Помилки, які підпорядковуються закону нормального розподілу

називається різницю між результатом виміру і точним (справжнім) значенням вимірюваної величини, тобто.

де ∆ – помилка виміру (істинна помилка); l – результат виміру;

x – точне значення величини.

Причинами виникнення помилок є неточності у виготовленні та юстуванні приладів, вплив зовнішніх умов, неточності виконання операцій спостерігачем, зміни самого об'єкта виміру та недосконалість методу вимірів.

Відповідно до джерел виникнення розрізняють помилки:

5) методу вимірів.

Наведена класифікація помилок за джерелами виникнення має велике значення щодо приладів і методів

Теоретично помилок найважливіше значення має класифікація помилок по закономірностям їх появи. За характером дії на кінцевий результат помилки поділяються на грубі, систематичні та

Грубі помилки (промахи) викликаються неуважністю спостерігача або несправністю приладу. Вони перевершують по абсолютній величині певну межу, встановлену для даних умов вимірів.

Вимірювання, що містять грубі помилки, бракуються та замінюються новими. Для виявлення грубих помилок виробляються

Систематичні помилки поділяються на

постійні, змінні та односторонньо

Постійні систематичні помилки при вимірі однієї й тієї величини кілька разів, щоразу з'являються з одним знаком і однакові за величиною. Наприклад, помилки за рахунок неточного центрування теодоліту при вимірюванні кутів кількома прийомами будуть однаковими в кожному прийомі.

Змінні систематичні помилки змінюються від прийому до прийому, дотримуючись певного закону.Наприклад, помилки у напрямах, зумовлені ексцентриситетом алідади, або помилками нанесення штрихів лімбу теодоліту.

Односторонньо діючі систематичні

помилки змінюються випадково, але зберігають знак. Наприклад, помилка в довжині

Випадковими називаються помилки, які пов'язані функціональної залежністю з будь-якими чинниками. Ні величину, ні знак випадкової помилки заздалегідь передбачити не можна. У послідовності появи помилок також немає ніякої закономірності. Однак, якщо розглядати їх у великій кількості, виявляються певні статистичні закономірності.

Випадкові помилки основного типу мають такі ймовірні властивості:

1. За абсолютною величиною помилки не перевищують певної межі.

2. Позитивні та негативні помилки, рівні за абсолютною величиною, мають рівні можливості, тобто. трапляються однаково часто.

З. Чим більша помилка за абсолютною величиною,

тим менша її ймовірність появи.

4. Середнє арифметичне із значень

випадкових помилок при необмеженому зростанні числа вимірів однієї й тієї величини має межею нуль, т.е. е.

математичне очікування помилки дорівнює нулю

4. Поняття закони розподілу помилок.

Властивості випадкових помилок є виявом закону їхнього розподілу.

У випадку закон розподілу помилок відбиває зв'язок між розміром помилки і ймовірністю її появи.

де Р ∆ – ймовірність появи помилки в інтервалі (∆, ∆+d∆); ∆ – випадкова помилка;

f ( ∆ ) – щільність розподілу помилок.

Розподіл випадкових помилок вимірів найточніше описується законом нормального розподілу.

Щільність нормального розподілу виражається формулою

де - середнє квадратичне відхилення випадкової помилки.

Графік функції (3) називається кривою нормального розподілу, чи кривою Гауса (рис.3).

Мал. 3. Крива нормального розподілу.

Ця крива має симетричну дзвонову форму. Заштрихована площа є ймовірністю

появи помилки в інтервалі від ∆ до ∆+ d ∆ .

Існують помилки, які підпорядковуються закону рівномірного чи рівноймовірного розподілу, наприклад, помилки округлення. Щільність розподілу їх виражається формулою:

де - найбільше значення помилки.

Сусідні файли в папці лекції з геодезії 2 курс

• #
• #
• # 29.02.2016 2.28 Mб 32 ЛЕКЦІЯ 13.pptx
• #
• #
• #

§ 6. ТЕОРЕМИ ЛЯПУНОВА І ЛАПЛАСУ.

6.2. Основний закон помилок.

Коли ми проводимо деякий вимір, то на його результат впливає велика кількість факторів, які
породжують помилки вимірів. Помилки вимірів в основному можна поділити на три групи: 1) грубі помилки; 2) систематичні помилки;
3) випадкові помилки.

Грубі помилки виникають від неуважності під час читання показників приладу, неправильного запису показань,
неправильне використання приладу. Ці помилки можуть бути унеможливлені дотриманням правил вимірювання.

Систематичні помилки спотворюють зазвичай результат виміру певну сторону. Вони відбуваються, наприклад,
від недосконалості приладів, від особистих якостей спостерігача і може бути усунуто відповідними поправками.

Випадкові помилки викликаються великою кількістю окремих причин, що не піддаються точному обліку та діють у
кожному окремому випадку по-різному. Ці помилки виникають від непомітних механічних причин через зміну параметрів
вимірювальних приладів, які від метеорологічних умов, тощо. буд. Кожна з цих причин окремо породжує при вимірі незначну
помилку. Складаючись, ці мізерно малі помилки породжують сумарну помилку, якої вже не можна знехтувати.
Ця сумарна помилка v є випадкова величина, що є сумою величезної кількості незначних, незалежних один від одного випадкових
величин і має, згідно з слідством теореми Ляпунова, нормальний розподіл.

Припускаючи вимір вільним від грубих та систематичних
помилок, можна вважати, що можливий результат виміру є випадкова величина , математичне очікування
якої дорівнює справжньому значенню а вимірюваної величини: (Див. Теорему Ляпунова).
Оскільки сумарна помилка підпорядковується нормальному закону розподілу, то можливий результат
Вимірювання також підпорядковується нормальному закону розподілу (див. § 4, п. 3).
У цьому полягає основний закон помилок.

Нормальний розподіл

Час на прочитання
7 хв

Кількість переглядів 42K

Автор статті: Вікторія Лялікова

Нормальний закон розподілу або закон Гауса відіграє важливу роль у статистиці та займає особливе становище серед інших законів. Згадаймо як виглядає нормальний розподіл

де a -математичне очікування, - Середнє квадратичне відхилення.

Тестування даних на нормальність є досить частим етапом первинного аналізу даних, оскільки велика кількість статистичних методів використовує те що, що дані розподілені нормально. Якщо вибірка не підпорядковується нормальному закону, тоді припущення про параметричні статистичні тести порушуються, і слід використовувати непараметричні методи статистики.

Нормальний розподіл природним чином виникає практично скрізь, де йдеться про вимір з помилками.Наприклад, координати точки влучення снаряда, зростання, вага людини мають нормальний закон розподілу. Більш того, центральна гранична теорема взагалі стверджує, що сума великої кількості доданків сходить до нормальної випадкової величини, незалежно від того, який був вихідний розподіл у вибірки. Таким чином, дана теорема встановлює умови, за яких виникає нормальний розподіл та порушення яких веде до розподілу, відмінного від нормального.

Можна виділити такі етапи перевірки вибіркових значень на нормальність

• Підрахунок основних показників вибірки. Вибіркове середнє, медіана, коефіцієнти асиметрії та ексцесу.
• графічний. До цього методу відноситься побудова гістограми та графік квантиль-квантиль або коротко QQ
• Статистичні методи. Дані методи обчислюють статистику за даними та визначають, яка ймовірність того, що дані отримані з нормального розподілу

При нормальному розподілі, яке симетрично, значення медіани і вибіркового середнього будуть однакові, значення ексцесу дорівнює 3 а асиметрії дорівнює нулю. Однак ситуація, коли всі зазначені вибіркові характеристики рівні саме таким значенням практично не зустрічається. Тому після етапу підрахунку вибіркових характеристик можна переходити до графічного представлення вибіркових даних.

Гістограма дозволяє уявити вибіркові дані у графічному вигляді – як стовпчастої діаграми, де дані діляться на заздалегідь певну кількість груп. Вид гістограми дає наочне уявлення функції густини ймовірності деякої випадкової величини, побудованої за вибіркою.

Графік QQ (квантиль-квантиль) є графіком ймовірностей, який є графічним методом порівняння двох розподілів шляхом побудови їх квантилей. QQ графік порівнює набори даних теоретичних та вибіркових (емпіричних) розподілів. Якщо два порівнювані розподіли подібні, тоді точки на графіку QQ приблизно лежатимуть на лінії y=x. Основним кроком у побудові графіка QQ є розрахунок чи оцінка квантилів.

Існує безліч статистичних тестів, які можна використовуватиме перевірки вибіркових значень на нормальність. Кожен тест використовує різні припущення та розглядає різні аспекти даних.

Щоб застосовувати статистичні критерії, сформулюємо завдання. Висуваються дві гіпотези H0 та H1, які стверджують

H0 - Вибірка підпорядковується нормальному закону розподілу

H1 — Вибірка не підпорядковується нормальному розподілу

Встанови рівень значущості α=0,05.

Тепер завдання полягає в тому, щоб на підставі якогось критерію відкинути або прийняти основну нульову гіпотезу при рівні значущості

Критерій Шапіро-Вілка

Критерій Шапіро-Вілка заснований на відношенні оптимальної лінійної незміщеної оцінки дисперсії до її звичайної оцінки методом максимальної правдоподібності. Статистика критерію має вигляд

Чисельник є квадратом оцінки середньоквадратичного відхилення Ллойда. Коефіцієнти та критичні значення статистики є табульованими значеннями. Якщо, то нульова гіпотеза нормальності розподілу відхиляється лише на рівні значимості.

У Python функція міститься у бібліотеці scipy.stats і повертає як статистику, розраховану тестом, і значення p. У Python можна використовувати вибірку до 5000 елементів. Інтерпретація виведення здійснюється наступним чином

Якщо значення , тоді приймається гіпотеза H0, інакше, тобто. якщо, тоді приймається гіпотеза H1, тобто. що вибірка не підпорядковується нормальному закону.

Критерій Д’Агостіно

У даному критерії як статистика для перевірки нормальності розподілу використовується відношення оцінки Даутона для стандартного відхилення до вибіркового стандартного відхилення, оціненого методом максимальної правдоподібності.

Як статистику критерію Д'Агостино використовується величина

значення якої розраховується на основі центральної граничної теореми, яка стверджує, що при

де стандартна нормальна довільна величина.

Критичні значення є табульованими значеннями. Гіпотеза нормальності приймається, якщо значення статистики лежить у інтервалі критичних значень. Цей критерій показує хорошу потужність проти великого спектру альтернатив, за потужністю трохи поступаючись критерієм Шапіро-Вілка.

Python функція normaltest() також міститься в бібліотеці scipy.stats і повертає статистику тесту і значення p. Інтерпретація результату аналогічна результатам за критерієм Шапіро-Вілка.

Критерій згоди - Пірсона

Даний критерій є одним з найбільш поширених критеріїв перевірки гіпотез про вид закону розподілу і дозволяє перевірити значущість розходження емпіричних (спостережуваних) та теоретичних (очікуваних) частот. Таким чином, даний критерій дозволяє перевірити гіпотезу про належність вибірки, що спостерігається деякому теоретичному закону. Можна сказати, що критерій є універсальним, оскільки дозволяє перевірити належність вибіркових значень практично будь-якому закону розподілу.

Для вирішення задачі використовується статистика - Пірсона.

де - емпіричні частоти (підраховується кількість елементів вибірки, що потрапили в інтервал), - теоретичні частоти. . Якщо , відхиляється гіпотеза про належність вибірки нормального розподілу і приймається, якщо .

Тепер перейдемо до практичної частини Для демонстрації функцій будемо використовувати Dataset, взятий з сайту kaggle.com з прогнозування інсульту за 11 клінічними характеристиками.

Завантажуємо необхідні бібліотеки

import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns import numpy as np

data_healthcares = pd.read_csv('E:/vika/healthcare-dataset-stroke-data.csv')

Набір складається з 5110 рядків та 12 стовпців.

Подивимося на основні характеристики кожної ознаки.
data_healthcares.describe()

З даних характеристик можна побачити, що є пропущені значення показниках індекс маси тіла.

Якби нам необхідно було робити модель для прогнозу, то пропущені значення bmi є досить великою проблемою, в якій виникає питання, як їх відновити. , Тому зроблено таке припущення) Але оскільки, на даний момент, у нас немає необхідності в побудові моделі для прогнозу, то видалимо всі пропущені значення

Тепер можемо приступати до перевірки вибіркових значень показника bmi на нормальність.

Вибіркове середньоквадратичне відхилення

Вибірковий коефіцієнт асиметрії

Після обчислень основних характеристик бачимо, що вибіркове середнє і медіана по суті приймають однакові значення та коефіцієнт ексцесу дорівнює 3. Але, на жаль коефіцієнт асиметрії дорівнює 1, що вводити нас у деяке замішання, тобто ми вже можемо припустити, що значення bmi не підкоряються нормальному закону. Продовжимо дослідження, перейдемо до побудови графіків.

fig = plt.figure fig,ax=plt.subplots(figsize=(7,7)) sns.distplot(new_data.bmi,color='red',label='bmi',ax=ax) plt.show()

Гістограма досить добре нагадує нормальний розподіл, крім звичайно, невеликого викиду праворуч, але дивимося далі.

Будуємо QQ графік. У python є відмінна функція qqplot() , що міститься в бібліотеці statsmodel , яка дозволяє будувати саме такі графіки.

from statsmodels.graphics.gofplots import qqplot from matplotlib import pyplot qqplot(new_data.bmi, line=’s’) Pyplot.show

Що маємо з графіка QQ? Наші вибіркові значень мають хвости зліва та праворуч, і також у правому верхньому куті значення стають розрідженими.

На основі даних графіка можна зробити висновок, що значення bmi не підпорядковуються нормальному закону розподілу.

Для прикладу збудуємо графік QQ для вибірки з нормального розподілу з такими ж показниками стандартного відхилення та середнього, як у bmi.

std=new_data.bmi.std() # обчислюємо відхилення mean=new_data.bmi.mean() #обчислюємо середнє Z=np.random.randn(4909)*std+mean # моделюємо нормальний розподіл qqplot(Z,line='s ') # будуємо графік pyplot.show()

Продовжимо дослідження. Перейдемо до статистичних критеріїв.Будемо використовувати критерій Шапіро-Вілка та Д'Агостіно, щоб остаточно прийняти або спростувати припущення про нормальний розподіл. Для використання критеріїв підключимо бібліотеки

з шпильки. NormaltestResult(statistic=1021.1795052962864, pvalue=1.793444363882936e-222)

Після застосування двох тестів ми маємо, що значення p-value набагато менше заданого критичного значення \alpha , отже вибіркові значення не належать до нормального закону.

Звичайно, ми розглянули не всі випробування на нормальності, які існують. Які можна надати рекомендації щодо перевірки вибіркових значень на нормальність. Найкраще використовувати всі можливі варіанти, якщо вони доречні.

На цьому все. Ще хочу порекомендувати безкоштовний вебінар, який 15 червня проходитиме на платформі OTUS в рамках запуску курсу Математика для Data Science. На вебінарі розкажуть про кілька підходів, що часто використовуються в аналізі даних, а також розберуть, які математичні ідеї працюють у них під капотом і чому ці підходи взагалі працюють так, як нам потрібно. Реєстрація на вебінар доступна за цим посиланням.

Пропоную вашій увазі адаптований переклад глави книги OnlineStatBook, присвяченої нормальним розподілам.

Вступний розділ визначає, що означає для розподілу бути нормальним і представляє деякі важливі властивості нормального розподілу. Цікава історія відкриття нормального розподілу описана у другому розділі. Методи обчислення ймовірностей, що ґрунтуються на нормальному розподілі, описані в розділі «Області нормального розподілу».«Різновиди нормального розподілу» дозволяє вам вводити значення середнього та стандартного відхилення нормального розподілу і будувати графіки розподілу, що вийшов. Часто використовуваний нормальний розподіл, званий стандартним нормальним розподілом, описується в однойменному розділі. Біноміальний розподіл може бути апроксимований нормальним. Розділ «Нормальне наближення до біномного розподілу» показує це наближення. Демонстрація апроксимації нормальним розподілом дозволяє досліджувати точність цього наближення.

Вступ

Нормальний розподіл є найбільш важливим та широко використовуваним розподілом у статистиці. Його іноді називають «дзвоноподібною кривою», хоча музичні якості такого дзвона були б не такі приємні. Також його називають "розподілом Гауса" на честь математика Карла Фрідріха Гауса. Як ви побачите в розділі про історію нормального розподілу, хоча Гаус грав у ній важливу роль, вперше виявив нормальний розподіл Абрахам де Муавр.

Строго кажучи, некоректно говорити про «нормальний розподіл», оскільки існує багато нормальних розподілів. Нормальні розподіли можуть відрізнятися своїми середніми та стандартними відхиленнями. На рис. 1 три нормальні розподіли. У зеленого (найлівішого) середнє дорівнює -3, а стандартне відхилення 0.5, у червоного розподілу (посередині) середнє дорівнює 0, а стандартне відхилення 1, і у чорного розподіл (праворуч) середнє дорівнює 2 а стандартне відхилення 3. Ці, як і всі інші нормальні розподіли є симетричними з відносно більшими значеннями у центрі розподілу та меншими значеннями у хвостах.

Щільність нормального розподілу (висота цього значення на осі x) показана нижче. Нормальний розподіл визначається параметрами \(\mu\) і \(\sigma\) середнім і стандартним відхиленням відповідно. Символ \(e\) це основа натурального логарифму, а \(\pi\) це константа пі.

Оскільки ми не заглиблюватимемося в математичне трактування статистики, не турбуйтеся, якщо цей вислів вас бентежить. Ми не повертатимемося до нього в наступних розділах.

Сім властивостей нормального розподілу наведено нижче. Ці властивості будуть детальніше проілюстровані в наступних розділах цього розділу.

1. Нормальні розподіли симетричні щодо своїх середніх.
2. Середнє значення, мода та медіана нормального розподілу збігаються.
3. Площа під нормальним розподілом дорівнює 1.
4. Нормальні розподіли щільніші в центрі і менш щільні у хвостах.
5. Нормальні розподіли визначаються двома параметрами: середнє (m) та стандартне відхилення (s).
6. 68% площі нормального розподілу в межах одного стандартного відхилення від середнього.
7. Приблизно 95% площі нормального розподілу у межах двох стандартних відхилень від середнього.

Історія нормального розподілу

У розділі присвяченої ймовірності ми побачили, що біноміальний розподіл можна використовувати для таких проблем, як: «Якщо підкинути чесну монету 100 разів, якою є ймовірність випадання 60 і більше орлів?» Імовірність випадання рівно х орлів за N підкидань розраховується за формулою:

Де (x) це число орлів (60), (N) – кількість підкидань монети (100), а (p) це ймовірність випадання орла (0.5).Таким чином, щоб вирішити цю проблему потрібно обчислити ймовірність 60 орлів, потім ймовірність 61 орла, 62 і т.д. та скласти ці ймовірності. Уявіть, скільки часу потрібно для обчислення біномних ймовірностей до появи калькуляторів та комп'ютерів.

Абрахам де Муавр, статистик 18 століття та консультант азартних гравців, часто залучався до проведення цих тривалих обчислень. Де Муавр зауважив, що коли кількість подій (підкидань монет) збільшується, форма біноміального розподілу наближається до дуже плавної кривої. Біноміальний розподіл для 2, 4 та 12 підкидань показано на рис. 2.

Де Муавр міркував, що, якби він міг знайти математичний вираз для цієї кривої, він міг би набагато легше вирішувати такі проблеми, як знаходження ймовірності 60 і більше орлів зі 100 кидків монет. В точності це він і зробив, і крива, яку відкрив, тепер називається «нормальної кривою».

Малюнок 3. Нормальне наближення біномного розподілу для 12 кидків монет. Гладка крива – це нормальний розподіл. Зверніть увагу, наскільки добре вона апроксимує біномні ймовірності, представлені висотою синіх ліній.

Важливість нормальної кривої обумовлена ​​тим, що розподіл багатьох природних явищ, принаймні приблизно, нормально розподілені. Одне з перших застосувань нормального розподілу було аналізу помилок вимірів, зроблених при астрономічних спостереженнях, помилок що сталися через недосконалість інструментів і спостерігачів. Галілео у 17 столітті зазначив, що ці помилки були симетричними і що невеликі помилки виникали частіше, ніж більші.Це призвело до кількох гіпотез про розподіл помилок, але тільки на початку 19 століття було встановлено, що ці помилки відповідають нормальному розподілу. Незалежно один від одного математики Адрейн у 1808 році. та Гаусс у 1809 р. розробили формулу для нормального розподілу та показали, що помилки добре відповідають цьому розподілу.

Той самий розподіл було виявлено Лапласом в 1778 р., коли він вивів надзвичайно важливу центральну граничну теорему, тему одного з наступних розділів. Лаплас показав, що навіть якщо розподіл не є нормальним, середні вибірки, що повторюються, з розподілу будуть розподілені майже нормально, і чим більший розмір вибірки, тим ближче до нормального буде розподіл середніх.

Більшість статистичних процедур для перевірки між середніми значеннями передбачають нормальний розподіл. Оскільки розподіл середніх близький до нормального, ці тести працюють добре навіть якщо сам розподіл тільки приблизно нормальний. Кетле був першим, хто застосував нормальний розподіл людських характеристик. Він зазначив, що такі характеристики, як зростання, вага та сила були нормально розподілені.

Площі нормального розподілу

Площі під шматками нормального розподілу можна обчислити з допомогою математичного аналізу. Оскільки це нематематичний підхід до статистики, ми покладатимемося на комп'ютерні програми та таблиці визначення цих областей. На рис. 4 показано нормальний розподіл із середнім значенням 50 і стандартним відхиленням 10. Затінена область між 40 і 60 містить 68% розподілу.

Малюнок 4. Нормальний розподіл із середнім значенням 50 та стандартним відхиленням 10.68% площі знаходиться у межах одного стандартного відхилення (10) від середнього (50).

На рис. 5 зображено нормальний розподіл із середнім рівним 100 та стандартним відхиленням 20. Як і на рис. 4, 68% розподілу лежить у межах одного стандартного відхилення від середнього.

Малюнок 5. Нормальний розподіл із середнім значенням 100 та стандартним відхиленням 20. 68% площі знаходиться в межах одного стандартного відхилення (20) від середнього (100).

Нормальні розподіли показані на рис. 4 і 5 це окремі випадки загального правила про те, що 68% площі будь-якого стандартного розподілу знаходиться в межах одного стандартного відхилення від середнього.

На рис. 6 зображено нормальне розподілення з середнім 75 і стандартним відхиленням 10. Зафарбована область містить 95% площі і знаходиться між 55.4 і 94.6. Для всіх нормальних розподілів 95% площі знаходиться в межах 1.96 стандартного відхилення. 2 замість 1.96, як число стандартних відхилень, на які потрібно відступити від середнього, щоб охопити 95% площі.

Рис.6. Нормальний розподіл із середнім 75 та стандартним відхиленням 10. 95% площі знаходяться в межах 1.96 нормального розподілу.

Для обчислення площ під нормальним розподілом може бути використаний наступний калькулятор. 110 у комірку праворуч від кнопки «Above». побачите, що зафарбована область дорівнює 0.0478.Подивіться, чи зможете ви використовувати калькулятор, щоб дізнатися, що площа між 115 і 120 дорівнює 0.0124.

Скажімо, ви хочете знайти оцінку, що відповідає 75-му перцентилю нормального розподілу із середнім значенням 90 та стандартним відхиленням 12. Використовуючи зворотний нормальний калькулятор, введіть параметри, як показано на рис. 8 і виявіть, що площа нижче 98.09 дорівнює 0.75.

Стандартний нормальний розподіл

Як обговорювалося у вступному розділі, у нормальних розподілів не обов'язково однакові середні та стандартні відхилення. Нормальний розподіл із середнім рівним 0 та стандартним відхиленням 1 називається стандартним нормальним розподілом.

Області нормального розподілу часто представлені таблицями стандартного нормального розподілу. Частина таблиці стандартного нормального розподілу показана у таблиці 9.

Перший стовпець "Z" містить значення стандартного нормального відхилення; другий стовпець показує значення площі лівіше Z. Оскільки середнє розподілу дорівнює нулю, а стандартне відхилення 1, стовпець Z дорівнює числу стандартних відхилень ліворуч (або правіше) середнього значення. Наприклад, Z рівне -2.5 представляє значення рівне 2.5 стандартних відхилень ліворуч від середнього. Площа ліворуч за Z дорівнює 0.0062.

Таку інформацію можна отримати за допомогою наступного калькулятора. На рис. 10 показано, як його можна використовувати для обчислення площі лівіше значення -2,5 для нормального стандартного розподілу. Зверніть увагу, що середнє значення встановлено на 0, а стандартне відхилення встановлено на 1.

Значення з будь-якого нормального розподілу може бути перетворене на відповідне значення стандартного нормального розподілу за допомогою наступної формули:

де \(Z\) це значення стандартного нормального розподілу, \(X\) - значення вихідного розподілу, \(\mu\) - середнє вихідного розподілу, а \(\sigma\) - стандартне відхилення вихідного розподілу.

Як проста вправа, яка частина нормального розподілу із середнім значенням 50 і стандартним відхиленням 10 менше 26? Застосовуючи формулу, отримуємо:

З таблиці 9, ми знаємо, що 0.0082 розподілу ліворуч -2.4. Немає необхідності перетворювати значення до \(Z\) якщо ви використовуєте аплет як показано на рис. 11.

Якщо всі значення розподілу перетворити на \(Z\) значення, то розподіл буде середнє 0 і стандартне відхилення 1. Процес перетворення розподілу до стандартного з середнім 0 і відхиленням 1 називається стандартизацією розподілу.

Наближення біномного розподілу нормальним

У розділі про історію нормального розподілу ми бачили, що нормальний розподіл можна використовуватиме апроксимацію біномного розподілу. Цей розділ показує, як розрахувати ці наближення.

Почнемо з прикладу. Нехай у вас є чесна монета, і ви хочете знати можливість випадання 8 орлів за 10 кидків. Біноміальний розподіл має середнє рівне

\(\mu = Np = 10 * 0.5 = 5 \) і дисперсія \ (\ sigma ^ 2 = Np (1-p) = 10 * 0.5 * 05 = 2.5 \). Стандартне відхилення у своїй дорівнює 1.5811. Результат 8 орлів дорівнює \((8 - 5) / 1.5811 = 1.897 \) стандартних відхилень правіше середнього розподілу.«Яка ймовірність набуття значення точності рівного 1.897 стандартних відхилень правіше середнього?» Ви можете здивуватися, але відповідь дорівнює 0. Імовірність будь-якої окремої точки дорівнює 0. Проблема в тому, що біноміальний розподіл є дискретним розподілом ймовірності, тоді як нормальний розподіл безперервно.

Рішення полягає в тому, щоб округлити та розглянути всі значення від 7.5 до 8.5, для отримання результату 8 орлів. Використовуючи цей підхід, ми обчислюємо площу під нормальною кривою від 7.5 до 8.5. Зона зеленого кольору на рис. 12 є приблизною ймовірністю отримання 8 орлів.

Рішення у тому, щоб обчислити цю площу. Спочатку ми обчислюємо площу лівіше 8.5, а потім віднімаємо з неї площу лівіше 7,5.

Результати використання калькулятора площі нормального розподілу для визначення області нижче 8.5 показано на малюнку 13. Результати для 7.5 показано на малюнку 14.

Різниця між площами становить 0,044, що є наближенням біномної ймовірності. Для цих параметрів наближення є дуже точним.

Якщо у вас не було калькулятора площі нормального розподілу, ви можете знайти рішення за допомогою таблиці стандартного нормального розподілу (таблиця 9) таким чином:

1. Знайти значення \(Z\) для 8.5, використовуючи формулу \(Z = (8.5 - 5) / 1.5811 = 2.21\).
2. Знайти площу лівіше (Z) рівного 2.21 (= 0,987).
3. Знайти значення \(Z\) для 7.5, використовуючи формулу \(Z = (7.5 - 5) / 1,5811 = 1.58\).
4. Знайти площу лівіше \(Z\) 1.58 \(= 0.943\).
5. Відняти значення на кроці 4 значення на кроці 2, і отримати 0.044.

Така сама логіка застосовується при розрахунку ймовірності діапазону результатів. Наприклад, щоб розрахувати можливість від 8 до 10 підкидань, обчисліть площу від 7.5 до 10.5.

Точність апроксимації залежить від значень \(N\) і \(p\). Емпіричне правило полягає в тому, що апроксимація хороша, якщо обидва значення (Np) і (N (1-p)) більше 10.

Статистична грамотність

Аналіз ризиків часто ґрунтується на припущенні про нормальний розподіл. Критики кажуть, що екстремальні явища насправді відбуваються частіше, ніж можна було б очікувати, якби вони були нормальними. Припущення навіть назвали «великим інтелектуальним шахрайством».

Нещодавня стаття, в якій обговорюється, як захистити інвестиції від екстремальних явищ, названих «ризик хвоста» та визначених як «ризик хвоста, або екстремальний шок для фінансових ринків, технічно визначається як інвестиція, яка рухається на понад три стандартні відхилення від середнього значення нормального розподілу повернення інвестицій.»

Ризик хвоста можна оцінити, припускаючи нормальний розподіл і обчислюючи ймовірність такої події. Чи слід так оцінювати «ризик хвоста»?

Події понад три стандартні відхилення від середнього значення дуже рідкісні для нормальних розподілів. Однак вони не такі рідкісні для інших розподілів, наприклад з сильним перекосом. Якщо нормальний розподіл використовується для оцінки ймовірності подій хвоста, визначених таким чином, то ризик хвоста буде недооцінений.

Результат будь-якого виміру не визначений однозначно і має випадкову складову.
Тому адекватною мовою для опису похибок є мова ймовірностей.
Той факт, що значення деякої величини «випадково» не означає, що
вона може набувати абсолютно довільних значень. Зрозуміло, що частоти, з якими
виникає ті чи інші значення, різні. Імовірнісні закони, яким
підкоряються випадкові величини, називають розподілами.

2.1 Випадкова величина

Випадковою будемо називати величину, значення якої може бути достовірно визначено експериментатором. Найчастіше мається на увазі, що випадкова величина буде змінюватися при багаторазовому повторенні одного й того експерименту. При інтерпретації результатів вимірювань у фізичних експериментах зазвичай випадковими також вважаються величини, значення яких є фіксованим, але не відомо експериментатору. Наприклад, зміщення нуля шкали приладу. Для формалізації роботи з випадковими величинами використовують поняття ймовірності. Чисельне значення ймовірності того, що якась величина прийме те чи інше значення визначається або як відносна частота спостереження того чи іншого значення при повторенні досвіду багато разів, або як оцінка на основі даних інших експериментів.

Зауваження.
Хоча поняття ймовірності та випадкової величини є основними, у літературі немає єдності у визначенні. Обговорення формальних тонкощів чи побудова суворої теорії лежить поза даного посібника. Тому на початковому етапі краще використовувати інтуїтивне розуміння цих сутностей. Зацікавленим читачам рекомендуємо звернутися до спеціальної літератури: [5].

Розглянемо випадкову фізичну величину x, яка при вимірах може
приймати безперервний набір значень. Нехай
P[x0,x0+δ⁢x] — ймовірність того, що результат виявиться поблизу
деякої точки x0 у межах інтервалу δ⁢x: x∈[x0,x0+δ⁢x].
Спрямуємо інтервал
δ⁢x до нуля. Неважко зрозуміти, що можливість потрапити в цей інтервал
також прагнутиме до нуля. Однак ставлення
w⁢(x0)=P[x0,x0+δ⁢x]δ⁢x залишатиметься кінцевим.
Функцію w⁢(x) називають щільністю розподілу ймовірності або коротко
розподілом безперервної випадкової величини x.

Зауваження. У математичній літературі розподілом часто називають не функцію
w⁢(x), а її інтеграл W⁢(x)=∫w⁢(x)⁢𝑑x. Таку функцію у фізиці прийнято
називати інтегральним чи кумулятивним розподілом. В англомовній літературі
для цих функцій прийнято використовувати скорочення:
pdf (probability distribution function) та
cdf (cumulative distribution function)
відповідно.

Гістограми.

Проілюструємо наочно поняття густини розподілу. Результат
великої кількості вимірів випадкової величини зручно уявити за допомогою
спеціального типу графіка - гістограми.
Для цього область значень x, розміщену на осі абсцис, розіб'ємо на
рівні малі інтервали - "кошики" або "біни" (англ. bins)
деякого розміру h. По осі ординат відкладатимемо частку вимірів w,
результати яких потрапляють у відповідний кошик. А саме,
нехай k - номер кошика; nk - кількість вимірювань, що потрапили
у діапазон x∈[k⁢h,(k+1)⁢h]. Тоді на графіку зобразимо «стовпчик»
шириною h та висотою wk=nk/n.
В результаті отримаємо картину, подібну до зображеної на рис. 2.1.

Мал. 2.1: Приклад гістограми для нормального розподілу (x = 10,
σ=1,0, h=0,1, n=104)

Висоти побудованих стовпчиків будуть приблизно відповідати значенню
густини розподілу w⁢(x) поблизу відповідної точки x.
Якщо спрямувати число вимірів до нескінченності (n→∞), а ширину кошиків
до нуля (h→0), то огинаюча гістограма буде прагнути до деякої
безперервної функції w⁢(x).

Найвищі стовпчики гістограми групуватимуться поблизу максимуму
функції w⁢(x) - це найбільш імовірне значення випадкової величини.
Якщо відхилення в позитивну та негативну сторони рівноймовірні,
то гістограма буде симетрична - у такому разі середнє значення ⟨x⟩
також лежатиме поблизу цього максимуму. Ширина гістограми характеризуватиме розкид
значень випадкової величини - по порядку величини
вона, як правило, близька до середньоквадратичного відхилення sx.

Властивості розподілу.

З визначення функції w⁢(x) випливає, що можливість отримати в результаті
експерименту величину x у діапазоні від a до b
можна знайти, обчисливши інтеграл:

Згідно з визначенням ймовірності, сума ймовірностей для всіх можливих випадків
завжди дорівнює одиниці. Тому інтеграл розподілу w⁢(x) по всій області
значень x (тобто сумарна площа під графіком w⁢(x)) дорівнює одиниці:

Це співвідношення називають умовою нормування.

Середня та дисперсія.

Обчислимо середнє за побудованою гістограмою. Якщо розмір кошиків
h досить малий, всі виміри в межах одного кошика можна вважати приблизно
однаковими. Тоді середнє арифметичне всіх результатів можна обчислити як

Переходячи до межі, отримаємо таке визначення середнього значення
випадкової величини:

де інтегрування ведеться у всій області значень x.
Теоретично ймовірностей x¯ також називають математичним очікуванням
розподілу.
Величину

називають дисперсією розподілу. Значення σ є
срекднеквадратичне відхилення у межі n→∞. Воно має ту
ж розмірність, як і сама величина x і характеризує розкид розподілу.
Саме цю величину, як правило, наводять як характеристику похибки
виміру x.

Довірчий інтервал.

Позначимо як P|Δ⁢x| того, що відхилення від середнього Δ⁢x=x-x¯ становитиме величину,
значення, що не перевищує за модулем δ:

Цю величину називають довірчою ймовірністю для
довірчого інтервалу |x-x¯|≤δ.

2.2 Нормальний розподіл

Одним із найбільш примітних результатів теорії ймовірностей є
так звана центральна гранична теорема. Вона стверджує,
що сума великої кількості незалежних випадкових доданків, кожне
у тому числі вносить у цю суму щодо малий вклад, підпорядковується
універсальному закону, незалежно від того, яким імовірнісним законам
підкоряються її складові, - так званому нормальному
розподілу (або розподілу Гаусса).

Доказ теореми досить громіздкий і ми його не наводимо (його можна знайти
у будь-якому підручнику з теорії ймовірностей). Зупинимося
коротко на тому, що такий нормальний розподіл та його основні властивості.

Щільність нормального розподілу виражається такою формулою:

Тут x і σ
- Параметри нормального розподілу: x¯ одно
середньому значенню x, a σ -
середньоквадратичне відхилення, обчисленим у межі n→∞.

Як видно із рис. 2.1 , розподіл є
симетричний
«дзвін», становище вершини якого
відповідає x¯ (через симетрію воно ж
збігається з найбільш ймовірним значенням - максимумом
функції w𝒩⁢(x)).

При значному відхиленні x від середньої величини
w𝒩⁢(x)
дуже швидко зменшується. Це означає, що можливість зустріти відхилення,
істотно більші, ніж σ, виявляється зневажливо
мала. Ширина "дзвона" по порядку величини
дорівнює σ - вона характеризує «розкид»
експериментальних даних щодо середнього значення

Зауваження.Точки x=x¯±σ є точками
перегину графіка w⁢(x) (у них друга похідна x
перетворюється на нуль, w′′=0), які становище за висотою становить
w⁢(x¯±σ)/w⁢(x¯)=e-1/2≈0,61
від висоти вершини.

Універсальний характер центральної граничної теореми дозволяє широко
застосовувати на практиці нормальний (гаусовий) розподіл для обробки
результатів вимірювань, оскільки часто випадкові похибки складаються з
безлічі випадкових незалежних факторів. Зауважимо, що на практиці
для наближеної оцінки параметрів нормального розподілу
випадкової величини використовуються вибіркові значення середнього
та дисперсії: x¯≈⟨x⟩, sx≈σx.

x-x0σ2=2w⁢(x)σ1=1 Мал. 2.2: Щільність нормального розподілу

Довірчі ймовірності.

Обчислимо деякі довірчі ймовірності ( 2.4 ) для нормально
розподілених випадкових величин.

Зауваження. Значення інтеграла виду ∫e-x2/2⁢𝑑x
(його називають інтегралом помилок) в елементарних функціях не виражається,
але легко перебуває чисельно.

Імовірність того, що результат окремого виміру x виявиться
в межах x ± σ виявляється рівна

Ймовірність відхилення в межах x±2⁢σ:

Іншими словами, при великій кількості вимірювань нормально розподіленої
величини очікується, що лише третина вимірів випадуть межі інтервалу
[x-σ,x+σ]. При цьому близько 5%
вимірювань випадуть за межі [x-2⁢σ;x¯+2⁢σ],
і лише 0,27% виявляться за межами
[x-3⁢σ;x¯+3⁢σ].

приклад. У повідомленнях про відкриття бозона Хіггса на Великому адронному колайдері
йшлося про те, що дослідники чекали на підтвердження результатів
з точністю "5 сигма". Використовуючи нормальний розподіл ( 2.5 )
неважко порахувати, що вони використали довірчу ймовірність
P≈1-5,7⋅10-7=0,99999943.Таку точність можна назвати фантастичною.

Отримані значення довірчих ймовірностей використовуються при
стандартного запису результатів вимірів. У фізичних вимірах
(зокрема, у навчальній лабораторії), як правило, використовується P=0,68,
тобто запис

означає, що виміряне значення лежить у діапазоні (довірчому
інтервалі) x∈[x¯-δ⁢x;x¯+δ⁢x] с
ймовірністю 68%. Таким чином похибка ±δ⁢x вважається
рівної одному середньоквадратичному відхилення: δ⁢x = σ.
У технічних вимірах частіше використовується P=0,95, тобто під
абсолютною похибкою мається на увазі подвійне середньоквадратичне
відхилення, δ⁢x = 2⁢σ. Щоб уникнути різночитань довірчу
ймовірність слід вказувати окремо.

Зауваження. Хоча нормальний закон розподілу зустрічається на практиці досить
часто, варто пам'ятати, що він реалізується далеко не завжди.
Отримані вище співвідношення для ймовірностей попадання значень
довірчі інтервали можна використовувати як найпростіший
ознаки нормальності розподілу: зокрема, якщо кількість потрапляючих
в інтервал ±σ результатів суттєво відрізняється від 2/3 – це привід
для детальнішого дослідження закону розподілу помилок.

Порівняння результатів вимірів.

Тепер ми можемо дати кількісний критерій для порівняння двох виміряних
величин чи двох результатів виміру однієї й тієї величини.

Нехай x1 та x2 (x1≠x2) виміряні з
похибками σ1 та σ2 відповідно.
Зрозуміло, якщо різниця результатів |x2-x1| невелика,
його можна пояснити просто випадковими відхиленнями.
Якщо ж теорія передбачає, що можливість виявити таке відхилення
дуже мала, відмінність результатів слід визнати значним .
Попередньо необхідно домовитись про відповідне граничне значення
імовірності. Універсального значення тут бути не може,
тому доводиться покладатися суб'єктивний вибір дослідника. Часто
як «розумний» кордон вибирають ймовірність 5%,
що, як видно з викладеного вище, для нормального розподілу
відповідає відхилення більш ніж на 2⁢σ.

Припустимо, одна з величин відома з значно більшою точністю:
σ2≪σ1 (наприклад, x1 — результат, отриманий
студентом у лабораторії, x2 – довідкове значення).
Оскільки σ2 мало, x2 можна сприйняти як «справжнє»:
x2≈x¯. Припускаючи, що похибка виміру
x1 підпорядковується нормальному закону з дисперсією σ12,
можна стверджувати, що
відмінність вважають буде значущою, якщо

Нехай похибки вимірів можна порівняти по порядку величини:
σ1~σ2. Теоретично ймовірностей показується, що
лінійна комбінація нормально розподілених величин також має нормальне
розподіл з дисперсією σ2=σ12+σ22
(Див. також правила складання похибок (2.7)). Тоді
для перевірки гіпотези про те, що x1 та x2 є вимірами
однієї і тієї ж величини, потрібно обчислити, чи є значним відхилення
|x1-x2| від нуля при ?=?12+?22.

приклад. Два студенти отримали такі значення для теплоти випаровування
деякої рідини: x1=40,3±0,2 кДж/моль та
x2=41,0±0,3 кДж/моль, де похибка відповідає
одного стандартного відхилення. Чи можна стверджувати, що вони досліджували
одну й ту саму рідину?
Маємо різницю, що спостерігається |x1-x2|=0,7 кДж/моль,
середньоквадратичне відхилення для різниці
σ=0,22+0,32=0,36 кДж/моль.
Їхнє відношення |x2-x1|σ≈2. З
властивостей нормального розподілу знаходимо ймовірність того, що вимірювалася
одна й та сама величина, а відмінності у відповідях виникли через випадкові
помилок: P≈5%. Відповідь на запитання, «достатньо»
мала чи велика ця ймовірність, залишається на розсуд дослідника.

Зауваження. Викладені тут міркування застосовні, тільки якщо x і
його стандартне відхилення σ отримано на підставі достатньо
великий вибірки n≫1 (або задані точно). При невеликій кількості вимірювань
(n≲10) вибіркові середні ⟨x⟩ та середньоквадратичне відхилення
sx самі мають досить велику помилку, а
їх розподіл описуватиметься не нормальним законом, а так
званим t-розподілом Ст'юдента. Зокрема, залежно від
значення n інтервал ⟨x⟩±sx буде відповідати декілька
меншої довірчої ймовірності, ніж P=0,68. Особливо різко відмінності
виявляються при високих рівнях довірчих ймовірностей P→1.

2.3 Незалежні величини

Величини x та y називають незалежними якщо результат виміру однієї
їх ніяк не впливає результат вимірювання інший. Для таких величин ймовірність того, що x опиниться в деякій ділянці X, і одночасно y - в ділянці Y,
дорівнює добутку відповідних ймовірностей:

Позначимо відхилення величин від середніх як Δ⁢x=x-x¯ і
Δ⁢y=y-y¯.
Середні значення цих відхилень дорівнюють, очевидно, нулю: Δ⁢x¯=x¯-x¯=0,
Δ⁢y¯=0. З незалежності величин x і y випливає,
що середнє значення від твору Δ⁢x⋅Δ⁢y¯
дорівнює добутку середніх Δ⁢x¯⋅Δ⁢y¯
і, отже, дорівнює нулю:

Нехай вимірювана величина z=x+y складається із двох незалежних
випадкових доданків x та y, для яких відомі середні
x¯ та y¯, та їх середньоквадратичні похибки
σx та σy. Безпосередньо із визначення ( 1.1 )
слід, що середня сума дорівнює сумі середніх:

Знайдемо дисперсію σz2.

Таким чином, при складанні незалежних величин їхньої похибки
складаються середньоквадратичним чином.

Підкреслимо, що з справедливості співвідношення ( 2.7 )
величини x і y нічого не винні бути нормально розподіленими —
Досить існування кінцевих значень їх дисперсій.
показати, що якщо x та y розподілені нормально, нормальним
буде і розподіл їх суми.

Зауваження.
доданих є принциповим.
z=2⁢x. Тут y та x, очевидно, залежать один від одного.
( 2.7 ), знаходимо σ2⁢x=2⁢σx,
що, звичайно, невірно — безпосередньо з визначення
слід, що σ2⁢x = 2⁢σx.

Окремо варто обговорити математичну структуру формули (2.7).
Якщо одна з похибок набагато більша за іншу, наприклад,
σx≫σy,
то меншою похибкою можна знехтувати, x + y x x.
З іншого боку, якщо два джерела похибок мають один порядок
σx~σy, то і σx+y~σx~σy.

Ці обставини важливі при плануванні експерименту: як правило,
величина, виміряна найменш точно, робить найбільший внесок у похибку
кінцевого результату. При цьому, поки не усунуто найбільш суттєві
помилки, безглуздо гнатися за підвищенням точності вимірювання інших
величин.

Приклад. Нехай?
тоді σz=σx⁢1+19≈1,05⁢σx,
тобто при відмінності двох похибок більш ніж у 3 рази, поправка
до похибки становить менше 5%, і вже немає особливого сенсу в обліку
меншої похибки: σz≈σx.
стосується складання будь-яких незалежних джерел похибок в експерименті.

2.4 Похибка середнього

Вибіркове середнє арифметичне значення ⟨x⟩, знайдене
за результатами n вимірів, саме є випадковою величиною.
Дійсно, якщо поставити серію однакових дослідів з n вимірів,
то в кожному досвіді вийде своє середнє значення, що відрізняється від
граничного середнього x.

Обчислимо середньоквадратичну похибку середнього арифметичного
σ⟨x⟩.
Розглянемо допоміжну суму n доданків

Якщо є набір незалежних вимірів
однієї і тієї ж фізичної величини, то ми можемо, застосовуючи результат
( 2.7 ) попереднього параграфа, записати

оскільки під коренем знаходиться n однакових доданків. Звідси з
обліком ⟨x⟩=Z/n отримуємо

Таким чином, похибка середнього значення x за результатами
n незалежних вимірів виявляється у n разів менше похибки
окремого виміру. Це один із найважливіших результатів, що дозволяє
зменшувати випадкові похибки експерименту за рахунок багаторазового
повторення вимірів.

Підкреслимо відмінності між σx та σ⟨x⟩:

величина σx - похибка окремого
вимірювання - є характеристикою розкиду значень
в сукупності вимірювань , i=1..n. При
нормальному законі розподілу приблизно 68% вимірів потрапляють у
інтервал ⟨x⟩±σx;

величина σ⟨x⟩ - похибка
середнього - характеризує точність, з якою визначено
середнє значення вимірюваної фізичної величини ⟨x⟩ щодо
граничного («справжнього») середнього x;
при цьому з довірчою ймовірністю P=68% шукана величина x
лежить в інтервалі
⟨x⟩-σ⟨x⟩

2.5 Результуюча похибка досвіду

Нехай для деякого результату виміру відома оцінка його максимальної
систематичної похибки Δсист та випадкова
середньоквадратична
похибка σслуч. Яка «повна»
похибка виміру?

Припустимо для простоти, що величина, що вимірюється в принципі
може бути визначена як завгодно точно, так що можна говорити про
деякому її «справжньому» значенні xіст
(іншими словами, похибка результату пов'язана в основному саме з
процесом виміру). Назвемо повною похибкою виміру
середньоквадратичне значення відхилення від результату виміру від
«справжнього»:

Відхилення x-xіст можна подати як суму випадкового
відхилення від середнього δ⁢xслуч=x-x¯
та постійної (але, взагалі кажучи, невідомої) систематичної складової
δ⁢xсист=x¯-xіст=const:

Причому випадкову складову вважатимуться незалежної від систематичної.
У такому разі з ( 2.7 ) знаходимо:

Таким чином, для отримання максимального значення повної
похибки деякого виміру потрібно квадратично скласти максимальну
систематичну та випадкову похибки.

Якщо виміри проводяться багаторазово, то відповідно ( 2.8 )
випадкова складова похибки може бути зменшена, а систематична
складова при цьому залишається незмінною:

Звідси випливає важливе практичне правило
(див. також обговорення в п. 2.3): якщо випадкова похибка вимірів
у 2–3 рази менше передбачуваної систематичної, то
немає сенсу проводити багаторазові виміри у спробі зменшити похибку
всього експерименту. У такій ситуації виміру достатньо повторити
2-3 рази - щоб переконатися в повторюваності результату, виключити помилки
і перевірити, що випадкова помилка справді мала.
В іншому випадку повторення вимірювань може мати сенс до
тих пір, поки похибка середнього
σ⟨x⟩=σxn
не стане меншою за систематичну.

Зауваження. Оскільки конкретна
величина систематичної похибки, як правило, не відома, її
можна в певному сенсі розглядати нарівні з випадковою
припустити, що її величина була визначена за деяким випадковим
закону перед початком вимірювань (наприклад, при виготовленні лінійки
на заводі сталося деяке випадкове спотворення шкали).
трактуванні формулу ( 2.9 ) можна розглядати просто
як окремий випадок формули складання похибок незалежних величин
( 2.7 ).
Підкреслимо, що імовірнісний закон, якому підпорядковується
систематична помилка, часто невідома.
розподіл підсумкового результату.
що ми не можемо приписати інтервалу x±Δсист якусь
певну довірчу ймовірність - вона дорівнює 0,68
лише якщо систематична помилка має нормальний розподіл.
Можна, звичайно, припустити,
— і так часто роблять — що, наприклад, помилки
при виготовленні лінійок на заводі мають гауссів характер.
припускають, що систематична помилка має рівномірне
розподіл (тобто «справжнє» значення може з рівною ймовірністю
прийняти будь-яке значення в межах інтервалу ±Δсист).
Строго кажучи, цих припущень немає достатніх підстав.

Приклад.
мають ціну поділу h=0,01 мм, отриманий наступний набір з n=8 значень:

Обчислюємо середнє значення: ⟨d⟩≈386,3 мкм.
Середньоквадратичне відхилення:
σd≈9,2 мкм.
( 2.8 ):
σ⟨d⟩=σd8≈3,2
мкм. Усі результати лежать у межах ±2⁢σd, тому немає
причин сумніватися у нормальності розподілу.
мікрометра оцінимо як половину ціни розподілу, Δ=h2=5 мкм.
Результуюча повна похибка
σ≤Δ2+σd28≈6,0 мкм.
Видно, що σслуч≈Δсист і проводити додаткові виміри
Особого сенсу немає.
у вигляді (див. також правила округлення
результатів вимірювань у п. 4.3.2 )

d=386±6⁢мкм, εd=1,5%.


Зауважимо, що оскільки випадкова похибка та похибка
прилади тут мають один порядок величини, що спостерігається випадковий розкид
даних може бути пов'язаний як з неоднорідністю перерізу дроту,
так і з дефектами мікрометра (наприклад, з нерівностями затискачів, люфтом
гвинта, сухим тертям, деформацією дроту під дією мікрометра
і т. п.). Для відповіді на питання, що саме викликало розкид, потрібні
додаткові дослідження, бажано з використанням більш точних
приладів.

Приклад.
польоту кулі було здійснено з похибкою δ⁢v=±1 м/c.
Результати вимірювань для n=6 пострілів представлені у таблиці:

Середній результат ⟨v⟩=162,0⁢м/с,
середньоквадратичне відхилення σv=13,8⁢м/c, випадкова
помилка для середньої швидкості
σv¯=σv/6=5,6⁢м/с.
Оскільки розкид експериментальних даних суттєво перевищує похибку
кожного виміру, σv≫δ⁢v, він майже напевно пов'язаний
з реальною відмінністю швидкостей кулі в різних пострілах, а не з помилками
вимірювань. Як результат експерименту становлять інтерес.
як середнє значення швидкостей ⟨v⟩=162±6⁢м/с
(ε≈4%), так і значення σv≈14⁢м/с,
характеризує розкид значень швидкостей від пострілу до пострілу.
Мала інструментальна похибка в принципі дозволяє більш точно
виміряти середнє та дисперсію, та дослідити закон розподілу пострілів
за швидкостями детальніше — для цього потрібно набрати
більшу статистику з пострілів.

приклад. Вимірювання швидкості
польоту кулі було здійснено з похибкою δ⁢v=10 м/c. Результати
вимірювань для n=6 пострілів представлені у таблиці:

Середній результат ⟨v⟩=163,3⁢м/с,
σv=12,1⁢м/c, σ⟨v⟩=5⁢м/с,
σповно≈11,2⁢м/с. Інструментальна
похибка кожного виміру перевищує розкид даних, тому
цьому досвіді важко зробити висновок про відмінність швидкостей від пострілу
до пострілу. Результат вимірювань швидкості кулі:
⟨v⟩=163±11⁢м/с,
ε≈7%. Проводити додаткові постріли при такій
великої інструментальної похибки особливого сенсу немає.
краще попрацювати над точністю приладів та методикою вимірювань.

2.6 Обробка непрямих вимірів

Непрямими називають вимірювання, отримані в результаті розрахунків,
використовують результати прямих (тобто «безпосередніх»)
вимірів фізичних величин. Сформулюємо основні правила перерахунку
похибок при непрямих вимірах.

2.6.1 Випадок однієї змінної

Нехай у експерименті вимірюється величина x, та її «найкраще»
(у певному сенсі) значення дорівнює x⋆ і воно відоме з
похибкою σx. Після чого за допомогою відомої функції
обчислюється величина y=f⁢(x).

Як «найкраще» наближення для y використовуємо значення функції
при «найкращому» x:

Знайдемо величину похибки σy. Позначаючи відхилення вимірюваної
величини як Δ⁢x=x-x⋆, та користуючись визначенням похідної,
за умови, що функція y⁢(x) – гладка
поблизу x≈x⋆, запишемо

де f′≡d⁢yd⁢x — похідна фукнції f⁢(x), взята у точці
x⋆. Зведемо отримане квадрат, проведемо усереднення
(σy2=⟨Δ⁢y2⟩,
σx2=⟨Δ⁢x2⟩), і потім знову витягнемо
корінь. В результаті отримаємо

Приклад.
y=A⁢xn маємо σy=n⁢A⁢xn-1⁢σx, звідки

σyy=n⁢σxx,або εy=n⁢εx,


тобто відносна похибка статечної функції зростає пропорційно
показником ступеня n.

Приклад. Для y=1/x маємо ε1/x=εx
- при зверненні величини зберігається її відносна
похибка.

Вправа Знайдіть похибку логарифму y=ln⁡x, якщо відомі x
та σx.

Вправа Знайдіть похибку показової функції y=ax,
якщо відомі x і x. Коефіцієнт a заданий точно.

2.6.2 Випадок багатьох змінних

Нехай величина u обчислюється за виміряними значеннями кількох
різних незалежних фізичних величин x, y, …
на основі відомого закону u = f⁢ (x, y, ...).
найкращого значення можна, як і раніше, взяти значення функції f
при найкращих значеннях вимірюваних параметрів:

Для знаходження похибки σu скористаємось властивістю,
відомим з математичного аналізу, - малі прирощення гладких
функції багатьох змінних складаються лінійно, тобто справедливо
принцип суперпозиції малих прирощень:

де символом fx′≡∂⁡f∂⁡x позначена
приватна похідна функції f за змінною x —
тобто звичайна похідна f x, взята за умови, що
решта аргументів (крім x) вважаються постійними параметрами.
Тоді користуючись формулою для знаходження дисперсії суми незалежних
величин ( 2.7 ), отримаємо співвідношення, що дозволяє обчислювати
похибки непрямих вимірів для довільної функції
u=f⁢(x,y,…):

Це і є загальна формула перерахунку похибок при непрямих.
вимірах.

Зазначимо, що формули ( 2.10 ) і ( 2.11 ) застосовуються
тільки якщо відносні відхилення всіх величин малі
(εx,εy,…≪1),
а вимірювання проводяться далеко від особливих точок функції f (похідні
fx′, fy′ … не повинні звертатися до нескінченності).
Також підкреслимо, що всі отримані формули справедливі тільки
для незалежних змінних x, y, …

Зупинимося на деяких важливих окремих випадках формули
( 2.11 ).

Приклад. Для суми (або різниці) u=∑i=1nai⁢xi маємо

Знайдемо похибку статечної функції:
u=xα⋅yβ⋅….
що

σu2u2=α2⁢σx2x2+β2⁢σy2y2+…


або через відносні похибки

Приклад. Обчислимо похибку добутку та частки: u=x⁢y або u=x/y.
Тоді в обох випадках маємо

εu2=εx2+εy2,

(2.14)

тобто при множенні чи розподілі відносні похибки складаються
квадратично.

Розглянемо дещо складніший випадок: знаходження кута за його тангенсом

u=arctgyx.


У такому випадку, користуючись тим, що (arctgz) = 11 + z2,
де z=y/x, і використовуючи похідну складної функції, знаходимо
ux′=uz′⁢zx′=-yx2+y2,
uy′=uz′⁢zy′=xx2+y2, і нарешті

Вправа Знайти похибку обчислення гіпотенузи z=x2+y2
прямокутного трикутника за виміряними катетами x та y.

За підсумками цього розділу можна надати такі практичні рекомендації.

• • Як правило, немає сенсу збільшувати точність виміру якоїсь однієї
  величини, якщо інші величини, які у розрахунках, залишаються
  виміряними відносно грубо - все одно підсумкова похибка
  швидше за все буде визначатися найточнішим виміром.
  всі виміри має сенс проводити приблизно з однією і тією ж
  відносною похибкою.
• • При цьому, як випливає з ( 2.13 ), особлива увага
  слід приділяти виміру величин, що зводяться при розрахунках у ступені
  з більшими показниками.А при складних функціональних залежностях
  має сенс детально проаналізувати структуру формули
  ( 2.11 ):
  якщо внесок від деякої величини в загальну похибку малий, немає сенсу
  гнатися за високою точністю її виміру, і навпаки, точність деяких
  вимірювань може бути критично важливою.
• • Слід уникати вимірювання малих величин як різниці двох близьких
  значень (наприклад, товщини стінки циліндра як різниці внутрішнього
  і зовнішнього радіусів): якщо u=x-y то абсолютна похибка
  σu=σx2+σy2
  змінюється мало, проте відносна похибка
  εu=σux-y
  може виявитися неприйнятно великою, якщо x?y.

Якому закону розподілу зазвичай підпорядковується значення помилки виміру?

Розпізнаний текст, спецсимволи та формули можуть містити помилки, тому з коректним варіантом рекомендуємо ознайомитись на відсканованих зображеннях підручника вище

Також, радимо скористатися пошуком по сайту, ми впевнені, що ви зможете знайти більше інформації щодо потрібної Вам тематики

2-2.

Повним описом випадкової величини, отже і похибки, є її закон розподілу, яким визначається характер появи різних результатів окремих вимірів.

У практиці електричних вимірів трапляються різні закони розподілу, деякі з яких розглянуті нижче.

Нормальний закон розподілу (закон Гаусса) Цей закон є одним із найбільш поширених законів розподілу похибок.На підставі центральної граничної теореми теорії ймовірностей результатом дії цих причин буде похибка, розподілена за нормальним законом за умови, що жодна з цих причин не є істотно переважаючою.

Нормальний закон розподілу похибок описується формулою

де - Щільність ймовірності похибки - середнє квадратичне відхилення похибки; - Систематична складова похибки.

Вид нормального закону, що описується виразом (2-1), представлений на рис. 2-2, а двох значень Оскільки закон розподілу випадкової складової похибки має той самий вид (рис. 2-2, б) і описується виразом, аналогічним (2-1), т.і. е.

де а - Середнє квадратичне відхилення випадкової складової похибки; о

Мал. 2-2. Нормальний закон розподілу похибки вимірювань (а) та випадкової складової похибки вимірювань (б)

Таким чином, закон розподілу похибки відрізняється від закону розподілу випадкової складової похибки лише зрушенням по осі абсцис на величину систематичної складової похибки.

З теорії ймовірностей відомо, що площа під кривою густини ймовірності характеризує ймовірність появи похибки. З рис. 2-2 б видно, що ймовірність Р появи похибки в діапазоні при більше, ніж при (площі, що характеризують ці ймовірності, заштриховані). Повна площа під кривою розподілу завжди дорівнює 1 т. е. повної ймовірності.

Враховуючи це, можна стверджувати, що похибки, абсолютні значення яких перевищують з'являються з ймовірністю, що дорівнює при меншій, ніж при

Отже, чим менше, тим рідше зустрічаються великі похибки, тим точніше виконані вимірювання.Таким чином, Середнє квадратичне відхилення можна використовувати для характеристики точності вимірювань:

Рівномірний закон розподілу. Якщо похибка вимірювань з однаковою ймовірністю може набувати будь-яких значень, які не виходять за деякі межі, то така похибка описується рівномірним законом розподілу. При цьому щільність ймовірності похибки стала всередині цих кордонів і дорівнює нулю поза цими межами. Рівномірний закон розподілу подано на рис. 2-3. Аналітично він може бути записаний так:

Мал. 2-3. Рівномірний закон розподілу

З таким законом розподілу добре узгоджується похибка від тертя в опорах електромеханічних приладів, виключення залишків систематичних похибок, похибка дискретності в цифрових приладах (див. § 8-2) та ін.

Трапецієподібний закон розподілу. Цей розподіл графічно зображено на рис. 2-4, а. Похибка має такий закон розподілу, якщо вона утворюється із двох незалежних складових, кожна з яких має рівномірний закон розподілу, але ширина інтервалу рівномірних законів різна. Наприклад, при послідовному з'єднанні двох вимірювальних перетворювачів, один з яких має похибку, рівномірно розподілену в інтервалі, а інший — рівномірно розподілену в інтервалі сумарна похибка перетворення описуватиметься трапецієподібним законом розподілу.

Трикутний закон розподілу (закон Сімпсона). Цей розподіл (див. рис. 2-4, б) є окремим випадком трапецієподібного, коли складові мають однакові рівномірні закони розподілу (див. § 8-2).

Двохмодальні закони розподілу.У практиці вимірів зустрічаються двомодальні закони розподілу, т. е. закони розподілу, мають два максимуми щільності ймовірності. Як приклад на рис. 2-5 зображено двомодальний закон розподілу, який може бути в приладах, що мають похибку від люфта кінематичних механізмів або від гістерези при перемагнічуванні деталей приладу.

Деякі інші закони розподілу похибок наведені в ГОСТ 8.011-72 «Показники точності вимірювань та форми подання результатів вимірювань».

Мал. 2-4. Трапецієподібний (а) та трикутний (б) закони розподілу

Мал. 2-5. Двохмодальний закон розподілу

Якщо закони розподілу похибок невідомі, вони можуть бути встановлені виходячи з статистичної обробки дослідних даних. Однак експериментальне визначення законів розподілу дуже трудомістке, тому до нього вдаються лише за дуже відповідальних вимірів.

Іноді закон розподілу похибки ухвалюють, виходячи з фізичного уявлення про причини появи похибок та аналізу складових похибок виміру. Так, наприклад, якщо похибка виміру утворюється з п'яти і більше складових, серед яких немає істотно переважаючих, то закон розподілу результуючої похибки зазвичай приймають нормальним. Інакше, аналізуючи складові похибки, приймають їм вид законів розподілу і методами теорії ймовірностей знаходять закон розподілу для результуючої (сумарної) похибки виміру (див. § 14-3).

Зі сказаного випливає, що точний вид закону розподілу похибок зазвичай невідомий.Реальні закони розподілу навіть у найпростіших випадках відрізняються від теоретичних стандартів розподілу, розглянутих вище і в ГОСТ 8.011-72, де вони називаються стандартними апроксимаціями функцій щільності ймовірності. при визначенні самої похибки часто цілком задовільна. вказувати значення похибки з великою кількістю значущих цифр.