Таємниці ряду Фібоначчі: як працює принцип золотого перетину в архітектурі

Чому нас так приваблюють будови стародавньої архітектури, побачивши які ми відчуваємо гармонію і умиротворення? картини художників, і будова людського тіла, і навіть єгипетські піраміди Сьогодні про огляд редакції Homius.ru розповімо простими словами, як і, найголовніше, навіщо потрібно використовувати божественну гармонію чисел, і як вона допоможе в будівництві власного будинку та оформленні інтер'єру.

Просто про складне: що це таке – правило золотого перерізу

Золотий перетин - це правило загальної пропорції, яка створює універсальну композицію. Математики називають її формулою божественної гармонії або асиметричною симетрією.

Це цікаво! Загальне визначення правила ЗС-менша величина відноситься до більшої, як більша до цілого. - 62%.

Визнано вважати, що ЗС прийшло до нас ще з давньої Греції, але є і така думка, що його греки підглянули у єгиптян. перерізу:

• Майже всі живі організми можна призвести до принципу числової залежності.Наприклад, тіло людини, кількість насіння в соняшнику, структуру ДНК, витвори мистецтва та вірусну бактерію;
• дана залежність чисел характерна тільки для біологічних істот і кристалів, всі інші неживі об'єкти природи вкрай рідко мають золоту пропорцію;
• саме математична пропорція у будові біологічних об'єктів виявилася оптимальною для виживання.

Екскурс в історію: хто придумав золотий перетин

Уявлення про золоту пропорцію мали і древні греки, і єгиптяни, відомо було про неї і Русі. Але вперше ще 1509 року у книзі «Божественна Пропорція», ілюстрації до якої належать Леонардо да Вінчі, чернець Лука Пачолі дав наукове визначення правилу. Він бачив у золотому перетині божественну єдність:

• Маленький відрізок - це син;
• великий – батько;
• весь відрізок – це святий дух.

Це цікаво! Історики надають Леонардо да Вінчі визначення терміна ЗС, оскільки він тривалий час вивчав божественну закономірність і втілював її принцип у своїх творах.

Друге життя ЗС отримало в 1855 завдяки філософу Адольфу Цейзінгу. Він доопрацював теорію до абсолютного ідеалу, і вона стала універсальною всім проявів. Все це він описав у своїй книзі «Математичне Естетство», на яке свого часу обрушилося багато негативу та критики.

Золотий перетин у божественній пропорції

Принцип розрахунку та побудови золотого перерізу

Приклади пропорції золотого перерізу можна бачити при будівництві багатьох архітектурних споруд, потрібно знати, як правильно його побачити. Для цього достатньо подивитися на будівлю лише 5 хвилин.

Як визначити число золотого перерізу

З пропорцією ЗС пов'язують астронома з Італії Фібоначчі, він вивів ряд чисел, у якому значення кожного наступного дорівнює сумі двох попередніх. Сьогодні ця закономірність відома як ряд Фібоначчі:

• 0, 1,1 (0+1), 2 (1+1), 3 (1+2), 5 (2+3), 8 (3+5), 13 (5+8), 21 (8+ 13), 34 (13+21), 55 (21+34), 89 (34+55) і так до безкінечності;
• якщо виконати розподіл наступного числа на попереднє – вийде коефіцієнт ЗС.

Дану формулу застосовують для розрахунку пропорцій золотого перерізу в будь-якій галузі, на практиці найчастіше використовують заокруглені значення 0,62 та 0,38.

Ряд Фібоначчі у церкві Покрови на Нерлі

Як розрахувати золотий переріз на найпростішому прикладі

Найпростіше пояснити гармонію ЗС можна з прикладу звичайного курячого яйця, точніше видалення всіх точок шкаралупи від центру тяжкості. Саме форма оболонки, а не її міцність, забезпечила виживання птахів настільки довгий час і в будь-яких умовах.

Якщо взяти звичайний відрізок, що складається з кількох маленьких, їх довжини відносяться до більшої величини як 0,62. Це показує, як можна розбити цілу лінію, щоб отримати ідеальну пропорцію.

Простий приклад золотого перерізу в курячому яйці

Як побудувати золотий перетин на прикладі прямокутника та спіралі

Якщо побудувати золотий прямокутник, використовуючи ряд Фібоначчі, він виглядатиме як єдине ціле. Розглянемо залежність з прикладу:

• потрібно намалювати квадрат зі стороною 1 і поряд ще один аналогічний;
• над ними розмістити квадрат зі стороною 2;
• зліва гармонійно міститься квадрат з гранню 3;
• нижче – квадрат зі стороною 5;
• праворуч простір займе квадрат із гранню 8;
• площа прямокутника 8×13, в якому 13 це наступне число ряду;
• якщо розділити на калькуляторі наступне число на попереднє, вийде значення золотого перерізу 1,62, причому чим більше числа, тим менша похибка щодо них;
• якщо за цим принципом побудувати спіраль, кожну чверть витка вона розширюватиметься саме значення ЗС.

Побудова золотої спіралі із прямокутника

На відео можна докладніше дізнатися про магію чисел Фібоначчі:

Божественна гармонія золотого перетину в архітектурі: фото стародавніх споруд та приклади сучасного будівництва

Багато стародавніх будинків, які збереглися до наших часів, підтверджують думку, що вони були побудовані за правилами ідеальної пропорції. Це резиденції королів, церкви, громадські споруди. Розглянемо на прикладах принцип золотого перерізу різних країнах.

Таємниці давньоєгипетської архітектури

В архітектурі Стародавнього Єгипту за правилами золотої пропорції було побудовано піраміду Хеопса. Дивлячись на створення будівельників, можна побачити трикутник з прямим кутом, один катет якого є висотою, другий - половиною довжини основи. Якщо взяти відношення гіпотенузи до меншої сторони, отримаємо ідеальне значення 161950 або 162.

Це цікаво! Форма піраміди має ще одну незаперечну властивість. У ньому сталь стає міцнішою, вода довше зберігає свіжий смак, і швидше ростуть живі рослини. Багато років вчені намагаються розгадати цей феномен, але поки що його наукове рішення не знайдено.

Було помічено, що піраміда покращує психоемоційний стан людини, в її ділянці зменшуються шкідливі випромінювання, зникають геопатогенні зони.

Ідеальна пропорція золотого перерізу у піраміді

Ідеальні пропорції у Стародавній Греції

Ідеальна пропорційність робить архітектурні об'єкти такими, що запам'ятовуються.Яскравий представник ЗС із давньої Греції – Парфенон, який зведено у 5 столітті до нашої ери. Якщо взяти відношення його висоти до ширини, то вийде практично ідеальне число 0,618.

Вчені визначили, що для абсолютного золотого числа потрібно відібрати від висоти 14 см і додати їх до ширини. Враховуючи будову споруди, дуже схоже, що це було зроблено стародавніми архітекторами Іктином та Каллікратом навмисно, оскільки фасад трохи звужується у верхній частині та відхиляється від золотого прямокутника. Але загальних пропорцій ЗС дотримано.

Принцип ідеальної пропорції у давньогрецькому Парфеноні:

Пам'ятники середньовічної архітектури

Прекрасною пам'яткою історії архітектури середньовіччя, що збереглася до нашого часу, є собор Паризької Богоматері або Нотр-Дам де Парі.

Аналізуючи будову, принцип ЗС можна побачити на кількох ділянках

Архітектура Росії

Ряд Фібоначчі – це своєрідна матриця, за допомогою якої аналізують будь-яку архітектурну споруду. Щоб було простіше орієнтуватися, можна побудувати за принципом золотого перерізу циркуль Фібоначчі.

Щоб дослідити великі об'єкти, потрібно відійти на деяку відстань та докласти циркуль

Золотий перетин архітектури Москви.

Визначна будівля МДУ на Воробйових горах була збудована у післявоєнний час. У ті роки це була найвища будова, що складалася з п'яти композиційних груп, які вінчає центральна вежа. Тут чітко простежується трикутник із прямим кутом, гіпотенуза якого захоплює прибудови та проходить через кут будівлі.

У МДУ золотому перерізу підпорядковуються висоти

Золоті пропорції простежуються і роботах російського архітектора Матвія Казакова.

Будинок спілок - благородні збори

Використовував це прийом і архітектор Василь Баженов, його будівлі зараховані до історичних пам'яток

Архітектура у Санкт-Петербурзі

Живим прикладом золотого перетину є Ісаакіївський собор.

ЗС в Ісаакіївському соборі

Насамперед можна проаналізувати його ширину, рівну 400 одиницям:

• при розподілі числа 400 значення золотого перерізу отримаємо приблизно 248;
• при подальшому розподілі 248/1,618 = 153;
• переважна більшість собору вписується в золотий прямокутник, довга сторона якого дорівнює 400, ширина – 248.

По висоті будівлі ЗС можна побачити біля купола, завдяки чому зовнішнє сприйняття пам'ятника архітектури стає гармонійним.

На фото чітко простежуються золотий трикутник та прямокутник в Ісаакіївському соборі.

Наведемо ще кілька прикладів золотого перетину архітектурі Санкт-Петербурга.

Кунсткамера

Кунсткамера була збудована ще 1718 року, керував будівництвом німецький архітектор Георг Маттарнові. Вона являє собою 2 корпуси по 3 поверхи, між ними зведена купоподібна багатоярусна конструкція у вигляді вежі. Золотий перетин у співвідношенні сторін можна спостерігати в довжині корпусів та у висотах різних рівнів.

У вежі по всій висоті чітко простежується рівнобедрений трикутник, а це означає, що Кунсткамера побудована за загальним принципом ЗС

Торговий дім Есдерс та Схейфальс

ЗС у будівлі, зведеній у 1907 році, спостерігається у таких розмірах:

Композиція виглядає гармонійно завдяки золотому дотриманню висотних величин.

Основний елемент будівлі – шпиль

Дім Рад

Будинок Рад був зведений за проектом Троцького у 1941 році, основний акцент виконують портик по центру з 14 колонами та скульптурний ансамбль.По обидва боки розташовані два корпуси заввишки 5 поверхів. Довжина будівлі – 1472 одиниці, якщо поділити її на значення Ф = 1,618, отримаємо розмірний ряд:

• 1472, 909, 562, 347, 214, 132, 81, 50. До них відносяться висота входу, всієї споруди, різних елементів.

Аналіз довжин і висот Будинку Рад

Золотий прямокутний трикутник ідеально вписується в центр будівлі, його вершина збігається з вершиною Будинку Рад, а гіпотенуза закінчується наприкінці бічного крила. Якщо побудувати рівнобедрений золотий трикутник, його грані проходитимуть через крапки у верхній частині основного входу.

Очевидна пропорційність Будинку Рад

Приклади золотого перерізу у сучасній архітектурі

У сучасній архітектурі формула розрахунку золотого перерізу дозволяє проектувати унікальні форми, які несуть міцність, спокій та красу.

Правило золотого перерізу під час будівництва приватного будинку

Багато архітекторів, які розробляють проекти приватних будинків, використовують правило золотого перерізу. У клієнтів створюється відчуття, що всі деталі опрацьовані для максимально комфортного проживання. При грамотному виборі площ мешканці психологічно відчувають умиротворення і заспокоєння.

Що потрібно знати під час проектування фасаду

У сучасному будівництві при проектуванні будинків, крім ряду Фібоначчі, використовують ще один метод, основоположником якого був архітектор із Франції Ле Корбюзьє. Він приймав за основу зростання майбутніх власників садиби і, виходячи з цього, розраховував параметри будівлі та кімнат. Завдяки такому підходу будинок виходив не лише гармонійний, а й максимально комфортний з індивідуальними рисами господарів.

Ідеальні пропорції приватного будинку

Золотий перетин в інтер'єрі.

Навіть якщо будинок зведений за типовим проектом, можна всередині його створити інтер'єр максимально наближений до ідеальної пропорції 1:1,62. Наприклад, завдяки додатковим перегородкам або розташування меблевих груп, а також можна змінити дверні або віконні отвори, щоб співвідношення ширини до висоти було в золотому перерізі.

Аналогічна ситуація з кольоровим оформленням інтер'єру, тут діє спрощене правило:

• 60% - основна палітра;
• 30% - додатковий відтінок;
• 10% - близький тон, який посилює сприйняття основного та додаткового.

Правило 1/1,62 в інтер'єрі має супроводжуватися у всьому: у співвідношенні меблів до загальної площі, у її висоті по відношенню до параметрів кімнати.

Висновок

Принцип золотого перетину не є новим в архітектурі, оскільки за старих часів будівлі будувалися не за типовими проектами, а з урахуванням індивідуальних особливостей майбутніх власників. Такі будівлі виглядають навіть багато років потому гармонійними і привабливими. Інтер'єр, оформлений за правилами ідеальної пропорції, дозволяє використовувати всі площі.

Тепер ви зможете самостійно та правильно застосувати божественну гармонію математичних цифр, плануючи будівництво будинку чи оформляючи свій інтер'єр. Більше того, цікаву комбінацію цифр можна використовувати і в економіці, і в розрахунку інвестицій і в усіх деталях, з якими людина стикається щодня.

Якщо у вас ще залишилися питання, пропонуємо переглянути відео, в якому простими словами роз'яснено принцип дії золотого перерізу:

Золотий перетин

Евклід у “Початках” каже, що відрізок AB ділиться в крайньому та середньому відношенні до C, якщо AB:AC = AC:CB.

Хоча Евклід не використовує цей термін, ми будемо називати це відношення золотим перерізом. Щодо золотого перерізу, Евклід наводить додатки, такі як побудова правильного п'ятикутника, ікосаедра (прямуючи. багатогранника з 20 гранями - правильними трикутниками) та додекаедра (прямуючи. багатогранника з 12 гранями - правильними п'ятикутниками). Покажемо, як золотий перетин застосовується у побудові п'ятикутника.

Спочатку збудуємо рівнобедрений трикутник, кути при основі якого рівні подвоєному кутку при вершині. AB та відзначивши точку C, Що ділить його щодо золотого перерізу. A радіусом AB. Відзначимо на колі точку. D, таку що AC=CD=BD. Трикутник. ABD такий, що його кути при підставі дорівнюють подвоєному куту при вершині.Прямуючи. До речі, а чому знайдеться така точка D?)

Тепер, збудувавши такий трикутник ABD, проведемо коло через точки A, B і D . Потім проведемо. DE - Бісектрису кута ABD, що перетинає коло в точці E. Зауважимо, що вона пройде через точку C - точку поділу AB у золотій пропорції. F і отримаємо п'ятикутник AEBDF.

Звичайно, ніхто не вважає, що "Початки" Евкліда є оригінальною роботою, тому постає питання, хто вивчав золотий перетин до Евкліда.Нині деякі історики думають, що Книга II “Початок” охоплює матеріал, спочатку вивчений Феодором Киренским, тоді як інші приписують цей матеріал Піфагору чи, по крайнього заходу, піфагорійцям. Прокл, який писав у V столітті нашої ери, стверджує:

"Евдокс ... помножений на ряд пропозицій, що стосуються поділу (відрізків), що беруть свій початок у Платона, з використанням методу аналізу їх рішень".

Багато хто вважає, що "розподіл (відрізків)" Прокла є "золотим перетином". Евдокс, безумовно, слухав лекції Платона, отже цілком розумно припущення, що міг працювати над темами, запропонованими під час цих лекцій. Хіт (Heath) пише у своєму виданні "Почав" Евкліда:

"Ця думка, що Платон почав вивчення [золотого перерізу] самого по собі анітрохи не суперечить припущенню, що завдання Евкліда II, 11 було вирішено піфагорійцями".

Хіт у тій же роботі стверджує далі, що побудова п'ятикутника, що використовує метод рівнобедреного трикутника, як згадувалося раніше, було відомо піфагорійцям, так що є достатня кількість доказів того, що саме тоді почалося вивчення золотого перерізу.

Гіпсикл близько 150г. до н. писав про правильні багатогранники. Він є автором того, що називається Книгою XIV "Початок" Евкліда - роботи, яка розглядає вписані в сферу правильні тіла. Золотий перетин бере участь у побудовах.

До цього часу золота пропорція, схоже, розглядається як геометрична властивість, і немає жодних очевидних ознак того, що робилися якісь спроби пов'язати ставлення до числа. Звичайно, якщо довжина AB дорівнює 1 і AC (де C ділить AB у золотій пропорції) то ми можемо використовувати просту алгебру для знаходження X:

Герон, безумовно, починає обчислювати наближені відносини й у роботі дає наближене значення відношення площі п'ятикутника до площі квадрата однієї його боку. Птолемей започаткував обчислення тригонометричних таблиць, принаймні, у термінах хорд та кіл. Він обчислює бік правильного п'ятикутника через радіус описаного кола.

З розвитком алгебри арабами можна було б очікувати, що буде знайдено квадратне рівняння (або щось подібне до нього), як те, що ми привели вище. Аль-Хорезмі дійсно наводить ряд завдань, що відносяться до поділу відрізка довжини 10 на дві частини, і одна з них дає квадратне рівняння для довжини меншої частини відрізка довжиною 10 розділеного щодо золотого перерізу. Однак немає жодної згадки про золоту пропорцію, і незрозуміло, чи думає аль-Хорезмі про це завдання.

Абу Каміль наводить аналогічні рівняння, які виникають при розподілі відрізка довжиною 10 різними способами. Два із цих способів пов'язані із золотою пропорцією, але знову неясно, чи знає про це Абу Каміл. Однак коли Фібоначчі писав Liber Abaci, він використав багато арабських джерел, одне з яких – завдання Абу Каміла. Фібоначчі ясно вказує, що йому відомо про зв'язок між двома завданнями Абу Каміла та золотого перетину. У Liber Abaci він дає довжини сегментів відрізка довжиною 10, який розділений щодо золотого перерізу, як √ 125 - 5 і 15 - √ 125 .

Пачолі написав Divina proportione (Божественну пропорцію) - це його назва золотого перерізу. Книга містить мало нового на цю тему, у ній зібрані результати з книг Евкліда та інших джерел щодо золотої пропорції.Пачолі стверджує (без будь-яких спроб доказу чи посилання), що золотий перетин може бути раціональним. Він також наводить результат Liber Abaci про довжини сегментів відрізка довжиною 10, розділеного щодо золотого перерізу. Мало нового у книзі Пачолі, який просто повторює (як правило, без доказів) результати, опубліковані іншими авторами. Звичайно, назва книги цікава, і Пачолі пише:

“…Мені здається, що належна назва цього трактату має бути Божественна пропорція. Це тому, що є дуже багато відповідних ознак, які я знаходжу в нашій пропорції – відповідних самому Богу – що є предметом нашого корисного дискурсу”.

Він дає п'ять таких ознак, можливо найцікавіші, це

“… точно так, як Бог не може бути правильно визначений, і не може бути зрозумілий через слова, так це наше відношення ніколи не може бути встановлене через зрозумілі числа і не може бути виражене через будь-яку раціональну кількість, але завжди залишиться прихованим і таємним, та її математики називають ірраціональним”.

Кардано, Бомбеллі та інші до своїх робіт включали завдання перебування золотого перерізу з допомогою квадратних рівнянь. Дивовижна інформація міститься у копії 1509 р. видання Пачолі "Почав" Евкліда. Хтось написав записку, в якій ясно показує, що було відомо, що відношення сусідніх членів послідовності Фібоначчі прагне золотого перетину. Експерти по почерку датують записку початком XVI століття, тому залишається інтригуюче питання, хто її написав. Див. L. Curchin and R. Herz-Fischler, De quandate le premier rapprochement entre la suite de Fibonacci et la division en extrême et moyenne raison?, Centaurus 28 (2) (1985), 129-138, де про це написано докладніше.

Перше відоме уявлення золотого перерізу у вигляді десяткового дробу було дано в листі, написаному в 1597 Майклом Мастліном, в університеті Тюбінгена, його колишньому студенту Кеплеру. Він наводить "приблизно 0.6180340" для довжини більшої частини відрізка довжиною 1, розділеного золотою пропорції. Правильне значення 0 . 61803398874989484821 . Містичне сприйняття золотої пропорції, звичайно, приваблювало Кеплера, як і її зв'язок із правильними тілами. Його праці з цієї теми - суміш хорошої математики та магії. Він, як і коментатор Евкліда Пачолі, знає, що відношення сусідніх членів послідовності Фібоначчі прагне золотої пропорції, і він заявляє про це явно в листі, написаному 1609 року.

Те, що ставлення сусідніх членів послідовності Фібоначчі прагне золотого перетину, зазвичай, пов'язують із Сімсоном, який привів цей результат 1753 року. Ми тільки-но бачили, що він не був першим, хто це виявив. Насправді, Альбер Жірар також відкрив це незалежно від Кеплера. Цей результат з'явився в публікації 1634, яка відбулася через два роки після смерті Альбера Жірара.

У цій статті ми вживали термін "золотий перетин", але ця назва не використовувалася жодним з математиків, зазначених вище, що його вивчали. Ми відзначили, що “перетин”, можливо, використав Прокл, хоча деякі історики заперечують, що його поділ (відрізків) відноситься до золотої пропорції. Загальний термін, що використовується ранніми авторами, був просто "розподіл у крайньому та середньому відношенні". Пачолі, безумовно, ввів термін "Божественна пропорція" і деякі пізніші автори, такі як Рамус і Клавіус, прийняли цей термін.Клавіус також використовує термін "пропорційно розділити", і аналогічні висловлювання з'являються у роботах інших математиків. Назва "безперервне ставлення" також використовувалося.

Назви, що тепер застосовуються, це золота пропорція, золоте число або золотий переріз. Ці терміни сучасні в тому сенсі, що вони були введені пізніше, ніж написано будь-яку з тих робіт, які ми обговорювали вище. Перше відоме використання терміна міститься у виносці Die reine Elementar-Matematik Мартіна Ома (брата Георга Симона Ома):

“Є також звичка називати цей поділ довільного відрізка на дві такі частини золотим перетином; іноді також говорять у цьому випадку, що відрізок r ділиться безперервно”.

Перше видання книги Мартіна Ома вийшло 1826 року. Щойно наведеної виноски у ньому був, й у тексті використовувався термін “безперервне розподіл”. Очевидно, десь між 1826 та 1835 роками назву “золотий перетин” почали застосовувати, але його походження залишається загадкою. Зі зноски Ома ясно, що термін "золотий перетин" з ним не пов'язаний. Фаулер, D.H. Fowler, Generalization of golden section, Fibonacci Quart. 20 (2) (1982), 146–158, Розглядає докази і приходить до висновку, що 1835 - час першої появи цього терміну.

Золотий перетин був відомий протягом всієї історії завдяки своїм естетичним властивостям, і стверджується, що він сильно вплинув на архітектуру Стародавньої Греції. У статті J. Mawhin, Au carrefour des mathématiques, de la nature, de l'art et de l'esotérisme: le nombre d'or, Rev. Questions Sci., обговорюється, чи є золотий переріз універсальним природним явищем, якою мірою воно було використане архітекторами і художниками, і чи існує якийсь його зв'язок з естетикою.