Як обчислити значення Пі

Співавтор(и): Grace Imson, MA. Грейс Імсон - викладач математики з більш ніж 40 роками досвіду. В даний час викладає математику в Міському коледжі Сан-Франциско, яка раніше працювала на кафедрі математики в Сент-Луїському університеті. Викладала математику на рівні початкової, середньої та старшої школи, а також коледжу. Має магістерський ступінь з педагогіки зі спеціалізацією на керівництві та контролі, отриману в Сент-Луїському університеті.

Кількість джерел, використаних у цій статті: 7. Ви знайдете їх список унизу сторінки.

Кількість переглядів цієї статті: 260 503.

Пі (π) — одне з найважливіших чи інтригуючих чисел у математиці. Ця константа, приблизно рівна 3,14, використовується для обчислення довжини кола з урахуванням її радіусу. [1] X Джерело інформації Це також ірраціональне число, тобто воно може бути обчислено до нескінченного числа знаків після коми. [2] X Джерело інформації Це не так просто зробити, але все-таки можливо.

Обчислення Пі через вимір кола

Переконайтеся, що ви використовуєте ідеальне коло. Цей метод не працює з еліпсами, овалами та чимось іншим, цей метод підходить тільки для ідеального кола. Окружність визначається як сукупність усіх точок на площині, що лежать однаковій відстані від однієї центральної точки. Кришка банки – ідеальний предмет цього методу. Якщо ви хочете зробити найбільш точні обчислення, використовуйте олівець із дуже тонким грифелем.

• Оберніть нитку навколо кришки якомога щільніше. Позначте точку збігу початку та кінця, а потім виміряйте довжину нитки за допомогою лінійки.

Виміряйте діаметр кола. Діаметр - Довжина відрізка, що проходить через центр кола і будь-які дві точки, що лежать на колі.

Використовуйте формулу. Довжина кола обчислюється за формулою C= π*d = 2*π*r. Таким чином, Пі дорівнює довжині кола, поділеного на її діаметр. Порахуйте Пі (з вашими значеннями) на калькуляторі. Результат повинен бути приблизно 3,14. [3] X Джерело інформації

Щоб уточнити розрахунки, повторіть цю процедуру з кількома різними колами, а потім усередніть результати. Ваші вимірювання не будуть досконалими для одного узятого кола, але з урахуванням кількох кіл, вони повинні усереднитися до точного значення Пі.

Розв'язання задач з формулюванням "хоч би один"

Поговоримо про завдання, у яких трапляється фраза " хоча б один " . Напевно, ви зустрічали такі завдання в домашніх і контрольних роботах, а тепер дізнаєтеся, як їх вирішувати. Спочатку я розповім про загальне правило, а потім розглянемо окремий випадок незалежних подій та схеми Бернуллі, випишемо формули та приклади для кожного.

Загальна методика та приклади

Загальна методика для вирішення завдань, у яких зустрічається фраза "хоча б один" така:

1. Виписати вихідну подію $A$ = (Вірогідність того, що . хоча б . ).
2. Сформулювати протилежне подія $ bar $.
3. Знайти ймовірність події $P(\bar)$.
4. Знайти ймовірність за формулою $P(A)=1-P(\bar)$.

Окремий випадок. Незалежні події

Окремий випадок. Повторні випробування

Думаєте, далі буде важче? Навпаки, випадки все більш приватні, рішення та формули все більше прості. Отже, ми маємо $n$ незалежних подій (або повторень деякого досвіду), причому ймовірності настання цих подій (або настання події в кожному з досвідів) тепер однакові і дорівнюють $p$.Тоді формула (1) спрощується до виду $ $ P = 1-q_1 \ cdot q_2 \ cdot . \cdot q_n = 1-q^n. $$ Фактично ми звужуємося до класу завдань, що зветься "повторні незалежні випробування" або "схема Бернуллі", коли проводиться $n$ дослідів, ймовірність настання події в кожному з яких дорівнює $p$. Потрібно знайти ймовірність, що подія з'явиться хоча б раз із $n$ повторень: $$ P=1-q^n. \quad(2) $$ Детальніше про схему Бернуллі можна прочитати в онлайн-підручнику, а також переглянути статті-калькулятори про вирішення різних підтипів завдань (про постріли, лотерейні квитки тощо). Нижче ж будуть розібрані завдання лише з "хоч би один". Приклад 7. Нехай ймовірність того, що телевізор не вимагатиме ремонту протягом гарантійного терміну, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що протягом гарантійного терміну з 3 телевізорів хоча б один не вимагатиме ремонту. Рішення коротше ви ще не бачили.
Просто виписуємо з умови: $ n = 3 $, $ p = 0,9 $, $ q = 1-p = 0,1 $.
Тоді ймовірність того, що протягом гарантійного терміну з 3 телевізорів хоча б один не вимагатиме ремонту, за формулою (2): $$ P=1-0,1^3=1-0,001=0,999 $$ Відповідь: 0,999. Приклад 8. Здійснюється 5 незалежних пострілів з певної мети. Імовірність влучення при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що буде хоча б одне влучення. Знову починаємо з формалізації завдання, виписуючи відомі величини. $n=5$ пострілів, $p=0,8$ - ймовірність влучення при одному пострілі, $q=1-p=0,2$.
І тоді ймовірність того, що буде хоча б одне влучення з п'яти пострілів дорівнює: $$ P=1-0,2^5=1-0,00032=0,99968 $$ Відповідь: 0,99968. Думаю, із застосуванням формули (2) все більш ніж ясно (не забудьте почитати і про інші завдання, які вирішуються в рамках схеми Бернуллі, посилання були вищими).А нижче я наведу трохи складніше завдання. Такі завдання зустрічаються рідше, а й їх спосіб вирішення треба засвоїти. Поїхали! Приклад 9. Виробляється n незалежних дослідів, у кожному з яких деяка подія A утворюється з ймовірністю 0,7. Скільки потрібно зробити дослідів для того, щоб із ймовірністю 0,95 гарантувати хоча б одну появу події A? Маємо схему Бернуллі, $n$ - кількість дослідів, $p=0,7$ - ймовірність появи події А. Тоді ймовірність того, що станеться хоча б одна подія А в дослідах $n$, дорівнює за формулою (2): $$ P=1-q^n=1-(1-0,7)^n=1-0,3^n $$ За умовою ця ймовірність повинна бути не меншою 0,95, тому: $ $ 1-0,3 ^ n \ ge 0,95, 0,3 ^ n 0,05, n ge log_ 0,05 = 2,49. $$ Округлюючи, отримуємо що потрібно провести не менше 3 дослідів. Відповідь: мінімально потрібно зробити 3 досліди.

Корисні посилання