Рішення системи рівнянь методом підстановки: покрокова інструкція та приклади

Системи рівнянь – основа математичного моделювання реальних процесів. Без уміння вирішувати системи рівнянь не обійтись ні інженерам, ні економістам, ні вченим. Один із найпростіших методів – метод підстановки. Розберемо його покроково на прикладах.

Що таке система рівнянь та метод підстановки

Система рівнянь - це кілька рівнянь, які вирішуються одночасно. У шкільному курсі алгебри найчастіше зустрічаються системи із двох рівнянь із двома невідомими - x та y. Наприклад:

Тут x та y – невідомі, які потрібно знайти. Рішенням системи буде пара чисел, що задовольняє обидва рівняння одночасно.

Метод підстановки дозволяє шукати рішення системи простими математичними діями. Суть його в наступному:

1. Висловлюємо одну невідому через іншу у будь-якому з рівнянь.
2. Підставляємо отриманий вираз у друге рівняння.
3. Отримуємо рівняння з однією невідомою та вирішуємо його.
4. Знаходимо другу невідому, підставляючи знайдене значення.

Такий підхід дозволяє звести систему до одного рівняння та значно спростити рішення. Розберемо його покроково на конкретних прикладах.

Покроковий алгоритм методу підстановки

Щоб грамотно застосовувати метод підстановки, потрібно чітко дотримуватись наступних кроків:

1. Вибрати рівняння, з якого легко висловити одну невідому.
2. Розв'язати це рівняння щодо x чи y.
3. Підставити знайдений вираз у друге рівняння.
4. Вирішити отримане рівняння з однією невідомою.
5. Підставити знайдене значення вираз для іншої невідомої.
6. Обчислити значення другої невідомої.

Давайте розглянемо ці кроки на конкретному прикладі:

2x + 5y = 14 x - 3y = 7

Крок 1. Вибираємо перше рівняння, тому що з нього легко виразити x.

Крок 2. Виражаємо x з першого рівняння: x = 14 – 5y.

Крок 3. Підставляємо цей вираз у друге рівняння: (14 – 5y) – 3y = 7.

Крок 4. Вирішуємо отримане рівняння щодо y: 14 – 8y = 7, 6y = 7, y = 7/6.

Крок 5. Підставляємо значення y у вираз x: x = 14 - 5(7/6) = 2.

Крок 6. Відповідь: x = 2, y = 7/6.

Наслідуючи цей алгоритм, можна безпомилково вирішити будь-яку систему рівнянь методом підстановки. Давайте розглянемо кілька прикладів.

Приклади розв'язання систем рівнянь методом підстановки

Щоб добре освоїти метод підстановки, потрібно вирішити якнайбільше різних систем рівнянь. Давайте потренуємось!

1. Виражаємо x з першого рівняння: x = 10 – y.
2. Підставляємо до другого: 2(10 - y) - y = 7.
3. Вирішуємо щодо y: 20 – 3y = 7, -3y = -13, y = 13/3.
4. Підставляємо вираз для x: x = 10 - 13/3 = 7/3.

Відповідь: x = 7/3, y = 13/3.

2x + 3y = 12 x - 2y = 4

1. Виражаємо y із першого рівняння: y = (12 - 2x)/3.
2. Підставляємо у другий: x - 2((12 - 2x)/3) = 4.
3. Вирішуємо щодо x: x – 8 + 4x/3 = 4, 7x/3 = 12, x = 3.
4. Підставляємо вираз для y: y = (12 - 2*3)/3 = 6/3 = 2.

3x + 4y = 18 2x - 5y = 13

1. Виражаємо x із першого рівняння: x = (18 - 4y)/3.
2. Підставляємо у друге: 2 (18 - 4y) / 3 - 5y = 13.
3. Вирішуємо щодо y: 12 - 14y/3 = 13, -4y = -3, y = 3/4.
4. Підставляємо вираз для x: x = (18 - 4*3/4)/3 = 1.

І так далі. Чим більше прикладів вирішите - краще освоїте метод підстановки. Тренуйтеся!

Корисні поради для застосування методу підстановки

Щоб успішно застосовувати метод підстановки під час вирішення систем рівнянь, слід дотримуватися кількох корисних порад. Давайте розглянемо їх.

Як вибрати рівняння для вираження невідомого

Зазвичай зручніше виражати невідому x через y або навпаки в тому рівнянні, де коефіцієнт при цій невідомій дорівнює 1. Якщо такого рівняння немає, можна один з коефіцієнтів зробити рівним 1, помноживши всі члени рівняння зворотну величину.

Що робити, якщо рішення не виходить

Якщо після підстановки висловлювання на друге рівняння рішення не виходить, має сенс поміняти рівняння місцями. Виразити невідому з другого рівняння та підставити до першого. Іноді це допомагає спростити рішення.

Як перевірити правильність рішення

Щоб переконатися в правильності знайденого рішення системи рівнянь, потрібно підставити отримані значення x і y в обидва вихідні рівняння. Якщо рівності виконуються – рішення правильне.

Як тренувати навичку вирішення систем рівнянь

Щоб добре освоїти метод підстановки, рекомендується регулярно розв'язувати різні системи рівнянь. Можна використовувати збірники завдань, онлайн-тренажери чи вигадувати приклади самостійно. Головне – вирішувати систематично та аналізувати помилки.

Корисні матеріали для самостійних занять

Для закріплення правил вирішення систем рівнянь шляхом підстановки рекомендуються такі ресурсы:

• Відеоуроки на YouTube
• Статті на освітніх сайтах
• Програми для смартфонів із завданнями
• Спеціальні тренажери та симулятори

Метод підстановки стане в нагоді не тільки для вирішення навчальних прикладів, але і для моделювання реальних ситуацій. Наприклад, під час вирішення текстових завдань, які призводять до системи рівнянь.Головне - правильно перекласти умову завдання математичною мовою.

5.1. Вирішення системи лінійних рівнянь методом підстановки

Цей метод також називають «шкільним», «дідівським», «примітивним», чого я не чув лише за роки практики. Його суть полягає в тому, щоб висловити з якогось рівняння якусь змінну і підставити її в інші рівняння:

Приклад 90

Тут ми маємо систему двох рівнянь із двома невідомими. Вільні члени (числа 5 і 7) розташовані зліва і перенесемо їх у відповідні праві частини, чисто для зручності:

Вирішуємо: з першого рівняння виразимо і підставимо цей вираз до другого рівняння:

Розкриваємо дужки, наводимо подібні доданки і знаходимо значення:

Тепер згадуємо про те, від чого танцювали:

Значення нам уже відоме, залишилося знайти:

Після того, як вирішена БУДЬ-ЯКА система рівнянь БУДЬ-ЯКИМ способом, настійно рекомендую виконувати перевірку: усно, на чернетці або калькуляторі.

Благо, робиться це легко та швидко:

1) Підставимо знайдений набір у перше рівняння:

– отримано вірне рівність.

2) Підставляємо знайдений набір у друге рівняння:

- Отримано правильну рівність.

Отже, значення задовольняють КОЖНОМУ рівнянню системи, отже, є її рішенням.

Відповідь:

Розглянутий спосіб рішення є єдиним, з першого рівняння можна було висловити , а чи не .

Можна навпаки – щось висловити з другого рівняння та підставити до першого. До речі, зауважте, найневигідніший із чотирьох способів – це висловити з другого рівняння:

Виходять дроби, а воно навіщо? Є раціональніші шляхи. Але, вочевидь, часом без дробів не обійтися, бо системи бувають різні.

І на всякого пожежника повторю мантру: у вищій математиці всі дії прагнемо проводити у звичайних (правильних та неправильних) дробах.

А тому пишемо, а чи не того хліще. Хоча є винятки, звичайно.

Отже, якщо вам зустрілася система двох лінійних рівнянь із двома невідомими, то завжди можна використовувати метод підстановки (якщо не вказано, що систему потрібно вирішити іншим способом) Жоден викладач не подумає, що ти лох зменшить оцінку за використання «шкільного» методу. Особливо якщо це якісь проміжні обчислення в рамках іншого завдання.

Більше того, у ряді випадків метод підстановки доцільно використовувати і при більшій кількості змінних:

Приклад 91

Вирішити систему лінійних рівнянь із трьома невідомими

Така система з такими літерами виникає в ході вирішення деяких інтегралів та диференціальних рівнянь, де наша мета – ШВИДКО знайти значення. Тому в даному випадку доречний саме метод підстановки.

Рішення: коли нам дана будь-яка система рівнянь, насамперед бажано подивитися, а чи не можна її якось ВІДРАЗУ спростити?

Аналізуючи рівняння системи, зауважуємо, що друге рівняння можна поділити на 2, що ми і робимо:

Тепер потрібно висловити якусь змінну через інші. Яке рівняння вибрати? Напевно, Ви вже здогадалися, що найпростіше для цієї мети взяти перше рівняння системи та висловити з нього, наприклад, «це» (Так само зручно «а» або «бе»):

Підставляємо вираз у друге та третє рівняння системи:

Розкриваємо дужки і наводимо подібні доданки, 3-е рівняння ділимо на 2:

Далі також є варіанти. Дещо вигідніше висловити з 3-го рівняння «бе» і підставити цей вислів у 2-е рівняння:

У результаті другого рівняння отримуємо ,
з третього рівняння , і, нарешті,
з першого рівняння, не заплутатися тут: .

Перевірка: підставимо знайдені значення у ліву частину кожного рівняння вихідної системи:
1)
2)
3)

В результаті отримані відповідні праві частини рівнянь або, як кажуть у народі, «все зійшлося».

Відповідь:

Наступна система для самостійного вирішення:

Приклад 92

Ваше рішення, звісно, ​​може відрізнятися від мого.

Автор: Олександр Емелін