітичних завдань. Складається у багаторазовому відтворенні процесів, що є реалізаціями випадкових величин та функцій, з подальшою обробкою інформації методами математичної статистики. Якщо цей прийом застосовується для машинної імітації з метою дослідження характеристик процесів функціонування систем, схильних до випадкових впливів, то такий метод називається методом статистичного моделювання. Метод імітаційного моделювання застосовується з метою оцінки варіантів структури системи, ефективності різних алгоритмів управління системою, впливу зміни різних параметрів системи. Імітаційне моделювання може бути покладено в основу структурного, алгоритмічного та параметричного синтезу систем, коли потрібно створити систему із заданими характеристиками за певних обмежень.
3.4. Імітаційне моделювання
Області застосування імітаційного моделювання: · Фізичні процеси; · матеріалознавство; · Нанотехнології; · Бізнес-процеси; · Виробництво; · Інформаційна безпека та ін.
3.4.1. Статистичне моделювання
Статистичне моделювання — чисельний спосіб розв'язання математичних завдань, у якому шукані величини представляють ймовірнісними характеристиками якогось випадкового явища, це явище моделюється, після чого необхідні характеристики наближено визначають шляхом статистичної обробки «спостережень» моделі [19]. У цьому методі шукану величину представляють математичним очікуванням числової функції випадкового результату явища, т.к. е. інтегралом імовірнісною мірою. Проведення кожного "експерименту" розпадається на дві частини: "розіграш" випадкового результату та подальше обчислення функції. Коли простір всіх результатів і ймовірнісний захід занадто складні, розіграш проводиться послідовно кілька етапів. Випадковий вибір на кожному етапі проводиться за допомогою випадкових чисел, наприклад, що генеруються будь-яким фізичним датчиком; вживається також їх арифметична імітація - псевдовипадкові числа.Аналогічні процедури випадкового вибору використовуються у математичній статистиці та теорії ігор. Статистичне моделювання широко застосовується на рішення на ЕОМ інтегральних рівнянь, наприклад, щодо великих систем. Вони зручні своєю універсальністю, зазвичай, не вимагають великого обсягу пам'яті. Недолік - великі випадкові похибки, що занадто повільно убувають при збільшенні кількості експериментів. Тому розроблені прийоми перетворення моделей, що дозволяють знижувати розкид величин і обсяг модельного експерименту.
3.4.2. Метод Монте-Карло
При існуванні теоретичного опису методу протягом тривалого часу метод Монте-Карло набув широкого поширення лише з появою ЕОМ, т.е. е. Завдання генерації та використання у розрахунках випадкових величин досить трудомістка задача. Метод Монте – Карло — загальна назва групи чисельних методів, заснованих на отриманні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується таким чином, щоб його імовірнісні характеристики збігалися з аналогічними величинами задачі [20–21]. Назва методу походить від однойменного міста в князівстві Монако, де розвинена гральна індустрія, оскільки найпростішим механічним пристроєм для створення випадкових величин є рулетка.
Історія методу Монте-Карло Виникнення ідеї використання випадкових явищ в області наближених обчислень прийнято відносити до 1878, коли з'явилася робота Холла про визначення числа p за допомогою випадкових кидань голки на розграфлений паралельними лініями папір.Істота справи полягає в тому, щоб експериментально відтворити подію, ймовірність якої виражається через число p, і приблизно оцінити цю ймовірність. Метод Монте-Карло було вперше запропоновано 1949 р. Метрополісом та Уламом у статті «Метод Монте-Карло» американського журналу асоціації статистиків. Авторами способу вважають Дж. Неймана та С. Улама. Вітчизняні роботи з методу Монте-Карло з'явилися
3.4. Імітаційне моделювання
у 1955-1956 роках. З того часу накопичилася велика бібліографія методом Монте-Карло. Навіть побіжний перегляд назв робіт дозволяє зробити висновок про застосування методу Монте-Карло для вирішення прикладних завдань з великої кількості областей науки і техніки. Спочатку метод Монте-Карло використовувався головним чином на вирішення завдань нейтронної фізики, де традиційні чисельні методи виявилися мало придатними. Далі його вплив поширився широкий клас завдань статистичної фізики, дуже різних за змістом. Метод Монте-Карло вплинув і продовжує істотно впливати на розвиток методів обчислювальної математики (наприклад, розвиток методів чисельного інтегрування) і при вирішенні багатьох завдань успішно поєднується з іншими обчислювальними методами і доповнює їх. Його застосування виправдане насамперед у тих завданнях, які допускають теоретико-імовірнісний опис. Це пояснюється як природністю отримання відповіді з деякою заданою ймовірністю у завданнях з ймовірним змістом, так і суттєвим спрощенням процедури рішення.
Принципи отримання випадкових величин на ЕОМ Найбільш простим механізмом отримання випадкових величин є рулетка, де нерухома стрілка в момент зупинки диска, що обертається, з цифрами вказує на конкретне значення випадкової величини. Циклічним процесом запуску та зупинки рулетки з наступним об'єднанням отриманих у кожному циклі цифр групи можна становити таблицю випадкових цифр. Понад мільйон цифр містить найбільша подібна таблиця. Досить складним завданням є отримання таблиць випадкових чисел. Для створення подібної таблиці необхідна її перевірка, оскільки фізичний пристрій генерує відмінні від рівномірного розподілу випадкові числа. Працюючи з великими таблицями випадкових чисел необхідний великий обсяг пам'яті, який займатиме відповідний файл, що зберігає цю таблицю. Найпростішим рішенням у разі було підключення рулетки до ЕОМ. У цьому швидкодія генерації випадкових чисел значно знизиться. У цьому найбільш ефективним генератором випадкових величин будуть шуми в електронних лампах при реалізації наступного алгоритму: при перевищенні порогового значення рівня шуму парна кількість разів у розряд встановлюватиметься одиниця, інакше — нуль. Насправді кількість генераторів дорівнює сумі розрядів псевдовипадкового числа, у яких записуються нулі і одиниці. У цьому кожному кроці формується одне повнорозрядне число, має рівномірний розподіл в інтервалі [0, 1]. Недоліки цього генерації: 1) Ймовірна відсутність рівноймовірності нулів і одиниць через несправність електронних генераторів шуму.2) Неможливість відтворюваності випадкової послідовності чисел із метою перевірки працездатності програми.
Псевдовипадкові числа Застосування зазначених вище датчиків в ЕОМ досить дорогим, оскільки випадкові числа в розрахунках використовуються рідко. Як вирішення зазначеної проблеми можливе використання псевдовипадкових чисел. Отримання псевдовипадкових чисел виконує ЕОМ на основі алгоритмів та функцій, закладених у математичному описі. Зазначені алгоритми та функції постійно перевіряються, тому якість генерації псевдовипадкових чисел зазвичай забезпечується. Однак, оскільки всі дії ЕОМ заздалегідь запрограмовані, псевдовипадкові числа отримано
3.4. Імітаційне моделювання
ні таким чином, важко назвати випадковими. З метою об'єктивного застосування псевдовипадкових послідовностей необхідно розуміти їх особливості. Визначимо спочатку, що називається псевдовипадковим числом. До таких чисел відносяться числа, розраховані, як правило, за рекурентною формулою і задовольняють ряду вимог, властивих випадковій величині. Дж. фон Нейман у 1951 р. розробив перший алгоритм створення послідовності псевдовипадкових чисел, який називається метод середини квадратів, що полягає в наступному: Нехай задано довільне 4-значне ціле число n 1 = 5243. При зведенні його в квадрат виходить 8-значне число n 12 = 27489049. Беремо 4 середні цифри з цього числа та позначаємо їх як n 2 = 4890. Після зведемо вже нове число у квадрат n 22 = 23912100 і беремо наступні 4 середні цифри. В результаті виходить число n 3 = 9121. Продовжуючи зазначені рекурентні дії, матимемо n 4 = 1926; n 5 = 7094; n 6 = 3248 і т.д. буд.Таким чином, псевдовипадкова послідовність чисел записується в такому вигляді: 0,5243; 0,4890; 0,9121; 0,1926; 0,7094; 0,3248 і т.д. буд. З вказаного вище простого алгоритму було створено складніші. Однак механізм генерації послідовності псевдовипадкових чисел не змінився і полягає в послідовному отриманні наступного значення попереднього. Переваги методів отримання псевдовипадкових чисел: 1) Швидкість отримання випадкових чисел пропорційна швидкодії роботи ЕОМ, оскільки необхідна мінімальна кількість простих операцій отримання псевдовипадкового числа. 2) Алгоритми та програми генерації псевдовипадкових чисел дуже прості за рахунок застосування рекурентних формул. 3) Відтворюваність послідовності псевдовипадкових чисел.
4) Можливість постійного використання послідовності псевдовипадкових чисел в однотипних задачах без додаткових процедур щодо їх атестації та опису зміни параметрів.
Сутність методу Монте-Карло Сутність методу Монте-Карло полягає в наступному: потрібно знайти значення а деякої досліджуваної величини. Для цього вибирають таку випадкову величину Х , математичне очікування якої дорівнює: М ( Х ) = а. Практично ж роблять так: виробляють n випробувань, в результаті яких отримують n можливих значень Х ; обчислюють їх середнє арифметичне x
=е i і приймають x як оцінка (наближеного значення) a* шуканого числа a :
Оскільки метод Монте-Карло вимагає проведення значних випробувань, його часто називають методом статистичних випробувань. Теорія цього вказує, як найбільш доцільно вибрати випадкову величину Х Як знайти її можливі значення.Зокрема, розробляються способи зменшення дисперсії випадкових величин, що використовуються, в результаті чого зменшується помилка. Метод Монте-Карло застосовується дуже часто, часом некритично та неефективним чином. Він має деякі очевидні переваги :
- Він не вимагає жодних пропозицій щодо регулярності, за винятком квадратичної інтегрованості. Це може бути корисним, оскільки часто випадкова величина — дуже складна функція, властивості регулярності якої важко встановити.
- Він призводить до виконаної процедури навіть у багатовимірному випадку, коли чисельне інтегрування не застосовується, наприклад, при числі вимірювань, більшому за 10.
3.4. Імітаційне моделювання
- Його легко застосовувати за малих обмежень або без попереднього аналізу завдання. Він має, однак, деякі недоліками , А саме:
- Межі помилки не визначені точно, але включають певну випадковість. Це, проте, психологічніша, ніж реальна, труднощі.
- Статична похибка зменшується повільно.
- Необхідність мати довільні числа.
Оцінка похибки методу Монте-Карло Нехай для отримання оцінки a
математичного очікування _М випадкової величини Х було зроблено n незалежних випробувань (розіграно n можливих значень Х ) і за ними була знайдена вибіркова середня x , Яка прийнята в якості шуканої оцінки: a
= _x. Ясно, що якщо повторити досвід, будуть отримані інші можливі значення Х отже, інша середня, а значить, і інша оцінка a*. Вже звідси випливає, що точну оцінку математичного очікування неможливо. Природно виникає питання про величину помилки, що допускається.Обмежимося відшуканням лише верхньої межі δ припустимої помилки із заданою ймовірністю (надійністю) γ:
Верхня грань помилки δ, що цікавить нас, є «точність оцінки» математичного очікування за вибірковою середньою за допомогою довірчих інтервалів. Розглянемо такі три випадки.
- Випадкова величина Х розподілена нормально і її середнє квадратичне відхилення відомо. У цьому випадку з надійністю g верхня межа помилки
, (3)
де n - Число випробувань (розіграних значень Х ); t - Значення аргументу функції Лапласа, при якому F() t =
відоме середнє квадратичне відхилення Х.
- Випадкова величина Х розподілено нормально, причому її середнє квадратичне відхилення σ невідоме. У цьому випадку з надійністю γ верхня межа помилки
, (4)
де n - Число випробувань; s - Виправлене середнє квадратичне відхилення, t γ знаходять за табличними значеннями.
- Випадкова величина Х розподілена за законом, який відрізняється від нормального. У цьому випадку при досить великій кількості випробувань ( n > 30) з надійністю, приблизно рівної γ, верхня межа помилки може бути обчислена за формулою (3), якщо середнє квадратичне відхилення σ випадкової величини Х відомо; якщо ж s невідомо, то можна підставити у формулу (3) його оцінку s - «Виправлене» середнє квадратичне відхилення або користуватися формулою (4). Зауважимо, що чим більше n тим менше різниця між результатами, які дають обидві формули. Це пояснюється тим, що за n → ∞ розподіл Стьюдента прагне нормального. З викладеного випливає, що метод Монте-Карло тісно пов'язаний із завданнями теорії ймовірностей, математичної статистики та обчислювальної математики.У зв'язку із завданням моделювання випадкових величин (особливо рівномірно розподілених) істотну роль грають також методи теорії чисел. Серед інших обчислювальних методів метод Монте-Карло вирізняється своєю простотою та спільністю. Повільна збіжність є істотним недоліком методу, однак, можуть бути вказані його модифікації, які забезпечують високий порядок збіжності за певних припущень
3.4. Імітаційне моделювання
нях. Щоправда, обчислювальна процедура ускладнюється і наближається за своєю складністю до інших процедур обчислювальної математики. Збіжність методу Монте-Карло є збіжністю ймовірно. Ця обставина навряд чи слід відносити до його недоліків, бо імовірнісні методи достатньою мірою виправдовують себе в практичних додатках. Що ж до завдань, мають ймовірнісне опис, то збіжність ймовірно навіть у певною мірою природною щодо їх дослідженні.
Застосування методу Монте-Карло до моделювання фізичних процесів Суть вирішення фізичних завдань методом Монте-Карло полягає в тому, що фізичному явищу зіставляється імітуючий ймовірнісний процес, що відображає його динаміку (іншими словами, кожному елементарному акту процесу зіставляється певна ймовірність його здійснення). Потім цей процес реалізується за допомогою набору випадкових чисел. Значення фізичних величин, що цікавлять нас, знаходяться усередненням по безлічі реалізацій модельованого процесу.Основною перевагою методу Монте-Карло в порівнянні з класичними чисельними методами полягає в тому, що з його допомогою можна досліджувати фізичні явища практично будь-якої складності, які інакше просто неможливо вирішити. Наприклад, розв'язати рівняння, що описують взаємодію двох атомів, буде порівняно нескладно, проте вирішити таке завдання для сотні атомів вже не реально. З іншого боку, методу Монте–Карло часто характерна проста структура обчислювального алгоритму. Як правило, складається програма для здійснення одного випадкового випробування (кроку моделі). Потім це випробування повторюється необхідну кількість разів, причому кожен наступний крок не залежить від решти.
Метод Монте-Карло можна назвати «теоретичним експериментом». Дійсно, якщо точно відомі закони елементарних актів, а разом з ними і ймовірності елементарних подій, результати, одержувані цим методом, були б подібні до експериментальних даних.
3.5. Приклади математичних моделей у фізиці, хімії, біології
3.5.1. Моделі в задачах механіки рідини, газу та плазми, твердого та деформованого тіла
Можна навести багато прикладів, коли моделювання допомогло як пояснити якісь явища у природі, техніці чи фізиці, а й передбачити чи зробити нові відкриття у тих галузях людської діяльності, без яких зараз цивілізація навряд чи може обійтися. Досить згадати значення для сучасної діяльності електротехніки та електроніки, машинобудування та приладобудування, отримання, передачі та збереження енергії. У природничих науках найбільш поширені фізичні та математичні моделі.Немає жодних сумнівів у тому, що процес математизації, розвиток та застосування математичних моделей та математичного апарату будуть у найближчі роки ще більше посилюватись. Цим пояснюється збільшений останніми роками інтерес до використання математики: як створюються математичні моделі, як вони вивчаються, як інтерпретуються тощо. Розглянемо приклади математичних моделей у різних галузях, зокрема у фізиці [2]. Однією з перших лінійних моделей є всім добре відомий закон Гука:
3.5. Приклади математичних моделей у фізиці, хімії, біології
де F - Сила пружності; х - Подовження (деформація) тіла; k - Коефіцієнт пропорційності, що залежить від розмірів і матеріалу тіла, званий жорсткістю. Виявлення лінійної залежності при досить малих деформаціях між останніми та напруженнями в металах дозволило зробити безліч відкриттів у фізиці та техніці, а також відкрило можливість для механіків-випробувачів просуватися вперед, розвиваючи лінійну теорію пружності, а за нею і математичний апарат, придатний для побудови моделей багатьох інших явищ та процесів. Ще більш складними моделями є рівняння математичної фізики — диференціальні рівняння у приватних похідних, які описують процеси у просторі та часі. Рівняння у приватних похідних у тривимірному просторі вперше запровадив П'єр Симон Лаплас:
. (6)
Рівняння у приватних похідних використовуються для опису таких фізичних явищ, як теплопровідність, коливання струни, поширення лінійних хвиль різної фізичної природи та ін. Ще одним добрим прикладом математичних моделей у фізиці є рівняння електромагнітного поля Максвелла.
,, 0 , , (7)
де E - Вектор напруженості електричного поля, D - Вектор електричної індукції, У - Вектор магнітної індукції, Н - Вектор напруженості магнітного поля, p - Щільність заряду, j - Струм зміщення.
Рівняння Максвелла дозволили передбачити існування електромагнітних хвиль і визначити, що світло не що інше, як електромагнітна хвиля. Використовуючи теорію Максвелла, Лоренц свою роботу «Перетворення» застосував до тіл, що рухаються. Ця робота стала причиною створення теорії відносності. Трактат Максвелла про електрику та магнетизм відкрив нові можливості фізики. Сюди можна віднести і фундаментальне рівняння хвильової та квантової механіки, відкрите австрійським фізиком Ервіном Шредінгером, яке описує рух частинки у заданому потенційному полі (формула (8)).
U
Y
DY Y
, (8)
де Ψ - хвильова функція, U - Потенційна енергія. Рівняння Шредінгера грає у квантової теорії таку ж роль, як основне рівняння динаміки у класичній механіці. Дане рівняння було знайдено, воно описує нові фундаментальні закономірності, які неможливо вивести з колишніх класичних уявлень і теорій. Справедливість його встановлення в тому, що всі наслідки, що випливають з нього, і рішення підтверджені експериментально. Даний список можна продовжувати і далі, є закони Ньютона, перетворення Лоренца і т. д. Розглянемо деякі рівняння математичної фізики, які використовуються для опису фізичних процесів більш детально.
Рівняння балансу Опис закономірностей явищ, що вивчаються, будується на основі аналітичних виразів щодо характеристичних параметрів, що відображають їх властивості.Ці параметри поділяються на екстенсивні, що залежать від маси системи або кількості частинок у системі, та інтенсивні, не пов'язані
3.5. Приклади математичних моделей у фізиці, хімії, біології
з ним. До перших відносяться: маса, імпульс, енергія. , температура, напруга і т. д. У більшості випадків відповідні аналітичні вирази рівнянь балансу для суцільного середовища може бути представлені у двох формах [8]: · як локального балансу для виділеної у просторі нерухомої області: ¶ ¶
00
де А - довільна екстенсивна характеристика, а - відповідна їй питома величина в точці фізичного простору, р - об'ємна щільність маси речовини,
IA^0 — вектор щільності струму величини А , w^0 A — щільність виробництва А всередині обсягу;
Прикладами рівнянь балансу є закони збереження імпульсу, енергії, маси та інших. Закон збереження імпульсу. Розглянемо перший із них у класичному формулюванні, який стверджує, що зміна кількості руху будь-якого індивідуального обсягу матеріального континууму дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на цей індивідуальний обсяг. В аналітичній формі його можна записати у вигляді
де р - Об'ємна щільність маси середовища; v - Швидкість середовища; Fk - Зовнішні сили (віднесені до одиниці обсягу), що діють на індивідуальний обсяг суцільного середовища. Рівняння безперервності. Як другий приклад можна навести аналітичну форму закону збереження маси в гідрогазодинаміці, яке є диференціальним рівнянням безперервності. Для цього рівняння скористаємося локальним чи матеріальним рівнянням балансу маси системи. Приймемо як екстенсивну характеристику А масу системи. За відсутності виробництва речовини обсягом системи (w A =^0 ), враховуючи, що а = 1,
nn A =^ (Перенесення маси здійснюється тільки гідродинамічним потоком), отримаємо ¶ ¶
0. (12)
Вираз (12) є локальною формою рівняння безперервності. Зміна щільності речовини частинки, що рухається визначається виразом
,. (13)
Враховуючи, що div ()rn nr,(rn div )
=б Сс + , З виразів (12)
+=rn() (^0). (14) Вираз (14) - матеріальна форма рівняння безперервності. Рівняння дифузії. Ефективна щільність багатокомпонентної суміші згідно з визначенням знаходиться як сума щільностей окремих компонентів r ek = + Rr 1 . ++. +r n. Масова концентрація компонентів є відношенням щільності k ‑компонента до ефективної щільності суміші ckk =r /r e. Ця характеристика суміші може бути ототожнення
3.5. Приклади математичних моделей у фізиці, хімії, біології
на з питомою екстенсивною характеристикою системи а , оскільки представляє масу k ‑компонента, що припадає на одиницю маси суміші. У такому разі можна записати рівняння балансу маси k ‑компонента суміші у вигляді
. (15)
Нерівномірний розподіл речовини k ‑компонента в обсязі суміші породжує потоки речовини, які прагнуть згладити цю нерівномірність. Розмір щільності цих потоків визначається емпіричним законом Фіка IDkk =- НС ck , (16)
де Dk - Коефіцієнт дифузії k ‑компонента у суміші, який у загальному випадку залежить від концентрації ck ; w k - Виробництво речовини k ‑компонента у суміші в одиниці обсягу в одиницю часу. Підстановка останнього вираження рівняння матеріального балансу k ‑компонента призводить до рівняння дифузії
Матеріальна швидкість зміни концентрації при цьому визначається виразом
Форми рівнянь руху рідини та газу в ідеальному середовищі набувають наступного вигляду:
=-С. (19)
Отримане рівняння називається рівнянням Ейлера. Дане рівняння часто використовується для вирішення різних прикладних задач гідродинаміки та газодинаміки. Зокрема, інтегруванням цього рівняння при постійній щільності рідини виходить відоме рівняння Бернуллі для рідини, що не стискається.
Для руху в'язкої стисливої рідини з постійним коефіцієнтом в'язкості μ отримуємо
Це рівняння називається рівнянням Навье-Стокса. Рівняння Навье–Стокса одна із найважливіших у гідродинаміці і застосовують у математичному моделюванні багатьох природних явищ і технічних завдань. Будучи доповненою рівняннями перенесення тепла та перенесення маси, а також відповідних масових сил, система рівнянь Нав'є-Стокса може описувати конвекцію, термодифузію в рідинах, поведінку багатокомпонентних сумішей різних рідин тощо. п.Якщо ж рівняння як масової сили ввести силу Лоренца і доповнити систему рівняннями Максвелла для поля в суцільному середовищі, модель дозволяє описувати явища електро- і магнитогидродинамики. Зокрема такі моделі успішно застосовуються при моделюванні поведінки плазми, міжзоряного газу. Однією з застосувань системи рівнянь Навье–Стокса є опис течій у мантії Землі («проблема динамо»). Також варіації рівняння Нав'є-Стокса використовуються для опису руху повітряних мас атмосфери, зокрема
3.5. Приклади математичних моделей у фізиці, хімії, біології
для формування прогнозу погоди. Для опису реальних течій у різних технічних пристроях прийнятну точність чисельного рішення можна отримати лише за такої розрахункової сітці, комірки якої менше найдрібнішого вихору. Це потребує великих витрат розрахункового часу на сучасних комп'ютерах. Тому було створено різні моделі турбулентності, які спрощують розрахунок реальних потоків. Якщо з якихось причин у рівнянні Навье-Стокса можна відкинути інерційні члени, то отримаємо рівняння, яке називається рівнянням Стокса:
Перша спроба застосування математики в хімії була зроблена М. В. Ломоносовим в його рукописі «Елементи математичної хімії». Книга була написана приблизно у вересні 1741 року. Ломоносов за аналогією з роботою І. Ньютона мав намір написати подібний хімічний трактат, в якому він хотів викласти все існуюче на той момент хімічне знання в аксіоматичній манері. У ХІХ столітті поняття «математична хімія» почав використовувати Дюбуа-Реймон.Першим математиком, який зацікавився комбінаторними аспектами хімії, вважається Артур Келі, який опублікував роботу з перерахування алканових ізомерів у провідному хімічному журналі. Ця робота фактично є першою роботою із застосування теорії графів у хімії. У 1894 р. було видано книгу Дж. Хелма під назвою «Принципи математичної хімії». У сучасній хімії термін «математична хімія» було запроваджено у 1970-х роках. Математична хімія - Розділ теоретичної хімії, присвячений новим застосуванням математики до хімічних завдань. Основна область інтересів - це математичне мо
ділення гіпотетично можливих фізико-хімічних та хімічних явищ і процесів, а також їх залежність від властивостей атомів та структури молекул. Математична хімія допускає побудову моделей без залучення квантової механіки. Критерієм істини в математичній хімії є математичний доказ, обчислювальний експеримент та порівняння результатів з експериментальними даними. Найважливішу роль математичної хімії грає математичне моделювання з допомогою комп'ютерів. У зв'язку з цим математичну хімію, у вузькому значенні, іноді називають комп'ютерною хімією, яку не слід плутати з обчислювальною хімією [22]. У математичній хімії розробляють нові програми математичних методів у хімії. Новизна зазвичай виражається одним із двох способів: · Розвиток нової хімічної теорії; · Розвиток нових математичних підходів, які дозволяють проникнути в суть або вирішити проблеми хімії. При цьому математичні засоби, що використовуються, надзвичайно різноманітні.На відміну від суто математичних наук, у математичній хімії досліджуються хімічні завдання та проблеми методами сучасної математики. Найвідомішою моделлю математичної хімії є молекулярний граф. Зазначимо, що суворе математичне та фізичне обґрунтування модель молекулярного графа знайшла лише теоретично Р. Бейдер. Фактично теорія Р. Бейдера є новою мовою сучасної математичної та теоретичної хімії, складовими елементами якої є різні математичні, у тому числі топологічні характеристики електронної щільності. Молекулярний граф — неорієнтований зв'язний граф, що знаходиться у взаємно однозначній відповідності зі структурною формулою хімічної сполуки таким чином, що вершинам графа відповідають атоми молекули, а ребрам гра
3.5. Приклади математичних моделей у фізиці, хімії, біології
фа - Хімічні зв'язки між цими атомами. На рис. 15 показаний приклад молекулярного графа для етилену [23].
C C
H
H H
H
Мал. 15. Молекулярний граф етилену
Інші знамениті моделі - це закон мас, що діють, створений математиком К.А. Гульдбергом та хіміком-експериментатором П. Вааге, граф механізму хімічних перетворень та диференціальні рівняння хімічної кінетики. У математичній хімії застосовуються такі методи [23]: · Теорія графів, що використовується в математичних дослідженнях ізомерії та топологічних індексів, що застосовується у проблемах хімічної кінетики. · Топологія, що застосовується в стереохімії та дослідженні властивостей поверхонь потенційної енергії. · Теорія вузлів. · Комбінаторика. · Теорія груп, яка активно застосовується у квантовій хімії та стереохімії. · Фрактальна геометрія.· Теорія нелінійних диференціальних рівнянь, яка активно застосовується у хімічній кінетиці. · Теорія динамічних систем. · Теорія катастроф та біфуркацій, що застосовується для опису структурних змін у молекулах. · Операторні алгебри, що застосовуються у квантовій хімії. · Математична логіка.
· Теорія інформації та методи штучного інтелекту, що застосовуються в хімічній інформатиці (хемоінформатиці). · Теорія інтегродиференціальних рівнянь, що застосовується для опису процесів, що протікають на неоднорідних поверхнях (гетерогенний каталіз та адсорбція).
3.5.3. Моделі еволюції та розвитку в біології, моделі розподілу біологічних систем
Чим складнішими є об'єкти та процеси, якими займається наука, тим важче знайти математичні абстракції, які підходять для опису цих об'єктів та процесів. У біологію, геологію та інші «описові науки» математика прийшла по-справжньому лише у другій половині XX століття. Перші спроби математично описати біологічні процеси належать до моделей популяційної динаміки. Ця область математичної біології й надалі служила математичним полігоном, у якому «відпрацьовувалися» математичні моделі у різних галузях біології, зокрема моделі еволюції, мікробіології, імунології та інших галузей, що з клітинними популяциями [24].
Найперша відома модель, сформульована в біологічній постановці, - це знаменитий ряд Фібоначчі, який наводить у своїй праці Леонардо з Пізи в XIII столітті. Це ряд чисел, що описує кількість пар кроликів, які народжуються щомісяця, якщо кролики починають розмножуватися з другого місяця і щомісяця дають потомство як пари кроликів.Ряд представляє послідовність чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 .
3.5. Приклади математичних моделей у фізиці, хімії, біології
Якщо описати цей ряд математично, кожен наступний член даного ряду дорівнює сумі двох попередніх, починаючи з третього члена. Наступна відома історія моделі — модель Мальтуса (1778 р.), що описує розмноження популяції зі швидкістю, пропорційної її чисельності [2]. У дискретному вигляді цей закон є геометричною прогресією, яка у вигляді диференціального рівняння являє собою модель експоненційного зростання популяції і добре описує зростання клітинних популяцій без будь-якого лімітування. На цих моделях видно, наскільки примітивні математичні моделі в порівнянні з біологічними об'єктами. Так, населення - це сукупність складно організованих індивідуальних особин організмів. У свою чергу кожен організм складається з органів, тканин та клітин, здійснює процеси метаболізму, рухається, народжується, росте, розмножується, старіє та вмирає. І кожна жива клітина — складна гетерогенна система, об'єм якої розмежований мембранами та містить субклітинні органели, тощо, аж до біомакромолекул, амінокислот та поліпептидів. Зрозуміло, що з таких систем будь-яка математика дає лише грубе спрощене опис. Моделі в біології застосовуються для моделювання біологічних структур, функцій та процесів на різних рівнях організації живого: молекулярному, субклітинному, клітинному, органно-системному, організмовому та популяційно-біоценотичному.Можливе також моделювання різних біологічних феноменів, а також умов життєдіяльності окремих особин, популяцій та екосистем.
Види моделей у біології У біології застосовуються в основному моделі трьох видів:
- Біологічні. У нашому курсі ми їх не розглядаємо.
- Побудова математичної моделі та обчислювальний експеримент
- Фізико-хімічні. Фізико-хімічні моделі відтворюють фізичними чи хімічними засобами біологічні структури, функції чи процеси. Починаючи з 60-х років. ХІХ ст. були зроблені спроби створення фізико-хімічної моделі структури та деяких функцій клітин. Так, німецький вчений Траубе 1867 р. імітував зростання живої клітини, а французький фізик З. Ледюк 1907 р. отримав структури, що зовні нагадують водорості та гриби. Пізніше складніші моделі будувалися на принципах електротехніки та електроніки. Наприклад, на основі даних електрофізіологічних досліджень були побудовані електронні схеми, що моделюють біоелектричні потенціали в нервовій клітині, її відростку та в синапсі. Успіхи також були досягнуті в моделюванні фізико-хімічних умов існування живих організмів або їх органів і клітин: підібрані розчини неорганічних та органічних речовин (розчини Рінгера, Локка, Тіроде та ін.), що імітують внутрішнє середовище організму та підтримують існування ізольованих органів або культивуються поза організмом клітин. Моделі біологічних мембран дозволяють досліджувати фізико-хімічні основи процесів транспорту іонів та вплив на нього різних факторів.За допомогою хімічних реакцій, що протікають в розчинах в автоколивальному режимі, моделюють коливальні процеси, характерні для багатьох біологічних феноменів - диференціювання, морфогенезу, явищ у складних нейронних мережах і т.д. буд.
- Математичні (логіко-математичні). Математичні моделі будуються на основі даних експерименту або умоглядно, формалізовано описують гіпотезу або теорію біологічного феномену та вимагають подальшої дослідної перевірки. «Програвання» математичної моделі біологічного явища на ЕОМ часто дозволяє передбачати характер зміни досліджуваного біологічного процесу в умовах, що важко відтворюються в експерименті. Математична мо
3.5. Приклади математичних моделей у фізиці, хімії, біології
дель в окремих випадках дозволяє передбачити деякі явища, які раніше не відомі досліднику. Наприклад, модель серцевої діяльності, запропонована голландськими вченими Ван дер Полом та Ван дер Марком, заснована на теорії релаксаційних коливань, вказала на можливість особливого порушення серцевого ритму, згодом виявленого у людини. До математичних моделей фізіологічних явищ відносять моделі збудження нервового волокна, розроблені англійськими вченими. Ходжкін та А. Хакслі. За підсумками теорії нервових мереж американських учених У. МакКаллока та У. Пітса будуються логіко-математичні моделі взаємодії нейронів. Системи диференціальних та інтегральних рівнянь покладено основою моделювання біоценозів (В. Вольтерра, А. М. Колмогоров).
Модель «хижак-жертва» Математична модель найпростіший, т.е. е. двовидової системи «хижак-жертва», ґрунтується на таких припущеннях [1]: 1) чисельності популяцій жертв N та хижаків М залежать лише від часу; 2) відсутність взаємодії чисельність видів змінюється за моделлю Мальтуса; при цьому кількість жертв збільшується, а кількість хижаків падає, тому що їм у цьому випадку нема чим харчуватися: dN dt
N
де α і β - коефіцієнти народжуваності та смертності; 3) природна смертність жертви та природна народжуваність хижака вважаються несуттєвими; 4) ефект насичення чисельності обох популяцій не враховується;
5) швидкість зростання чисельності жертви зменшується пропорційно до чисельності хижаків cM , c > 0, а темпи зростання хижаків збільшується пропорційно чисельності жертви dN. Враховуючи вказані вище припущення, отримуємо систему рівнянь Лотки-Вольтерра
Чисельності популяцій жертви та хижака здійснюють періодичні коливання навколо положення рівноваги. Амплітуда коливань та їх період визначаються початковими значеннями чисельностей N (0), М (0). Коливання, сутність яких цілком зрозуміла (і вони реально спостерігаються в природі), означають виникнення у двовидових популяційних системах значно складніших процесів, ніж у одновидових системах. Більш точні математичні описи двовидових взаємодій враховують нерівномірність розподілу чисельності популяцій на займаних територіях (їм відповідають системи рівнянь у приватних похідних), тимчасове запізнення між народженням особин і їх зрілістю і т. д. Виникають набагато складніші картини взаємодії просторі.
Загальні моделі еволюції Методи теоретичної популяційної генетики Теорія нейтральності М. Кімури
- Класична популяційна генетика. Синтетична теорія еволюції була розвинена на початку ХХ століття. Вона ґрунтується на навчанні Ч.Дарвіна про природний добір і на уявленнях Г. Менделя про гени, тобто дискретні елементи передачі спадкових ознак. Велику роль у становленні синтетичної теорії еволюції відіграла
3.5. Приклади математичних моделей у фізиці, хімії, біології
Маленька плодова мушка Drosophila. Саме експерименти на цій мушці дозволили примирити здається протиріччя між Дарвінівським уявленням про поступове накопичення корисних змін і успадкування цих змін і дискретним характером Менделєєвської генетики. Експерименти на дрозофілі показали, що мутаційні зміни можуть бути невеликими. Математичні моделі синтетичної теорії еволюції були розроблені Р. Фішером, Дж. Холдейном та С. Райтом. В основному цю математичну теорію класичної популяційної генетики було завершено до початку 30-х рр. н. XX ст. Відповідно до синтетичної теорії еволюції, основним механізмом прогресивної еволюції є відбір організмів, які отримують вигідні мутації. Математичні моделі популяційної генетики кількісно характеризують динаміку розподілу частот генів в популяції, що еволюціонує. Є два основних типи моделей: · Детерміністичні моделі. Детерміністичні моделі припускають, що чисельність населення нескінченно велика. І тут флуктуаціями у розподілі частот генів можна знехтувати і динаміку популяції можна описати у термінах середніх частот генів. · Стохастичні моделі. Стохастичні моделі описують імовірнісні процеси у популяціях кінцевої чисельності.
- Молекулярна еволюція: теорія нейтральності У 1950-1960-х роках відбулася революція в молекулярній біології.Було визначено структуру ДНК, розшифровано генетичний код, вчені встановили загальні принципи роботи молекулярно-генетичної системи живої клітини. Аналізуючи експериментальні дані, М.М. Кімура виявив, що коли він намагався пояснити ці експерименти на основі селекції сприятливих мутацій шляхом Дарвінівського відбору, виникли серйозні труднощі.
- Побудова математичної моделі та обчислювальний експеримент
Основне припущення цієї теорії полягає в наступному: на молекулярному рівні мутації переважно нейтральні або безпечні. Це припущення узгоджується з експериментальною швидкістю амінокислотних замін і з тим фактом, що швидкість замін у менш важливих частинах білків значно більша, ніж для активних центрів макромолекул. Використовуючи математичні методи популяційної генетики, Кімура отримав ряд наслідків теорії, які перебувають у досить добрій згоді з даними молекулярної генетики. Математичні моделі теорії нейтральності значно стохастичні, т.е. е. відносно мала чисельність популяції грає значної ролі у фіксації нейтральних мутацій. Відповідно до теорії Кімури, дуплікація генних ділянок створює додаткові, надлишкові ДНК-послідовності, які у свою чергу дрейфують далі за рахунок випадкових мутацій, надаючи цим сирий матеріал, з якого можуть виникати нові, біологічно значущі гени. Теорія нейтральності - одна з найбільш розроблених загальних теорій еволюції. Однак є низка моделей і концепцій, що також характеризують еволюцію на молекулярному рівні, які в основному доповнюють теорію нейтральності. Зазначимо найбільш відомі з них: · Модель Д. З. Чернавського та М. М.Чернавській, де зроблено оцінку ймовірності випадкового формування нового біологічно значущого білка. · Модель блочно-ієрархічного еволюційного відбору, за якою нові генетичні тексти великої довжини спочатку випадково складаються з коротких текстів, оптимізованих попередні еволюційні епохи, а після складання оптимізуються. · Блочно-модульний принцип організації та еволюції молекулярно-генетичних систем управління обґрунтовується В. А. Ратнер. Відповідно до нього еволюція генів,
Контрольні питання та завдання
РНК, білків, геномів та молекулярних систем управління на їх основі йшла шляхом комбінування блоків (модулів) знизу догори. · Модель "генів-мутаторів", яка передбачає, що рівень мутацій може змінюватися і успадковуватися.
Контрольні питання та завдання
- Перерахуйте основні етапи процесу побудови математичної моделі.
- Дайте визначення концептуальної та математичної постановки задачі.
- З якою метою застосовується перевірка адекватності моделі?
- Опишіть два принципи побудови моделі.
- Які підходи до побудови математичної моделі ви знаєте? У чому вони?
- Сформулюйте складові похибки при використанні чисельних методів.
- Дайте визначення коректності математичної моделі.
- Перелічіть основні етапи циклу обчислювального експерименту.
- Що є основою обчислювального експерименту? 1 0. У чому відмінність та подібність лабораторного та обчислювального експерименту? 1 1. Яким вимогам має відповідати обчислювальний алгоритм? 1 2. Назвіть етапи створення програми для розрахунків. 1 3. Перерахуйте переваги обчислювального експерименту. 1 4. У яких галузях застосовується обчислювальний експеримент?
- Побудова математичної моделі та обчислювальний експеримент
1 5. Що таке імітаційне моделювання? 1 6. Які види імітаційного моделювання? 1 7. У яких сферах застосовується імітаційне моделювання? 1 8. У чому полягає метод статистичного моделювання? 1 9. Розкажіть суть методу Монте-Карло. 2 0. У чому переваги та недоліки методу Монте-Карло? 2 1. Що таке псевдовипадкові числа? 2 2. Наведіть кілька прикладів математичних моделей для опису фізичних процесів. 2 3. Які математичні методи застосовують у хімії? 2 4. Назвіть найпростіші математичні моделі у біології. 2 5. Які моделі еволюції ви знаєте?
4. Багатомасштабне моделювання
матеріалів та процесів
протягом останніх десятиліть у матеріалознавстві та інших галузях техніки домінували методи континуальної механіки (безперервна чи хвильова: гідродинаміка, акустика, теорія пружності та інші галузі фізики). Відповідно до цього підходу середовище вважається безперервним, безструктурним, а кожен елемент його обсягу взаємодіє з усіма сусідніми елементами за законами класичної механіки. Однак численні експериментальні спостереження за поведінкою матеріалів, особливо в наномасштабі, свідчать про ряд явищ, які не пояснюються в рамках континуальної механіки. Серед них можна виділити наявність поверхневої шорсткості, неоднорідність пластичної деформації та ін У зв'язку з чим виникає необхідність знайти фундаментальний опис механічних властивостей матеріалів, виходячи з властивостей та будови атомів, молекулярних систем та нанокластерів.Необхідність багатомасштабного моделювання обумовлена суттєвою різницею між обсягом необхідних розрахунків та обмеженістю обчислювальних ресурсів. У процесі впровадження багатомасштабного підходу в проектуванні наносистем можна відзначити два напрями: · Застосування різних методик моделювання до різних елементів системи, наприклад, квантових методів – до реакцій, а молекулярної механіки – до структур,
несе реакційні центри або обмежує їх становище. Такий підхід був реалізований для моделювання співвідношень структура – властивість – функція в ензимах. Важливим завданням є поширення цього принципу змішані моделі інших видів. · Доопрацювання конструкції. Для цього спочатку за допомогою недорогих та порівняно неточних методик виявляються перспективні системи, які потім досліджують більш точними та витратними методами. Такий підхід підвищує швидкість оцінки конструкції з урахуванням апріорі відомих обмежень використовуваних моделей, що підвищує продуктивність проектування. Необхідно забезпечити поступовість інтеграції цієї методології до технології атомарної точності. Використання комп'ютерного моделювання для наносистем має принципові труднощі: відсутній далекий порядок, властивий кристалам і що дозволяє зменшити кількість незалежних ступенів свободи системи; · Ближній порядок, характерний для рідин, не дозволяє визначити всі функціональні властивості наноматеріалів; · технічні проблеми, пов'язані з моделюванням на атомному рівні макрооб'єктів. Пряме моделювання таких систем у наближенні молекулярної динаміки і, тим більше, квантової механіки важко навіть із використанням сучасної суперкомп'ютерної техніки.Рішенням може бути використання у моделюванні ієрархічного багатомасштабного підходу, коли на кожному нижньому рівні обчислюються параметри та змінні, необхідні для побудови моделей верхнього рівня.
4.1. Види багатомасштабного моделювання
4.1. Види багатомасштабного моделювання
Центральна проблема багатомасштабного моделювання полягає у забезпеченні самоузгодженості розрахунків, що враховують внутрішні ступеня свободи компонентів та збереження молекулярної інформації на всіх просторових шкалах та у всьому діапазоні часу для всіх стадій фізико-хімічного процесу, що протікають у різних агрегатних станах. Це особливо важливо для нанооб'єктів, тому що для них суттєвий великий внесок меж розділу фаз і необхідно описувати різні фази з однаковою точністю [25]. Концепція багатомасштабного моделювання зазвичай інтерпретується як моделювання системи з різних масштабів (розмірів). Є кілька підходів до реалізації та подання досліджуваної системи, зазвичай вони не пов'язані, тобто кожен з можливих підходів здійснюється окремо та незалежно від інших. Залежно від способу інформаційного обміну між рівнями моделювання, методи багатомасштабного моделювання можна умовно розділити на три групи: · Ієрархічні. Є ефективним для пластичних однофазних систем. — Метод кінцевих елементів атомних масштабів. - Гібридна багатомасштабна обчислювальна процедура. - Повноатомні моделі. · «Поєднані». Важливі вивчення неоднорідної деформації, поведінки багатофазних матеріалів і наножидкостей. - Метод кінцевих елементів. - Метод молекулярної динаміки. - Метод сильного зв'язку. - Квазиконтинуальний метод.· З багатомасштабними граничними умовами.
В рамках ієрархічних методів атомні властивості тіла формулюються в континуальному масштабі таким чином, щоб дрібні шкали залежали від великих шкал деяким передбачуваним чином. для атомних масштабів (АМКЕ), що використовується для багатомасштабного моделювання, має таку саму формальну структуру, як і континуальний метод кінцевих елементів, і, таким чином, може бути плавно суміщений з атомарним рівнем АМКЕ використовує обидві, першу і другу, похідні енергії системи в обчисленнях її мінімуму. на розрахунки систем, що мають складну геометричну конфігурацію та нерегулярну фізичну структуру. У методі КЕ завдання пошуку функції замінюється завдання пошуку кінцевого числа її наближених значень в окремих точках-вузлах [25]. напружено-деформованого стану в гетероструктурі з «квантової точкою» відсутність покриваючого шару [27], а також для точного розрахунку ефективних параметрів композитних середовищ (ефективний показник поглинання, відбивна та пропускна здатність композитного моношару) [28].Розроблено спосіб моделювання з використанням гібридної багатомасштабної обчислювальної процедури, ідея якої полягає у збереженні повного молекулярного опису системи в тих областях, де це становить найбільший інтерес, та використання моделі «грубих зерен» в інших областях системи. Це стало можливим завдяки поєднанню молекулярної динаміки з мезоскопічним описом
4.1. Види багатомасштабного моделювання
реальних рідин, що ґрунтуються на флуктуаційній гідродинаміці Ландау. У разі «сумісних» методів багатомасштабного моделювання поведінка системи в кожній розмірній шкалі залежить від її поведінки в інших шкалах. Відповідні моделі для кожної розмірної шкали вже розроблено: континуальну механіку для макропружних середовищ, молекулярну динаміку з квантовомеханічним зв'язком для великих груп молекул. Між різними шкалами існує дуже складний взаємозв'язок, який потребує чіткого визначення та згладженості. При використанні «поєднаних» методів виникає, природно, ряд методологічних питань: як розділити шкали, що є адекватним механізмом для зв'язку атомного та континуального моделювання, як інтегрувати результати різних шкал моделювання та ін. Для їх вирішення пропонується, зокрема, запровадити так звану область з'єднання, де поєднуються методи моделювання в різних масштабах: кінцевих елементів, молекулярної динаміки та сильного зв'язку. До групи «поєднаних» методів входить також квазіконтинуальний метод, у якому поєднуються методи молекулярної динаміки та кінцевих елементів. Зв'язок між ними здійснюється через комірку "адаптації", що дозволяє здійснювати переміщення від квазіконтинуального масштабу до атомного рівня.Крім вищеназваних є метод молекулярної динаміки, що поєднує квантовомеханічний опис об'єктів та використання моделі класичних сил. Різні типи опису досліджуваної системи поєднуються в єдину об'єднану схему, яка заснована на ідеї посилення (уточнення) унікальних моделей сил, що параметризуються шляхом включення в такі моделі (під час виконання програми) квантовомеханічної інформації, необхідної для більш точного визначення траєкторій руху.
Прикладом застосування методу сильного зв'язку для нанотехнологій є моделювання структури та стійкості полімерів на основі фулеренів [29]. У роботі досліджено різні можливі ізомери кластерних молекул, що складаються з двох фулеренів C 20 , і було виявлено десять різних ізомерів, два з яких найбільш стійких ізомери представлені на рис. 16. У роботі також отримані стійкі двох та тривимірні структури на основі фулеренів. а б
Мал. 16. Ізомери кластерних молекул, що складаються з двох фулеренів С 20 : а - open_ [2 + 2]; б - [2 + 2]
Суть цього методу полягає в обліку спрямованих ковалентних зв'язків у рамках емпіричного гамільтоніану сильного зв'язку. Такий спосіб дозволяє врахувати квантовомеханічну природу ковалентного зв'язку. При цьому метод виявляється застосовним до великого розмаїття вуглецевих кристалічних полімерів. Цей метод вигідно відрізняється від більшості класичних підходів тим, що дозволяє точніше визначити вклад електронної підсистеми в повну енергію. При цьому враховуються чотири валентні електрони кожного атома вуглецю, а міжатомний потенціал фактично є. N ‑частковим, де N - Число атомів в системі.Хоча метод сильного зв'язку і не є таким суворим, як першопринципні методи, він, з одного боку, досить добре описує як малі вуглецеві кластери, так і макроскопічні форми вуглецю, а з іншого - сильно спрощує розрахунки навіть для порівняно великих кластерів, дозволяючи, зокрема, дослідити динаміку кластерів і набрати статистику,
4.2. Багатомасштабне моделювання енергетичних процесів
точну визначення енергії активації розпаду і часу життя метастабільного стану. Методи багатомасштабних граничних умов не включають у явному вигляді модель континуального середовища, щоб не виникало проблем із поділом шкал. Багатомасштабні граничні умови використовуються в основному в «суміщених» методах моделювання, щоб уявити атомну поведінку системи в континуальному середовищі. Це призводить до плавного зв'язку між методами кінцевих елементів та молекулярної динаміки без залучення штучної області «зшивання» атомної системи з континуальним середовищем. Існують також звані гібридні методи, метою яких є з'єднання областей з незрівнянними масштабами часу і довжини.
4.2. Багатомасштабне моделювання енергетичних процесів
Через відсутність теоретичних уявлень про природу та механізм ядерних сил існує кілька різних моделей атомного ядра, проте жодна з них не може пояснити все різноманіття експериментальних даних. Тому кожна модель через свою обмеженість використовується для з'ясування лише окремих ядерних процесів. Вирізняють дві найпоширеніші моделі ядра: краплинну модель і модель ядерних оболонок (оболонкову модель).Крапельна модель атомного ядра заснована на збігу деяких властивостей ядра і краплі рідини: Між молекулами краплі проявляються короткодіючі молекулярні сили. · Кожна молекула взаємодіє лише з прилеглими молекулами.
· Рух молекул хаотично, вони часто стикаються та обмінюються своєю енергією. · Поверхневі молекули в краплі однобічно пов'язані з внутрішніми, в результаті цього виникають поверхневі сили натягу і крапля набуває круглої форми, тобто має мінімальну поверхню при даному обсязі. · Щільність краплі рідини не залежить від її розміру. Таким чином, відповідно до крапельної моделі ядро представляють у вигляді краплі ядерної рідини, в якій нуклони рухаються інтенсивно і безладно, відчуваючи численні зіткнення. Кожне таке зіткнення супроводжується сильною взаємодією нуклонів, між ними відбувається обмін енергією та імпульсом. Розміри та стійкість ядерної краплі зберігаються за допомогою поверхневих сил ядерного тяжіння. Крапельна модель ядра дозволяє передбачити ряд важливих та цікавих результатів, що підтверджуються експериментальними даними. · Об'єм ядерної краплі заповнений нуклонами, як крапля рідини молекулами. Тому обсяг ядра пропорційний кількості у ньому нуклонів. · Маса ядерної краплі також пропорційна числу нуклонів, тому всі ядра мають однакову об'ємну щільність нуклонів та однакову щільність ядерної речовини. · Середня відстань між центрами двох поряд розташованих нуклонів також є постійною величиною і не залежить від числа нуклонів в ядрі. · Крапельна модель ядра дозволяє отримати напівемпіричну формулу для розрахунку енергії зв'язку атомного ядра.У той же час є багато ядерних явищ, які крапельна модель ядра пояснити не може, наприклад, вплив протон-нейтронної структури на стійкість ядер.
4.3. Моделювання в наноструктурній галузі
Застосування квантової механіки до руху нуклонів у потенційній ямі дає теоретичне обґрунтування оболонкової моделі ядра. Така модель послужила основою розробки оболонкової моделі нанокластера. В оболонковій моделі приймають, що нуклони в ядрі рухаються оболонками в полі дії інших нуклонів аналогічно руху електронів в атомних оболонках. При збудженні ядра один чи кілька нуклонів переходять на збуджені рівні. Наступні їх переходи в основний стан супроводжуються випромінюванням γ-квантів. Оболонкова модель ядра у фізичному відношенні є більш загальною та універсальною порівняно з крапельною, до того ж дозволяє пояснити ряд внутрішніх властивостей ядра. У той самий час не можна спрощено розуміти фізичну сутність оболочечной моделі. Нуклонні оболонки не залишаються незмінними - вони постійно перебувають під впливом нуклонів, які не потрапили в заповнену оболонку. Виникає дуже складна внутрішньоядерна картина, окремі особливості якої можуть бути описані або краплинною, або оболонковою моделями ядра. Тому обидві моделі, що взаємно доповнюють одна одну, використовують у теоретичному аналізі ядерних явищ.
4.3. Моделювання в наноструктурній галузі
Основною проблемою моделювання є те, що вчені мало знають про фундаментальні закономірності поведінки окремих частинок, структур та цілих систем у просторовому нанометровому масштабі.Наночастинки одночасно і занадто малі (для безпосереднього спостереження та вивчення), і занадто великі (для квантово-механічних розрахунків, які в нанообласті виявляються дуже наближеними). Дослідники поки що не вміють досить точно моделювати
поведінка наночастинок, оскільки їх характеристики безперервно змінюються у часі та просторі, а кількість частинок, що об'єднуються в наносистеми, ще недостатньо велика, щоб розглядати ці системи як статистичні ансамблі. У зв'язку з чим для пошуку та створення ефективних функціональних та конструкційних наноматеріалів та наноустроїв потрібно значно поглибити фундаментальні уявлення про поведінку наночастинок та розробити надійні методики розрахунку їх властивостей. У методах розрахунку та аналізу характеристик наносистем однією з найголовніших є проблема масштабування, яка, як показано на рис. 17 повинна розглядатися в трьох різних аспектах або вимірюваннях [5].
Програми для побудови графіків та діаграм
При необхідності побудови цифрових графіків та/або діаграм багато користувачів звертаються до стандартних інструментів офісних редакторів, таких як Microsoft Excel або навіть Microsoft Word. Але для цих цілей зручніше використовувати спеціалізовані програми, які мають ширші можливості.
Advanced Grapher
Advanced Grapher - невеликий і одночасно потужний додаток для побудови графіків. Використовується для побудови графіків рівнянь, нерівностей та таблиць. Також програма дозволяє виконувати припасування кривої, аналізувати функції, знаходити перетину графіків, виконувати чисельне інтегрування та багато іншого.
Загалом програма Advanced Grapher дозволяє будувати 7 різних типів графіків, до яких належать:
- Графіки функцій (X/Y-графіки).
- Графіки таблиць (засновані даних у таблицях).
- Графіки функцій у полярних координатах (R(a)).
- Графіки параметричних функцій/рівнянь (X(t) та Y(t) - 3);
- Графіки рівнянь (f(x, y) = 0).
- Графіки нерівностей (f(x, y) 0).
- Поля ухилу (dx/dy(x, y)).
Для кожного графіка можна вказати колір, стиль та ширину ліній, стиль і розмір точок, тип побудови (лінії та/або точки), стиль штрихування (для нерівностей). Також можна змінити додаткові властивості графіків в залежності від їх типу, наприклад кількість точок, інтервали побудови, сортування (для таблиць) і т.д.
Програма Advanced Grapher працює з багатьма розрахунковими параметрами координатної площини (параметри осей, сітки, фону, легенди) і дозволяє розміщувати на них довільні текстові мітки. Крім того, додаток має вбудовані засоби для проведення різних обчислень:
- Виконання регресійного аналізу (припасування кривої).
- Пошук перехресть.
- Підготовка аналітичних висновків.
- Знаходження рівняння дотичної чи нормалі та її побудова.
- Чисельне інтегрування.
- Знаходження нулів та екстремумів функцій та інші можливості.
Програмою Advanced Grapher можна скористатися безкоштовно без функціональних обмежень протягом 30 днів з моменту встановлення.
MagicPlot
MagicPlot – програма, розрахована на використання інженерами. Використовується для побудови графіків функції будь-якої складності.
До списку можливостей та особливостей програми входять:
- Припасування нелінійної кривої на основі рівнянь, що вводяться користувачем, з можливістю візуального редагування діапазону.
- Виконання математичних аналізів: згладжування, швидке перетворення Фур'є, інтегрування, диференціація, гістограми, згортка, кореляції та ін.
- Багатопіковий фітинг з можливістю створення моделей припасування піків і переміщення піків і базових ліній за допомогою миші.
- Можливість зміни стилю кривих та осей, а також збереження графіків у векторних графічних форматах EPS, PDF, SVG та EMF.
- Підтримка пакетної обробки, що забезпечує можливість обробки та узгодження кількох наборів даних одним і тим самим способом без попереднього створення сценаріїв.
- Можливість створення та збереження шаблонів фігур. Надалі шаблони можна застосувати для форматування всіх наявних фігур.
Програмою MagicPlot можна скористатися безкоштовно протягом 30 днів.
SMath Studio
Smath Studio ще одна безкоштовна багатофункціональна програма, призначена, в т.ч. і для побудови 2D та 3D-графіків функцій. Взагалі, цей додаток створено для виконання різноманітних математичних обчислень. Візуалізація функцій у вигляді графіків – лише одна із функцій Smath Studio.
Працює Smath Studio за тим же принципом, що і Falco Graph Builder – користувач вводить формулу, програма виконує розрахунки та візуалізує їх у вигляді графіка. Однак можливості у цієї програми набагато кулі, ніж у попередньої програми. Smath Studio розуміє незрівнянно більшу кількість математичних функцій. А зручний редактор формул забезпечує їх введення простими кліками мишею з наступним вписуванням необхідних для користувача значень.
Efofex FX Draw
Efofex FX Draw — потужна і водночас проста у використанні програма, що надає високопродуктивне середовище для створення редагованих діаграм.
Програма FX Draw дозволяє створювати математичні діаграми шляхом використання стандартних для графічних редакторів інструментів та автоматично перетворювати їх на зображення професійної якості, які можна буде відредагувати у майбутньому.
За допомогою FX Draw є можливість створення різних типів графіків та візуалізації різноманітних математичних функцій.
- Побудова графіків декартових та полярних функцій.
- Поля нахилу.
- Створення діаграм Аргана та Венна.
- Векторні діаграми.
- Криві нормального розподілу.
- Побудова статистичних графіків.
- Створення деревоподібних діаграм.
- Діаграм пеленгів числових ліній.
- Тривимірні обсяги обертання.
- Параметричні стосунки.
- Інтеграли, дотичні та нормалі до кривих тощо.
Без покупки ліцензії програмою FX Draw можна користуватися безкоштовно необмежену кількість часу, але на всіх зображень з графіками і диграмами, що імпортуються з неї, буде проставлено водяний знак.
MathGrapher
MathGrapher — повністю безкоштовна програма для побудови математичних графіків. платний товар.
Програма MathGrapher має такі особливості:
- Побудова 2D та 3D-графіків з функцій F(x) та F(x, y), що містять до 20 підфункцій, 30 спеціальних функцій, 150 числових та 100 іменованих констант. F (x)-функції можна інтегрувати, диференціювати або шукати нулі та екстремуми.
- Функції F (x, y) можуть бути представлені за допомогою зафарбованих поверхонь, контурних графіків та поперечних перерізів через контурні графіки. Засіб тривимірного перегляду забезпечує швидкий перегляд затіненої поверхні з різних кутів огляду та з різних відстаней.
- Апроксимація кривої (лінійна і нелінійна) з низкою методів найменших квадратів, у тому числі, наприклад, загальний (нелінійний) метод Левенберга-Марквардта, що дозволяє підігнати дані під будь-яку безперервну функцію.
- Робота із ітераціями. Програма дозволяє обчислювати ряди алгебри, наприклад «e= 1+ 1/2! + 1/3! + ... », Квадратні хвилі, числа Фібоначчі, надає можливість детального вивчення ітераційних карт, детально відображає 2D-орбіти на рівні пікселів, що дозволяє вивчати стабільність цих орбіт.
- Генерація фрактальних кривих (Коха, Серпінського, Леві, Дракона), кривих заповнення простору (Гільберта, Пеано-Госпера), моделей росту рослин тощо.
Dplot
Dplot — професійна багатофункціональна програма, що дозволяє будувати графіки, так і діаграми різних типів на основі масивів даних, в т.ч. генеруються самим додатком за заданими користувачем критеріями.
Ось лише деякі з функціональних можливостей та особливостей програми Dplot:
- Декілька типів масштабування, включаючи лінійні, логарифмічні та ймовірнісні шкали по осях X та/або Y.DPlot також надає кілька типів шкал спеціального призначення, включаючи графіки розподілу розмірів зерен, тричастинні сітки (спектри ударних хвиль), полярні діаграми, трикутні графіки, проекції Меркатора та ін.
- Побудова контурних 3D-графіків з відображенням у вигляді горизонтальних ліній на площині XY або у вигляді заштрихованих смуг тривимірної проекції. DPlot підтримує як довільно розташовані тривимірні точки, так і точки прямокутної сітці. Для прямокутних сіток DPlot також може створювати графіки водоспаду, тривимірні гістограми та прості каркасні сітки.
- Генерація кривих із рівнянь виду: Y=f(X), X=f(T) & Y=g(T) та Z=f(X,Y). Поряд із стандартним набором тригонометричних та загальних математичних функцій DPlot підтримує умовні формули виду if (test, if_true, if_false).
- Побудова гістограми з великою кількістю варіантів їхнього уявлення.
- Побудова графіків у вигляді прямокутників та точкових діаграм для однієї або кількох груп одновимірних даних.
- Функції маніпуляції даними включають інтеграцію, диференціювання, швидке перетворення Фур'є, фільтрацію, згладжування даних та багато інших — простіші функції редагування.
Безкоштовна ознайомча версія програми Dplot працює з функціональними обмеженнями протягом 30 днів.
Math Mechanixs
Math Mechanixs — програма, розроблена для студентів, викладачів, інженерів та вчених, а також для всіх, кому потрібний простий у використанні додаток для роботи з математичними функціями та побудови графіків на їх основі та/або основі масиву даних.У програмі присутній потужний редактор формул, що дозволяє вводити математичний вираз так само, якби вони писалися на аркуші паперу.
Якщо коротко, за допомогою Math Mechanixs можна легко створювати великі двовимірні та тривимірні кольорові графіки на основі математичних функцій або наборів даних. Вбудована графічна утиліта дозволяє помічати точки даних, а також масштабувати, обертати та перетворювати графіки з одного типу на інший.
Math Mechanixs дозволяє будувати:
- Лінійні та точкові графіки.
- Графіки площ.
- Гістограми різних типів.
- Діаграми розкидання/розсіювання.
- Багатошарові графіки.
- Біржові графіки типу "High-Low" (Hi-Lo), "High-Low Open Close" та "Японські свічки".
- Полярні графіки.
- Радарні та кругові діаграми.
- 3D-графіки поверхонь з опціями відображення/приховування невидимих ліній, проекцій на поверхню, сітки, контурів, затінених областей.
Існує дві версії програми Math Mechanixs – повнофункціональна Pro-версія та полегшена (з урізаним функціоналом) Lite-версія. Останньою можна користуватися безкоштовно. У ній доступний математичний редактор, науковий (інженерний) калькулятор, інструмент побудови 2D/3D-графіків та бібліотека функцій, що розширюється користувачем (з більш ніж 280 зумовленими функціями).
Falco Graph Builder
Falco Graph Builder — напевно, найпростіша з усіх програм для побудови математичних та геометричних графіків на XY-осі. Додаток розрахований на школярів та студентів, які готують самостійну роботу (реферат, доповідь і т.д.), в якій повинні бути графіки.
Програма Falco Graph Builder дуже проста у використанні.Від користувача тільки потрібно ввести у відповідне текстове поле математичну формулу (функцію), на основі якої буде побудований графік. :
Готовий графік можна відразу надіслати до друку або зберегти у вигляді FGR-проекту для редагування Falco Graph Builder в майбутньому.
Veusz
Veusz - дуже потужна і абсолютно безкоштовна програма, призначена для створення готових до публікації 2D і 3D графіків, а також різних типів діаграм. збережених у табличних (CSV) та інших типах файлів.
Ось неповний перелік двовимірних графіків, що можуть бути створені у програмі Veusz:
- Графіки XY зі смугами похибок та можливістю вибору кольорів, стилів та розміру ліній.
- Лінійні графіки та графіки функцій.
- Гістограми.
- Векторні графіки поля.
- Коробчасті діаграми.
- Полярні графіки.
- Припасування функцій до даних.
- Складені графіки та масиви графіків.
- Тернарні графіки та багато інших.
До списку тривимірних графіків, створюваних у Veusz, відносяться:
- Точкові графіки.
- Лінійні графіки функцій.
- Графіки поверхонь.
- Масиви графіків.
Створені в програмі графіки можуть бути збережені у вигляді растрових та векторних зображень.
