Як знайти радіус основи конуса, якщо відомі об'єм та висота?

Об'єм конуса дорівнює 72π, а його висота дорівнює 6. Знайдіть радіус основи конуса.

Знаючи об'єм конуса та висоту, можна легко знайти радіус. Для початку згадаємо формулу обсягу конуса:

V = 1/3 * Пі * r^2 * h, де Пі - число, що дорівнює приблизно 3,14, r - радіус основи конуса, h - висота конуса.

З формули можна легко вивести іншу формулу радіусу основи:

Підставимо відомі нам значення у формулу:

Відповідь: радіус основи конуса дорівнює 6

Радіус та утворююча конуса

Оскільки радіус конуса характеризує розмір його основи, то знаючи його, можна знайти діаметр, довжину кола та площу кола, що лежить у підставі. Діаметр є подвоєним радіусом, довжина кола – подвоєним радіусом, помноженим на число π, а площа кола – квадратом радіусу, помноженим на число π. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2 Знаючи радіус та утворюючу конуса, можна вже знайти його висоту, кут між утворювальною та основою, кут розчину конуса. Висота конуса через радіус і утворює шукається по теоремі Піфагора у прямокутному трикутнику, звідти можна обчислити і кут β через тригонометричні відносини сторін. Кут α можна знайти з рівнобедреного трикутника, утвореного двома утворюючими та діаметром, відібравши зі 180 градусів два кути β. (рис.40.1, 40.2) h=√(l^2-r^2 ) cos⁡β=r/l α=180°-2β Площа бічної поверхні конуса дорівнює добутку напівпериметра основи на твірну чи добутку числа π на радіус і твірну .Щоб знайти площу повної поверхні, знаючи радіус і утворює конуса, необхідно додати до площі бічної поверхні добуток числа π на квадрат радіусу, що є площею основи конуса. S_(б.п.)=πrl S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r) Об'єм конуса, як і обсяг піраміди розраховується як одна третина основи, помножена на висоту. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3 Радіус сфери, вписаної в конус, обчислюється як добуток висоти на радіус конуса, поділений на суму радіусу і утворює. Радіус сфери, описаної навколо конуса, є відношенням квадрата, що утворює до подвоєної висоти. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=(r√(l^2-r^2))/(l+r) R=l^2/2h

Конус. Формули, ознаки та властивості конуса

Конус - Це геометричне тіло, яке утворене сукупністю всіх променів, що виходять з точки і перетинають будь-яку плоску поверхню. У місці перетину утворюється основа конуса.

Елементи конуса

Визначення. Основа конуса - це площина, утворена в результаті перетину плоскої поверхні та всіх променів, що виходять з вершини конуса. У конуса можуть бути такі основи, як коло, еліпс, гіпербола та парабола.

Визначення. Утворюючий конус (L) називається будь-який відрізок, який з'єднує вершину конуса з межею основи конуса. Утворює відрізок променя, що виходить з вершини конуса.

Формули. Довжина утворює (L) прямого кругового конуса через радіус R і висоту H (через теорему Піфагора):

Визначення. Бічна поверхня Конуси - це сукупність всіх утворюють конуси.Тобто, поверхня, яка утворюється рухом утворює по напрямній конусу.

Визначення. Висота конуса (H) - це відрізок, який виходить із вершини конуса і перпендикулярний до його основи.

Визначення. Ось конуса (a) - це пряма, що проходить через вершину конуса та центр основи конуса.

Визначення. Конусність (С) конуса - це відношення діаметра основи конуса до його висоти. У випадку зрізаного конуса - це відношення різниці діаметрів поперечних перерізів D і d зрізаного конуса до відстані між ними:

де C - конусність, D - діаметр основи, d - діаметр меншої основи і h - відстань між основами.

Конусність характеризує гостроту конуса, тобто кут нахилу, що утворює до основи конуса. Чим більша конусність, тим гостріший кут нахилу. кут конуса α буде:

Визначення. Осьовий переріз конуса - це переріз конуса площиною, що проходить через вісь конуса. Такий переріз утворює рівнобедрений трикутник, у якого сторони утворені утворюючими, а основа трикутника – це діаметр основи конуса.

Визначення. Стосовна площина до конуса - це площина, що проходить через утворюючу конуса і перпендикулярна до осьового перерізу конуса.

Визначення. Конус, що спирається на коло, еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно круговим, еліптичним, гіперболічним або параболічним конусом (останні два мають нескінченний обсяг).

Визначення. Прямий Конус - це конус у якого вісь перпендикулярна основі. У такого конуса вісь збігається з висотою, а всі ті, що утворюють рівні між собою.

Формули. Загальна площа поверхні (S_p) прямого кругового конуса через радіус R і довжину утворює L:

Визначення. Косий (похилий) Конус - це конус у якого вісь не перпендикулярна основі. У такого конуса вісь не збігається з висотою.

Визначення. Усічений Конус - це частина конуса, яка знаходиться між основою конуса і площиною перерізу, паралельна основі.

де S₁ та S₂ - площі меншої та більшої основи відповідно, а H та h - відстань від вершини конуса до центру нижньої та верхньої основи відповідно.

Рівняння конуса

2. Рівняння прямого еліптичного конуса в системі декартової координат з координатами ( x, y, z ):

Основні властивості кругового конуса

2. При обертанні прямокутного трикутника навколо свого катета на 360° утворюється прямий круговий конус.

3. При обертанні рівнобедреного трикутника навколо своєї осі на 180° утворюється прямий круговий конус.

4. У місці перетину конуса площиною, паралельною до основи конуса, утворюється коло. (Див. Зрізаний конус)

5. Якщо при перетині площина не паралельна основі конуса і не перетинається з основою, то в місці перетину утворюється еліпс (рис. 3).

6. Якщо площина перерізу проходить через основу, то у місці перетину утворюється парабола (рис. 4).

7. Якщо площина перерізу проходить через вершину, то у місці перетину утворюється рівнобедрений трикутник (див. осьовий переріз).