Стрічка Мебіуса

Як і в будь-якій науці, в математиці існує своєрідний «золотий фонд», скарбничка, в яку століттями дбайливо складаються різні математичні чудеса, дивацтва та парадокси, найвідомішим з яких, мабуть, є знаменита стрічка Мебіуса. Її в 1858 практично одночасно, не змовляючись, придумали і втілили в життя німецькі математики і астрономи Август Фердинанд Мебіус і Йоганн Бенедикт Лістинг. Незважаючи на подвійне авторство, стрічці було надано ім'я лише одного з винахідників, що автоматично залишило другого в тіні.

Отже, взявши довгу смугу паперу, математик, повернувши один її кінець на 180 градусів (перекрутивши один раз), склеїв її з іншим кінцем, отримавши таким чином односторонню стрічку (до речі, кожному з нас під силу створити, за Мебіусом цю дивину). Доказ односторонності отримати дуже просто: достатньо провести по паперу безвідривну олівцеву лінію, щоб, повернувшись у вихідне місце, переконатися, що вся стрічка повністю зафарбована олівцем. Таким чином, «подорож» з однієї точки стрічки до іншої не вимагала від нас перетину її краю. Залежно від того, в яку сторону закручена стрічка, розрізняються праві та ліві стрічки Мебіуса.

Якщо продовжити експеримент і розрізати стрічку Мебіуса точно посередині, то, очікуючи отримати в результаті дві стрічки, ми з подивом виявимо ще більше закручену довгу двосторонню «афганську стрічку», розрізавши яку ще раз, отримаємо дві намотані один на одного стрічки. Не зупиняючись на досягнутому, спробуємо (попередньо склеївши нову стрічку Мебіуса) розрізати паперову смугу, відступивши від краю третину її ширини.У нас в руках залишаться два «спаяні» кільця, одне з яких (тонке) — класична стрічка Мебіуса, а широка — «афганська». Одним словом, чим більше півобертів у стрічці Мебіуса, тим більш химерні та вигадливі фігури – парадромні кільця – вийдуть у результаті.

Найближчими родичками стрічки Мебіуса є пляшка Клейна (про неї читайте у відповідній статті цього розділу) та сфера з плівкою. Пляшка Клейна є об'єднанням (склеювання) пари стрічок Мебіуса по краях (з обов'язковим самоперетином у тривимірному просторі), а сфера з плівкою — це результат склеювання з поєднанням меж диска зі стрічкою Мебіуса.

Було б помилкою вважати, що стрічка Мебіуса існує виключно для розваги: ​​це не дозвільна дрібничка, завдяки якій можна уникнути зайвих проблем. Стрічковий конвеєр, наприклад, працюватиме довше та ефективніше, якщо виконати його у вигляді стрічки Мебіуса; при необхідності записувати дані на безперервну плівку, варто віддати перевагу формі стрічки Мебіуса і т.д. Крім того, ця дивовижна стрічка стала основою для великої кількості фантастичних моторошних історій про перетворення, наприклад, метрополітену на стрічку Мебіуса, внаслідок чого поїзди безслідно і надовго зникали з нашого світу.

Стрічка Мебіуса – дивовижне відкриття

Практично всі знають, як виглядає символ нескінченності, що нагадує перевернуту вісімку. Цей знак називають ще «лемніската», що з давньогрецької означає стрічка. Уявіть собі, що символ нескінченності дуже схожий на реальну математичну фігуру. Знайомтесь, Стрічка Мебіуса!

Що таке Стрічка Мебіуса?

Стрічка Мебіуса (або її ще називають петля Мебіуса, лист Мебіуса і навіть кільце Мебіуса) – одна з найвідоміших у математиці поверхонь. Петля Мебіуса – це петля з однією поверхнею та одним краєм.

Щоб зрозуміти, про що йдеться, і як таке може бути, візьміть аркуш паперу, виріжте смужку прямокутної форми і в момент з'єднання її кінців перекрутіть на 180 градусів один з них, після чого з'єднайте. Розібратися в тому, як зробити стрічку Мебіуса допоможе малюнок нижче.

Що ж такого примітного у стрічці Мебіуса?

Стрічка Мебіуса – приклад неорієнтованої односторонньої поверхні з одним краєм у звичайному тривимірному Евклідовому просторі. Більшість предметів є орієнтованими, що мають дві сторони, наприклад, аркуш паперу.

Як тоді стрічка Мебіуса може бути неорієнтованою, односторонньою поверхнею - скажете ви, адже папір, з якого вона зроблена має дві сторони. А ви спробуйте взяти маркер і заповнити кольором одну зі сторін стрічки, в кінцевому підсумку ви впертеся в початкову позицію, причому вся стрічка виявиться цілком зафарбованою, що підтверджує наявність у неї лише однієї сторони.

Щоб повірити в те, що у петлі Мебіуса всього один край - проведіть пальцем по одному з граней стрічки не перериваючись, і Ви так само, як і у випадку з розфарбовуванням, упріться в точку, з якої почали рухатися. Дивно, чи не так?

Вивченням стрічки Мебіуса та безлічі інших цікавих об'єктів займається – топологія, розділ математики, який досліджує постійні характеристики об'єкта за його безперервної деформації – розтягуванні, стисканні, згинанні, без порушення цілісності.

Відкриття Серпня Мебіуса

«Батьком» відкривачем цієї незвичайної стрічки визнано німецького математика Серпень Фердинанд Мебіус, учень Гаусса, який написав не одну роботу з геометрії, але прославився переважно відкриттям односторонньої поверхні у 1858 році.

Дивним є той факт, що стрічку з однією поверхнею в той самий 1858 відкрив другий учень Гаусса - талановитий математик Йоганн Лістинг, що вигадав термін «топологія» і написав серію основних праць з цього розділу математики. Проте свою назву незвичайна стрічка все ж таки отримала на прізвище Мебіуса.

Є поширена думка, що прообразом моделі «нескінченної петлі» стала неправильно пошита стрічка служницею професора Августа Мебіуса.

Насправді, Стрічка була відкрита давним-давно ще у стародавньому світі. Одним із підтверджень служить давньоримська мозаїка, що знаходиться у Франції, в музеї міста Арль з такою самою перекрученою стрічкою. На ній намальований Орфей, який зачаровує звірів звуками арфи. На фоні неодноразово зображений орнамент із перекрученою стрічкою.

"Магія" стрічки Мебіуса

1. Незважаючи на наявність у листа Мебіуса двох сторін, насправді сторона всього одна, і розфарбувати в два кольори стрічку не вийде.
2. Якщо ручкою або олівцем накреслити по всій довжині петлі лінію, не відриваючи руку від листа, то грифель зрештою зупиниться у точці, з якою Ви почали креслити лінію;
3. Примітні досліди виходять при розрізанні стрічки, здатні здивувати як дорослу, так і дитину особливо.

• Спочатку склеїмо стрічку Мебіуса, як було розказано раніше. Потім розріжемо її вздовж по всій довжині рівно посередині, як показано нижче:

Вас добряче здивує результат, адже всупереч очікуванням у руках залишиться не два відрізки стрічки, і навіть не два окремі кола, але інша, ще довша стрічка.Це вже не стрічка Мебіуса, перекручена на 180 градусів, а стрічка з поворотом на 360 градусів.

• Тепер проведемо інший експеримент – зробимо ще одну петлю Мебіуса, після чого відміряємо 1/3 ширини стрічки та відріжемо по цій лінії. Результат вразить вас ще більше - в руках залишаться дві окремі стрічки різних розмірів, з'єднані разом, як у ланцюжку: одна маленька стрічка, і довша друга.

У меншої стрічки Мебіуса буде 1/3 від початкової ширини стрічки, довжина L та поворот на 180 градусів. У другої довшої стрічки буде також ширина 1/3 від початкової, але довжина 2L, а поворот на 360 градусів.

• Можна і далі продовжувати експеримент, розрізаючи стрічки на ще вужчі, результат побачите самі.

Навіщо потрібна петля Мебіуса? Застосування

Стрічка Мебіуса - зовсім не абстрактна фігура, потрібна лише для цілей математики, вона знайшла застосування і в реальному повсякденному житті. За принципом цієї стрічки функціонує в аеропорту стрічка, яка пересуває валізи з багажного відділення. Така конструкція дозволяє їй служити довше у зв'язку з рівномірним зношуванням. Відкриття Августа Мебіуса повсюдно використовується в станкобудуванні. Конструкцію використовують для більшого часу запису на плівку, а також у принтерах, що використовують стрічку під час друку.

Завдяки своїй наочності, петля Мебіуса дає можливість робити сучасним вченим все нові та нові відкриття. З моменту виявлення дивовижних властивостей петлі по всьому світу прокотилася хвиля запатентованих нових винаходів. Наприклад, значне поліпшення властивостей магнітних сердечників, виготовлених із феро-магнітної стрічки, намотаних за способом Мебіуса.

н.Тесла отримав патент на багатофазну систему змінного струму, використавши намотування котушок генератора на кшталт петлі Мебіуса.

Американський вчений Річард Девіс сконструював нереактивний резистор Мебіуса - здатний гасити реактивний (ємнісний та індуктивний) опір, не викликаючи електромагнітних перешкод.

Стрічка Мебіуса – широке поле для Натхнення

Важко оцінити важливість значення відкриття петлі Мебіуса, яке надихнуло не лише безліч учених, а й письменників, художників.

Найвідомішою роботою, присвяченою стрічці Мебіуса, вважається картина Moebius Strip II, Red Ants або Червоні Мурахи голландського художника-графіка Мауриця Ешера. На картині представлені мурахи, що дерються по петлі Мебіуса з обох боків, насправді одна сторона. Мурахи повзуть нескінченною петлею один за одним по одній і тій же поверхні.

Художник черпав свої ідеї зі статей та праць з математики, він був глибоко захоплений геометрією. У зв'язку з чим на його літографіях і гравюрах часто є різні геометричні форми, фрактали, приголомшливі оптичні ілюзії.

Досі інтерес до петлі Мебіуса перебуває на дуже високому рівні, навіть спортсмени запровадили однойменну фігуру найвищого лижного пілотажу.

За твором «Стрічка Мебіуса» письменника фантаста Арміна Дейча знято не один фільм. У формі петлі Мебіуса створюється безліч прикрас, взуття, скульптур та багатьох інших предметів і форм.

Аркуш Мебіуса наклав відбиток на виробництво, дизайн, мистецтво, науку, літературу, архітектуру.

Розум багатьох людей хвилювала схожість форми молекули ДНК і петлі Мебіуса. Існувала гіпотеза, яку висунув радянський цитолог Навашин, що форма кільцевої хромосоми за будовою аналогічна стрічці Мебіуса. На цю думку вченого наштовхнув той факт, що кільцева хромосома, розмножуючись, перетворюється на більш довге кільце, ніж на самому початку, або на два невеликі кільця, але як у ланцюгу протягнутих одне в інше, що дуже нагадує вище описані досліди з листом Мебіуса.

У 2015 році група вчених з Європи та США змогла закрутити світло в кільце Мебіуса. У науковому досвіді вчені використовували оптичні лінзи, і структуроване світло - сфокусований лазерний промінь з певною інтенсивністю та поляризацією в кожній точці свого руху. У результаті було отримано світлові стрічки Мебіуса.

Є ще одна масштабніша теорія. Всесвіт – це величезна петля Мебіуса. Такої ідеї дотримувався Ейнштейн. Він припустив, що Всесвіт замкнутий, і космічний корабель, що стартував з певної її точки і що летить весь час прямо, повернеться в ту саму точку в просторі і часі, з якої і почався його рух.

Поки що це лише гіпотези, які мають як прибічники, і противники. Хто знає, до якого відкриття підведе вчених, начебто, такий простий об'єкт, як Стрічка Мебіуса.