Коріння та ступеня

Визначимо поняття ступеня, показник якого – натуральне число (тобто ціле та позитивне).

1. За визначенням: (a^1 = a).
2. Звести число в квадрат – значить помножити його на себе: \(a^2 = a \cdot a\)
3. Звести число в куб – значить помножити його на себе три рази: \(a^3 = a \cdot a \cdot a\).

Звести число в натуральний ступінь \(n\) - значить помножити число саме на себе\(n\) разів:

Якщо показником ступеня є ціле позитивне число:

\(a^n = a^n\), n > 0

Зведення в нульовий ступінь:

\(a^0 = 1\), a ≠ 0

Якщо показником ступеня є ціле негативне число:

, a ≠ 0

Прим: вираз \(0^n\) не визначено, у разі n ≤ 0. Якщо n > 0, то \(0 ^ n = 0 \)

Ступінь із раціональним показником

Властивості ступенів

Корінь

Арифметичний квадратний корінь

Рівняння (x^2 = 4) має два рішення: x=2 та x=-2. Це числа, квадрат яких дорівнює 4.

Розглянемо рівняння (x^2 = 3). Намалюємо графік функції \(y = x^2\) і побачимо, що й у цього рівняння два рішення, одне позитивне, інше негативне.

Але в даному випадку рішення не є цілими числами. Більше того, вони не є раціональними. Щоб записати ці ірраціональні рішення, ми вводимо спеціальний символ квадратного кореня.

Корінь із квадрата

Наприклад, \(\sqrt = 2\). А розв'язки рівняння \(x^2 =3\) відповідно \(x =\sqrt\) і \(x = -\sqrt\)

Кубічний корінь

Кубічний корінь у складі \(a\) – це число, куб якого дорівнює \(a\). Кубічний корінь визначено для всіх (a). Його можна витягти із будь-якого числа: \(\sqrt[3] = -2\).

Корінь n-ого ступеня

Корінь \(n\)-го ступеня з числа \(a\) - це число, \(n\)-я ступінь якого дорівнює \(a\).

• Тоді, якщо a < 0корінь n-ого ступеня з a не визначено.
• Або якщо a ≥ 0, то невід'ємний корінь рівняння \(x^n = a\) називається арифметичним коренем n-ого ступеня з a і позначається \(\sqrt[n]\)

Коріння та ступеня

Тут \(a\) - підстава ступеня, (c) - показник ступеня.

Ступінь із натуральним показником

Найпростіше визначається ступінь із натуральним (тобто цілим позитивним) показником.

За визначенням \(a^1=a\).

Вирази «звести в квадрат» та «звести в куб» нам давно знайомі.

Звести число в квадрат - значить помножити його саме на себе.

Звести число в куб означає помножити його саме на себе два рази.

Звести число в натуральний ступінь \(n\) - значить помножити його саме на себе \(n-1\) разів:

Тобто, показник ступеня показує, скільки разів має бути записаний множник.

Ступінь із цілим показником

Показник ступеня може бути не тільки натуральним (тобто цілим позитивним), а й рівним нулю, а також негативним.

За визначенням \(a^0=1\).

Це вірно для \(a\neq 0\). Вираз \(0^\) не визначено.

Визначимо також, що таке ступінь із цілим негативним показником.

Звичайно, все це вірно для (a \ neq 0 \), оскільки на нуль ділити не можна.

Зауважимо, що при зведенні в мінус перший ступінь дріб перевертається.

Показник ступеня може бути не тільки цілим, а й дробовим, тобто раціональним числом. У статті «Числові множини» ми говорили, що таке раціональні числа. Це числа, які можна записати у вигляді дробу \(\genfrac<><><>

\), де \(p\) - ціле, \(q\) - натуральне.

Тут нам знадобиться нове поняття — корінь (n)-ступеня. Коріння та ступеня — дві взаємопов'язані теми. Почнемо з вже знайомого вам арифметичного квадратного кореня.

Визначення.

Арифметичний квадратний корінь у складі \(a\) — це таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює \(a\).

У шкільній математиці ми маємо корінь лише з невід'ємних чисел.Вираз \(\sqrt\) для нас зараз має сенс тільки при \(a\geq 0\).

Властивості арифметичного квадратного кореня:

Запам'ятаємо важливе правило: \(\sqrt=\left|a\right|.\)

За визначенням, .

Кубічний корінь

Аналогічно, кубічний корінь з \ (a \) - Це таке число, яке при зведенні в третій ступінь дає число \ (a \).

Наприклад, \(\sqrt[\leftroot\scriptstyle 3] = 2\), так як \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\);

\(\sqrt[\leftroot\scriptstyle 3] = 10\), оскільки \(10^3 = 1000\);

Зверніть увагу, що корінь третього ступеня можна отримувати як з позитивних, так і негативних чисел.

Тепер ми можемо дати визначення кореня \(n\)-ного ступеня для будь-якого цілого \(n\).

Корінь \(n\)-ного ступеня

Корінь \(n\)-ного ступеня з числа \(a\) - це таке число, при зведенні якого в \(n\)-ний ступінь виходить число \(a\).

\(\sqrt[\leftroot\scriptstyle 5] = 2;\)

\(\sqrt[\leftroot\scriptstyle 4] = 3;\)

Зауважимо, що корінь третього, п'ятого, дев'ятого — словом, будь-якого непарного ступеня — можна витягувати як з позитивних, так і з негативних чисел.

Квадратний корінь, а також корінь четвертого, десятого, загалом, будь-якого парного ступеня можна витягувати тільки з невід'ємних чисел.

у загальному випадку \(a^> = \sqrt[\leftroot\scriptstyle n].\)

Відразу домовимося, що основа ступеня (a) більше 0.

При цьому також виконується умова, що (a) більше 0.

Запам'ятаємо правила дій зі ступенями:

\(a^ma^n = a^\) - при перемноженні ступенів показники складаються;

\(\genfrac<><><> = a^\) - при розподілі ступеня на ступінь показники віднімаються;

\(\left( a^m \right) ^n = \left( a^n \right) ^m = a^\) - при зведенні ступеня в ступінь показники перемножуються;

\(a^nb^n = \left( ab \right) ^n;\)

Покажемо, як застосовуються ці формули у завданнях ЄДІ з математики:

Внесли все під загальний корінь, розклали на множники, скоротили дріб і витягли корінь.

Тут ми записали коріння у вигляді ступенів і використовували формули дій зі ступенями.
4.Знайдіть значення виразу \(\displaystyle \frac<11a^6b^3-<\left(3a^2b\right)>^3>\) при \(b = 2.\)

При \(b = 2\) отримаємо \(-\displaystyle \frac=-\displaystyle \frac=-0,5.\)

5. Знайдіть значення виразу \(\displaystyle \frac\ \cdot \ a^>>\) при \(a=12 .\)

При a = 12 отримаємо (^ 2 = 144.)

Ми користувалися властивостями ступенів.

6. Знайдіть значення виразу \(\displaystyle \frac<<\left(b^<\sqrt<3>>\right)>^>>\) при \(b=- 5\).

Запишемо вирази як ступеня з позитивним показником та порівняємо.

\(\left(\displaystyle \frac\right)^=\left(\displaystyle \frac\right)^3.\) Оскільки \(\displaystyle \frac> 1\), то \(\left(\displaystyle \frac\right)^3> 1.\).

Порівняємо \(\displaystyle \frac\) і \(<\left(\displaystyle \frac\right)>^3\), для цього оцінимо їх різницю:

8. Подайте вираз у вигляді ступеня: \(\displaystyle \frac+x^+x^>.\)

Винесемо за дужку ступінь із меншим показником:

9. Спростіть вираз: \(\displaystyle \frac\ \cdot \ 3^>^n> .\)

Наведемо підстави 6 та 12 до підстав 2 та 3:

(виконаємо поділ ступенів з однаковими основами)

\( = 2^\cdot 3^=2^\cdot 3^0=\displaystyle \frac\cdot 1=\displaystyle \frac = 0,25. \)

10. Чому дорівнює значення виразу \(\displaystyle \frac\cdot ^>>\) при \(a=\displaystyle \frac\)?

Порівняння арифметичних коренів

11. Який із чисел більший: \(\sqrt+\sqrt\) або \(2+\sqrt\)?

Зведемо в квадрат обидва числа (числа позитивні):

Знайдемо різницю отриманих результатів:

Значить, перше число більше за друге.

Як позбутися ірраціональності у знаменнику

Тоді знаменник стане раціональним.

Сполучені вирази - це вирази, що відрізняються лише знаками перед іншими доданками. Наприклад,

12. Ось кілька прикладів - як позбутися ірраціональності у знаменнику:

Порада. Якщо в знаменнику дано суму двох коренів, то в різниці першим числом пишіть те, яке більше, і тоді різниця квадратів коренів буде позитивним числом.

2) Порівняємо (sqrt) і 14.

Наступні кілька завдань вирішуються за допомогою формули:

Ця рівність виконується тільки якщо \(x = y.\)

Докладно про такі рівняння – у статті «Показові рівняння».

При розв'язанні рівнянь такого виду ми користуємося монотонністю показової функції.

19. Розв'яжіть рівняння: \(2^=16.\)

\(2^=2^4,\) тоді \(3 - x = 4, \; x = - 1.\)

\(3\left(\fracx-1\right)=1, \; x - 3 = 1, \; x = 4.\)

Значить, \(-\displaystyle \frac\ \cdot \left(2x+1\right)=\displaystyle \fracx,\) \(- 2x - 1 = 3x,\) \(- 5x = 1 ,\) \ (x = -\displaystyle \frac.\)

Якщо ви хочете розібрати більше прикладів - записуйтесь на курси підготовки до ЄДІ з математики онлайн