Висота трикутника

Висота, проведена в будь-якому трикутнику, ділить його на два прямокутні трикутники, стаючи суміжним катетом. Сторона, на яку опущена висота, виявляється також розділеною на дві пропорційні частини. Знаючи всі три сторони, можна зібрати їх за теоремою Піфагора, і прирівнявши висоту як катет у двох вищезгаданих трикутниках, отримати її формулу для будь-якого довільного трикутника: З іншого боку, можна використовувати сторону, що прилягає до висоти і кут α, щоб обчислити висоту трикутника .

Відома його сторона буде гіпотенузою у прямокутному трикутнику, а сама висота – катетом, що протилежить куту α. Два цих виміри пов'язує синус кута, тому висота дорівнює його добутку на бік a : h=a sin⁡α Висота в прямокутному трикутнику, опущена з прямого кута (решта дві збігаються з катетами), отримує особливі властивості. Оскільки всі три прямокутні трикутники, що виходять, подібні один до одного, їх сторони становлять пропорцію, яка розкладається як квадрат висоти, рівний добутку проекцію катетів на гіпотенузу, або простіше кажучи, частин гіпотенузи, на які її ділить висота.

З цього випливає, що висота дорівнює квадратному кореню з цього твору, а це не що інше як середнє пропорційне наведеного виразу.
У рівносторонньому трикутнику, висота ділить кут, з якого вона виходить, на два однакові кути по 30°. Висота, опиняючись катетом, прилеглим до цього кутку, всередині прямокутного трикутника, підпорядковується відношенню косинуса кута α , а оскільки , а гіпотенуза a , то формула висоти в рівносторонньому трикутнику виглядатиме так:

Як знайти висоту трикутника

Обчислення висоти трикутника залежить від самої фігури (рівностегновий, рівносторонній, різнобічний, прямокутний). У практичній геометрії складні формули, як правило, не зустрічаються. Достатньо знати загальний принцип обчислень для того, щоб він міг бути універсальним для всіх трикутників. Сьогодні ми познайомимо вас з базовими принципами обчислення висоти фігури, розрахунковими формулами, виходячи з властивостей висот трикутників.

Що таке висота?

Висотою прийнято вважати будь-який відрізок, опущений із будь-якого кута трикутника на протилежну сторону під прямим кутом. Та сторона, на яку опускають пряму лінію, називатиметься основою трикутника.

Висота має кілька відмінних властивостей

Крапка, де всі висоти з'єднуються, називається ортоцентром. Якщо трикутник гострий, то ортоцентр знаходиться всередині фігури, якщо один із кутів тупий, то ортоцентр, як правило, знаходиться зовні.

У трикутнику, де один кут дорівнює 90°, ортоцентр та вершина збігаються.

Якщо р – це половина периметра, тоді a, b, c є позначенням сторін необхідної фігури, h – висота, то перша і найпростіша формула буде виглядати так: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .

У шкільних підручниках часто можна знайти завдання, у яких відомо значення однієї зі сторін трикутника та величина кута між цією стороною та основою. Тоді формула розрахунку висоти буде виглядати так: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.

Коли дана площа трикутника – S, а також довжина основи – а, обчислення будуть максимально простими. Висоту знаходять за такою формулою: h = 2S/a.

Як знайти висоту рівнобедреного трикутника?

Усі сторони цієї фігури рівнозначні, їх довжини рівні, тому й кути при основі теж будуть рівними.З цього випливає, що висоти, які проводимо на підстави, також будуть рівні, вони ж і медіани, і бісектриси одночасно. Говорячи простою мовою, висота в рівнобедреному трикутнику ділить основу надвоє. Трикутник із прямим кутом, який вийшов після проведення висоти, будемо розглядати за допомогою теореми Піфагора. Позначимо бічну сторону як а, а основу як b, тоді висота h = ½ √4 a2 − b2.

Як знайти висоту рівностороннього трикутника?

Формула рівностороннього трикутника (фігури, де всі сторони є рівновеликими) можна знайти, виходячи з попередніх обчислень. Необхідно лише виміряти довжину однієї зі сторін трикутника та позначити її як а. Тоді висота виводиться за такою формулою: h = √3/2 a.

Як знайти висоту прямокутного трикутника?

Як відомо, кут у прямокутному трикутнику дорівнює 90 °. Висота, опущена однією катет, одночасно є і другим катетом. На них і лежатимуть висоти трикутника із прямим кутом. Для отримання даних про висоту потрібно трохи перетворити наявну формулу Піфагора, позначивши катети - а і b, а також вимірявши довжину гіпотенузи - с.

Знайдемо довжину катета (сторона, якою буде перпендикулярна висота): a = √ (c2 − b2). Довжина другого катета знаходиться за такою самою формулою: b =√(c2 − b2). Після чого можна приступати до обчислення висоти трикутника з прямим кутом, попередньо порахувавши площу фігури – s. Значення висоти h = 2s/a.

Розрахунки з різностороннім трикутником

Коли різносторонній трикутник має гострі кути, то висота, що опускається на основу, видно. Якщо ж трикутник з тупим кутом, то висота може бути поза фігурою, і потрібно подумки її продовжити, щоб отримати точку з'єднання висоти та основи трикутника.Найпростішим способом виміряти висоту є обчислення її через одну зі сторін та величини кутів. Формула виглядає так: h = b sin y + c sin ß.

Онлайн калькулятор

Щоб обчислити висоту рівнобедреного трикутника вам потрібно знати наступні параметри (або):

• довжину двох рівних сторін (a) та довжину основи (b)
• довжину двох рівних сторін (a) та кут α
• довжину двох рівних сторін (a) та кут β
• довжину основи (b) та кут α
• довжину основи (b) та кут β

Введіть їх у відповідні поля та отримайте результат.

Якщо відомі довжина сторони а та основи b

Чому дорівнює висота h рівнобедреного трикутника якщо довжина сторін , а довжина основи

Чому дорівнює висота h у рівнобедреного трикутника якщо відомі довжина сторони a та довжина основи b?

Формула

приклад

Якщо сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:

h = √ 10 2 - (5 /₂) 2 = √ 100 - 6.25 ≈ 9.68 см

Якщо відомі довжина сторони а та кут α

Чому дорівнює висота h рівнобедреного трикутника якщо довжина сторін , а кут

Чому дорівнює висота h у рівнобедреного трикутника якщо відомі довжина сторони a та кут α?

Формула

приклад

Якщо сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:

h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см

Якщо відомі довжина сторони а та кут β

Чому дорівнює висота h рівнобедреного трикутника якщо довжина сторін , а кут

Чому дорівнює висота h у рівнобедреного трикутника якщо відомі довжина сторони a та кут β?

Формула

приклад

Якщо сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:

Якщо відомі довжина сторони b та кут α

Чому дорівнює висота h рівнобедреного трикутника якщо довжина основи , а кут

Чому дорівнює висота h у рівнобедреного трикутника якщо відомі довжина сторони b та кут α?

Формула

приклад

Якщо сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:

Якщо відомі довжина сторони b та кут β

Чому дорівнює висота h рівнобедреного трикутника якщо довжина основи , а кут

Чому дорівнює висота h у рівнобедреного трикутника якщо відомі довжина сторони b та кут β?

Із застосуванням циркуля

Якщо потрібно намалювати висоту (перпендикуляр до протилежної сторони) у довільному трикутнику та виміряти її, то найкраще скористатися класичним методом побудови. Він передбачає використання циркуля як основну робочу приналежність. Крім цього, для роботи знадобиться аркуш паперу, невелика лінійка, гумка та простий олівець.

Спосіб накреслити шуканий відрізок:

• На аркуші паперу креслять трикутник (можна намалювати заздалегідь, щоб заощадити час).
• Малюнок розташовують так, щоб вершина кута, з якого потрібно накреслити висоту, знаходилася зверху, а протилежна сторона фігури була розташована горизонтально (по відношенню до учня).
• Голку циркуля ставлять у вершині будь-якого кута біля основи.
• Ніжку з грифелем ставлять у верхню точку трикутника, з якої проводиться висота.
• Циркулем малюють коло і роблять позначку в місці її перетину з основою фігури.
• Аналогічним способом малюють коло з іншого кута на підставі. При цьому важливо визначити новий радіус, який дорівнюватиме довжині другої сторони трикутника.
• Роблять позначку у місці перетину накреслених кіл.
• Гумкою стирають зайві лінії, залишаючи лише поставлену точку.
• За допомогою олівця та лінійки з неї проводять відрізок до вершини, який буде висотою трикутника.
• Стирають лінії, що знаходяться під основою.

У такий же спосіб можна за допомогою циркуля побудувати висоту трикутника з будь-якого іншого кута.

За допомогою лінійки

Накреслити та позначити висоту можна і без циркуля. Для цього слід скористатися креслярським косинцем, 2 сторони якого перпендикулярні один одному. Альтернативою цієї шкільної приналежності можуть стати дві прямі лінійки, з'єднані між собою під прямим кутом.

У гострокутному трикутнику

Провести висоту у трикутнику, де всі кути гострі (менше 90 градусів), досить просто.

Щоб впоратися з цим завданням, потрібно підготувати все необхідне і накреслити на папері геометричну фігуру.

Правильна послідовність дій:

• Знаходять вершину, з якої хочуть провести перпендикуляр.
• Поєднують косинець із протилежною стороною фігури.
• Переміщують креслярську приналежність доти, доки її перпендикулярна сторона не пройде через вершину.
• Простим олівцем проводять лінію, яка буде шуканим відрізком.

У тупокутній фігурі

Тристороння фігура, у якої один із кутів тупий (понад 90 градусів) має лише 1 внутрішню висоту. Для її проведення використовують те саме, що й у попередньому випадку.

Порядок дій:

• Розташовують креслення так, щоб тупий кут опинився біля основи.
• Кутник прикладають до найбільшої сторони фігури.
• Поєднують перпендикулярну сторону лінійки з вершиною тупого кута.
• З'єднують 2 точки простим олівцем, отримуючи лінію, що шукається.

У прямокутному та рівнобедреному

У прямокутному трикутнику потрібно знаходити лише 1 висоту. Дві інші збігатимуться з катетами.

Покрокова інструкція:

• Прикладають одну з перпендикулярних сторін косинця до гіпотенузи.
• Другий бік лінійки поєднують з вершиною прямого кута.
• Проводять лінію, яка буде заввишки.

Найпростіше проводити перпендикуляр із верхньої точки рівнобедреного трикутника.

Він співпадатиме з бісектрисою та медіаною фігури. Накреслити його можна таким самим способом, що й для гострокутної фігури. Простіший метод передбачає виконання таких дій:

• Лінійкою вимірюють довжину основи.
• Цю величину поділяють на 2.
• Отримане значення відкладають від вершини одного з кутів на підставі.
• Відзначають середину боку та з'єднують її з верхньою точкою фігури.

Проведення висоти в трикутнику - це просте завдання, з яким легко впорається кожен учень.

Для цього достатньо зробити креслення геометричної фігури та скористатися одним із існуючих способів побудови. Така робота вимагатиме мінімум часу і не забере у школяра багато сил.

Визначення

Однією з таких характеристик є висота трикутника. Висота - це перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до його протилежної сторони. Вершиною називають одну з трьох точок, які разом із трьома відрізками становлять трикутник.

Визначення висоти трикутника може і так: висота – це перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону.

Це визначення звучить складніше, але воно точніше відбиває ситуацію. Справа в тому, що в тупокутному трикутнику не вдасться провести висоту всередині трикутника. Як видно на малюнку 1, висота у цьому випадку виходить зовнішньою. Крім того, нестандартною ситуацією є побудова висоти у прямокутному трикутнику. У цьому випадку дві з трьох висот трикутника проходитимуть через катети, а третя від вершини до гіпотенузи.

Мал. 1. Висота тупокутного трикутника.

Як правило, висоту трикутника позначають літерою h.Також позначається висота та інших фігурах.

Як знайти висоту трикутника?

Існує три стандартні способи знаходження висоти трикутника:

Через теорему Піфагора

Цей спосіб застосовується для рівносторонніх і рівнобедрених трикутників. Розберемо рішення для рівнобедреного трикутника, а потім скажемо, чому це рішення справедливе для рівностороннього.

Дано: рівнобедрений трикутник АВС із основою АС = 5, АС = 8. Знайти висоту трикутника.

2. Малюнок до завдання.

Для рівнобедреного трикутника важливо знати, яка саме сторона є основою.

Властивості висоти рівнобедреного трикутника, проведеної до основи:

• Висота збігається з медіаною та бісектрисою
• Поділяє основу на дві рівні частини.

Висоту позначимо, як ВD знайдемо як половину від основи, так як висота точкою D ділить основу навпіл.

Висота – це перпендикуляр, отже ВDС – прямокутний трикутник, а висота ВD є катетом цього трикутника.

Знайдемо висоту за теоремою Піфагора: $$BD=sqrt =sqrt =3$$

Будь-який рівносторонній трикутник є рівнобедреним, тільки основа у нього дорівнює бічним сторонам. Тобто, можна використовувати той самий порядок дій.

Через площу трикутника

Цим способом можна користуватися для будь-якого трикутника Щоб скористатися ним, потрібно знати значення площі трикутника і сторони, до якої проведена висота.

Висоти у трикутнику не рівні, тому для відповідної сторони вдасться обчислити відповідну висоту.

Формула площі трикутника: $$S= *bh$$, де b – це сторона трикутника а h – висота, проведена до цієї сторони.Виразимо з формули висоту:

Якщо площа дорівнює 15, сторона 5, то висота $ $ h = 2 * = 6 $ $

Через тригонометричну функцію

Третій спосіб підійде, якщо відома сторона та кут при підставі. Для цього доведеться скористатися тригонометричною функцією.

Мал. 3. Малюнок завдання.

Кут ВСН=30 градусів, а сторона BC=8. У нас все той же прямокутний трикутник BCH. Скористаємося визначенням косинуса кута прямокутного трикутника. Косинус гострого кута – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи, означає: BH/BC=cos BCH, а кут BCH дорівнює 60 градусів, оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90 градусів.

Кут відомий, як і бік. Виразимо висоту трикутника:

Значення косинуса у випадку береться з таблиць Брадиса, але значення тригонометричних функцій для 30,45 і 60 градусів – табличні числа.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, що таке висота трикутника, які бувають висоти і як вони позначаються. Розібралися в типових задачах та записали три формули для висоти трикутника.

Для вирішення багатьох геометричних завдань потрібно знайти висоту заданої фігури. Ці завдання мають прикладне значення. При проведенні будівельних робіт визначення висоти допомагає обчислити необхідну кількість матеріалів, а також визначити, наскільки точно зроблено укоси та отвори. Часто для побудови викрійок потрібно мати уявлення про властивості геометричних фігур.

У багатьох людей, незважаючи на хороші оцінки в школі, при побудові звичайних геометричних фігур виникає питання про те, як знайти висоту трикутника або паралелограма. Причому визначення висоти трикутника є найскладнішим. Це тому, що трикутник може бути гострим, тупим, рівнобедреним чи прямокутним.Для кожного з видів трикутників існують свої правила побудови та розрахунку.

Як знайти висоту трикутника, в якому всі кути гострі, графічним способом

Якщо всі кути трикутника гострі (кожен кут у трикутнику менше 90 градусів), то для знаходження висоти необхідно зробити наступне.

1. За заданими параметрами виконуємо побудову трикутника.
2. Введемо позначення. А, В та С будуть вершинами фігури. Кути, що відповідають кожній вершині – α, β, γ. Протилежні цим кутам сторони - a, b, c.
3. Висотою називається перпендикуляр, опущений з вершини кута до протилежної сторони трикутника. Для знаходження висот трикутника проводимо побудову перпендикулярів: з вершини кута до сторони a, з вершини кута до сторони b і так далі.
4. Точку перетину висоти та сторони a позначимо H1, а саму висоту h1. Точка перетину висоти та сторони b буде H2, висота відповідно h2. Для сторони c висота буде h3, а точка перетину H3.

Далі для кожного виду трикутника будемо використовувати ті ж позначення сторін, кутів, висот та вершин трикутників.

Висота у трикутнику з тупим кутом

Тепер розглянемо, як знайти висоту трикутника, якщо один кут тупий (більше 90 градусів). В цьому випадку висота, проведена з тупого кута, буде всередині трикутника. Інші дві висоти будуть за межами трикутника.

Нехай у нашому трикутнику кути α та β будуть гострими, а кут γ – тупим. Тоді для побудови висот, що виходять з кутів α і β, треба продовжити протилежні сторони трикутника, щоб провести перпендикуляри.

Як знайти висоту рівнобедреного трикутника

Така фігура має дві рівні сторони і основу, при цьому кути, що знаходяться при підставі, також є рівними між собою. Ця рівність сторін та кутів полегшує побудову висот та їх обчислення.

Спочатку намалюємо сам трикутник. Нехай сторони b та c, а також кути β, γ будуть відповідно рівними.

Тепер проведемо висоту з вершини кута, позначимо її h1. Для рівнобедреного трикутника ця висота буде одночасно бісектрисою та медіаною.

Далі збудуємо дві інші висоти: h2 для сторони b і кута β, h3 для сторони c і кута γ. Ці висоти будуть рівними за довжиною.

Для основи можна зробити лише одну побудову. Наприклад, провести медіану – відрізок, що з'єднує вершину рівнобедреного трикутника та протилежну сторону, основу, для знаходження висоти та бісектриси. А для обчислення довжини висоти для двох інших сторін можна побудувати лише одну висоту. Таким чином, щоб графічно визначити, як обчислити висоту трикутника рівнобедреного, достатньо знайти дві висоти з трьох.

Як знайти висоту прямокутного трикутника

У прямокутного трикутника визначити висоти набагато простіше, ніж інші. Це тому, що самі катети становлять прямий кут, отже, є висотами.

Для побудови третьої висоти, як завжди, проводиться перпендикуляр, що з'єднує вершину прямого кута та протилежну сторону. У результаті для того, щоб дізнатися, як знайти висоту трикутника в даному випадку, потрібна лише одна побудова.

У довільному трикутнику (у якого всі сторони різної довжини), висоти, проведені до сторін , медіани та бісектриси являють собою зовсім різні лінії.Щоб знайти довжину висоти в трикутнику, не можна буде використовувати властивості медіани або бісектриси як для рівнобедрених або рівносторонніх трикутників, тому доведеться використовувати інші методи.

Один із подібних методів полягає у використанні загального параметра трикутника – площі. Алгоритм обчислень будується на тому, що площу різнобічного трикутника можна знайти декількома способами, у тому числі через висоту. Знаючи три сторони трикутника, можна знайти його площа за формулою Герона, а потім використовуючи іншу формулу площі, виразити її висоту.

Щоб вирахувати площу трикутника за формулою Герона, потрібно спочатку розрахувати півпериметр трикутника. Як випливає з назви, напівпериметр — це периметр, тобто сума довжин усіх трьох сторін, поділена на дві.

Сама формула площі є твір напівпериметра на його різниці з кожною стороною, все це вираз будучи ув'язненим під квадратним коренем.

З іншого боку, та сама площа трикутника через висоту дорівнює половині добутку сторони трикутника на висоту, на неї опущену. Звідси висота дорівнюватиме відношенню подвоєної площі до сторони трикутника. З попередньої формули можна виразити площу через три сторони трикутника та замінити її у формулі висоти.

Дана формула висоти через сторони трикутника може бути застосована для будь-яких трикутників, довільних, рівнобедрених чи рівносторонніх за відсутністю інших.

Обчислюючи висоту трикутника, знаючи три сторони, доводиться йти довгим шляхом, використовуючи формули площі. Висота трикутника, виражена через площу, пов'язана тільки з тією стороною, на яку вона опущена, тому надзвичайно важливо правильно вказати калькулятора порядок сторін та в ручному розрахунку підставити відповідну сторону в формулу висоти.

Формула висоти довільного трикутника через площу

Згадаймо, що висота трикутника - Це перпендикуляр, опущений з його вершини на протилежний бік.

У прямокутному трикутнику катети є висотами один до одного. Головний інтерес становить висота, проведена до гіпотенузи.

Один із типів екзаменаційних завдань банку завдань ФІПД — такі, де у прямокутному трикутнику висота проведена з вершини прямого кута. Подивимося, що виходить:

Висота проведена до гіпотенузи. Вона ділить трикутник на два прямокутні трикутники — і . Дивимося уважно на малюнок і знаходимо на ньому рівні кути. Це і є ключем до завдань з геометрії, у яких висота опущена на гіпотенузу.

Ми пам'ятаємо, що сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює . Значить, тобто кут дорівнює куту . Аналогічно, кут дорівнює куту.

Інакше кажучи, кожен із трьох кутів трикутника дорівнює одному з кутів трикутника (і трикутника ). Трикутники і називаються подібними. Давайте намалюємо їх поряд один з одним.

Вони відрізняються лише розмірами. Сторони таких трикутників пропорційні. Що це означає?

Візьмемо трикутники та . Сторони трикутника довші, ніж сторони трикутника в раз:

При вирішенні завдань нам знадобиться рівність кутів трикутників і , а також пропорційність їх сторін. Зверніть також увагу, що площу трикутника можна записати двома різними способами: як половину добутку катетів і як половину добутку гіпотенузи на проведену до неї висоту.

Ти знайшов те, що шукав? Поділися з друзями!

1. У трикутнику кут дорівнює , - Висота, , . Знайдіть .

Розглянемо трикутник. У ньому відомі косинус кута і протилежний катет. Знаючи синус кута, ми могли б знайти гіпотенузу. Так давайте знайдемо:

(оскільки значення синуса гострого кута позитивне). Тоді:

Розглянемо прямокутний трикутник . Оскільки

2. У трикутнику кут дорівнює , , . Знайдіть висоту.

Зробіть креслення та розгляньте прямокутний трикутник.

3. У трикутнику кут дорівнює , , . До гіпотенузи проведена висота. Знайдіть .

Це трохи складніше завдання. Адже вам невідомі катети.

Проте можна записати теорему Піфагора: .

Нам відомо також, що:

Вирішуючи цю систему із двох рівнянь, знайдемо:

Запишемо площу трикутника АВС двома способами:

Знайти висоту, проведену з вершини прямого кута, можна було й іншим способом. Ми вибрали найкоротший шлях — склали та вирішили систему рівнянь.