Розрахунок параметрів трикутника

Трикутник - це одна з основних геометричних фігур: багатокутник з трьома кутами (або вершинами) і трьома сторонами (або ребрами), які є прямими відрізками.

У евклідовій геометрії будь-які три неколлінеарні точки визначають трикутник і єдину площину, тобто двовимірний декартовий простір.

Сума довжин будь-яких двох сторін трикутника завжди перевищує довжину третьої сторони. Це і є нерівність трикутника.

Трикутники можуть бути класифіковані відповідно до відносної довжини їх сторін:

⇒ У рівносторонньому трикутнику всі сторони мають однакову довжину. Рівносторонній трикутник є рівнокутним багатокутником, тобто. всі його внутрішні кути рівні, саме 60° - це правильний багатокутник.

⇒ У рівнобедреному трикутнику дві сторони мають однакову довжину. Рівностегновий трикутник також має два збігаються кути (а саме, кути, протилежні збігаються сторонам). Рівносторонній трикутник – це рівнобедрений трикутник, але не всі рівнобедрені трикутники є рівносторонніми трикутниками.

⇒ У скалярному трикутнику всі сторони мають різну довжину. Внутрішні кути у скалярному трикутнику всі різні.

Трикутники також можуть бути класифіковані відповідно до їх внутрішніх кутів:

⇒ Прямокутний трикутник має один внутрішній кут 90° (прямий кут). Сторона, протилежна до прямого кута, є гіпотенузою; це найдовша сторона у прямокутному трикутнику. Дві інші сторони – катети трикутника.

⇒ Т упий трикутник має один внутрішній кут, більший за 90° (тупий кут).

⇒ Гострий трикутник має внутрішні кути, які все менше 90° (три гострі кути). Рівносторонній трикутник – це гострий трикутник, але не всі гострі трикутники є рівносторонніми трикутниками.

⇒ Похилий трикутник має тільки кути, які менші або більші за 90°. Отже, це будь-який трикутник, який є прямокутним трикутником.

Онлайн калькулятор допоможе знайти параметри трикутника, такі як:

• Довжини сторін - рівні в рівносторонньому трикутнику
• У гли - також рівні в рівносторонньому трикутнику
• Висота - це пряма лінія, що проходить через вершину і перпендикулярна до протилежної сторони (тобто утворює прямий кут з нею)
• Периметр - дорівнює сумі всіх 3х сторін (P = AB + BC + AC)
• Площа - дорівнює половині твору висоти та сторони до якої побудована висота (S = 1/2 * H * AC)
• Медіани
• Б іссектриси
• Радіус Вписаного та Описаного кіл
• Діаметр Вписаного та Описаного кіл
• Довжина Вписаного та Описаного кіл
• Площа Вписаного та Описаного кіл

Розв'язання трикутників - формули та завдання з прикладами розв'язання

Рішення трикутників − це знаходження всіх його елементів (трьох сторін та трьох кутів) за трьома відомими елементами (сторонами та кутами).

Синус, косинус та тангенс кута від 0 до 180

Поняття синуса, косинуса та тангенсу гострого кута вам відомі з курсу геометрії 8 класу. Розширимо ці поняття для довільного кута де

У верхній півплощині координатної площини розглянемо півколо з центром на початку координат, радіус якої дорівнює 1 (рис. 1.1). Таку півколо називають одиничною.

Говоритимемо, що кутку відповідає точка одиничної півкола, якщо точки мають відповідно координати (рис.1.1). Наприклад, на малюнку 1.1 куті, що дорівнює точку куту, рівному — точка куту, рівному — точка.

Нехай - гострий кут. Йому відповідає деяка точка дуги одиничного півкола (рис. 1.2).

Отже, косинус і синус гострого кута — це відповідно абсциса та ордината точки одиничного півкола, що відповідає куту.

Отриманий результат підказує, як визначити синус і косинус довільного кута.

Визначення. Косинусом і синусом кута називають відповідно абсцису та ординату точки одиничного півкола, що відповідає куту. (Рис. 1.3).

Користуючись цим визначенням, можна, наприклад, встановити, що

Якщо — довільна точка одиничного півкола, то отже, для будь-якого кута де маємо:

Якщо - тупий кут, то абсцис точки, що відповідає цьому куту, негативна. Отже, косинус тупого кута є від'ємним числом.

З курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що для будь-якого гострого кута виконуються рівності:

Ці формули залишаються справедливими також і для (переконайтеся у цьому самостійно).

Нехай кутам відповідають точки одиничного півкола (рис. 1.4).

Прямокутні трикутники рівні по гіпотенузі та гострому куту Звідси.

Переконайтеся, що ці рівності залишаються вірними для

Якщо гострий кут, то, як ви знаєте з курсу геометрії 8 класу, справедлива рівність, яку називають основною тригонометричною тотожністю:

Ця рівність залишається вірною для (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай - тупий кут. Тоді кут є гострим.

Отже, рівність виконується всім

Визначення. Тангенсом кута де називають ставлення тобто

Оскільки не визначено для

Очевидно, що кожному куту відповідає єдина точка одиничної півкола. Отже, кожному куту відповідає однина, яка є значенням синуса (косинусу, тангенсу). Тому залежність значення синуса (косинусу, тангенса) від величини кута є функціональною.

Функції, що відповідають цим функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями кута

Приклад №1

Рішення:

Приклад №2

Рішення:

Теорема косінусів

З першої ознаки рівності трикутників випливає, що дві сторони і кут між ними однозначно визначають трикутник.

Теорема 2.1 (теорема косінусів). Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.

Доказ: Розглянемо трикутник Доведемо, наприклад, що

Можливі три випадки:

Перший випадок. Нехай кут гострий.

Нехай Проведемо висоту Вона буде повністю належати трикутнику (рис. 2.1).

У прямокутному трикутнику

Нехай Проведемо висоту трикутника з вершини Вона повністю належатиме трикутнику Доказ для цього випадку аналогічно розглянутому.

Другий випадок. Нехай кут тупий. Проведемо висоту трикутника (рис. 2.2).

У прямокутному трикутнику

У прямокутному трикутнику BDC:

Третій випадок. Нехай кут прямої (рис. 2.3).Тоді треба довести, що ця рівність випливає з теореми Піфагора для трикутника.

Доказ теореми косінусів показує, що теорема Піфагора є окремим випадком теореми косінусів, а теорема косінусів є узагальненням теореми Піфагора.

Якщо скористатися позначеннями для довжин сторін та величин кутів трикутника (див. форзац), то, наприклад, для сторони, довжина якої дорівнює можна записати:

За допомогою теореми косінусів, знаючи три сторони трикутника, можна визначити, чи він є гострокутним, тупокутним або прямокутним.

Теорема 2.2 (наслідок з теореми косінусів). Нехай довжини сторін трикутника, причому довжина його найбільшої сторони. Якщо трикутник є гострокутним. Якщо трикутник є тупокутним. Якщо трикутник є прямокутним.

Доказ: За теоремою косінусів

Нехай Тоді Звідси себто Тому кут гострий.

Оскільки довжина найбільшої сторони трикутника, то проти цієї сторони лежить найбільший кут, який, як ми довели, є гострим. Отже, у цьому випадку трикутник є гострокутним.

Нехай Тоді Звідси тобто Тому кут тупий. Отже, у разі трикутник є тупоугольным.

Нехай тоді Звідси Отже, У цьому випадку трикутник є прямокутним.

Приклад №3

Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх сторін.

Рішення:

На малюнку 2.4 зображено паралелограм Нехай тоді З трикутника за теоремою косінусів отримуємо:

З трикутника по теоремі косінусів отримуємо:

Склавши рівності (1) і (2), отримаємо:

Приклад №4

У трикутнику сторона на 4 см більша за сторону Знайдіть сторони

Рішення:

За теоремою косінусів

Корінь -10 не задовольняє умову

Приклад №5

На стороні трикутника відзначили точку так, що знайдіть відрізок якщо

Рішення:

По теоремі косінусів із трикутника (рис. 2.5) отримуємо:

Тоді з трикутника одержуємо:

Приклад №6

Дві сторони трикутника дорівнюють 23 см і 30 см, а медіана, проведена до більшої з відомих сторін, — 10 см. Знайдіть третю сторону трикутника.

Рішення:

Нехай у трикутнику відомо, що відрізок — медіана,

На продовженні відрізка за точку відкладемо відрізок, що дорівнює медіані (рис. 2.6). Тоді

У чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл за умовою, за побудовою). Отже, чотирикутник – паралелограм.

Оскільки сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх сторін (див. ключове завдання 1), то

Теорема синусів

За доказом ряду теорем і вирішення багатьох завдань застосовують наступну лему.

Лемма. Хорда кола дорівнює добутку діаметра та синуса будь-якого вписаного кута, що спирається на цю хорду.

Доказ: На малюнку 3.1 відрізок — хорда кола з центром у точці Проведемо діаметр Тоді як вписаний кут, що спирається на діаметр. Нехай величина вписаного кута дорівнює Тоді з прямокутного трикутника одержуємо:

Всі вписані кути, що спираються на хорду рівні або, отже, їхні синуси рівні. Тому отримана рівність (1) справедлива для всіх вписаних кутів, що спираються на хорду

З другої ознаки рівності трикутників випливає, що сторона

і два кути, що прилягають до неї, однозначно визначають трикутник. Отже, за вказаними елементами можна знайти дві інші сторони трикутника. Як це зробити, нагадує наступна теорема.

Теорема 3.1 (теорема синусів). Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Доказ: Нехай у трикутнику відомо, що доведемо, що

Нехай радіус описаного кола трикутника дорівнює Тоді згідно лемі Звідси

Слідство. Радіус кола, описаного біля трикутника, можна обчислити за формулою

де - Довжина сторони трикутника, - величина протилежного цій стороні кута.

Приклад №7

У трикутнику відомо, що див, Знайдіть кут

Рішення:

За теоремою синусів

Отже, кут — гострий.

Звідси, враховуючи, що отримуємо:

Приклад №8

У трикутнику відомо, що Знайдіть кут

Рішення:

По теоремі синусів

Бо тоді кут може бути як гострим, так і тупим.

Приклад №9

На стороні трикутника відзначили точку так, що (рис. 3.2).

Рішення:

Кут – зовнішній кут трикутника Тоді звідси

З трикутника по теоремі синусів одержуємо:

З трикутника по теоремі синусів одержуємо:

Приклад №10

Відрізок — бісектриса трикутника (рис. 3.3).

Рішення:

Нехай - радіус кола, описаного біля трикутника

Оскільки відрізок — бісектриса трикутника, то

З трикутника отримуємо:

З слідства з теореми синусів Звідси

З трикутника отримуємо:

Нехай - шуканий радіус кола, описаного біля трикутника

Як вирішувати трикутників

Вирішити трикутник — це означає знайти невідомі його сторони та кути по відомих сторонах та кутах

Теореми косінусів та синусів дозволяють вирішити будь-який трикутник.

У наступних задачах значення тригонометричних функцій знаходитимемо за допомогою калькулятора і округлятимемо ці значення до сотих.Величини кутів знаходитимемо за допомогою калькулятора і округлятимемо ці значення до одиниць. Обчислюючи довжини сторін, результат округлятимемо до десятих.

Приклад №11

Розв'яжіть трикутник (рис. 4.1) по стороні см і двом кутам

Рішення:

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:

За теоремою синусів

Знову застосовуючи теорему синусів, запишемо:

Приклад №12

Розв'яжіть трикутник по двох сторонах см, см і кут між ними.

Рішення:

За теоремою косінусів

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:

Приклад №13

Розв'яжіть трикутник по трьох сторонах см,

Рішення:

По теоремі косінусів Звідси

По теоремі синусів Звідси

Оскільки довжина найменшої сторони даного трикутника, то кут є гострим. Тоді знаходимо, що Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:

Приклад №14

Розв'яжіть трикутник по двох сторонах і кутку, що протилежить одній зі сторін:

Рішення:

1) За теоремою синусів

Оскільки кут цього трикутника тупий, то кут є гострим. Тоді знаходимо, що

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:

За теоремою синусів

2) За теоремою синусів

Звідси, що неможливо.

Відповідь: Завдання не має рішення.

3) По теоремі синусів Звідси

Можливі два випадки: або

Розглянемо випадок, коли

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:

По теоремі синусів

Розглянемо випадок, коли

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:

Тригонометрія наука про вимір трикутників

Ви знаєте, що древні мандрівники орієнтувалися на зірки і планети. Вони могли досить точно визначити положення корабля в океані або каравану в пустелі за розташуванням світил на небосхилі.У цьому однією з орієнтирів служила висота, яку піднімалося над горизонтом те чи інше небесне світило у цій території у час.

Зрозуміло, безпосередньо виміряти цю висоту неможливо. Тому вчені почали розробляти методи непрямих вимірів. Тут суттєву роль відігравало рішення трикутника, дві вершини якого лежали на поверхні Землі, а третя була зіркою (рис. 4.3) — знайоме вам завдання 3.17.

Аби вирішити подібних завдань древнім астрономам необхідно було навчитися знаходити взаємозв'язку між елементами трикутника. Так виникла тригонометрія - Наука, що вивчає залежність між сторонами і кутами трикутника. Термін "тригонометрія" (від грецьких слів "тригонон" - трикутник і "метрео" - вимірювати) означає "вимір трикутників".

На малюнку 4.4 зображено центральний кут рівний З прямокутного трикутника маємо: Отже, якщо в одиничному колі виміряти половини довжин хорд, на які спираються центральні кути з величинами, то тим самим ми можемо обчислити значення синусів кутів відповідно.

Вимірюючи довжини напівхорд, давньогрецький астроном Гіппарх (II ст. до н. е.) склав перші тригонометричні таблиці.

Поняття синуса та косинуса з'являються у тригонометричних трактатах індійських учених у IV-V ст. н. е. У X ст. арабські вчені оперували поняттям тангенса, яке виникло з потреб гномоніки — вчення про сонячний годинник (рис. 4.5).

У Європі першою роботою, в якій тригонометрія розглядалася як окрема наука, був трактат "П'ять книг про трикутники всіх видів", вперше надрукований у 1533 році. Його автором був німецький вчений Регіомонтан (1436–1476). Цей учений відкрив і теорему тангенсів:

де - Довжини сторін трикутника, - величини кутів трикутника, що протилежні відповідно сторонам з довжинами

Сучасний вид тригонометрія набула у роботах великого математика Леонарда Ейлера.

Леонард Ейлер

(1707-1783) Видатний математик, фізик, механік та астроном, автор понад 860 наукових праць. Член Петербурзької, Берлінської, Паризької академій наук, Лондонського королівського товариства, багатьох інших академій та наукових товариств. Ім'я Ейлера зустрічається майже у всіх галузях математики: теореми Ейлера, тотожності Ейлера, кути, функції, інтеграли, формули, рівняння, підстановки тощо.

Формули для знаходження площі трикутника

З курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що площа трикутника зі сторонами та висотами можна обчислити за формулами

Тепер у нас з'явилася можливість отримати ще кілька формул для знаходження площі трикутника.

Теорема 5.1. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін та синуса кута між ними.

Доказ: Розглянемо трикутник, площа якого дорівнює такій, що Доведемо, що

Можливі три випадки:

1. кут гострий (рис. 5.1);
2. кут тупий (рис. 5.2);
3. кут прямий.

На рисунках 5.1 та 5.2 проведемо висоту трикутника

З прямокутного трикутника у першому випадку (див. рис. 5.1) отримуємо: а у другому (див. рис. 5.2): Звідси для двох перших випадків маємо:

Якщо кут прямий, то Для прямокутного трикутника з катетами маємо:

Теорема 5.2 (формула Герона - Площу трикутника зі сторонами можна обчислити за формулою

де його напівпериметр.

Доказ: Розглянемо трикутник, площа якого дорівнює такій, що Доведемо, що

Нехай Запишемо формулу площі трикутника:

За теоремою косінусів Тоді

Теорема 5.3. Площу трикутника зі сторонами і можна обчислити за формулою

де - радіус кола, описаного біля трикутника.

Доказ: Розглянемо трикутник, площа якого дорівнює такій, що Доведемо, що — радіус описаного кола трикутника.

Нехай Запишемо формулу площі трикутника:

З леми п. 3 випливає, що

Зауважимо, що доведена теорема дозволяє знаходити радіус описаного кола трикутника за формулою

Теорема 5.4. Площа трикутника дорівнює добутку його напівпериметра та радіусу вписаного кола.

Доказ: На малюнку 5.3 зображено трикутник, в який вписано коло радіусу. Доведемо, що

де - площа цього трикутника, - його напівпериметр.

Нехай точка — центр вписаного кола, що стосується сторін трикутника в точках. Площа трикутника дорівнює сумі площ трикутників

Проведемо радіуси в точки торкання.

Теорему 5.4 узагальнює таку теорему.

Теорема 5.5. Площа описаного багатокутника дорівнює добутку його напівпериметра та радіусу вписаного кола.

Доведіть цю теорему самостійно (рис. 5.4).

Зауважимо, що теорема 5.5 дозволяє знаходити радіус вписаного кола багатокутника за формулою

Приклад №15

Доведіть, що площу паралелограма можна обчислити за формулою

де довжини сусідніх сторін паралелограма, кут між ними.

Рішення:

Розглянемо паралелограм у якому (рис. 5.5). Проведемо діагональ Оскільки то запишемо:

Приклад №16

Доведіть, що площа опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей та синуса кута між ними.

Рішення:

Нехай кут між діагоналями чотирикутника дорівнює На малюнку 5.6.

Приклад №17

Сторони трикутника дорівнюють 17 см, 65 см і 80 см. Знайдіть найменшу висоту трикутника, радіуси його вписаного та описаного кіл.

Рішення:

Знайдемо півпериметр трикутника:

Площа трикутника обчислимо за формулою Герона:

Найменшою висотою трикутника є висота, проведена до його найбільшої сторони, довжина якої дорівнює

Радіус вписаного кола

Радіус описаного кола

Не вписане коло трикутника

Проведемо бісектриси двох зовнішніх кутів з вершинами трикутника (рис. 5.8).

Проведемо три перпендикуляри: Очевидно, що Отже, існує коло з центром у точці, що стосується сторони трикутника та продовжень двох інших його сторін. не вписаною коло трикутника (рис. 5.8).

Оскільки то точка належить бісектрисі кута

Будь-який трикутник має три вписані кола. На малюнку 5.9 їх центри позначені.

За властивістю дотичних, проведених до кола через одну точку, маємо: (рис. 5.8). Отже, периметр трикутника дорівнює сумі Однак тоді де — півпериметр трикутника.

Звідси де - площа трикутника

Аналогічно можна показати, що

Довідковий матеріал

Косинус та синус

Косинусом і синусом кута якому відповідає точка одиничного півкола, називають відповідно абсцису та ординату точки

Тангенс

Тангенсом кута називають відношення

Теорема косінусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними:

Наслідок з теореми косінусів

Нехай довжини сторін трикутника, причому довжина його найбільшої сторони. Якщо трикутник є гострокутним. Якщо трикутник є тупокутним. Якщо трикутник є прямокутним.

Лемма про хорд кола

Хорда кола дорівнює добутку діаметра та синуса будь-якого вписаного кута, що спирається на цю хорду.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

Формули для знаходження площі трикутника

Формула для знаходження радіуса кола, вписаного в трикутник

Формули для знаходження радіуса кола, описаного біля трикутника

Площа багатокутника, описаного біля кола

Площа багатокутника, описаного біля кола, дорівнює добутку його напівпериметра та радіусу вписаного кола.

• Трикутники та коло
• Площа трикутника
• Співвідношення між сторонами та кутами довільного трикутника
• Коло та коло
• Основні фігури геометрії та їх розташування у просторі
• Просторові фігури - види, зображення, властивості
• Взаємне розташування прямих на площині
• Трикутник

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.