Властивість діагоналей паралелепіпеда та формула обчислення

Паралелепіпед - одна з найцікавіших геометричних фігур. Хоча на перший погляд це просто прямокутний брус, при найближчому розгляді виявляються дивовижні особливості та закономірності.

Одна з таких дивовижних властивостей паралелепіпеда пов'язана з його діагоналями. Давайте розберемося, у чому полягає ця властивість і чому вона така незвичайна.

Кожен паралелепіпед має 4 діагоналі

Для початку давайте визначимося, що таке діагональ паралелепіпеда. Це відрізок, що з'єднує дві безмежні вершини паралелепіпеда. У будь-якому паралелепіпеді всього 4 діагоналі, що з'єднують протилежні вершини.

Нагадаємо, що паралелепіпед - це прямокутний брус, у якого всі грані є паралелограмами.

Тобто в паралелепіпеді є:

• 2 діагоналі, що проходять через протилежні ребра;
• 2 діагоналі, що проходять через протилежні грані.

І ось властивості цих діагоналей виявляються дуже цікавими.

Діагоналі паралелепіпеда рівні

Одна з дивовижних властивостей діагоналей паралелепіпеда полягає в тому, що всі 4 діагоналі паралелепіпеда рівні між собою!

Це означає, що неважливо, якою діагоналлю ми скористаємося – через ребра чи через грані – її довжина буде однаковою з довжиною будь-якої іншої діагоналі цього паралелепіпеда.

Наприклад, уявіть собі звичайну дерев'яну скриньку. У нього є діагоналі через бічні сторони та через верхню та нижню сторони. Відповідно до властивості паралелепіпеда, всі ці діагоналі дорівнюватимуть між собою.

Формула для обчислення довжини діагоналі

Знаючи довжини ребер паралелепіпеда a, b, c, можна легко обчислити довжину будь-якої діагоналі d.

Для цього використовується формула:

Це випливає з теореми Піфагора, застосованої до прямокутного трикутника, утвореного діагоналлю та двома ребрами паралелепіпеда.

Доказ рівності діагоналей

Давайте доведемо властивість рівності всіх діагоналей у паралелепіпеді.

Нехай діагональ BD має довжину d₁, а діагональ AC₁ - Довжину d₂.

Згідно з формулою вище:

Оскільки ребра a, b, c однакові обох діагоналей, то формули для d₁ і d₂ збігаються. Значить, d₁ = d₂.

Тобто діагоналі BD та AC₁ рівні. Аналогічно доводиться рівність двох інших діагоналей. Отже, у паралелепіпеді всі діагоналі попарно рівні.

Таким чином, ми довели цю дивовижну і дуже корисну властивість діагоналей паралелепіпеда.

Де застосовується властивість діагоналей

Знання властивості діагоналей паралелепіпеда стане в нагоді в таких випадках:

• При вирішенні завдань на обчислення довжин ребер паралелепіпеда через його діагоналі;
• При обчисленні обсягу паралелепіпеда, якщо відома довжина діагоналі;
• При побудові перерізів паралелепіпеда;
• У стереометрії, при доказі різних теорем про паралелепіпед.

Також цю властивість корисно знати просто з інтересу, щоб краще представляти пристрій паралелепіпеда.

Отже, ми з'ясували, що паралелепіпед має дивовижну властивість: усі його діагоналі попарно рівні, незалежно від того, чи проходять вони через ребра або грані.

Це цікавий геометричний факт, який стане в нагоді як під час вирішення завдань, так глибшого розуміння особливостей цього багатогранника.

Тепер, знаючи властивості діагоналей паралелепіпеда, ви можете легко визначати їхню довжину і впевненіше оперувати цією фігурою в стереометричних побудовах.

Перевірка рівності діагоналей практично

Давайте перевіримо якість рівності діагоналей паралелепіпеда на конкретному прикладі. Візьмемо паралелепіпед з наступними ребрами:

Обчислимо довжину діагоналі через ребра за формулою:

d = √(3 2 + 4 2 + 5 2 ) = √34 = 6 см

Тепер обчислимо довжину діагоналі через межі:

d = √(4 2 + 3 2 + 5 2 ) = √34 = 6 см

Вийшло, що обидві діагоналі дорівнюють 6 см. Таким чином, на практиці підтверджується властивість рівності всіх діагоналей паралелепіпеда.

Властивість діагоналей прямого паралелепіпеда

Розглянемо окремий випадок - прямий паралелепіпед. Це паралелепіпед, у якого всі грані є прямокутниками.

У прямого паралелепіпеда є додаткова зручна властивість:

Діагоналі прямого паралелепіпеда взаємно перпендикулярні.

Це означає, що й у прямому паралелепіпеді провести одну діагональ, то друга діагональ буде перпендикулярна їй.

Ця властивість випливає з того, що діагоналі поєднують протилежні вершини прямокутників, які є гранями паралелепіпеда.

Завдяки перпендикулярності, діагоналі ділять прямий паралелепіпед на чотири однакові трикутні паралелепіпеди. Це спрощує обчислення із прямими паралелепіпедами.

Таким чином, прямі паралелепіпеди мають ще більш чудові властивості діагоналей, ніж загальні.

Паралелепіпед

З паралелепіпедом ми вже знайомі. Нагадаємо, що в курсі геометрії базової школи ми визначали паралелепіпед як чотирикутну призму, основами якої є паралелограми. На цьому уроці ми дамо трохи інше визначення паралелограма.Повторимо основні елементи паралелепіпеда, розв'яжемо кілька завдань.

На даний момент ви не можете подивитися чи роздати відеоурок учням

Щоб отримати доступ до цього та інших відеоуроків комплекту, потрібно додати його до особистого кабінету.

Отримайте неймовірні можливості

Конспект уроку "Паралелепіпед"

Перш ніж приступити до вивчення нового матеріалу, давайте згадаємо, яка фігура називається тетраедром, згадаємо елементи тетраедра та види тетраедра.

З паралелепіпедом ми вже знайомі. Нагадаємо, що в курсі геометрії базової школи ми визначали. паралелепіпед як чотирикутну призму, Підставами якої є паралелограми.

Сьогодні ми дамо трохи інше визначення паралелограма.

Розглянемо два рівні паралелограми ABCD і A₁B₁C₁D₁, які розташовані в паралельних площинах так, що відрізки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ паралельні.

Отримали чотирикутники ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁Розглянемо один із цих чотирикутників.₁A₁. Сторони AA₁ та BB₁ паралельні за умовою. За властивістю паралельних площин сторони AB та A₁B₁ паралельні. Тобто, чотирикутник ABB.₁A₁ – паралелограм, аналогічно, паралелограмами будуть кожен із чотирикутників BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁.

Поверхня, що складається з двох рівних паралелограмів ABCD та A₁B₁C₁D₁ та чотирьох паралелограмів ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁називається паралелепіпедом і позначається так: ABCDA₁B₁C₁D₁

Паралелограми, з яких складено паралелепіпед, називаються гранями.

На малюнку зображено паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁.Зверніть увагу, всі шість граней паралелепіпеда - паралелограми.

Сторони паралелограмів називаються ребрами паралелепіпеда, А їхні вершини - вершинами паралелепіпеда. Дві грані паралелепіпеда називаються протилежнимиякщо вони не мають спільного ребра. Наприклад, грані AA₁B₁B та DD₁C₁C – протилежні.

Грані, що мають спільне ребро, називаються суміжними. Наприклад, грані AA₁D₁D та DD₁C₁C - суміжні, ребро DD₁ у них спільне.

Іноді якісь дві протилежні грані паралелепіпеда виділяються і називаються підставами, тоді інші грані – бічними гранями, а їхні сторони, що з'єднують вершини основ паралелепіпеда, - його бічними ребрами. У нашому випадку у паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ грані ABCD та A₁B₁C₁D₁- Його підстави. Інші ж грані є бічними гранями.

Дві вершини, які не належать до однієї грані, називаються протилежними.

Відрізок, який сполучає протилежні вершини, називається діагоналлю паралелепіпеда. Відповідно у паралелепіпеда є чотири діагоналі.

Тобто, якщо в якості підстав вибрати грані ABCDіA₁B₁C₁D₁, то бічними гранями будуть паралелограми ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁, а бічними ребрами будуть відрізки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.

Ми вже знаємо, як зображується паралелепіпед. Як і в інших просторових фігурах, невидимі ребра та інші відрізки зображуються штриховими лініями.

З властивостями паралелепіпеда ми вже знайомі. Повторимо їх ще раз і доведемо з урахуванням нового визначення паралелепіпеда.

Перша властивість звучить так: протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні. Відразу зазначимо, що дві грані паралелепіпеда будуть паралельними, якщо їх площини паралельні.

Доведемо, наприклад, паралельність і рівність граней ABB₁A₁ та DCC1D₁ паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Оскільки ці грані є паралелограмами, можна записати, що AB паралельно DC і AA₁ паралельно DD₁. Тобто дві прямі, що перетинаються, AB і AA₁ однієї грані відповідно паралельні двом прямим CD і DD, що перетинаються₁ іншої межі. Отже, за ознакою паралельності площин отримаємо, що грані ABB₁A₁ та DCC₁D₁ паралельні.

Оскільки всі грані паралелепіпеда – паралелограми, можна записати, що AB дорівнює DC і AA₁одно DD₁. З цієї ж причини сторони кутів A₁AB та D₁DC відповідно сонаправлены, отже, ці кути рівні. Таким чином ми довели, що дві суміжні сторони і кут між ними паралелограма ABB₁A₁ відповідно дорівнюють двом суміжним сторонам і куту між ними паралелограма DCC₁D₁тому паралелограми ABB₁A₁ та DCC₁D₁ рівні.

Перейдемо до другий властивості. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Доказ цього твердження ґрунтується на наступному факті: якщо дві прямі у просторі паралельні третій прямій, то вони паралельні.

Ми знаємо, що діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Отже, на екрані зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. Оскільки грані ABCD і AA₁D₁D – паралелограми, то BC паралельно AD, BC і AD, A₁D₁ паралельно AD, A₁D₁ і AD. З цього випливає, що A₁D₁ паралельно BC та A₁D₁ і BC. Тому чотирикутник A₁D₁CB – паралелограм. Отже, його діагоналі A₁C та D₁B перетинаються в деякій точці О і діляться цією точкою навпіл. Зауважимо, що ці ж діагоналі A₁C та D₁B є також діагоналями паралелепіпеда.

Оскільки грані ABCDіDD₁C₁C– паралелограми, то AB паралельно CD, AB дорівнює CD, C₁D₁ паралельно CD, C₁D₁ і CD. З цього випливає, що C₁D₁ паралельно AB та C₁D₁ і AB. Тому чотирикутник C₁D₁AB – паралелограм. І, отже, його діагоналі C₁A та D₁B перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Але серединою діагоналі D₁B є точка О. Таким чином, діагоналі A₁C, D₁B та C₁A паралелепіпеди перетинаються в точці О і діляться цією точкою навпіл.

Оскільки грані ABCD і AA₁B₁B – паралелограми, то CD паралельно AB, CD і AB, A₁B₁ паралельно AB, A₁B₁ і AB. З цього випливає, що A₁B₁ одно CD та A₁B₁ паралельно CD. Тому чотирикутник A₁B₁CD – паралелограм. І, отже, його діагоналі A₁C та B₁D перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Але серединою діагоналі A₁C є точка О. Таким чином, усі чотири діагоналі A₁C, B₁D, C₁A та D₁B паралелепіпеда перетинаються в точці О і діляться цією точкою навпіл. Що й потрібно було довести.

Слово паралелепіпед походить від давньогрецьких слів паралелос - Паралельний, і епіпед - Площина.

Якщо всі бічні ребра паралелепіпеда перпендикулярні до площин його основ, т.е. е. бічні грані – прямокутники, то такий паралелепіпед називається прямим.

Якщо паралелепіпед не є прямим, тобто якщо всі його бічні ребра не перпендикулярні до площин основ, то він називається похилим.

Якщо ж і основами прямого паралелепіпеда служать прямокутники, то такий паралелепіпед називається прямокутним.

Паралелепіпед дуже часто зустрічається в житті, практично всі будівлі мають форму паралелепіпеда. І багато предметів мають форму паралелепіпеда.

Вирішимо кілька завдань.

Завдання. Даний паралелепіпед. Довести, що діагональ паралельна.

Що й потрібно було довести.

Завдання. Сума всіх ребер паралелепіпеда дорівнює cм. Знайдіть кожне ребро паралелепіпеда, якщо , а .

Зі співвідношень виразимо довжини ребер AB і BB1 через довжину ребра BC.

Отримаємо, що ABрівно , BB₁ одно.

У паралелепіпеда дванадцять ребер, з них чотири ребра дорівнюють ребру AB, чотири ребра дорівнюють ребру BB₁, чотири ребра дорівнюють ребру BC. Замінимо ребра AB та BB₁ та їх виразом через ребро BC, отримаємо, що 12BC=120. Тоді отримаємо, що довжина ребра BC= 10. Підставимо це значення формулу для знаходження довжин ребер AB і BB1, отримаємо, що AB= 8, а BB₁= 12.

Коротко запишемо розв'язання задачі.

Підіб'ємо підсумки уроку. Сьогодні на уроці ми познайомилися з ще одним просторовим тілом – паралелепіпедом. Познайомилися з елементами паралелепіпеда, вирішили кілька завдань на цю тему.