Геометрична фігура піраміда: опис, основні види, властивості, формули

Пірамідою називають багатогранну об'ємну фігуру, яка обмежена плоским багатокутником у вигляді основи та трикутниками із загальною вершиною, яка знаходиться за межами площини основи.

Бічною гранню піраміди є трикутник, у якого один із кутів лежить на вершині цієї геометричної фігури, а протилежна йому сторона відповідає стороні основи. Загальні сторони, якими мають бічні грані, називаються бічними ребрами. Їх кількість у піраміді відповідає числу кутів багатокутника.

Висота піраміди є перпендикуляром, який опустили з вершини до основи піраміди.

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

Перпендикуляр бічної грані піраміди, який опустили з її вершини на бік основи, називають апофемою.

Діагональним перерізом піраміди називають переріз цієї геометричної фігури, що пролягає через її вершину та діагональ основи.

Побудувати геометричну фігуру у вигляді піраміди можна за допомогою поетапних дій:

1. Намалювати основу.
2. Знайти проекцію вершини геометричної фігури на площині її основи, з умов завдання.
3. Провести вертикальну висоту.
4. Побудувати ребра геометричної фігури.

На малюнку представлена ​​піраміда із чотирма кутами SABCD. Насамперед слід записувати вершину піраміди. В основі лежить чотирикутник ABCD. Вершина зображеного багатокутника проектується в точку, де перетинаються діагоналі. Дана точка є основою висоти або проекцію вершини.SA, SB, SC, SD є ребра піраміди, а відрізки AB, BC, CD, DA є сторонами її основи.

Види пірамід

Основними видами пірамід, які найчастіше зустрічаються при вирішенні завдань, є:

• правильні піраміди з вершиною, яка спроектована до центральної точки основи фігури;
• піраміда з вершиною, спроектованою в центральну точку кола, яка вписана в геометричну фігуру;
• піраміда з вершиною, спроектованою в центральну точку кола, яка описана навколо геометричної фігури;
• піраміда з висотою, що дорівнює бічному ребру;
• піраміда, висота якої збігається з висотою бічної грані цього багатокутника.

Властивості піраміди

Серед властивостей, які має багатокутник у вигляді піраміди, можна відзначити наступні:

1. У разі рівності всіх бічних ребер фігури навколо її основи можна описати коло, центр якого збігатиметься з центром основи піраміди. Крім того, цю точку пройде перпендикуляр, який опустили з вершини багатокутника.
2. Рівність всіх ребер піраміди свідчить, що вони розташовані під рівними кутами до площини основи.
3. Рівність бічних ребер буде дотримуватися в тому випадку, коли ними утворені рівні кути з площиною основи або є можливість описати навколо основи багатокутника коло.
4. При нахилі бічних граней до площини основи під однаковим кутом можна вписати коло основу піраміди. При цьому проекція вершини піраміди співпадатиме з центральною точкою даного кола.
5. Рівність апофем бічних граней піраміди можливе у тому випадку, коли кути нахилу бічних граней до основи рівні.

Властивості правильної піраміди

Правильну піраміду характеризують такі особливості:

• вершина такої геометричної фігури розташована на однаковій відстані від усіх кутів основи;
• рівність всіх бічних ребер;
• рівність кутів нахилу всіх бічних ребер до площини основи;
• рівність апофем всіх бічних граней;
• рівність площ, якими мають усі бічні грані;
• всім граней характерно наявність однакових двогранних чи плоских кутів;
• навколо такої піраміди можна описати сферу, центром якої буде точка перетину перпендикулярів, що перетинають середину ребер геометричної фігури;
• в даний багатокутник можна вписати сферу з центром у точці, в якій перетинаються бісектриси, що виходять з кута, що розділяє ребро та основу;
• при збігу центру вписаної сфери з центральною точкою описаної сфери сума плоских кутів при вершині дорівнює π (числу «пі», або 180 градусів), або навпаки, один кут відповідає π/n, де n є кількістю кутів в основі піраміди.

Формули обчислення обсягу та площі

Бічна поверхня піраміди є загальною площею всіх бічних граней даного багатокутника. Для розрахунку повної поверхні піраміди необхідно визначити суму площ бічної поверхні та основи багатокутника.

Площа бічної поверхні правильної піраміди можна розрахувати за формулою, знаючи периметр основи та апофему:

Обсяг цієї геометричної фігури визначають за допомогою площі та висоти:

Піраміда в геометрії – елементи, формули, властивості з прикладами

Ви вже знайомі з пірамідою, Т. е. багатогранником, одна грань якого є багатокутником, інші грані-трикутники мають загальну вершину.

Трикутні грані піраміди, що мають загальну вершину, називають бічними гранями, а цю загальну вершину вершиною піраміди.Ребра бічних граней, що сходяться у вершині піраміди, називають бічними ребрами піраміди. Багатокутник, якому не належить вершина піраміди, називають основою піраміди (рис. 107).

Піраміди поділяють на трикутні, чотирикутні, п'ятикутні і т.д. буд. залежно кількості сторін їх підстав. Піраміда, зображена малюнку 107, — п'ятикутна, але в малюнку 108, — восьмикутна. Трикутну піраміду називають ще тетраедром. У тетраедра всі грані є трикутниками (рис. 109).

Перпендикуляр, проведений з вершини піраміди до площини її основи, називається заввишки піраміди. На малюнку 108 показано висота

Площина, що проходить через два бічні ребра піраміди, що не належать одній грані, називається діагональною площиною, а переріз піраміди діагональною площиною діагональним перетином. На малюнку 111 показано діагональний переріз шестикутної піраміди.

Піраміда, основою якої є правильний багатокутник, а основа її висоти збігається з центром цього багатокутника, називається правильною пірамідою (Рис. 112).

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою піраміди.

Зазначимо, що у правильній піраміді:

• бічні ребра рівні;
• бічні грані рівні;
• апофеми, рівні;
• двогранні кути при основі рівні;
• двогранні кути при бічних ребрах рівні;
• кожна точка висоти рівновіддалена від вершин основи;
• кожна точка висоти рівновіддалена від ребер основи;
• кожна точка висоти рівновіддалена від бічних граней.

Зазначимо, що якщо у піраміді рівні всі:

• бічні ребра, то біля її основи можна описати коло, і центр цього кола збігається з основою висоти піраміди (Рис. 113);
• двогранні кути при основі, то в цю основу можна вписати коло, і центр цього кола збігається з основою висоти піраміди (Рис. 114).

Бічні грані становлять бічну поверхню піраміди, а бічні грані разом із основою повну поверхню піраміди.

Ви знаєте, що бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра її основи та апофеми.

Теорема 1.

Якщо піраміду перетнути площиною, паралельною до основи, то:

• а) бічні ребра та висота поділяються на пропорційні частини;
• б) у перерізі виходить багатокутник, подібний до основи;
• в) площі перерізу та основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершини піраміди.

Використовуючи рисунок 115, доведіть цю теорему самостійно.

Сікуча площина, паралельна до основи піраміди, поділяє її на дві частини (рис. 116). Одна з цих частин також є пірамідою, а інша — багатогранником, який називається. усіченою пірамідою.

Паралельні грані зрізаної піраміди називаються її підставами (рис. 117). Основи зрізаної піраміди — подібні багатокутники, сторони яких попарно паралельні, тому її бічні грані є трапеціями.

Висотою усіченої піраміди називається перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи піраміди до площини іншої основи.

Усічена піраміда називається правильною, якщо вона є частиною правильної піраміди. апофемою зрізаної піраміди. На малюнку 118 показана чотирикутна правильна зрізана піраміда і одна з її апофем.

Теорема 2.

Бічна поверхня правильної усіченої піраміди дорівнює добутку напівсуми периметрів її основ та апофеми:

Доказ:

Нехай є правильна вугільна усічена піраміда (рис. 119). Нехай і відповідно периметри нижньої і верхньої основ і апофема піраміди.

Бічна поверхня цієї піраміди складається з рівних трапецій. Нехай і підстави однієї з цих трапецій, тоді її площа дорівнює . Враховуючи, що бічна поверхня піраміди складається з таких трапецій, отримаємо, що

Тепер встановимо формулу обчислення обсягу піраміди.

Тіла, що мають рівні обсяги, називаються рівновеликими.

Теорема 3.

Трикутні піраміди з рівновеликими основами та рівними висотами рівновеликі.

Доказ:

Нехай є дві трикутні піраміди з рівновеликими основами та рівними висотами (рис. 120). Розділимо висоти однієї та іншої пірамід на часткою і через точки поділу проведемо площини, паралельні основам. Цим самим піраміди поділяються на частин. Для кожної частини першої піраміди побудуємо найбільші за обсягом призми, які повністю містяться в піраміді, а для кожної частини іншої піраміди — найменші за обсягом призми, що повністю містять цю частину.

Нехай і – обсяги першої та другої пірамід, а та – сумарні обсяги призм, побудованих для цих пірамід. При рахунку від підстав пірамід призму в частині першої піраміди рівновелика призмі для частини другої піраміди, так як у цих призм рівновеликі підстави і рівні висоти. Тому обсяг більше обсягу обсяг першої призми, в якої основою є основа другої піраміди, а висота дорівнює , де — висота піраміди (див. рис. 120), тобто. , або , де - Площа основи піраміди. Тепер врахуємо, що , a . Тому, або. При збільшенні значення змінної значення виразу прагне нуля, але це означає, що , чи

Такі самі міркування можна провести, якщо першу і другу піраміди поміняти ролями.В результаті отримаємо нерівність

З нерівностей (1) і (2) випливає, що .

Теорема 4.

Обсяг піраміди дорівнює третій частці твору площі її основи та висоти:

Доказ:

Нехай трикутна піраміда (рис. 121). Добудуємо її до призми з основою (рис. 122). Відокремимо від призми цю піраміду, вийде чотирикутна піраміда (рис. 122 та 123). Діагональна площина поділяє її на дві піраміди і , у яких та сама висота, проведена з вершини , і рівні основи і . Тому, відповідно до теореми 3, піраміди та рівновеликі. Порівняємо піраміду з цією пірамідою. У них рівні основи та висоти, проведені з вершин і , тому ці піраміди також рівновеликі. Виходить, що всі три піраміди і рівновеликі. Оскільки обсяг призми дорівнює добутку площі основи та висоти призми, яка дорівнює висоті піраміди, то обсяг піраміди, т.е. е. третій частині призми , дорівнює третій частці цього обсягу, т. е. .

Нехай тепер є довільна піраміда (рис. 124). Через діагоналі основи, що виходять з однієї вершини, проведемо діагональні перерізи, вони розділять цю піраміду на трикутні піраміди. Оскільки всі вони мають загальну висоту, то

Приклад:

Знайдемо обсяг усіченої піраміди, нижня і верхня основи якої мають площі і , а висота дорівнює (рис. 125).

Для цього добудуємо цю усічену піраміду до повної. Нехай висота додаткової піраміди дорівнює. Шуканий обсяг можна знайти як різницю обсягів повної та додаткової пірамід:

Щоб знайти висоту, використовуємо встановлене в теоремі 1 твердження про те, що площі перерізів піраміди відносяться як квадрати їх відстаней від вершини:

Розв'яжемо це рівняння, враховуючи, що й — позитивні числа:

Таким чином, обсяг усіченої піраміди дорівнює третій частці добутку висоти піраміди та суми площ та основ піраміди та їх середнього геометричного .

• Конус у геометрії
• Сфера у геометрії
• Куля в геометрії
• Правильні багатогранники у геометрії
• Виникнення геометрії
• Призма у геометрії
• Циліндр у геометрії
• Стереометрія - формули, визначення та обчислення

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.