Класичні методи статистики: F-критерій Фішера
У загальному вигляді критерій Фішера F, або F-Тест, використовується для порівняння дисперсій двох генеральних нормально розподілених сукупностей, тобто перевіряться наступна нульова гіпотеза:
\[H_: \sigma_^ = \sigma_^\]
Генеральні дисперсії оцінюються на основі вибірок, і сам критерій безпосередньо розраховується як відношення однієї вибіркової дисперсії до іншої:
\[F = \frac^2>^2>\]
Насправді в чисельник наведеної формули зазвичай поміщають більшу дисперсію, а знаменник - меншу.
F-Критерій можна використовувати для порівняння і більше, ніж двох сукупностей (як, наприклад, дисперсійному аналізі). У разі критерій розраховується як ставлення міжгрупової дисперсії до внутрішньогруповий
дисперсії. Крім того, F-критерій широко використовується в оцінці значимості лінійної регресії (докладніше див. тут).
Очевидно, що чим ближче розраховане значення F до 1, тим більше ми маємо підстав зробити висновок про справедливість наведеної вище нульової гіпотези. І навпаки - чим більше це значення, тим більше є підстав відхилити нульову гіпотезу про рівність дисперсій. Критичне значення F, Починаючи з якого нульову гіпотезу відхиляють, визначаться рівнем значущості (наприклад, α = 0.05) і кількістю ступенів свободи для кожної з дисперсій, що порівнюються. Крім того, нульову гіпотезу можна перевірити за допомогою Р-значення для F-критерію, тобто. ймовірності того, що випадкова величина з відповідним розподілом Фішера виявиться рівною або перевищить розраховане за вибірковими даними значення F.
Для виконання тесту Фішера R є функція var.test() (від variance - дисперсія, та test - Тест).
library(ISwR)
data(energy)
attach(energy) energy expend stature 1
9.21 obese 2
7.53 lean 3
7.48 lean 4
8.08 lean 5
8.09 lean 6
10.15 lean 7
8.40 lean 8
10.88 lean 9
6.13 lean 10
7.90 lean 11
11.51 obese 12
12.79 obese 13
7.05 lean 14
11.85 obese 15
9.97 obese 16
7.48 lean 17
8.79 obese 18
9.69 obese 19
9.68 obese
Дисперсії у цих двох вагових групах жінок можна легко порівняти так:
var.test(expend ~ stature) F test to compare two variances data: expend by stature F = 0.7844, num df = 12, denom df = 8, p-value = 0.6797 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval: 0.1867876
2.7547991
sample estimates: ratio of variances 0.784446
Як бачимо, отримане P-значення значно перевищує 5% рівень значимості, на підставі чого ми не можемо Відхилити нульову гіпотезу про рівність дисперсій у досліджених сукупностях. t-критерію Стьюдента для сукупностей з однаковими дисперсіями при порівнянні середнього споживання енергії у жінок з вагових груп, що розглядаються (докладніше див тут).
- Порівнювані сукупності мають бути нормально розподілені;
- Порівнювані сукупності мають бути незалежними.
Критерій Фішера
Критерій Фішера (F-критерій, φ*-критерій, критерій найменшої значної різниці) - є параметричним критерієм і використовується для порівняння дисперсій двох варіаційних рядів.
Розглянемо дві вибірки обсягом m і n відповідно випадкових величин X і Y , що мають нормальний розподіл Необхідно перевірити рівність їх дисперсій. Статистика тесту:
Де – вибіркова дисперсія.
Якщо статистика більша критичного, то дисперсії не однакові. Інакше дисперсії вибірок однакові.
Таблиці критичних значень F-критерію рівня значимості 0.05:
| f2\f1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 1 |
161.45 |
199.50 |
215.71 |
224.58 |
230.16 |
233.99 |
| 2 |
18.51 |
19.00 |
19.16 |
19.25 |
19.30 |
19.33 |
| 3 |
10.13 |
9.55 |
9.28 |
9.12 |
9.01 |
8.94 |
| 4 |
7.71 |
6.94 |
6.59 |
6.39 |
6.26 |
6.16 |
| 5 |
6.61 |
5.79 |
5.41 |
5.19 |
5.05 |
4.95 |
| 6 |
5.99 |
5.14 |
4.76 |
4.53 |
4.39 |
4.28 |
| 7 |
5.59 |
4.74 |
4.35 |
4.12 |
3.97 |
3.87 |
| 8 |
5.32 |
4.46 |
4.07 |
3.84 |
3.69 |
3.58 |
| 9 |
5.12 |
4.26 |
3.86 |
3.63 |
3.48 |
3.37 |
| 10 |
4.96 |
4.10 |
3.71 |
3.48 |
3.33 |
3.22 |
| 11 |
4.84 |
3.98 |
3.59 |
3.36 |
3.20 |
3.09 |
| 12 |
4.75 |
3.89 |
3.49 |
3.26 |
3.11 |
3.00 |
| 13 |
4.67 |
3.81 |
3.41 |
3.18 |
3.03 |
2.92 |
| 14 |
4.60 |
3.74 |
3.34 |
3.11 |
2.96 |
2.85 |
| 15 |
4.54 |
3.68 |
3.29 |
3.06 |
2.90 |
2.79 |
| 16 |
4.49 |
3.63 |
3.24 |
3.01 |
2.85 |
2.74 |
| 17 |
4.45 |
3.59 |
3.20 |
2.96 |
2.81 |
2.70 |
| 18 |
4.41 |
3.55 |
3.16 |
2.93 |
2.77 |
2.66 |
| 19 |
4.38 |
3.52 |
3.13 |
2.90 |
2.74 |
2.63 |
| 20 |
4.35 |
3.49 |
3.10 |
2.87 |
2.71 |
2.60 |
| f2\f1 |
7 |
8 |
9 |
10 |
15 |
| 1 |
236.77 |
238.88 |
240.54 |
241.88 |
245.95 |
| 2 |
19.35 |
19.37 |
19.38 |
19.40 |
19.43 |
| 3 |
8.89 |
8.85 |
8.81 |
8.79 |
8.70 |
| 4 |
6.09 |
6.04 |
6.00 |
5.96 |
5.86 |
| 5 |
4.88 |
4.82 |
4.77 |
4.74 |
4.62 |
| 6 |
4.21 |
4.15 |
4.10 |
4.06 |
3.94 |
| 7 |
3.79 |
3.73 |
3.68 |
3.64 |
3.51 |
| 8 |
3.50 |
3.44 |
3.39 |
3.35 |
3.22 |
| 9 |
3.29 |
3.23 |
3.18 |
3.14 |
3.01 |
| 10 |
3.14 |
3.07 |
3.02 |
2.98 |
2.85 |
| 11 |
3.01 |
2.95 |
2.90 |
2.85 |
2.72 |
| 12 |
2.91 |
2.85 |
2.80 |
2.75 |
2.62 |
| 13 |
2.83 |
2.77 |
2.71 |
2.67 |
2.53 |
| 14 |
2.76 |
2.70 |
2.65 |
2.60 |
2.46 |
| 15 |
2.71 |
2.64 |
2.59 |
2.54 |
2.40 |
| 16 |
2.66 |
2.59 |
2.54 |
2.49 |
2.35 |
| 17 |
2.61 |
2.55 |
2.49 |
2.45 |
2.31 |
| 18 |
2.58 |
2.51 |
2.46 |
2.41 |
2.27 |
| 19 |
2.54 |
2.48 |
2.42 |
2.38 |
2.23 |
| 20 |
2.51 |
2.45 |
2.39 |
2.35 |
2.20 |
ТОЧНИЙ КРИТЕРІЙ ФІШЕРА
– це критерій, який використовується для порівняння двох і більше відносних показників, що характеризують частоту певної ознаки, що має два значення. Вихідні дані для розрахунку точного критерію Фішера зазвичай групуються у вигляді чотирипільної таблиці, але можуть бути представлені і багатопольною таблицею.
1. Історія розробки критерію
Вперше критерій було запропоновано Рональдом Фішером у його книзі "Проектування експериментів". Це сталося 1935 року. Сам Фішер стверджував, що на цю думку його наштовхнула Муріель Брістоль. На початку 1920-х років Рональд, Муріель та Вільям Роуч перебували в Англії на дослідній сільськогосподарській станції. Муріель стверджувала, що може визначити, в якій послідовності наливали у її чашку чай та молоко. На той момент перевірити правильність її висловлювання неможливо.
Це дало поштовх ідеї Фішера про «нуль гіпотезу». Метою стала не спроба довести, що Муріель може визначити різницю між приготовленими по-різному чашками чаю. Вирішено було спростувати гіпотезу, що вибір жінка робить навмання. Було визначено, що нуль-гіпотезу не можна довести, ні обгрунтувати. Натомість її можна спростувати під час експериментів.
Було виготовлено 8 чашок. У перші чотири налито молоко спочатку, в інші чотири – чай. Чашки були схиблені.Брістоль запропонували випробувати чай на смак та розділити чашки за методом приготування чаю. В результаті мало вийти дві групи. Історія свідчить, що експеримент пройшов вдало.
Завдяки тесту Фішера ймовірність того, що Брістоль діє інтуїтивно, було зменшено до 0.01428. Тобто правильно визначити чашку можна було в одному випадку з 70. Але все ж таки немає можливості звести до нуля шанси того, що мадам визначає випадково. Навіть якщо збільшувати кількість чашок.
Ця історія дала поштовх розвитку «нуль гіпотези». Тоді ж було запропоновано точний критерій Фішера, суть якого у переборі всіх можливих комбінацій залежної та незалежної змінних.
2. Навіщо використовується точний критерій Фішера?
Точний критерій Фішера переважно застосовується порівняння малих вибірок. Цьому є дві вагомі причини. По-перше, обчислення критерію є досить громіздкими і можуть займати багато часу або вимагати потужних обчислювальних ресурсів. По-друге, критерій досить точний (що відбилося навіть у його назві), що дозволяє його використовувати в дослідженнях з невеликою кількістю спостережень.
Особливе місце приділяється точному критерію Фішера в медицині. Це важливий метод обробки медичних даних, який знайшов своє застосування у багатьох наукових дослідженнях. Завдяки йому можна досліджувати взаємозв'язок певних факторів і результатів, порівнювати частоту патологічних станів між різними групами пацієнтів тощо.
3. У яких випадках можна використати точний критерій Фішера?
- Змінні змінні повинні бути виміряні в номінальній шкалі і мати тільки два значення, наприклад, артеріальний тиск в нормі або підвищено, результат сприятливий або несприятливий, післяопераційні ускладнення є чи ні.
- Критерій підходить для порівняння дуже малих вибірок: точний критерій Фішера може застосовуватися для аналізу чотирипольних таблиць у разі значень очікуваного явища менше 10, що є обмеженням для застосування критерію хі-квадрат Пірсона.
- Точний критерій Фішера буває одностороннім та двостороннім. При односторонньому варіанті точно відомо, куди відхилиться один із показників. Наприклад, під час дослідження порівнюють, скільки пацієнтів одужало порівняно з групою контролю. Припускають, що терапія неспроможна погіршити стан пацієнтів, лише чи вилікувати, чи ні.
Двосторонній тест є кращим, оскільки оцінює відмінності частот у двох напрямках. Тобто оцінюється ймовірність як більшої, і меншої частоти явища в експериментальної групі проти контрольної групою.
Аналогом точного критерію Фішера є Критерій хі-квадрат Пірсона, при цьому точний критерій Фішера має більш високу потужність, особливо при порівнянні малих вибірок, у зв'язку з чим у цьому випадку має перевагу.
4. Як розрахувати точний критерій Фішера?
Допустимо, вивчається залежність частоти народження дітей із вродженими вадами розвитку (ВПР) від куріння матері під час вагітності. Для цього вибрано дві групи вагітних жінок, одна з яких - експериментальна, що складається з 80 жінок, які курили в першому триместрі вагітності, а друга - група порівняння, що включає 90 жінок, які ведуть здоровий спосіб життя протягом усієї вагітності. Число випадків ВВР плода в експериментальній групі склало 10, у групі порівняння - 2.
Спочатку складаємо чотирипольну таблицю сполученості:
| Вихід є (Наявність ВПР) |
Виходу немає (Відсутність ВПР) |
Усього |
| Чинник ризику є (Куріння) |
A = 10 |
B = 70 |
(A + B) = 80 |
| Фактор ризику відсутній (Ті, що не палять) |
C = 2 |
D = 88 |
(C + D) = 90 |
| Усього |
(A + C) = 12 |
(B + D) = 158 |
(A + B + C + D) = 170 |
Точний критерій Фішера розраховується за такою формулою:
де N - загальна кількість досліджуваних у двох групах; ! - факторіал, що є добутком числа на послідовність чисел, кожне з яких менше попереднього на 1 (наприклад, 4! = 4 · 3 · 2 · 1)
В результаті обчислень знаходимо, що P = 0,0137.
5. Як інтерпретувати значення точного критерію Фішера?
Перевагою методу є відповідність отриманого критерію точного значення рівня значущості p. Тобто, отримане в прикладі значення 0,0137 і є рівень значущості відмінностей порівнюваних груп за частотою розвитку ВПР плода. Потрібно лише порівняти це число з критичним рівнем значущості, зазвичай прийнятим у медичних дослідженнях за 0,05.
- Якщо значення точного критерію Фішера більше критичного, приймається нульова гіпотеза і робиться висновок про відсутність статистично значимих відмінностей частоти результату в залежності від фактору ризику.
- Якщо значення точного критерію Фішера менше критичного, приймається альтернативна гіпотеза і робиться висновок про наявність статистично значимих відмінностей частоти результату в залежності від впливу фактора ризику.
