Чотирикутники

Паралелограм. Паралелограм називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.
Властивості та ознаки паралелограма
1. Діагональ розбиває паралелограм на два рівні трикутники.
2. Протилежні сторони паралелограма попарно рівні.
3. Протилежні кути паралелограма попарно рівні.
4. Діагоналі паралелограма перетинаються і діляться точкою перетину навпіл.
5. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, цей чотирикутник — паралелограмм.
6. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні та паралельні, то цей чотирикутник – паралелограм.
7. Якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл, цей чотирикутник — паралелограмм.

Властивість середин сторін чотирикутника. Середини сторін будь-якого чотирикутника є вершинами паралелограма, площа якого дорівнює половині площі чотирикутника.

Прямокутник. Прямокутником називається паралелограм із прямим кутом.
Властивості та ознаки прямокутника
1. Діагоналі прямокутника рівні.
2. Якщо діагоналі паралелограма рівні, цей паралелограм — прямокутник

Квадрат. Квадратом називається прямокутник, усі сторони якого рівні.

Формули площі чотирикутника
1. Площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту
2. Площа паралелограма дорівнює добутку його сусідніх сторін на синус кута між ними.
3. Площа прямокутника дорівнює добутку двох його сусідніх сторін.

Основні формули
Далі S - Площа фігури, P - Періметр, p - Напівпериметр.

Площа чотирикутника

Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін:

На малюнку 156 наведено креслення деяких прямокутників, у яких показані суміжні сторони a та b

Завдання з рішеннями
На папері з клітинами розміром 1 см×1 см зображений прямокутник (див. рис. 157). Знайдіть його площу у квадратних сантиметрах.

Рішення.
1-й спосіб.
Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін a та b. Щоб знайти сторони прямокутника, розглянемо прямокутний трикутник ABC з катетами AB = 2 і BC = 1 і гіпотенузою AC = b (див. рис. 158).

2-й спосіб.
Добудуємо прямокутник ACEH до прямокутника BKMD (див. рис. 159). Щоб знайти площу ACEH, потрібно від площі прямокутника BKMD відняти площі прямокутних трикутників AKH, HME, EDC та ABC.
Оскільки площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів, площа кожного з двох великих трикутників (AKH і EDC) дорівнює 4, а площа кожного з двох маленьких трикутників (HME і ABC) дорівнює 1. Площа прямокутника BKMD дорівнює 4 · 5 = 20. Отже, площа прямокутника, що шукається, дорівнюватиме 20 − 1 − 1 − 4 − 4 = 10.
Відповідь: 10.
Зауважимо, що подібним «добудовуванням» можна знайти площу будь-якого багатокутника на папері.

Квадрат. Квадратом називається прямокутник, усі сторони якого рівні.
Властивості та ознаки ромба
1. Діагоналі ромба перпендикулярні.
2. Діагоналі ромба ділять його кути навпіл
3.Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, цей паралелограм — ромб.
4. Якщо діагоналі паралелограма ділять його кути навпіл, цей паралелограм — ромб.

Площа ромба дорівнює половині твору його діагоналей.

Основні формули
Далі S - Площа фігури, P - Періметр, p - Напівпериметр.

Чотирикутник

Паралелограм.

Паралелограм називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.
Властивості та ознаки паралелограма
1. Діагональ розбиває паралелограм на два рівні трикутники.
2. Протилежні сторони паралелограма попарно рівні.
3. Протилежні кути паралелограма попарно рівні.
4. Діагоналі паралелограма перетинаються і діляться точкою перетину навпіл.
5. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, цей чотирикутник — паралелограмм.
6. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника рівні та паралельні, то цей чотирикутник – паралелограм.
7. Якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл, цей чотирикутник — паралелограмм.

Властивість середин сторін чотирикутника. Середини сторін будь-якого чотирикутника є вершинами паралелограма, площа якого дорівнює половині площі чотирикутника.

Прямокутник. Прямокутником називається паралелограм із прямим кутом.
Властивості та ознаки прямокутника
1. Діагоналі прямокутника рівні.
2. Якщо діагоналі паралелограма рівні, цей паралелограм — прямокутник

Квадрат. Квадратом називається прямокутник, усі сторони якого рівні.

Формули площі чотирикутника
1. Площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту
2. Площа паралелограма дорівнює добутку його сусідніх сторін на синус кута між ними.
3. Площа прямокутника дорівнює добутку двох його сусідніх сторін.

Основні формули
Далі S - Площа фігури, P - Періметр, p - Напівпериметр.

Площа чотирикутника

Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін:

На малюнку 156 наведено креслення деяких прямокутників, у яких показані суміжні сторони a та b

Ромб

Квадрат. Квадратом називається прямокутник, усі сторони якого рівні.
Властивості та ознаки ромба
1. Діагоналі ромба перпендикулярні.
2. Діагоналі ромба ділять його кути навпіл
3. Якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні, цей паралелограм — ромб.
4. Якщо діагоналі паралелограма ділять його кути навпіл, цей паралелограм — ромб.

Площа ромба дорівнює половині твору його діагоналей.

Основні формули
Далі S - Площа фігури, P - Періметр, p - Напівпериметр.

Трапеція

Трапецією називається чотирикутник, у якого лише дві протилежні сторони (підстави) паралельні. Середньою лінією трапеції називається відрізок, що сполучає середини непаралельних сторін (бічних сторін).
1. Теорема про середню лінію трапеції. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.
2. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напіврізниці основ.

Чудова властивість трапеції. Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень бічних сторін та середини основ лежать на одній прямій.

Рівнобедрова трапеція. Трапеція називається рівнобедреною, якщо її бічні сторони рівні.
Властивості та ознаки рівнобедреної трапеції
1. Кути при основі рівнобедреної трапеції рівні.
2. Діагоналі рівнобедреної трапеції рівні
3. Якщо кути при основі трапеції рівні, вона рівнобедренная.
4. Якщо діагоналі трапеції рівні, вона рівнобедренная
5. Проекція бокової сторони рівнобедреної трапеції на основу дорівнює напіврізності основ, а проекція діагоналі - напівсумі основ.

Основні формули
Далі S - Площа фігури, P - Періметр, p - Напівпериметр.

Площа трапеції дорівнює половині добутку суми підстав (a + b) на висоту (h):

На малюнку 168 наведено креслення деяких трапецій, у кожній з яких показано підстави a та b та висота h.

Площа чотирикутника дорівнює половині твору його діагоналей на синус кута між ними.

Основні формули
Далі S - Площа фігури, P - Періметр, p - Напівпериметр.

Площа чотирикутника дорівнює половині твору його діагоналей на синус кута між ними.

Основні формули
Далі S - Площа фігури, P - Періметр, p - Напівпериметр.

Чотирикутник - види та властивості з прикладами рішення

Чотирикутник - це фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднують їх відрізків. - Сторонами чотирикутника.

Вершини, що є кінцями однієї сторони чотирикутника, називаються сусідніми, а вершини, що не належать одній стороні, - протилежні.Відрізки, що з'єднують протилежні вершини, називаються діагоналями чотирикутника. Точки, що належать чотирикутнику, ділять площину q на дві множини, які утворюють дві області - внутрішню та зовнішню.

Чотирьохкутник називається опуклим, якщо всі точки, що належать внутрішній області, знаходяться в одній напівплощині від лінії, що містить будь-яку сторону чотирикутника, якщо ці точки знаходяться в різних напівплощинах, то чотирикутник називається невипуклим (увігнутим).

Якщо з'єднати будь-які дві точки внутрішньої області опуклого багатокутника, то відрізок, що з'єднує ці точки, повністю знаходиться у внутрішній ділянці чотирикутника.

Діагоналі опуклого чотирикутника знаходяться у внутрішній ділянці. У неопуклого чотирикутника одна з діагоналей знаходиться у зовнішній ділянці. Кожна з двох діагоналей опуклого чотирикутника поділяє його на два трикутники.

Внутрішні та зовнішні кути чотирикутника

Кут, суміжний будь-якому куту опуклого чотирикутника, називається зовнішнім кутом. З будь-якої вершини чотирикутника можна провести два зовнішні кути, які є вертикальними кутами і відповідно дорівнюють один одному. Тому, говорячи про зовнішній кут чотирикутника, ми матимемо на увазі один з них. На малюнку для внутрішніх кутів кути є зовнішніми.

Кожен внутрішній кут опуклого чотирикутника менший Градусний захід внутрішнього кута непуклого чотирикутника може бути більшим

Сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника

Теорема. Сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника дорівнює

Доведіть теорему, ґрунтуючись на тому, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює Доказ подайте у вигляді двостовпчастої таблиці.

Сума зовнішніх кутів опуклого чотирикутника

Теорема. Сума зовнішніх кутів опуклого чотирикутника дорівнює

Доведіть теорему, спираючись на те, що зовнішній і внутрішній кут при кожній вершині є суміжними кутами.

Паралелограм

Паралелограм та його властивості

Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Теорема 1. Протилежні сторони паралелограма є конгруентними.

Теорема 2. Протилежні кути паралелограма конгруентні.

Теорема 3. Сума кутів, що належать до одного боку паралелограма дорівнює

Теорема 4. Діагоналі паралелограма перетинаються і діляться точкою перетину навпіл.

Теорема 5. Діагоналі паралелограма ділять його на два конгруентні трикутники.

Ознаки паралелограма

Теорема 1. Чотирьохкутник у якого дві протилежні сторони конгруентний паралельні є паралелограм.

Теорема 2. Чотирьохкутник з попарно-конгруентними сторонами є паралелограм.

Теорема 3. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться по підлогах, цей чотирикутник є паралелограм.

Прямокутник

Паралелограм, усі кути якого прямі, називається прямокутником.

Усі властивості паралелограма відносяться до прямокутника.

Поряд з цим прямокутник має таку властивість:

Теорема. Діагоналі прямокутника є конгруентними.

Ознака прямокутника

Паралелограм, у якого діагоналі конгруентними є прямокутник.

Ромб та квадрат

Властивості ромба

Паралелограм, у якого всі сторони конгруентні, називається ромбом. Усі властивості паралелограма відносяться до ромбу. Поряд з цим, ромб має такі властивості:

Теорема 1. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів і перетинаються під прямим утлом.

Теорема 2. (Зворотна георема). Паралелограм, у якого діагоналі перпендикулярні є ромб. Якщо паралелограм є ромбом.

Доказ теореми 1.

Дано: ромб.

Доведіть, що

Доказ (словесний): При цьому, оскільки ромб є паралелограмом, а діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл, тоді можна записати, що рівнобедрений. Медіана (так як), є також і бісектриса і висотою. Тобто. Оскільки є прямим кутом, то . Аналогічним чином можна довести, що

Якщо чотирикутник є ромбом або квадратом, справедливі такі твердження.

Ромб:

• 1. Усі властивості паралелограма дійсні для ромба.
• 2. Усі сторони конгруентні.
• 3. Діагоналі взаємно перпендикулярні.
• 4. Діагоналі ромба ділять його кути навпіл.

Квадрат:

• 1. Усі властивості прямокутника та ромба дійсні для квадрата.
• 2. Усі кути прямі.
• 3. Усі сторони конгруентні.
• 4. Діагоналі рівні, взаємно перпендикулярні, діляться точкою перетину навпіл, є бісектрисами кутів квадрата.

Трапеція

Чотирьохкутник, у якого лише дві сторони паралельні, називається трапецією.

Паралельні сторони трапеції називаються підставами, не паралельні сторони називаються бічними сторонами.

Трапеція, у якої бічні сторони рівні називається рівнобедреною трапецією.

Трапеція, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основи називається прямокутною трапецією.

Теорема 1. У рівнобедреній трапеції кути, що прилягають до основи конгруентні.

Теорема 2. Діагоналі рівнобедреної трапеції конгруентні.

План доказу теореми 2

Дано: рівнобедрена трапеція.

Доведіть:

Середня лінія трикутника

Теорема Фалес. Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відсікають на одній стороні конгруентні відрізки, то вони відсікають конгруентні відрізки і на іншій його стороні. Якщо тоді Запишіть у зошиті доказ теореми, заповнивши пропущені рядки.

Доказ: через точку проведемо паралельну пряму до прямої

Якщо за умови теореми Фалеса, замість кута взяти дві довільні прямі, то результат не зміниться.

Дослідження: 1) У трикутнику через точку – середину сторони проведіть пряму паралельну Яка фігура вийшла? Чи є трапецією? Виміряйте та порівняйте підстави отриманої трапеції. 2) Виміряйте та порівняйте довжини відрізків Чи можна стверджувати, що

Визначення: Відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника, називається середньою лінією цього трикутника. Теорема. Середня лінія, що з'єднує середини двох сторін трикутника, паралельна третій стороні і дорівнює її половині

Доказ. Нехай дано трикутник та його середня лінія Проведемо через точку пряму паралельну сторону По теоремі Фалеса вона проходить через середину сторони тобто. збігається із середньою лінією Т.е. середня лінія паралельна стороні Тепер проведемо середню лінію Т.к. то чотирикутник є паралелограмом. По властивості паралелограма По теоремі Фалеса Тоді Теорема доведена.

Середня лінія трапеції

Середньою лінією трапеції називається відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції.

Теорема. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Доказ: Через точку та точку середину проведемо пряму та позначимо точку перетину зі стороною через

Координати середини відрізка

Дослідження: Накресліть числову вісь.Побудуйте коло з центром у точці радіусом 3 одиниці. Обчисліть значення виразу Чи є зв'язок між значенням даного виразу та координатою точки

Координати середини відрізка

1) Нехай на числовій осі задані точки та і точка, яка є серединою відрізка

то звідси випливає, що

2) По теоремі Фалеса, якщо точка є серединою відрізка то на осі абсцис точка є відповідно координатою середини відрізка кінці якого знаходяться в точках і

3) Координати середини відрізка з кінцями та точки знаходяться так:

Переконайтеся, що ця формула правильна у випадку, якщо відрізок паралельний одній з осей координат.

Теорема Піфагора

У цьому розділі ви навчитеся:

• розрізняти раціональні та ірраціональні числа;
• спрощувати вирази, що містять квадратне коріння;
• вирішувати завдання на вилучення квадратного кореня;
• основ теореми Піфагора;
• вирішувати практичні завдання, використовуючи теорему Піфагора.

При вирішенні таких завдань як обчислення сили шторму на морі, швидкості автомобіля при аварії, визначення місця приземлення при стрибку з парашутом часто доводиться проводити обчислення з числами, що стоять під знаком кореня.

Теорема Піфагора дуже часто використовується під час вирішення геометричних завдань.

Ім'я Піфагора асоціюється з прямокутним трикутником та співвідношенням між його сторонами. Грецький вчений Піфагор, який жив у VI столітті до нашої ери, є фундатором школи, в якій викладалися музика, гімнастика, філософія та геометрія. Учні школи називали себе Піфагорійцями. Вони проголошували гармонію музики та чисел у природі і не вірили в існування ірраціональних чисел.

Практична робота:

Крок 1 Виріжте з картону два однакові квадрати.

Крок 2 На стороні одного з них позначте відрізки як показано на малюнку і розріжте його на два квадрати та два прямокутники.

Крок 3 Отримані фігури розташуйте, як показано малюнку.

Крок 4. На сторонах іншого квадрата позначте відрізки як показано на малюнку і відріжте чотири прямокутні трикутники.

Крок 5. Що ви можете сказати про конгруентність цих трикутників? До якого виду належить фігура, що залишилася, після того, як ви відрізали трикутники і прибрали їх? Чому дорівнює кожен внутрішній кут цього чотирикутника?

Крок 6 Розташуйте отримані фігури, як показано на малюнку.

Крок 7. Порівняйте результати, які ви отримали на 3 та 6 кроках. Якого висновку ви дійшли?

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Якщо розглянути площі квадратів, побудованих на сторонах прямокутного трикутника, то теорему Піфагора можна перефразувати так: у прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах:

Якщо у прямокутному трикутнику задані дві сторони, то третю сторону можна знайти за теоремою Піфагора.

Приклад:

Знайдемо довжину катета на малюнку:

Історична довідка: Піфагор народився 569 року до нашої ери на острові Самос у Греції. В історії його ім'я увічнено теоремою, яка називається теоремою Піфагора. Вона відома своєю простотою та практичним значенням. Про цю теорему знали ще задовго до Піфагора. Проте, з писемних джерел випливає, що вперше її довів саме Піфагор.Крім оригінального доказу теореми самим Піфагором, відомі також докази Евкліда, Леонардо да Вінчі, Президента Америки Джеймса Гарфілда. У 1940 році широкому загалу була представлена ​​книга, де наводилося 370 доказів теореми. На малюнку ви бачите статую, зведену на честь Піфагора на батьківщині острова Самос.

Зворотна теорема:

Якщо квадрат однієї із сторін трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, такий трикутник є прямокутним трикутником. Якщо те – прямокутний.

Прямокутні трикутники, які виражаються натуральними числами, називаються Піфагоровими трикутниками. Найпоширеніший прямокутний трикутник має сторони 3; 4; 5. Стародавні єгиптяни повсюдно користувалися цим трикутником для вимірів. Такий трикутник називається єгипетським трикутником. Трикутники із сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. також є трикутниками Піфагор. А ці числа називаються Піфагоровими трійками. Якщо числа є Піфагоровими трійками, то числа також є Піфагоровими трійками.

Довідковий матеріал по чотирикутнику

Позначимо чотири точки, наприклад, А, В, С, D, з яких ніякі три не лежать на одній прямій. Послідовно з'єднаємо їх відрізками, що не перетинаються АВ, ВС, CD, DA. Отримаємо чотирикутник ABCD.

Точки А, В, С, D – вершини чотирикутника, відрізки АВ, ВС, CD, DA – його сторони. Кути DAB, ABC, BCD, CDA – це кути чотирикутника. Їх також позначають однією літерою -

Вершини, сторони та кути чотирикутника називають його елементами. ? | Чому фігури, зображені на малюнках 2 та 3, не є чотирикутниками?

У фігури малюнку 2 відрізки АС і BD перетинаються, а фігури малюнку 3 точки A, D, З лежать однією прямої.

Чотирьохкутник позначають, послідовно записуючи його вершини, починаючи з будь-якої з них. Наприклад, чотирикутник малюнку 4 можна позначити так: ABCD, чи BCDA, чи CDAB тощо. буд. Для цього чотирикутника запис, наприклад, ADBC ​​чи CDBA - неправильна.

Дві вершини, два кути або дві сторони чотирикутника можуть бути або сусідніми, або протилежними. Наприклад, у чотирикутнику ABCD (рис. 4) вершини А і D, ZA і ZD, сторони AD і АВ - сусідні, а вершини А і С, сторони AD і ВС - протилежні.

Відрізки, що з'єднують протилежні вершини чотирикутника, називають його діагоналями. На рис. 4 відрізки АС та BD - діагоналі чотирикутника ABCD.

Чотирикутники бувають опуклими та невипуклими.

Якщо чотирикутник лежить по одну сторону від кожної прямої, що з'єднує дві його сусідні вершини, він опуклий. На малюнку 5 чотирикутник опуклий, а малюнку б - непуклий, оскільки він лежить по одну сторону від прямої, що проходить через вершини М і N.

Ми вивчатимемо лише опуклі чотирикутники. Сума довжин усіх сторін чотирикутника називається його периметром. Периметр позначають літерою Р.

Записати, що периметр чотирикутника ABCD дорівнює 40 см можна так: =40 cm

Приклад:

Доведіть, що кожна сторона чотирикутника менша від суми трьох інших його сторін.

Рішення:

Діагональ АС чотирикутника ABCD ділить його на два трикутники ABC та ADC (рис. 7). + CD (за нерівністю трикутника). Тоді. Аналогічно АВ 45 і DC і АС.З рівності трикутників ABC і CD А випливає: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) . Кути А і С паралелограма дорівнюють сумі рівних кутів.

Чи може у паралелограмі бути лише один гострий кут? Не може, оскільки, згідно з доведеною теоремою, таких кутів два.

Приклад №1

Сума кутів, що прилягають до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180 °. Доведіть це.

Рішення:

(рис. 31) за якістю внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих ВС та AD та січній АВ. Аналогічно (АВ \ CD, НД-секуча), (ВС | | AD, CD - січна), (АВ | | CD, AD- січна).

Теорема (властивість діагоналей паралелограма).

Діагоналі паралелограма точкою їх перетину діляться навпіл.

Дано: ABCD - паралелограм (рис. 32), АС і BD - діагоналі, О - точка перетину діагоналей. Довести: АТ = ОС, ВО = OD.

Доказ. по стороні А і прилеглим до неї кутам. З них ВС = AD як протилежні сторони паралелограма, як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних прямих ВС і AD і січній BD, (BC || AD, АС-секуча). З рівності трикутників AOD та СОВ випливає: АО = ОС, ВО = OD.

Для того, щоб довести рівність відрізків (кутів) у паралелограмі, доведіть рівність трикутників, відповідними елементами яких є ці відрізки (кути).

Властивості паралелограма наведено у таблиці 3.

1. Виникає питання: Скільки даних необхідно для побудови паралелограма? Таких даних має бути три, серед яких не більше одного з його кутів (один кут паралелограма визначає інші кути).

2. Назва «паралелограм» (parallelogrammon) походить від поєднання грецьких слів: «параллелос» – що йде поруч і «грама» – лінія.

Цей термін вперше згадується в "Початках" Евкліда (III ст. До н. Е..).Спочатку замість терміна «паралелограм» давньогрецький вчений використовував словосполучення «утворена паралельними лініями площа» (частина площини, обмежена двома парами паралельних прямих).

Ознаки паралелограма

Вирішуючи завдання, іноді потрібно встановити, що цей чотирикутник - паралелограм. Для цього використовують ознаки паралелограма.

Теорема (ознака паралелограма).

Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то такий чотирикутник - паралелограм.

Дано: ABCD - чотирикутник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Довести: ABCD-паралелограм.

Доказ. Проведемо діагональ BD (рис. 52). по трьох сторонах. У них BD - загальна сторона, АВ = DC і ВС = AD за умовою. З рівності трикутників випливає: Кути CBD і ADB - внутрішні навхрест лежать при прямих ВС і AD і січній BD. Тому ЗС || AD. Кути ABD та СОВ також внутрішні навхрест лежать при прямих АВ та DC та січній BD. Тому АВ | DC. Оскільки у чотирикутнику ABCD ВС ||AD і АВ ||DC, то, за визначенням, цей чотирикутник — паралелограм.

Чи можна вважати чотирикутник паралелограмом, якщо в ньому дві протилежні сторони рівні, а дві інші – паралельні?

Ні, не можна. На малюнку 53 АВ = CD, НД || AD, але чотирикутник ABCD – не паралелограм.

Теорема (ознака паралелограма).

Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони рівні та паралельні, то такий чотирикутник – паралелограм.

Дано: ABCD - чотирикутник (рис. 54), і АВ = DC, АВ || DC.

Довести: ABCD - паралелограм.

Доказ. Проведемо діагональ АС (рис. 54). з обох боків і кутку між ними.Вони мають АС — загальна сторона, АВ = DC за умовою, як внутрішні навхрест лежать кути при паралельних прямих АВ і DC і АС. З рівності трикутників випливає: Але кути DAC і ВС А — внутрішні навхрест, що лежать при прямих ВС та AD та січній АС. Тому ЗС || AD. Оскільки у чотирикутнику ABCD AD || БС(за доведеним) та АВ || DC (за умовою), то, за визначенням, цей чотирикутник – паралелограм.

Приклад №2 (Ознака паралелограма).

Якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою їх перетину навпіл, такий чотирикутник — паралелограм. Доведіть це.

Рішення:

Нехай ABCD-даний чотирикутник, О - точка перетину його діагоналей і ВО = OD, АО = ОС (рис. 55). Доведемо, що ABCD – паралелограм. з обох боків і кутку між ними. Вони ВО = OD, АО = ОС за умовою, як вертикальні. З рівності трикутників випливає: ВС= AD і Але кути ОВС і ODA — внутрішні навхрест, що лежать при прямій BDuADh секучій. Тому BC AD.

Оскільки у чотирикутнику ABCD ВС= AD та ВС || AD, то, згідно з доведеною ознакою, цей чотирикутник - паралелограм.

Щоб встановити, що чотирикутник – паралелограм, доведіть, що в ньому:

1. або протилежні сторони попарно паралельні (визначення паралелограма),
2. або протилежні сторони попарно рівні (ознака),
3. або дві протилежні сторони рівні і паралельні (ознака),
4. або діагоналі діляться точкою їх перетину навпіл (ознака).

Вам вже знайомі поняття "необхідно", "достатньо", "необхідно і достатньо". У таблиці 5 розгляньте пари тверджень А та В та з'ясуйте зміст цих понять.

Зверніть увагу, що твердження "Л достатньо для В" і "А необхідно для В" - взаємно зворотні.Їх можна об'єднати та сформулювати наступним чином.

Для того, щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо, щоб його протилежні сторони були рівно рівні.

Іноді замість «необхідна і достатня умова» кажуть «необхідна і достатня ознака», а частіше просто «ознака». Тому теореми цього параграфу називаємо «ознаками паралелограма».

Прямокутник

Паралелограми, як і у трикутники, можна розділити на види. Прямокутник - один із видів паралелограма. На малюнку 73 ви бачите паралелограм ABCD, що є прямокутником. Дайте визначення прямокутнику та порівняйте його з наведеним у підручнику.

Паралелограм, у якого всі кути прямі, називається прямокутником.

Оскільки прямокутник - окремий вид паралелограма, то йому притаманні всі властивості паралелограма:

1. протилежні сторони рівні;
2. протилежні кути рівні;
3. діагоналі діляться точкою їх перетину навпіл.

Крім цих властивостей, прямокутник має ще й особливу властивість.

Дано: ABCD — прямокутник, АС та BD — діагоналі (рис. 74).

Довести: АС = BD.

Доказ. Прямокутні трикутники ACDw DBA дорівнюють двом катетам. При цьому AD - загальний катет, а катети АВ і DC дорівнюють як протилежні сторони паралелограма. З рівності трикутників випливає: АС = BD.

Властивості прямокутника наведено у таблиці 8.

Чи можна стверджувати, що паралелограм, у якому діагоналі рівні, прямокутник? Так, але це потрібно довести.

Приклад №3 (Ознака прямокутника).

Якщо діагоналі паралелограма рівні, такий паралелограм — прямокутник. Доведіть це.

Рішення:

Нехай ABCD — паралелограм, у якому АС = BD (рис. табл. 8).Доведемо, що . по трьох сторонах. Вони AD — загальна сторона, АС = BD за умовою, АВ = DC — як протилежні сторони паралелограма. З цього випливає, що . Оскільки паралелограмі протилежні кути рівні, то: . За якістю кутів чотирикутника,

Отже: 4 = 90°, тобто паралелограм ABCD — прямокутник.

Щоб встановити, що цей паралелограм - прямокутник, доведіть, що він: чи всі його кути прямі (визначення прямокутника), чи діагоналі рівні (ознака).

Чи можна стверджувати, що чотирикутник, у якому діагоналі рівні, це прямокутник? Ні, не можна (див. мал. 75). Необхідно перевірити, чи виконується одна з ознак паралелограма. Наприклад, чи діляться діагоналі точкою їхнього перетину навпіл.

Постає питання: Чи можна сформулювати інші визначення прямокутника?

У молодших класах прямокутником називали чотирикутник, усі кути у якому прямі. Тепер ми визначили прямокутник як окремий вид паралелограма. Можливі такі визначення прямокутника: паралелограм, у якому всі кути рівні (Дійсно, сума кутів паралелограма становить 360 °, тоді кожен з них дорівнює 90 °); паралелограм, в якому є прямий кут (Дійсно, у паралелограмі сума суміжних кутів становить 180е, а протилежні кути рівні. Якщо один з його кутів прямий, то і три інші — прямі). Ці визначення прямокутника еквівалентні.

Отже, існують різні визначення того самого поняття.

Ромб. Квадрат

Чи можуть у паралелограмі всі сторони бути рівними? Так, можуть. На малюнку 94 у паралелограмі ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Це ще один вид паралелограма – ромб.

Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом.

Чи можна стверджувати, що паралелограм є ромбом, якщо дві його суміжні сторони рівні? Так, можна. Рівність усіх сторін такого паралелограма випливає із властивості: протилежні сторони паралелограма рівні.

Теорема (Властивості діагоналей ромба). Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. Діагоналі ромба ділять його кути навпіл.

Дано: ABCD - ромб (рис. 95), О-точка перетину діагоналей АС і BD.

Довести:

Доказ. Відповідно до визначення ромба АВ = ВС, тому трикутник ABC рівнобедрений. Так як ромб ABCD-паралелограм, то АТ - ОС. Звідси ВО-медіана рівнобедреного трикутника ABC, отже, висота і бісектриса цього трикутника. Тому.

Аналогічно доводимо, що діагональ BD ділить навпіл кут D, а діагональ АС-кути А і С ромба ABCD.

Властивості ромба наведені в таблиці 10. Таблиця 1

Приклад №4 (Ознака ромба)

Доведіть, що паралелограм, діагоналі якого взаємно перпендикулярні, є ромбом.

Рішення:

Нехай ABCD — це паралелограм, в якому (рис. 96). Доведемо, що ABCD-ромб. з обох боків і кутку між ними.

Оскільки ромб - це окремий вид паралелограма, він має всі властивості паралелограма (назвіть їх). Крім того, ромб має особливі властивості. Вони сторона АТ — загальна, OB = OD за якістю діагоналей паралелограма, за умовою. З рівності трикутників слідує: АВ = AD. Тоді АВ = CD і AD = ВС за якістю протилежних сторін паралелограма. Отже, всі сторони паралелограма дорівнюють, тому він є ромбом.

Для того щоб встановити, що цей паралелограм - ромб, доведіть, що в ньому:

• або всі сторони рівні (визначення ромба),
• або діагоналі взаємно перпендикулярні (ознака).

Прямокутник, у якому всі сторони рівні, називається квадратом.

На малюнку 97 ви бачите квадрат ABCD.

Існують й інші визначення квадрата: ромб, у якому всі кути прямі, називається квадратом; прямокутник, у якому всі сторони рівні, називається квадратом; Паралелограм, у якому всі сторони рівні та всі кути прямі, називається квадратом. Отже, квадрат має всі властивості паралелограма, прямокутника та ромба. Перелічимо властивості квадрата.

1. Протилежні сторони та протилежні кути квадрата рівні. Діагоналі квадрата в точці перетину діляться навпіл (властивості паралелограма).
2. Діагоналі квадрата рівні (властивість прямокутника).
3. Діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл (властивості ромба).

Квадрат є окремим видом і ромба, і прямокутника, і паралелограма. Ромб і прямокутник - це окремі види паралелограма. Співвідношення між видами паралелограмів показано на

1. Розгляньте таблицю класифікації паралелограмів по сусідніх кутах та суміжних сторонах. Запропонуйте свою класифікацію вивчених видів паралелограма.

2. Крім паралелограм є ще один вид чотирикутників - дельтоїд. Цю фігуру отримаємо, якщо два рівнобедрені трикутники ABC і ADCc рівними основами АС докласти один до одного так, як показано на малюнку 99.

Властивості дельтоїда випливають із властивостей рівнобедреного трикутника. Наприклад, діагоналі взаємно перпендикулярні, одна з них ділить кути навпіл та іншу діагональ — навпіл. Сформулюйте, користуючись малюнком інші властивості дельтоїда.Якщо рівнобедрені трикутники, у тому числі утворений дельтоїд, рівні, такий дельтоїд є ромбом. Якщо рівнобедрені трикутники ще й прямокутні, то дельтоїд є квадратом.

3. Слово «ромб» походить від грецької rhombos - дзиґа, обертання. Слово «квадрат» походить від латинського quadratum - Чотирикутник. Квадрат був першим чотирикутником, який розглядався у геометрії.

Теорема Фалес. Середня лінія трикутника

Накресліть кут ABC (рис. 117).

Довільним розчином циркуля відкладіть на стороні АВ кута рівні відрізки і Проведіть за допомогою креслярського косинця та лінійки через точки паралельні прямі, які перетнуть бік ВС цього кута в точках За допомогою циркуля порівняйте довжини відрізків Зробіть висновок.

Теорема Фальос. Якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відсікають на одній стороні рівні відрізки, то вони відсікають рівні відрізки і на іншій його стороні.

Довести:

Доказ. Проведемо через точки прямі паралельні НД. збоку і прилеглим до неї кутам. Вони мають за умовою, як відповідні кути при паралельних прямих. З рівності цих трикутників випливає, що і як протилежні сторони паралелограмів

Чи справедлива теорема Фалеса, якщо замість сторін кута взяти дві довільні прямі? Так, справедливо. Паралельні прямі, що перетинають дві задані прямі і відсікають на одній прямій рівні відрізки, відсікають рівні відрізки і на іншій прямій (рис. 119).

Приклад №5

Розділіть цей відрізок АВ на п'ять рівних частин.

Рішення:

Проведемо з точки А промінь АС, що не лежить на прямій АВ (рис. 120).

Відкладемо на промені АС п'ять рівних відрізків: АА Проведемо пряму . Через точки проведемо прямі, паралельні до прямої . По теоремі Фалеса, ці прямі поділяють відрізок АВ п'ять рівних частин.

Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.

На малюнку 121 відрізок MN – середня лінія , оскільки точки М та N – середини сторін АВ та ВС.

Теорема (Властивості середньої лінії трикутника). Середня лінія трикутника паралельна третій його стороні і дорівнює її половині.

Дано: (рис. 122), AD = BD, СЕ = BE.

Довести:

Доказ. 1) Нехай DE-середня лінія. Проведемо через точку D пряму, паралельну АС. Відповідно до теореми Фалеса, вона перетинає відрізок НД у його середині £, тобто містить середню лінію DE. Отже, DE || АС.

2) Проведемо пряму EF|| АВ. За теоремою Фалеса, пряма EFділить відрізок 1

АС навпіл: . За побудовою, чотирикутник ADEF-паралелограм, тому DE = AF. Отже,

Приклад №6

Доведіть, що середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма.

Рішення:

Нехай ABC - даний чотирикутник і М, N, Р, К - середини його сторін (рис. 123). Доведемо, що MNPK – паралелограм. Проведемо діагональ AC. MN-середня лінія ААВС.

Тому. КР-середня лінія трикутника ADC. Тому КР | АС та

Отримуємо: MN | АС та КР || АС, звідси MN | КР, звідси MN = КР. Протилежні сторони MN і КР чотирикутника MNPK рівні та паралельні, отже це паралелограм.

Якщо за умовою завдання дано середини деяких відрізків, можна використовувати властивості середньої лінії трикутника.

Давньогрецького вченого Фалеса з Мілета (625 - 548 рр.. до н. е..) вважають одним із семи мудреців світу.Геній Фалес знайшов втілення в різних сферах діяльності. Він займався інженерною справою, був державним діячем, математиком, астрономом. Особливою заслугою Фалеса і те, що він ввів у математику ідею докази. Вчений довів, що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, що діаметр ділить коло на дві рівні частини, що прямий кут можна вписати в півколо і т. д. Історики вважають, що саме Фалес почав використовувати основні геометричні інструменти - циркуль та лінійку. Вчений вимірював висоту єгипетських пірамід за довжиною їх тіней, вперше передбачив сонячне затемнення, що спостерігалося 585 р. до зв. е.

Трапеція

Ви вже знаєте, що чотирикутник із попарно паралельними протилежними сторонами - паралелограм.

На малюнку 143 зображено чотирикутник ABCD, дві сторони AD і ВС якого паралельні, а дві інші - АВ і CD - непаралельні. Такий чотирикутник – трапеція. Дайте визначення трапеції та порівняйте його з наведеним у підручнику.

Трапецією називається чотирикутник, у якому дві сторони паралельні, а дві інші - непаралельні.

Паралельні сторони трапеції називаються її підставами, а непаралельні – бічними сторонами. На малюнку 144 AD і ВС - основи трапеції, АВ та CD - бічні сторони.

Чи можуть підстави трапеції бути рівними? Не можуть, оскільки тоді матимемо паралелограм.

Висотою трапеції називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи до іншої основи або її продовження (рис. 144).

Трапеція, у якій бічні сторони рівні, називається рівнобедреною. На малюнку 145 трапеція MNKP – рівнобедрена, оскільки MN = КР.

Трапецію, один із кутів якої прямий, називають прямокутною. Трапеція ABCD (рис. 146) – прямокутна, оскільки = 90*.

Середньою лінією трапеції називається відрізок, що з'єднує середини її боків.

На малюнку 147 відрізок EF – середня лінія трапеції ABCD, оскільки точки Е та F – середини бічних сторін АВ та CD.

Теорема (Властивості середньої лінії трапеції). Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

Дано: ABCD - трапеція з основами AD і ПС (рис. 148), EF-середня лінія. Довести:

Доказ. Оскільки EF - середня лінія трапеції ABCD, то АЕ = BE, DF = CF. Через точки В і проведемо пряму, що перетинає продовження основи ADb точці Q. no стороні і кутам, що прилягають до неї. У них CF = FD за умовою, як вертикальні, внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних прямих ВС і АТ та січній CD. З рівності трикутників випливає: BF - F0, тобто середня лінія ЕF трапеції є середньою лінією трикутника АВО.

1) За якістю середньої лінії трикутника EF || АТ, тому EF || AD. Оскільки AD || НД, то EF\ НД.

Приклад №7 (Властивість рівнобедреної трапеції).

У рівнобедреній трапеції кути при основі рівні. Доведіть це.

Рішення:

Нехай у трапеції ABCD (рис. 149) АВ = CD. Доведемо, що кути при основі AD рівні.

Проведемо РЄ || АВ. Отриманий чотирикутник АВСЕ паралелограм, так як його протилежні сторони попарно паралельні. За властивістю паралелограма, АВ = РЄ, а за умовою - АВ = CD. Отже, С = CD і рівнобедрений. Тому відповідні кути при паралельних прямих РЄ та АВ та січній АВ. Звідси

Якщо за умови завдання дана трапеція, то корисна така додаткова побудова: проведіть через вершину трапеції пряму, паралельну бічній стороні (рис. 149 або 150), та використовуйте властивості отриманих паралелограма та трикутника.

Розв'яжіть попереднє завдання, використовуючи рисунок 150. Подивіться на рисунок 151, де зображені вивчені вами

Центральні та вписані кути

Проведемо коло з центром О і збудуємо кут з вершиною в центрі кола (рис. 182). Отримали центральний кут у колі.

Кут з вершиною в центрі кола називається центральним кутом.

Теорема (Про вписаний кут). Вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається.

Дано: - Вписаний в коло з центром О (рис. 188 - 190).

Довести:

Доказ. Розглянемо три випадки розташування центру, кола щодо сторін даного вписаного кута.

1. Центр кола лежить на боці вписаного кута (рис. 188). Проведемо відрізок ОД тоді центральний кут АОС є зовнішнім кутом. За якістю зовнішнього кута трикутника - рівнобедрений (ОВ = OA = R). Тому вимірюється дугою АС. Отже, вписаний кут ABC вимірюється половиною дуги АС.

2. Центр кола лежить у внутрішній ділянці вписаного кута (рис. 189). Проведемо промінь ВО, тоді даний кут дорівнює сумі двох кутів:

З доведеного у першому випадку випливає, що вимірюється половиною дуги AD, a - половиною дуги DC. Тому вимірюється сумою напівдуг AD і DC, тобто J є половиною дуги АС.

3. Центр кола лежить у зовнішній ділянці вписаного кута (рис. 190). Проведемо промінь ВО, тоді:

Наслідок 1.

Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні (рис. 191).Справді, кожен із них вимірюється половиною однієї й тієї ж дуги.

Наслідок 2.

Вписаний кут, що спирається на діаметр, - прямий (рис. 192). Справді, такий кут вимірюється половиною півкола, тобто 180°: 2 = 90°.

Чи рівні вписані кути, що спираються на рівні дуги (рис. 193)? Так, оскільки кожен із цих кутів вимірюється половиною рівних дуг, градусні заходи яких рівні.

Приклад №8

Хорди кола АВ і ПС утворюють кут 30°. Знайдіть хорду АС, якщо діаметр кола дорівнює 10 см.

Рішення:

Проведемо діаметр CD і з'єднаємо точки A та D (рис. 194). як вписані, що спираються на дугу АС (наслідок 1). Тому , оскільки спирається на діаметр кола (наслідок 2). Тоді прямокутному трикутнику ADC катет АС лежить проти кута 30° і дорівнює половині гіпотенузи CD. Отже,

Для того щоб довести рівність двох кутів, покажіть, що вони є вписаними в одне коло і спираються на ту саму дугу або на рівні дуги цього кола.

Розглянемо геометричне місце точок, що використовується під час вирішення складних завдань на побудову.

Нехай АВ - деякий відрізок прямої а, М - довільна точка, що не лежить на прямій a, (рис. 195). Тоді кажуть: із точки М відрізок АВ видно під кутом а.

Якщо описати коло близько (рис. 196), то з будь-якої точки дуги АМВ (крім точок А і В) відрізок АВ видно під кутом а (наслідок 1 з теореми про вписаний вугілля). Оскільки точку можна взяти і з іншого боку від прямої а, існує ще одна дуга, наприклад ANB (рис. 197), з кожної точки якої (крім точок А і В) відрізок АВ видно під кутом а.Тому геометричним місцем точок, з яких відрізок АВ видно під кутом а, є фігура, що складається з двох дуг АМВ і AN без точок А і В. Щоб побудувати одну з двох дуг цього геометричного місця точок для гострого кута а, необхідно:

Вписані та описані чотирикутники

Зазначимо на колі чотири точки та з'єднаємо їх хордами (рис. 222). Отримали чотирикутник, вписаний у коло.

Чотирьохкутник, всі вершини якого лежать на колі, називається вписаним в це коло, а коло - описаною біля цього чотирикутника.

Зазначимо на колі чотири точки та проведемо через них відрізки дотичних, як показано на малюнку 223. Отримали чотирикутник, описаний біля кола.

Чотирьохкутнику всі сторони якого стосуються кола, називається описаним біля цього кола, а коло - вписаним у цей чотирикутник.

Властивість вписаного чотирикутника та його ознака пов'язані з кутами цього чотирикутника.

Теорема (Властивість кутів вписаного чотирикутника). Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180”.

Дано: чотирикутник ABCD, вписаний у коло (рис. 224).

Довести:

Доказ. Кути А, В, Сі D вписані в коло.

З теореми про вписаний кут випливає:

Сума всіх кутів чотирикутника дорівнює 360 °, а сума кутів А і С - 180 °. Тоді

Чи біля кожного чотирикутника можна описати коло? На відміну від трикутника не кожен чотирикутник – вписаний. Наведемо ознаку вписаного чотирикутника без підтвердження.

Теорема (Ознака вписаного чотирикутника).Якщо у чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180е, то біля такого чотирикутника можна описати коло.

Приклад №9

Доведіть, що при рівнобедреній трапеції можна описати коло.

Рішення:

Нехай ABCD - рівнобедрена трапеція з основами AD і ВС (рис. 225).

Доведемо, що . У будь-якій трапеції сума кутів, що прилягають до одного боку, дорівнює 180° (випливає з властивості паралельних прямих).

Тому, . За якістю рівнобічної трапеції,

Тоді і, згідно з ознакою вписаного чотирикутника, трапеція ABCD - вписана. Властивість описаного чотирикутника та його ознака пов'язані зі сторонами цього чотирикутника.

Теорема (Властивість сторін описаного чотирикутника). Суми протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнюють.

Дано: чотирикутник ABCD, описаний біля кола (рис. 226), Е, F, K та P — точки дотику.

Довести: АВ + CD = НД + AD.

Доказ. За якістю дотичних, проведених до кола з однієї точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Склавши почленно ці рівності, отримаємо: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, тобто АВ + CD = НД + AD.

Чи кожен чотирикутник можна вписати коло? На відміну від трикутника, не кожен чотирикутник можна вписати коло. Наведемо ознаку описаного чотирикутника без доказу.

Теорема (Ознака описаного чотирикутника). Якщо у чотирикутнику суми протилежних сторін рівні, то цей чотирикутник можна вписати коло.

Щоб довести, що чотирикутник MNKP (рис. 227) — вписаний, покажіть, що: або M + K = 180°, або N + P = 180°. Щоб довести, що чотирикутник ABCD (рис. 227) є описаним, покажіть, що: AB + CD = AD + BC.

1.Крім кіл, вписаних і описаних біля чотирикутника, існують ще й вписані кола.

Проведемо в довільному чотирикутнику ABCD бісектриси зовнішніх кутів при вершинах А, В, С та D [рис. 228). Точки їх перетину центри чотирьох вписаних кіл. Кожна з них стосується однієї сторони чотирикутника та продовження двох інших сторін. Вписані кола мають таку властивість: їх центри є вершинами чотирикутника, вписаного в коло. Справді,

Отже, чотирикутник - вписаний у коло.

2. Давньогрецькі вчені відкрили, крім уже відомих вам, інші цікаві властивості вписаних та описаних чотирикутників. Наприклад.

Теорема Птолемея (ІІ ст.). Добуток діагоналей вписаного чотирикутника дорівнює сумі творів його протилежних сторін.

Завдання Архімеда (III ст. До н. Е..). Якщо діагоналі вписаного чотирикутника перпендикулярні, то сума квадратів чотирьох відрізків, на які діляться діагоналі точкою перетину, дорівнює квадрату діаметра описаного кола. Пізніше (IX — XIII ст.) арабські вчені доповнили відомості про вписані та описані чотирикутники та способи дослідження їх властивостей. Так, обдарований геометр Гасан ібн-Гайтем (помер 1038 р.) запропонував спосіб, що дозволяє встановити, використовуючи лише циркуль, чи є цей чотирикутник вписаним. Нехай дано чотирикутник ABCD (рис. 229).

Продовжимо сторону AD за точку D. Проведемо дуги рівних кіл з центрами в точках В і D. Якщо KL = МО, то чотирикутник ABCD - вписаний, оскільки ABC + ADC = 180° (доведіть це). В інших випадках чотирикутник не є вписаним.

4 | 3.При розв'язанні задач іноді розглядаються кола, які не задані в умові. На малюнку до завдання спочатку знаходимо чотирикутник, біля якого можна описати коло або який можна вписати коло, а потім використовуємо властивості хорд, діаметрів, вписаних кутів, кутів з вершиною всередині кола і т.д. буд.

Приклад №10

З довільної точки М катета НД прямокутного трикутника ABC проведено перпендикуляр MD до гіпотенузи АВ (рис. 230). Доведемо, що MAD = MCD.

Рішення:

Біля чотирикутника ADMC можна описати коло, оскільки ACM + ADM = 180 °.

Тоді MAD = MCD - вписані кути, що спираються на одну дугу MD.

• Площі фігур у геометрії
• Площі поверхонь геометричних тіл
• Обчислення площ плоских фігур
• Перетворення фігур у геометрії
• Парабола
• Багатогранник
• Вирішення завдань на обчислення площ
• Тіла обертання: циліндр, конус, куля

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.