Концепція одночлена. Стандартний вигляд, коефіцієнт, ступінь

Одночлен - одне з основних понять в алгебрі. Цей урок допоможе вам розібратися з його визначенням, а також зі стандартним видом одночлена, ступенем та коефіцієнтом.

Що таке одночлен

Виявляється, будь-які числа (позитивні чи негативні), будь-які змінні чи його ступеня – це одночлени, наприклад: $8$ чи $-92$ чи $d^7$. І навіть будь-які дроби $\frac$ або $0,3$ є одночленами.

При цьому змінні можуть бути представлені будь-якими літерами ($z$, $m$, $j$, $v$, $a$ тощо). Будь-які числа без змінних (натуральні, дробові або цілі, раціональні, дійсні, в мірі) називають одночлен без змінної.

Також вирази, що є твір різних множників, називають одночленами, наприклад: $$2\times n^2$$

$$-5,5y^\times 84b\times 302$$ Тобто, в одночлен можуть входити як кілька множників, так і одне число або змінна.

Таким чином, запам'ятаємо визначення:

Числа, змінні, їхнього ступеня з натуральним показником, і навіть різні види творів, складені з цих змінних, чисел і ступенів, називають одночленами.

Які ж вирази не відносяться до одночленів? Наведемо приклади: $$s+f$$

$$\frac$$ Іншими словами, вирази, що містять суму, різницю або змінну в знаменнику дробу, одночленами не будуть.

Стандартний вид одночлена

Для зручності математичних обчислень одночлен прийнято наводити до стандартного виду. Розберемося, що це означає.

Стандартний вид одночлена має на увазі його запис із дотриманням кількох правил:

1. Якщо у виразі серед інших множників є одночлен без змінної (числовий множник), він завжди записується першим. Це число називають коефіцієнтом одночлена. Стандартним видом одночлена $c^4\times 74$, наприклад, буде $74$, а $74$ – його коефіцієнт.

1. Якщо в одночлен кілька числових множників без змінних, то попереду записують їх твір. Отримане число також буде коефіцієнтом. Наприклад, приведемо до стандартного вигляду одночлен $21\times k^3\times 4$. Помножимо $21$ на $4$ і запишемо коефіцієнт, що вийшов, першим: $$84k^3$$

1. У випадку, якщо серед множників є декілька ступенів з однаковою змінною, то також обчислюють їх добуток, наприклад: $$c\times c^4\times s^2\times c^3$$ Стандартний вид: $$c^8\ times s^2$$ Тобто ми склали всі показники натуральних ступенів змінної $c$.
   
2. Так само необхідно перемножити всі ступені з іншими літерними підставами. Зрештою необхідно розташувати ступеня змінних в алфавітному порядку. Наприклад, вираз $6f\times 7d\times \times 3f^3$ запишемо у стандартному вигляді і отримаємо: $$126$$

Коефіцієнт

Коефіцієнтом одночлена називають числовий множник одночлена, записаний у стандартному вигляді.

У випадках, коли коефіцієнт в результаті обчислень дорівнював $1$, він зазвичай не записується, але мають на увазі, що він є. Якщо коефіцієнт вийшов рівним $-1$, то стандартному вигляді мінус без одиниці записують на самому початку.

Зауважимо, що після тотожних перетворень можна привести до стандартного вигляду будь-який одночлен.

приклад

Запишемо у стандартному вигляді вираз: $\frac \times >\times m^\times c^\times 0,25\times $.

При множенні числових множників спочатку перетворимо десятковий дріб $0,25$ у простий і отримаємо $\frac$. Тоді стандартний вигляд цього одночлена буде $$\frac \times c^\times >times m^$$

Ступінь одночлена

Разом з поняттям одночлена вивчають його ступінь, який є сумою показників усіх ступенів змінних, що входять до нього. Тобто, якщо необхідно буде, наприклад, порахувати ступінь одночлена $5h^3\times f^\times 3v$, ми отримаємо: $$3+18+1=22$$ У цьому випадку, ступінь змінної $v$ дорівнює одиниці.

Таким чином, запам'ятаємо:

Ступенем одночлена, записаного у стандартному вигляді, буде сума показників ступенів усіх змінних, що до нього входять.

Якщо ж у одночлені змінних немає, його ступінь дорівнюватиме $0$. При цьому сам він має бути відмінним від нуля. Наприклад, ступінь одночлена $57$ дорівнює $0$. Якщо одночлен дорівнює $0$, його називають одночлен з невизначеним ступенем.

Конспект на тему "Одночлен. Стандартний вид одночлена" 7 клас

4. Прагне відкривати нові знання, нові способи дії.

1 етап. Актуалізація знань

Для того, щоб запровадити нові поняття, необхідно актуалізувати такі знання: поняття ступеня з натуральним показником, властивості ступенів

Записати твір у вигляді ступеня:

Розділіть отримані ступені на групи. Поясніть, чому саме такий поділ використовували.

2 етап. Первинне засвоєння нових знань

Учні розіб'ють ці ступені на 3 групи. Найімовірніше, охарактеризують наступним чином: вирази, що складаються з: чисел, літер, чисел та літер одночасно. Після цього дамо наступні визначення.

Числовим множником називається множник, записаний за допомогою цифр

Літерним множником називається множник, позначений буквами

Одночленом називається добуток числових і буквених множників

Питання класу: чи є одночленами отримані вирази?

Учні зроблять висновок (паралельно вчитель коментує), що отримані висловлювання є одночленами.

Важливо відзначити, що одночлен також можна визначити як:
-алгебраїчне вираз, тобто. запис із літер, знаків арифметичних дій, чисел та дужок, складений із змістом
-твір чисел і змінних, зведених у ступінь з натуральним показником

Які з виразів є одночленами:

Важливо акцентувати увагу учнів у тому, що числа і вирази, які з літер, так само називаються одночленами.

3 етап. Засвоєння нових знань

Знайти значення одночлена 16 ac (0,5) a (0,25) b при b =34 ,

Обчислюючи, учні відчуватимуть дискомфорт побачивши довгого твори (тобто. перед ними проблемне завдання). Через що введемо таке поняття.

Будь-який одночлен можна записати у стандартному вигляді. Для цього потрібно:

1) перемножити всі числові множники та поставити їх твір на перше місце

2) потім твори ступенів з однаковими підставами записати у вигляді ступеня

На дошці вчитель пише результат після приведення до стандартного вигляду одночлена. Обчислює значення одночлена після спрощення.

Учень запитує: «У порядку необхідно розмістити літери у виразі? Чи важливий порядок букв?

Якщо ж питань не надходить, то вчитель сам робимо це зауваження.

Примітка: літерні множники найчастіше розташовують в алфавітному порядку, хоча це не обов'язково.

Числовий множник одночлена, записаного у стандартному вигляді, називається коефіцієнтом цього одночлена

Назвати коефіцієнт одночлена:

Вчитель помічає, що коефіцієнта 1 і -1 (як у пунктах b, c) зазвичай не записуються.

ступенем одночлена називається сума показників всіх літерних множників, що входять до нього. Якщо одночлен не містить літерних множників (є числом), то його ступінь вважають рівним нулю.

Примітка: число нуль – нульовий одночлен – це єдиний одночлен, ступінь якого визначено.

Порахуємо ступені одночленів у завданні 5.

Вчитель промовляє, як вважається коефіцієнт у пункті а, далі пункти b, c усно промовляють кілька учнів.

4 етап. Первинне закріплення

209 - виконуємо по ланцюжку (усно), при цьому вчитель фіксує відповіді у два стовпці на дошці: стандартний вигляд і нестандартний вигляд; учні записують відповіді в зошит (пункт 1). приймаємо відповіді учнів із місця.

210 – виконуємо по ланцюжку з виходом учнів до дошці. По двоє учнів одночасно, з наступною перевіркою, щоб у зошитах учнів були правильні записи.

211(1) – виконує учень на дошці

5 етап.

Вивчити визначення: одночлен, числовий множник, літерний множник, коефіцієнт та ступінь одночлена, приведення до стандартного виду одночлена, 211(2), виконати картку:

1. Чи є одночленом вираз: ;

2. Стандартним видом одночлена є:

3. Стандартним видом одночлена є:
a )42 ac

4. Визначте ступінь та коефіцієнт даних одночленів , , , bc , 5

5. Приведіть одночлени до стандартного вигляду та вкажіть ті, у яких однакова літерна частина: , , ,

Підбиття підсумків заняття: повторити, що називається одночленом, план приведення одночлена до стандартного виду, що називається ступенем та коефіцієнтом одночлена.