5.1. Вирішення системи лінійних рівнянь методом підстановки
Цей метод також називають «шкільним», «дідівським», «примітивним», чого я не чув лише за роки практики. Його суть полягає в тому, щоб висловити з якогось рівняння якусь змінну і підставити її в інші рівняння:
Приклад 90
Тут ми маємо систему двох рівнянь із двома невідомими. Вільні члени (числа 5 і 7) розташовані зліва і перенесемо їх у відповідні праві частини, чисто для зручності:
Вирішуємо: з першого рівняння виразимо і підставимо цей вираз до другого рівняння:
Розкриваємо дужки, наводимо подібні доданки і знаходимо значення:
Тепер згадуємо про те, від чого танцювали:
Значення нам уже відоме, залишилося знайти:
Після того, як вирішена БУДЬ-ЯКА система рівнянь БУДЬ-ЯКИМ способом, настійно рекомендую виконувати перевірку: усно, на чернетці або калькуляторі.
Благо, робиться це легко та швидко:
1) Підставимо знайдений набір у перше рівняння:
– отримано вірне рівність.
2) Підставляємо знайдений набір у друге рівняння:
- Отримано правильну рівність.
Отже, значення задовольняють КОЖНОМУ рівнянню системи, отже, є її рішенням.
Відповідь:
Розглянутий спосіб рішення є єдиним, з першого рівняння можна було висловити , а чи не .
Можна навпаки – щось висловити з другого рівняння та підставити до першого. До речі, зауважте, найневигідніший із чотирьох способів – це висловити з другого рівняння:
Виходять дроби, а воно навіщо? Є раціональніші шляхи. Але, вочевидь, часом без дробів не обійтися, бо системи бувають різні.
І на всякого пожежника повторю мантру: у вищій математиці всі дії прагнемо проводити у звичайних (правильних та неправильних) дробах.
А тому пишемо, а чи не того хліще. Хоча є винятки, звичайно.
Отже, якщо вам зустрілася система двох лінійних рівнянь із двома невідомими, то завжди можна використовувати метод підстановки (якщо не вказано, що систему потрібно вирішити іншим способом) Жоден викладач не подумає, що ти лох зменшить оцінку за використання «шкільного» методу. Особливо якщо це якісь проміжні обчислення в рамках іншого завдання.
Більше того, у ряді випадків метод підстановки доцільно використовувати і при більшій кількості змінних:
Приклад 91
Вирішити систему лінійних рівнянь із трьома невідомими
Така система з такими літерами виникає в ході вирішення деяких інтегралів та диференціальних рівнянь, де наша мета – ШВИДКО знайти значення. Тому в даному випадку доречний саме метод підстановки.
Рішення: коли нам дана будь-яка система рівнянь, насамперед бажано подивитися, а чи не можна її якось ВІДРАЗУ спростити?
Аналізуючи рівняння системи, зауважуємо, що друге рівняння можна поділити на 2, що ми і робимо:
Тепер потрібно висловити якусь змінну через інші. Яке рівняння вибрати? Напевно, Ви вже здогадалися, що найпростіше для цієї мети взяти перше рівняння системи та висловити з нього, наприклад, «це» (Так само зручно «а» або «бе»):
Підставляємо вираз у друге та третє рівняння системи:
Розкриваємо дужки і наводимо подібні доданки, 3-е рівняння ділимо на 2:
Далі також є варіанти. Дещо вигідніше висловити з 3-го рівняння «бе» і підставити цей вислів у 2-е рівняння:
У результаті другого рівняння отримуємо ,
з третього рівняння , і, нарешті,
з першого рівняння, не заплутатися тут: .
Перевірка: підставимо знайдені значення у ліву частину кожного рівняння вихідної системи:
1)
2)
3)
В результаті отримані відповідні праві частини рівнянь або, як кажуть у народі, «все зійшлося».
Відповідь:
Наступна система для самостійного вирішення:
Приклад 92
Ваше рішення, звісно, може відрізнятися від мого.
Автор: Олександр Емелін
5.3. Метод Крамера
На першому кроці потрібно вирахувати головний визначник системи: .
Якщо , то система має єдине рішення, і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще два визначники:
і
Відразу вловлюємо закономірність: стовпець вільних членів підставляється в головний визначник спочатку на 1-е місце, потім на 2-ге.
Коріння рівняння знаходимо за формулами:
,
Якщо головний визначник дорівнює нулю , то система або несумісна, або має безліч рішень. У цьому випадку використовуємо інший відповідний метод.
Позначення: окрім грецької літери («дельта») визначники також позначають літерою . Як підрядкові індекси зазвичай використовую назви змінних системи, так, якщо вони позначені через , то пишуть .
І виникає запитання: навіщо використовувати правило Крамера? Адже найпростішу систему можна вирішити «шкільним» методом, методом почленного складання.
Ну, по-перше, таке завдання реально зустрічається на практиці – вирішити систему двох лінійних рівнянь із двома невідомими за формулами Крамера. Крім того, цей спосіб зустрічається в навчальній літературі, і він не повинен вас застати зненацька.
І, по-друге, є системи, які зручно вирішити саме за методом Крамера!
Приклад 96
Розв'язати систему лінійних рівнянь
Ми бачимо, що коефіцієнти рівнянь досить великі, а у правій частині присутні десяткові дроби. Кома - досить рідкісний гість у практичних завданнях з математики, і цей приклад я взяв з економетричного завдання.
Як вирішити таку систему? Можна спробувати висловити одну змінну через іншу, але в цьому випадку, напевно, вийдуть наворочені дроби, з якими вкрай незручно працювати, та й оформлення рішення виглядатиме погано. Можна помножити друге рівняння на 6 і провести почленное віднімання, але тут з'явиться страх.
Що робити? У таких випадках і приходять на допомогу формули Крамера.
Рішення: систему вирішимо за правилом Крамера. Обчислимо головний визначник:
Отже, система має єдине рішення.
Увага! Коли ви використовуєте цей метод, обов'язково прописуйте цей фрагмент: «, отже, система має єдине рішення». А якщо ні, то рецензент може Вас покарати за неповагу до теореми Крамера.
Відповідь можна записати приблизно: , що цілком прийнятно (і навіть буденно) для завдань економетрики.
І, звісно, перевірка, яку зручно провести на калькуляторі: підставляємо наближені значення до лівої частини кожного рівняння системи. В результаті з невеликою похибкою повинні вийти числа, що знаходяться у правих частинах.
Приклад 97
Вирішити систему за формулами Крамера. Відповідь подати у звичайних неправильних дробах. Зробити перевірку.
Це приклад для самостійного вирішення та ще одна ілюстрація – якщо коріння дробове, то зручний саме метод Крамера, який дозволить уникнути проміжних дробових обчислень.А до речі, коли може виникнути така ситуація? Якщо ви проводите якесь теоретичне чи практичне дослідження та отримали систему, то з високою ймовірністю її вирішення буде дрібним.
Приклад 98
Вирішити систему рівнянь, відповідь подати в алгебраїчній та показовій формі, зобразити коріння на кресленні.
Рішення: вже з умови можна припустити, що система має єдине рішення, таким чином, нам потрібно знайти два числа, які задовольняють кожному рівнянню системи.
Систему можна вирішити «дитячим» способом, проте краще використовувати формули Крамера. Через чіткість алгоритму і меншу плутанину.
Обчислимо головний визначник системи:
Отже, система має єдине рішення.
Не поспішаємо і прописуємо кроки максимально докладно, Бо за комплексними числами потрібне око та око:
Домножуємо чисельник і знаменник на уявну одиницю та отримуємо 1-й корінь:
Все вдало скоротилося, проте, перевіримо рішення. Підставимо знайдені значення у ліву частину кожного рівняння системи:
– все гаразд, отримані відповідні праві частини.
Представимо коріння у показовій формі. Для цього потрібно знайти їх модулі та аргументи:
1) - арктангенс "двійки" обчислюється "погано", тому так і залишаємо:
Відповідь:
Приклад 99
Вирішити систему рівнянь, виконати перевірку. Знайти добуток коріння та записати результат у тригонометричній формі.
Запишемо правило Крамера для системи трьох рівнянь із трьома невідомими:
Головний визначник системи складається із коефіцієнтів лівих частин – суворо тому порядку, в якому вони знаходяться в системі:
Якщо , то система має єдине рішення і для знаходження коріння ми повинні обчислити ще три визначники:
, ,
Як бачите, випадок «три плюс три» принципово нічим не відрізняється від випадку «два плюс два», стовпець вільних членів послідовно «прогулюється» зліва направо стовпцями головного визначника.
І відповідь також розраховується за аналогічними формулами:
Приклад 100
Вирішити систему за формулами Крамера.
Рішення: обчислимо головний визначник системи:
Отже, система має єдине рішення.
Коментарі тут не потрібні, оскільки завдання вирішується за готовими формулами, але потім буде про що поговорити.
Виконаємо (!) усну перевірку і запишемо
відповідь: .
Буває так, що в результаті обчислень виходять «погані» нескоротні дроби, наприклад, і виникають сумніви – чи це ми помилилися, чи це правда. У такій ситуації рекомендую наступний алгоритм перевірки:
1) Якщо під рукою є комп'ютер або гаджет, то просто забиваємо коефіцієнти системи Матричний калькулятор
(доданий до книги) і звіряємось. Як варіант можна використовувати онлайн калькулятор, до якого у Вас є довіра.
Але що робити, якщо техніки під рукою немає? І Мережі також. Радійте! Це чудова можливість відпрацювати навички:
2) Можливо, допущено помилку у обчисленнях. Як тільки Ви зіткнулися з «поганим» дробом, одразу перевірте, чи правильно переписано умову. Якщо умова переписана без помилок, потрібно перерахувати визначники, використовуючи розкладання по іншому рядку (стовпцю).
3) Якщо в результаті перевірки помилок не виявлено, то або допущено друкарську помилку в умові, або так воно і було задумано. У будь-якому випадку спокійно та уважно вирішуємо завдання до кінця, а потім обов'язково робимо перевірку і оформляємо її на чистовик. Так, перевірка дробової відповіді – заняття неприємне, зате це буде обеззброюючий аргумент для рецензента, який дуже любить ставити «–» за всяку бяку.
І ще одне зауваження. Іноді зустрічаються системи, у рівняннях яких у явному вигляді відсутні деякі змінні, наприклад:
Тут у першому рівнянні відсутня змінна, у другому – змінна. У таких випадках дуже важливо правильно та УВАЖНО записати головний визначник: – на місці відсутніх змінних ставляться нулі. По зрозумілій причині, адже відсутні складові, вони реальні: .
Приклад 101
Вирішити систему за формулами Крамера.
Це приклад самостійного рішення.
Для випадку системи чотирьох рівнянь із чотирма невідомими формули Крамера записуються за таким же принципом: головний визначник складається з упорядкованих коефіцієнтів лівої частини, а у допоміжних визначниках стовпець вільних членів послідовно "пробігає" зліва направо. Таке завдання зустрічається і цілком вирішально (зниженням порядку визначника), хоча вже нагадує черевик професора на грудях у студента-щасливчика.
Автор: Олександр Емелін
