Як осердя впливає на індуктивність?
Ця робота присвячена одній непростій темі про струм у котушках з феромагнітними осердями, математичні дослідження в якій раніше майже не проводилися. Це пов'язано з досить складною залежністю індуктивності такої котушки від напруженості магнітного поля у ній, отже складністю, а часом і неможливістю аналітичних рішень тих диференціальних рівнянь, які пропонує класика. Автором було знайдено зовсім інший підхід до цієї проблеми та отримано досить просту аналітичну залежність струму від часу. Для неї потрібно отримання всього одного коефіцієнта, який буде знайдено за трьома точками на осцилограмі, шляхом курсорних вимірювань.
Хоча основна виведена формула буде працювати для будь-яких сердечників, все ж у цій роботі ми наголосимо на котушки із замкнутими сердечниками. без зазору. Сердечникам із зазором буде, очевидно, присвячена окрема робота, т.к. залежність там ще складніша. Дослідження будуть проводитися для феритів, у яких початкова відносна магнітна проникність набагато більша за одиницю.
Окремо ми зупинимося на простій методиці визначення часу насичення осердя, заснованої на пошуку середнього значення струму однієї з ділянок осцилограми.
Спочатку, давайте познайомимося зі стендом для дослідження котушок індуктивності із сердечником. Його схема (рис. 1a) була розроблена з прицілом її простої реалізації на mosfet транзисторі як ключ SW, На затвор якого подаються керуючі імпульси з будь-якого цифрового генератора сигналів, у якого допустима регулювання їх шпаруватості.
Рис.1.a) - схема стенду для вимірювання струму через котушку з феромагнітним сердечником при її підключенні до джерела живлення; b) - отримана на стенді залежність струму від часу
Тут і далі ми малюватимемо графік струму зверху вниз, тому що саме так це буде виглядати на реальній осцилограмі. Значення струму також збільшуються зверху вниз.
Очевидно, що загальний опір у схемі (R) складатиметься з активного опору обмотки котушки RL, вимірювального опору RI, опору ключа та з'єднувальних проводів Roth: \[ R = R_L + R_I + R_ \tag\] Хоча ми і припускаємо, що основний внесок у R внесе саме RI, Але враховувати інші опори все ж таки потрібно. Це знадобиться при складанні остаточних формул для розрахунку такого ланцюга, а поки що, для спрощення сприйняття подальших викладок, ми розглядатимемо RL-ланцюг вважаючи, що R = RI.
Якби сердечник котушки мав лінійну залежність струму від індукції, то ця робота не мала б сенсу, а струм залежав би від часу за відомим законом [1] \[ I(t) = \left(1 - \mathrm^ \right) \tag\] де: \(U\) - напруга, що подається на RL-ланцюжок, \(L\) - індуктивність котушки з сердечником, а \(t\) - час. Частина цієї закономірності, що має квазі лінійну ділянку за малих значень часу, зображена на малюнку 1b червоною пунктирною лінією. Формула (2) виходить розв'язком наступного лінійного диференціального рівняння: \[ L \frac<\mathrm d I> <mathrm d t>+ R\, I = U \tag\]
Отримати звідси аналітичне рішення не становить жодної складності, воно те й застосовується при розрахунках струму, постійного часу LR-ланцюга тощо.Самі ж ці рівняння викладають у всіх електро та радіотехнічних ВНЗ [2], як основу для перехідних процесів.
У нашій реальності феромагнітні осердя змінюють свою магнітну проникність залежно від струму в котушці і, відповідно, від напруженості магнітного поля. Така закономірність добре описується кривою Столетова [3], яку можна подати за допомогою щодо простого полінома, запропонованого в цій роботі. Тому, при підключенні джерела живлення за схемою (рис. 1a), струм буде залежати по складнішій кривій, яка зображена на малюнку 1b синьою лінією.
Давайте порівняємо постійну часу звичайного LR-ланцюга (при лінійній залежності індукції від струму) [1] \[ \tau_i = \tag\] з постійного часу реального LR-ланцюга, в котушці якого присутній феромагнітний сердечник \[ \tau = \tag\] Тут: \(B_s\) - індукція насичення сердечника, \(S\) - площа поперечного перерізу сердечника, \ (N \) - Кількість витків котушки. Таку постійну правильніше називатиме часом насичення сердечника. З урахуванням опору в ланцюгу, ця постійна може трохи змінюватися, що докладно описано тут. Насправді, різниця постійної між звичайним LR-ланцюгом і реальним, із сердечником, може відрізнятися в 10-50 разів! Не враховувати таку різницю у розрахунках просто неможливо.
Залежність індуктивності котушки з сердечником можна так: \[L = L_0 <1 + k_I^2 \over 1 + k_ I^2 + k_ I^3> \tag\] Тут: \(L_0\) — початкова індуктивність котушки з сердечником (при нульовому струмі), \(k_, k_, k_\) - Коефіцієнти кривої Столетова, про що докладно почитати тут.Тоді диференціальне рівняння LR-ланцюга для рисунка 1a виглядатиме таким чином: \[ L_0 \frac<\mathrm d> <\mathrm d t>\left( I <1 + k_I^2 \over 1 + k_ I^2 + k_ I ^3> \right) + R\, I = U \tag\] Порівняйте його з (3) і ви зрозумієте чому ця тема раніше майже не досліджувалася: рівняння (7) немає аналітичного рішення, яке значення можна знайти лише наближеними чисельними методами.
Але давайте ще раз подивимося на графік струму від часу в нашому ланцюзі (рис. 1b), який побудований за реальними усередненими осцилограмами. Тут ми можемо виявити три ділянки, позначені на цьому малюнку різним фоновим кольором. На першій ділянці, позначеній жовтим тлом, струм наростає квазі лінійно, за класичною закономірністю (2). Тут нелінійні властивості сердечника ще виявляються. Але, як тільки з'являються перші ознаки насичення сердечника [4], крива струму відразу різко йде вниз, переходячи на другу ділянку, де нам необхідно враховувати криву Столетова (магнітну нелінійність сердечника). Рівно посередині цієї ділянки знаходиться τ — час насичення сердечника та відповідна йому половина максимального струму, який знаходиться, очевидно, так: \[ I_m = \tag\] Іншими словами, це струм, який протікав би через наш ланцюг, якщо ключ SW зовсім не розмикати (струм після всіх перехідних процесів). Цьому струму присвячено третю ділянку графіка, після чого напрямок кривої не змінюється.
Шляхом численних експериментів, автором було знайдено загальну аналітичну залежність усіх трьох ділянок графіка, що дозволяє обійти рішення рівняння (7) і отримати досить точну формулу залежності струму від часу в LR-ланцюзі з реальним феромагнітним сердечником.Загалом вона виглядає так: \[ I(t) = ^ + \left(g^ - 1 \right) g^ \over 1 + \left( g^ - 1 \right) g^> \tag\] Отримана формула досить точно описує синю криву малюнку 1b. У ній: \(L_a\) — максимально досяжна індуктивність котушки з даним осердям, яка зазвичай трохи більш початкової (докладніше), \(g\) — певний коефіцієнт, що залежить від конкретної котушки, який ми ще маємо знайти. Забігаючи трохи вперед, можна сказати, що коефіцієнт (g) визначає якусь «потужність котушки з сердечником», що характеризується кутом нахилу синьою кривою на другому (зеленому) ділянці цієї кривої, і ніяк не впливає на τ. Очевидно, що для котушки без осердя цей коефіцієнт дорівнює одиниці.
В результаті дослідів з різними магнітними матеріалами, у яких відносна магнітна проникність багато більше одиниці, і відсутня зазор, з'ясувалося, що коефіцієнт (g) також завжди багато більше одиниці і становить порядок 10 3 -10 12 тому формулу (9) можна трохи спростити.
Формула (9) працюватиме й у сердечників із зазором, але у разі вона підлягає спрощенню, т.к. для таких феритів g матиме відносно невеликі значення.
Для котушок з сердечниками без зазору ця формула трохи спрощується: \[ \boldsymbol < I(t) = ^ + g^ \over 1 + g^> > \tag\] Звідси, до речі, відразу видно, що коли графік досягає точки \(t = \tau\), то частина виразу \(1 - \mathrm^\) буде все ще набагато менше одиниці, тому струм стає приблизно рівним половині від максимального: \[ I(\tau) = ^ + 1 \over 1 + 1> \approx = \tag\]
Завдяки цій властивості завжди можна визначити середню точку на осцилограмі, на другому її ділянці (мал.2), знаходячи таким чином приблизний час насичення сердечника котушки τа по ньому - індукцію насичення \(B_s\) з (5), якщо ці дані поки не відомі.
Обмеженням цього простого методу є необхідність досить великого відношення \(\tau_i / \tau\) - воно має бути хоча б більше 7-ми (формули 4 і 5). Наочно, на осцилограмі це означає, що в точці переходу кривої на другу ділянку графіка струм не сильно повинен відрізнятися від нуля в порівнянні з максимальним. Це виходить майже завжди, коли опір R досить мале (рис. 2a).
Рис.2. Графік осцилограми струму в котушці з осердям від часу: a) - маленьке R в ланцюгу, b) - велике R у ланцюзі
Рис.3. Реальна осцилограма із виміром часу насичення сердечника: τ=7 мкс
Якщо ж ми маємо справу з великим R, то осцилограма йде вниз на першій ділянці (рис. 2b). Цікаво, але метод працює і в цьому випадку, правда, більш наближено. Тут потрібно геометрично визначити початок другої ділянки та знайти відповідний йому струм (I_0). Звідси знаходиться центр [I(\tau) \approx \tag\] з якого, геометрично, можна знайти час насичення сердечника τ.
Для отримання якісних осцилограм, які необхідні для дослідження котушок із сердечником та отримання коефіцієнта (g), зберемо нескладний стенд. Власне, принципова схема такого стенду представлена малюнку 4 як блоку BA. Ключ і генератор до нього можуть бути, в принципі, будь-якими. Автор же задіяв для цього такий генератор, на виході якого встановлений ключ на транзисторі mosfet (VT1). Цей генератор з ключем представлений малюнку 4 як блоку SW.
Рис.4.Принципова схема блоку BA, та підключення за його допомогою котушки L до блоку SW із ключем на транзисторі VT1
Можна трохи ускладнити блок BA та встановити замість одного опору RI кілька, з різними номіналами, які змінюватимуться багатопозиційним перемикачем. Автор зробив саме так, і встановив для перемикання такі номінали цього опору: 1, 2, 5 та 15 Ом. На малюнку 5 показаний стенд для досліджень у зборі.
Слід звернути увагу на деякі аспекти роботи стенду. Ідеальних ключів не буває: mosfet-транзистори мають свій внутрішній опір та прохідну ємність, які трохи спотворюють показники. Тим не менш, автор підібрав оптимальні транзистори та номінали RI, в залежності від напруги, що подається на ключ напруги U:
Конденсатори C1 та C2 повинні бути розраховані на напругу не менше 200 вольт. C2 - електролітичний, чим більшої ємністю він матиме, тим краще. Краще поставити кілька штук паралельно.
Цей коефіцієнт, разом із часом насичення сердечника τповністю визначає другу ділянку кривої струму. Математичним способом його можна просто висловити з формули (10): \[g = \left(^ \over U - I\, R> - 1 \right)^ \tag\] Але тут залишається нез'ясованим час насичення сердечника τ. Так, його можна приблизно розрахувати за формулою (5), і знайти коефіцієнт по одній точці на осцилограмі, але схема стенду вносить невеликі похибки, яких достатньо, щоб помилитися при знаходженні цього коефіцієнта таким способом. Крім того, серединна точка (де t=τ) для виміру не підходить, т.к. у ній показник ступеня перетворюється на нескінченність.Тому краще застосувати двоточкову модель, коли ці точки вибираються на другій ділянці осцилограми: на початку та наприкінці цієї ділянки (рис. 6, точки 2 та 3). З досвіду можна сказати, що для цих двох точок краще вибрати більш-менш пряму ділянку графіка.
Рис.6. Три точки на осцилограмі для визначення необхідних параметрів котушки із сердечником
Рис.7. Пошук першої точки на реальній осцилограмі: t1=15.9 мкс, I1=0.43 А
Рис.8. Пошук другої точки на реальній осцилограмі: t2=33.9 мкс, I2= 1.3 А
Рис.9. Пошук третьої точки на реальній осцилограмі: t3=43.6 мкс, I3=3.07 А
На малюнку 6 показано загальну методику пошуку трьох точок, а на малюнках 7-9 представлені реальні осцилограми з виставленими курсорами у цих точках. Потрібно лише звернути вашу увагу на те, що тут R дорівнює 2 Ом, тому щоб отримати струм, курсорну напругу потрібно розділити на два.
Далі, ми спеціально не захаращуватимемо цю роботу висновком формул, і винесемо його в окрему замітку. Звідки виходить, що у випадку двоточкової моделі, вираз для визначення коефіцієнта \(g\) виводиться з (13), і перетворюється на наступний вид: \ , \quad B = ^ \over U - I_3 R> - 1 \tag\] де значення \(t_2, I_2, t_3, I_3\) - беруться з курсорних вимірів двох точок на осцилограмі (рис. 6, точки 2 та 3).
Цю ж формулу можна записати і таким чином: \[g = <B^<\large > \over A^ <\large >> \tag\] А точний час насичення сердечника тепер можна знайти так: \[ \tau = \tag\] Залишається з'ясувати, наскільки відрізняється максимальна індуктивність \(L_a\) від початкової \(L_0\), щоб її можна було підставляти рівняння (14). Це виявилося зробити досить просто.Потрібно взяти початкову лінійну ділянку графіка струму, коли вона не сильно відхиляється від нульової лінії і приблизно розділити її навпіл. Ми отримаємо точку 1, як на малюнку 6. Оскільки на ньому ще не діє коефіцієнт \(g\), а нелінійні властивості сердечника ще не сильно виявлені, то тут ми можемо застосувати класичну формулу для наростання струму в котушці (2), звідки - вивести цю індуктивність: \[L_a = \right) > \tag\] Значення \(t_1, I_1\) - беруться із курсорних вимірів першої точки (рис. 7). Формула (17) показала хорошу узгодження з реальними вимірами, хоч і є наближеною. Автор працював із сердечниками, у яких максимальна індуктивність, залежно від типу фероматеріалу, була більшою за початкову на 10-70%.
Варто звернути увагу, що осцилограф показує значення напруги, а чи не струму. Тому на практиці, у формулах (14-17), необхідно перераховувати напругу в струм за законом Ома: (I_n = U_n / R). Крім того, в ланцюзі буде обов'язково додатковий опір (1), який також потрібно врахувати через множення на постійний коефіцієнт.
Відомо, що при подачі напруги на котушку без сердечника, і з осердям, струм у ній поводитиметься зовсім по-різному. У котушці без сердечника струм повністю підпорядковується експоненційному закону наростання (2). Так само в котушці з сердечником (без зазору) повністю змінює цю картину, вона стає досить складною. Тому одержати його аналітичне уявлення досі вважалося неможливим, т.к. неможливе аналітичне рішення диференціального рівняння (7). Але в результаті багатьох експериментів з різними котушками та сердечниками виявився можливим висновок наближеного аналітичного рівняння, яке було отримано у цій роботі (10). Окрім досить простого вигляду, таке рівняння дає хорошу погодження його математики з реальними вимірами.
Для отриманого тут рівняння потрібно визначити лише один параметр — коефіцієнт (g), який, як виявилося, можна знайти за допомогою складання досить простого стенду (рис. 4-5) і трьох точок на осцилограмі, отриманих методом курсорних вимірювань (рис. 6-9). Використовуючи отримані таким чином дані цей коефіцієнт знаходиться за формулами (14-17). Він є інваріантом по відношенню до іншого ланцюга, з іншими початковими параметрами. Наприклад, якщо змінити напругу та опір у ланцюгу (рис. 1a), а котушку залишити колишньою, то перерахувавши максимальну індуктивність і τ, використовуючи вже відомий коефіцієнт (g), ми зможемо отримати за формулою (10) нову залежність струму від часу.
Також, незалежно від головної мети цього дослідження, була отримана проста методика визначення часу насичення сердечника за середньою точкою на осцилограмі (11, 12).
У наступній частині цієї роботи ми знайдемо коефіцієнти для кривої Столетова за допомогою представленого вище стенду і отриманих формул. Вони дозволять описати властивості не тільки певної котушки із сердечником, а й властивості самого сердечника, незалежно від котушки.
- Вікіпедія. LR-ланцюг.
- Перехідні процеси у ланцюгах першого порядку. Лекція 7. [PDF]
- Вікіпедія. Крива Столетова.
- Вікіпедія. Магнітне насичення.
2023-05-22 © Передрук матеріалів можливий за умови встановлення посилання на сайт та дотримання авторських прав
Котушка індуктивності: особливості в теорії та на практиці
Котушкою індуктивності або дроселем називається елемент, основним параметром якого є індуктивність L, Для ідеальної котушки визначається формулою:
де – μο
абсолютна магнітна проникність вакууму; μ - відносна магнітна проникність матеріалу сердечника (для феримагнітних матеріалів її величина варіюється в межах від кількох тисяч до кількох сотень тисяч одиниць); N - Число витків котушки; S - Перетин котушки; l -Довжина котушки.
Імпеданс Z ідеального дроселя з індуктивністю L в ланцюзі змінного струму частотою ƒ та круговою частотою ω = 2πƒ визначається з виразу:
Енергія, накопичена в котушці, обчислюється із співвідношення:
ЕРС самоіндукції розраховується за формулою:
Зі співвідношення (4) випливає, що при протіканні через котушку постійного струму її ЕРС = 0, отже, опір котушки також дорівнює нулю. На жаль, далеко не завжди дросель можна вважати ідеальним компонентом, нехтуючи його паразитними параметрами. Міжобмотувальна ємність та опір обмотувальних проводів часто досить істотно впливають на режими роботи дроселя. На рис. 1 показано еквівалентну схему реальної котушки індуктивності. У схему увійшли такі елементи:
- L - Ідеальна котушка індуктивності, яку ми розглянули вище;
- CP – міжобмотувальна ємність;
- DCR – омічний опір обмотувальних проводів;
- ACR - Опір, що відображає втрати в сердечнику котушки при змінному струмі;
- P1, P2 – висновки котушки.
Мал. 1. Еквівалентна схема реальної котушки індуктивності
З рис. 1 слід, що реальна котушка індуктивності є коливальний контур. Його частотна характеристика у логарифмічному масштабі показана на рис. 2.При частоті нижче власної резонансної SFR Імпеданс котушки носить індуктивний характер, при частоті вище SFR Імпеданс котушки набуває ємнісного характеру, а котушка індуктивності поводиться як конденсатор. Частота SFR обчислюється із співвідношення:
Частотна характеристика (рис. 2) побудована з припущення, що параметри котушки не змінюються при зміні частоти. Це твердження правильне для котушки з немагнітним (іноді його називають повітряним) сердечником. У такій котушці опір ACR відсутня, а величина індуктивності залежить від частоти. Тому котушки з повітряним сердечником мають малу індуктивність через малу μ≈1, але можуть використовуватися при високих та надвисоких частотах.
Мал. 2. Частотна характеристика котушки в логарифмічному масштабі
У котушках із сердечником із магнітних матеріалів, магнітна проникність μ яких нелінійно залежить від частоти, струму, а в деяких випадках і від температури, індуктивність змінюється в міру зміни μ, Як випливає з (1). Відповідно, частотна характеристика котушки може змінюватися в залежності від перерахованих параметрів. Як приклад на рис. 3 показано залежність μ феритів від температури.
Мал. 3. Залежність магнітної проникності феритів від температури
На рис. 4 можна побачити залежність від частоти імпедансу одновиткового дроселя із сердечником з Ni-Zn фериту марки HF70 та залежність комплексної магнітної проникності цього фериту від частоти. Для зручності розрахунків проникність поділяють на речову μ' і уявляю μ” складові. Речовина μ' визначає енергію магнітного поля, що запасається в матеріалі, яка при розмагнічуванні повертається в мережу. Уявна частина μ” характеризує величину втрат у матеріалі.
Мал. 4. (Зліва) Залежність від частоти імпедансу одновиткового дроселя із сердечником з Ni-Zn фериту марки HF70; (Дело) залежність магнітної проникності цього фериту від частоти
Зміна магнітної проникності відбивається на величині індуктивності (1). Вище ми навели приклад із феритами, однак у різних феримагнітних матеріалів зміна магнітної проникності відбувається по-різному. Як приклад на рис. 5 показана залежність індуктивності від частоти для котушок з феритовим сердечником і пресованим порошковим сердечником.
Мал. 5. Залежність індуктивності від частоти для котушок із різними сердечниками
Зміна індуктивності струму пояснюється насиченням сердечника. Нагадаємо, що у котушок з немагнітним осердям цей ефект відсутній. У довідковій документації ви знайдете значення струму дроселя, при якому його індуктивність зменшується на 10, 20 і 30%, у різних виробників ці цифри можуть відрізнятися.
При практичному використанні дроселів, особливо при застосуванні в силових перетворювачах необхідно розрахувати втрати в них. Виробник вказує в документації значення DCR (воно лежить в діапазоні від кількох міліом до кількох ом), за яким легко розрахувати втрати в обмотці PDCR:
Для зменшення втрат в обмотці її мотають багатожильним дротом літцендратом або використовують замість дроту тонку мідну фольгу. В обох випадках вдається мінімізувати поверхневий ефект та ефект близькості, тому DCR практично залежить від частоти.
Втрати в осерді, що відображаються в еквівалентній схемі (рис. 1) резистором ACR, залежить від частоти.Зазвичай вони невеликі, і виробники не вказують в цифровому вигляді, але з них надають графік залежності зміни від частоти – наприклад, на рис. 6 показаний такий графік від компанії TDK для одного із дроселів її виробництва. Інші вказують питомі втрати в осерді, що вимірюються в Вт/кг. Якщо ж ні те, ні інше не вказано, а вам необхідні ці дані, доведеться звернутися до виробника.
Мал. 6. Залежність ACR від частоти
Все спрощується у випадку, коли вам важливо не дізнатися точну цифру втрат потужності, а лише переконатися, що температура дроселя не перевищить значення. Виробники вказують значення струму, у якому дросель нагрівається на 20 і 40 ºС.
Реальна котушка є коливальним контуром (рис. 1), тому при впливі на неї прямокутного імпульсу напруги виникає коливальний перехідний процес. Чим крутіший фронт імпульсу, тим сильніше виражений коливальний процес. Відповідно, при виборі дроселя для роботи у високошвидкісних ланцюгах важливо підбирати максимально високу частоту. SFR. Нагадаємо, з (5) випливає, що чим більше SFR, тим менша паразитна ємність CP. Наприклад наведемо таблицю з параметрами дроселів п'яти різних компаній.
Як видно з таблиці, незважаючи на приблизно однакову індуктивність, динамічні параметри дроселів можуть відрізнятися дуже значно, тому при виборі дроселя високошвидкісних ланцюгів необхідно звертати увагу на ці параметри. При невдалому виборі може виявитися, що дросель буде вести себе як конденсатор.
Таблиця. Параметри дроселів різних компаній
Паразитна ємність CP, пФ
