Як алгебраїчно знайти зворотну функцію

Співавтором цієї статті є JohnK Wright V, наш постійний співавтор. Постійні співавтори wikiHow працюють у тісній співпраці з нашими редакторами, щоб забезпечити максимальну точність та повноту статей.

Кількість переглядів цієї статті: 73 803.

Математичні функції, які зазвичай позначаються як f(x) або g(x), можна представити як порядок виконання математичних операцій, які дозволяють прийти від «x» до «y». Зворотна функція f(x) записується як f-1(x). [1] X Джерело інформації У разі простих функцій знайти зворотну функцію нескладно.

• приклад. Перепишемо цю функцію f(x) = 5x - 2 як y = 5x - 2. f(x) і «y» взаємозамінні.
• f(x) — це стандартний запис функції, але якщо ви маєте справу з декількома функціями, то кожній з них потрібно буде присвоїти свою літеру, щоб їх було легко відрізняти один від одного. Наприклад, часто функції позначають як g(x) та h(x).

• Пам'ятайте, що ви можете застосовувати будь-яку операцію по відношенню до однієї зі сторін рівняння тільки в тому випадку, якщо ви застосовуєте ту саму операцію по відношенню до всіх членів по обидва боки від рівня знаку. [2] X Джерело інформації
• У прикладі додайте 2 до обох частин рівняння. Ви отримаєте y+2 = 5x. Потім розділіть обидві частини рівняння на 5 та отримайте (y + 2)/5 = x. І, нарешті, перепишіть рівняння з «x» у лівій частині: x = (y + 2)/5.

Зворотня функція

Поняття зворотної функції: Нехай функція набуває кожного свого значення в єдиній точці її області визначення (така функція називається оборотний ).Тоді для кожного числа (з безлічі значень функції) існує єдине значення (з області визначення функції), таке, що, . Розглянемо нову функцію, яка кожному числу ставить у відповідність число, тобто. У цьому випадку функція називається зворотній до функції.

Властивості зворотної функції

1. Область визначення прямої функції є множиною значень зворотної, а безліч значень прямої функції - область визначення зворотної.

Приклади зворотних функцій

Приклад знаходження зворотної функції

Приклад: Знайти зворотну функцію для функції:

Рішенню: Знайдемо де задана функція зростає і зменшується, . Тоді при функція зростає при функція зменшується.

На кожному із цих проміжків і запишемо формулу зворотної функції. Оскільки, то.

Звідси, тобто за, а за. Змінюючи позначення на традиційне, отримуємо: для функції за зворотної функції буде функція , а при зворотній функції буде функція .

Зворотні функції – визначення та властивості

Визначення зворотної функції та її властивості: теорема про взаємну монотонність прямої та зворотної функцій; симетрія графіків прямої та зворотної функцій; теореми про існування та безперервність зворотної функції для функції, суворо монотонної на відрізку, інтервалі та напівінтервалі. Приклади зворотних функцій. Приклад розв'язання задачі.

Визначення та властивості

Зворотна функція Нехай функція має область визначення X та безліч значень Y . І нехай вона має властивість:
для всіх.
Тоді для будь-якого елемента з множини Y можна поставити у відповідність тільки один елемент множини X, для якого. Така відповідність визначає функцію, яка називається зворотною функцією до. Зворотна функція позначається так:
.

З визначення випливає, що
;
для всіх;
для всіх.

Якщо функція f строго зростає (зменшується),
то існує зворотна функція, яка також строго зростає (зменшується).
Доказ

Нехай функція f(x) визначена на деякій множині X,
і має безліч значень Y: f(X) ∈ Y.
І нехай вона має на безлічі X зворотну функцію f -1 : f -1 ( Y ) ∈ X .
Тоді графіки прямої та зворотної функцій, побудовані при значеннях їх аргументів x ∈ X та x ∈ Y , відповідно, симетричні щодо прямої .
Доказ

Нехай функція безперервна
і строго зростає (суворо зменшується) на відрізку .
Тоді на відрізку визначено і безперервну зворотну функцію , яка строго зростає (суворо зменшується).
Для зростаючої функції.
Для спадної: .
Доказ

Нехай функція безперервна
і строго зростає (суворо зменшується) на відкритому кінцевому чи нескінченному інтервалі.
Тоді на інтервалі визначено і безперервну зворотну функцію, яка строго зростає (суворо зменшується).
Для зростаючої функції.
Для спадної: .
Доказ

Нехай функція безперервна і монотонна на напівінтервалі X .
Тоді на напівінтервалі Y визначена, суворо монотонна та безперервна зворотна функція .
Якщо строго зростає, також строго зростає. При цьому:
якщо, то;
якщо, то.
Якщо суворо зменшується, то також суворо зменшується. При цьому:
якщо, то;
якщо, то.
Тут. Відкритий кінець інтервалу може бути кінцевим числом або віддаленою точкою.
Доказ

Приклади зворотних функцій

Арксинус

Розглянемо тригонометричну функцію синус: . Вона визначена і безперервна всім значень аргументу , але є монотонної.Однак, якщо звузити область визначення, можна виділити монотонні ділянки. Так, на відрізку , функція визначена, безперервна, строго зростає та набуває значення від –1 до +1 . Тому має у ньому зворотну функцію, яку називають арксинусом. Арксинус має область визначення та безліч значень.

Логарифм

Показова функція визначена, безперервна і строго зростає за всіх значень аргументу. Безліч її значень є відкритий інтервал. Зворотною функцією є логарифм на підставі два. Він має область визначення та безліч значень.

Квадратний корінь

Ступенева функція визначена і безперервна всім . Безліч її значень є напівінтервал. Але вона не є монотонною за всіх значень аргументу. Проте, на напівінтервалі вона безперервна і монотонно зростає. Тому якщо, як область визначення, взяти безліч, то існує зворотна функція, яка називається квадратним коренем. Зворотна функція має область визначення та безліч значень.

приклад. Доказ існування та єдиності кореня ступеня n

Усі приклади Доведіть, що рівняння , де n – натуральне, – дійсне невід'ємне число, має єдине рішення на множині дійсних чисел, . Це рішення називається коренем ступеня n у складі a . Тобто треба показати, що будь-яке невід'ємне число має єдиний корінь ступеня n.

Розглянемо функцію від змінної x:
(П1) .

Доведемо, що вона безперервна.
Використовуючи визначення безперервності, покажемо, що
.
Застосовуємо формулу бінома Ньютона:
(П2)
.
Застосуємо арифметичні властивості меж функції. Оскільки , то від нуля тільки перший доданок:
.
Безперервність доведено.

Доведемо, що функція (П1) строго зростає при .
Візьмемо довільні числа, пов'язані нерівностями:
, , .
Нам потрібно показати, що . Введемо змінні. Тоді. Оскільки , то з (П2) видно, що . Або
.
Суворе зростання доведено.

Знайдемо безліч значень функції при .
У точці, .
Знайдемо межу.
Для цього застосуємо нерівність Бернуллі. При маємо:
.
Оскільки, то й.
Застосовуючи властивість нерівностей нескінченно великих функцій знаходимо, що .
Отже, , .

Відповідно до теореми про зворотну функцію, на інтервалі визначена і безперервна зворотна функція . Тобто для кожного існує єдине, що задовольняє рівняння. Оскільки у нас , то це означає, що для будь - якого рівняння має єдине рішення, яке називають коренем ступеня n з числа x :
.

Використана література:
О.І. Бісів. Лекції з математичного аналізу. Частина 1. Москва, 2004.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов. Опубліковано: 27-10-2018 Змінено: 16-02-2021