Як знайти ймовірність події та розрахувати шанси, перестановки та комбінації

Теорія ймовірностей - це цікава галузь статистики, що стосується шансів або ймовірностей події, що відбувається у випробуванні, наприклад, отримання шістки при киданні кубика або витягування червового туза з колоди карт. Щоб вирахувати шанси, нам також необхідно мати уявлення про перестановки та комбінації. Математика не така вже складна, тому читайте далі, і ви можете стати просвітленими!

Що у цьому посібнику:

• Рівняння для розробки перестановок та комбінацій
• Очікування події
• Закони складання та множення ймовірностей
• Загальний біномний розподіл
• Розрахунок ймовірності виграшу у лотерею

Визначення

Перш ніж ми почнемо, розглянемо кілька ключових термінів.

• Ймовірність - це міра ймовірності настання події.
• Пробний експеримент чи випробування. Наприклад, кинути кістки чи монету.
• Результат є результатом випробування. Наприклад, кількість кинутих кубиків або карту, витягнуту з перемішаної колоди.
• Подія є наслідком інтересу. Наприклад, отримання 6 в результаті кидка кістки або туза.

blickpixel, зображення з суспільного надбання через Pixabay

Яка ймовірність події?

Є два типи ймовірностей: емпіричний та класичний.

Якщо A - подія, що цікавить, то ми можемо позначити ймовірність настання A як P (A).

Емпірична ймовірність

Це визначається шляхом проведення серії випробувань. Так, наприклад, перевіряється партія продуктів і відзначається кількість дефектних елементів плюс кількість прийнятних елементів.

Якщо буде n випробувань

а А - подія, що цікавить

Тоді, якщо подія A відбувається x раз

Приклад: зразок з 200 продуктів тестується та виявлено 4 дефектні елементи. Яка ймовірність того, що товар виявиться несправним?

Класична ймовірність

Це теоретична ймовірність, яку можна визначити математично.

Приклад 1: Які шанси отримати 6 під час кидання кубиків?

У цьому прикладі є тільки один спосіб випадання 6 і 6 можливих результатів, тобто 1, 2, 3, 4, 5 або 6.

Приклад 2: Яка можливість витягнути 4 з колоди карт за одну спробу?

Є 4 способи випадання 4: 4 черви, 4 піки, 4 бубни або 4 трефи.

Так як є 52 карти, в 1 випробуванні є 52 можливі результати.

Зображення у суспільному надбанні через Pixabay

Чого чекати від події?

Після визначення ймовірності можна отримати оцінку того, скільки подій може статися у майбутніх випробуваннях. Це відомо як очікування та позначається E.

Якщо подія – А, а ймовірність настання А – P(A), то для N випробувань очікування буде:

Для простого прикладу кидка кістки ймовірність випадання шістки дорівнює 1/6.

Отже, у 60 випробуваннях очікування або кількість очікуваних 6 складає:

Пам'ятайте, очікування – це не те, що насправді станеться, а те, що може статися. У 2 кидків кубиків, очікування отримання 6 (а не дві шістки) є:

Однак, як ми всі знаємо, цілком можливо отримати дві шістки поспіль, хоча ймовірність складає всього 1 з 36 (див., як це працює пізніше). У міру збільшення N фактична кількість подій, що відбуваються, наближається до очікуваного. Так, наприклад, при підкиданні монети, якщо монета не зміщена, кількість орлів буде приблизно дорівнює кількості рішок.

Ймовірність події A

P(A) = Кількість способів виникнення події, поділена на загальну кількість можливих результатів

Зображення у суспільному надбанні через Pixabay

Успіх чи невдача?

Імовірність події може змінюватись від 0 до 1.

Отже, для кидка кістки

Якщо у 100 зразках 999 відмов

Імовірність 0 означає, що подія ніколи не станеться.

Імовірність 1 означає, що подія обов'язково станеться.

У випробуванні, якщо подія A була успішною, тоді невдача не A (не успіх)

Незалежні та залежні події

Події є незалежними, якщо виникнення однієї події не впливає на ймовірність іншої події.

Дві події є залежними, якщо виникнення першої події впливає на ймовірність виникнення другої події.

Для двох подій A і B, де залежить від A, ймовірність того, що подія B відбудеться після A, позначається P (BA).

Взаємовиключні та невиключні події

Взаємовиключні події - це події, які можуть відбуватися разом. Наприклад, при кидку гральних кісток числа 5 та 6 не можуть зустрічатися разом. Інший приклад - виймання кольорових цукерок із банки. якщо подія вибирає червону насолоду, а інша подія вибирає синю насолоду, якщо вибрано синю солодку, вона також не може бути червоною насолодою, і навпаки.

Взаємовиключні події - Це події, які можуть відбуватися разом. Наприклад, коли карта береться з колоди, а подія – чорна карта чи карта туза. Якщо випаде чорний колір, це виключає його туза. Так само, якщо витягли туз, це не виключає його із чорної карти.

Додатковий закон ймовірності

Взаємовиключні події

Для взаємовиключних (вони не можуть відбуватися одночасно) подій A та B

Приклад 1: банку для солодощів містить 20 червоних цукерок, 8 зелених цукерок та 10 синіх цукерок. Якщо пікети вибрано дві цукерки, яка ймовірність вибрати червону чи синю цукерку?

Вибір червоного солодкого та вибору синього солодкого є взаємовиключними.

Всього солодощів 38, разом:

Приклад 2: кидається кубик і витягується карта із колоди. Яка ймовірність отримання 6 чи туза?

Є тільки один спосіб отримати 6, так що:

У колоді 52 карти та чотири способи отримати туз. Також розіграш туза є незалежною подією для отримання 6 (раніше подія на це не впливає).

Пам'ятайте, що завдання такого типу важливе формулювання питання. Таким чином, питання полягало в тому, щоб визначити ймовірність настання однієї події або іншої події, і тому використовується закон складання ймовірностей.

Взаємно невиключні події

Якщо дві події A і B не виключають одна одну, то:

..або альтернативно в позначеннях теорії множин, де «U» означає об'єднання множин A і B, а «∩» означає перетин A і B:

Фактично ми маємо відняти взаємні події, які мають «подвійний рахунок». Ви можете думати про дві ймовірності як про множини, і ми видаляємо перетин множин і обчислюємо об'єднання множини A і множини B.

Приклад 3: монета підкидається двічі. Розрахуйте можливість отримати голову в будь-якому з двох випробувань.

У цьому прикладі ми могли отримати перевагу в одному випробуванні, у другому випробуванні або обох випробуваннях.

Нехай H ₁ - це подія голови у першому випробуванні, а H ₂ - подія голови у другому випробуванні.

Є чотири можливі результати: HH, HT, TH і TT, і лише односторонні решки можуть з'явитися двічі. Отже, P (H ₁ та H ₂) = 1/4

Додаткові відомості про взаємовиключні події див.У цій статті:

Тейлор, Кортні. «Вірогідність об'єднання 3 або більше множин». ThoughtCo, 11 лютого 2020 р., thinkco.com/probability-union-of-three-sets-more-3126263.

Закон ймовірності множення

Для незалежних (перше випробування не впливає на друге випробування) подій А та Б

Приклад: кидається гральний кубик та виймається карта з колоди. Яка можливість отримати 5 і карту піки?

У колоді 52 карти та 4 масті або групи карт, тузи, піки, трефи та бубни. У кожній масті по 13 карток, тому є 13 способів отримати лопату.

Отже, P (витягування лопати) = кількість способів одержати лопату/загальну кількість результатів.

Отже, P (отримуючи 5 і витягуючи лопату)

Знову важливо відзначити, що у питанні було використано слово «і», тому було використано закон множення.

Рекомендовані книги

Позначимо ймовірність ненастання події чи відмови через q

Нехай кількість успіхів дорівнює r

А n – кількість випробувань

Рівняння для біномного розподілу

Приклад: які шанси отримати 3 шістки за 10 кидків кістки?

Є 10 випробувань і 3 події, що становлять інтерес, тобто успіхи, так що:

Імовірність випадання 6 при кидку кістки становить 1/6, тому:

Імовірність не отримати кидок кістки:

Зверніть увагу, що це можливість отримати рівно три шістки, а не більше і не менше.

Зображення у суспільному надбанні через Pixabay

Виграш у лотерею! Як розрахувати шанси

Ми всі хотіли б виграти в лотерею, але шанси на виграш лише трохи перевищують 0. Однак «Якщо тебе немає, ти не зможеш виграти» і невеликий шанс кращий за його відсутність!

Візьмемо, наприклад, лотерею штату Каліфорнія. Гравець має вибрати 5 чисел від 1 до 69 та 1 номер Powerball від 1 до 26.Таким чином, це фактично вибір 5 номерів із 69 номерів та вибір 1 числа від 1 до 26. Щоб розрахувати шанси, нам потрібно працювати кількість комбінацій, а не перестановок, оскільки не має значення, яким чином числа розташовані для виграшу.

Кількість комбінацій r об'єктів дорівнює n C _r = n! / ((п-г)! г!)

Таким чином, існує 11238513 можливих способів вибрати 5 номерів з 69 можливих.

З 26 можливих варіантів вибирається лише 1 номер Powerball, тому є лише 26 способів зробити це.

Для кожної можливої ​​комбінації 5 чисел із 69 є 26 можливих номерів Powerball, тому щоб отримати загальну кількість комбінацій, ми множимо дві комбінації.

Використана література:

Страуд, KA, (1970) Інженерна математика (3-тє вид., 1987) Macmillan Education Ltd., Лондон, Англія.

Запитання та відповіді

Запитання: Кожен знак має дванадцять різних можливостей і має три знаки. Які шанси, що будь-які дві людини розділять усі три знаки? Примітка: знаки можуть бути різними, але наприкінці дня кожна людина поділяє три знаки. Наприклад, в однієї людини Риби можуть бути знаком Сонця, Терези - висхідним знаком, а Діва - Місяцем. З іншого боку можуть бути Сонце Терези, Схід у Рибах і Місяць у Діві.

Відповідь: Існує дванадцять можливостей, кожна з яких може мати три знаки = 36 перестановок.

Але тільки половина з них - унікальна комбінація (наприклад, Риби та Сонце - це те саме, що Сонце та Риби).

так що це 18 перестановок.

Імовірність того, що людина отримає одну з цих домовленостей, становить 1/18.

Імовірність того, що 2 особи використовують усі три знаки, становить 1/18 x 1/18 = 1/324.

Запитання: Я граю в гру з 5 можливими наслідками. Передбачається, що наслідки випадкові.Заради аргументації назвемо результати 1, 2, 3, 4 та 5. Я грав у цю гру 67 разів. Мої результати були: 1 18 разів, 2 9 разів, 3 нульові рази, 4 12 разів і 5 28 разів. Я дуже засмучений тим, що не отримав 3. Які шанси не отримати 3 із 67 спроб?

Відповідь: Оскільки ви виконали 67 випробувань і кількість трійок дорівнювала 0, то емпірична ймовірність отримання трійки становить 0/67 = 0, тому ймовірність не отримати трійку становить 1-0 = 1.

У більшій кількості випробувань результат може бути 3, тому шанси не отримати 3 будуть меншими за 1.

Запитання: Що якщо хтось запропонує вам ніколи не викидати трійку? Якби ви кинули кістки 18 разів, якою була б емпірична ймовірність ніколи не отримати трійку?

Відповідь: Імовірність не отримати 3 становить 5/6, оскільки є п'ять способів не отримати 3 і є шість можливих результатів (імовірність = кількість способів, якими може статися подія/відсутність можливих результатів). У двох випробуваннях ймовірність не отримати 3 у першому випробуванні І не отримати 3 у другому випробуванні (акцент на "і") буде 5/6 x 5/6. У 18 випробуваннях ви продовжуєте множити 5/6 на 5/6, тому ймовірність буде (5/6) ^ 18 або приблизно 0,038.

Запитання: У мене є 12-значний сейф із ключами, і я хотів би знати, яку довжину найкраще встановити для відкриття 4,5,6 чи 7?

Відповідь: Якщо ви маєте на увазі встановлення 4,5,6 або 7 цифр для коду, 7 цифр, звичайно, матимуть найбільшу кількість перестановок.

Запитання: Якщо у вас дев'ять результатів і вам потрібно три конкретні числа, щоб виграти без повторення числа, скільки комбінацій буде?

Відповідь: Це залежить від кількості n об'єктів у наборі.

Загалом, якщо у вас є n об'єктів у наборі і ви робите вибірки по r за раз, загальна можлива кількість комбінацій чи вибірок складає:

У прикладі r дорівнює 3

Кількість спроб - 9

Імовірність будь-якої конкретної події становить 1/nCr, а очікування кількості виграшів буде 1/(nCr) x 9.

© 2016 Юджін Бреннан

Розрахунок Імовірності

Розрахунок ймовірності допоможе вам розрахувати ймовірність події з урахуванням усіх подій. Інструмент також визначає ймовірність однієї події, кількох подій, двох подій, серії подій та умовних подій.

Що таке ймовірність у статистиці?

"Це ймовірність того, що відбудеться незалежна подія або кілька подій"

формула ймовірності:

Загальний:

P(A) = кількість сприятливих результатів/загальна кількість сприятливих результатів

Р(А) = п(Е)/п(S)

• P(A) = Можливість події «A»
• n(E) = кількість сприятливих результатів
• n(S) = кількість ексклюзивних подій у вибірці

Інші основні рівняння:

Наступні формули ймовірності ґрунтуються на ймовірності двох незалежних випадкових подій A і B, таких як:

Діапазон ймовірності:

Правило додавання:

Правило додаткових заходів:

Непересічні події:

Незалежні випадкові події:

Умовна можливість:

Формула Байєса:

Р(А | В) = Р(В | А) ⋅ Р(А) / Р(В) Калькулятор, наведений вище, також враховує ці рівняння для розрахунку ймовірності подій або однієї події по відношенню до іншого.

Додатки: (A' та B')

Припустимо, у вас є дві ймовірності A і B такі, що:

• P(A') = Імовірність події, позначеної P(A'), не відбудеться.
• P(B') = Імовірність події, позначеної P(B'), не відбудеться.

Приклад:

Якщо ймовірність виняткової події того, що Джек не прийшов до коледжу, дорівнює 0,24, то ймовірність того, що Джек прийшов до коледжу, дорівнює:

Р(А') = 1 - Р(А) = 1 - 0,24 = 0,76

Перетин A та B:

Перетин означає спільну ймовірність двох або більше подій, які відбуваються виключно одночасно, як показано на діаграмі Венна вище.

Приклад:

Припустимо, що у вас у мішку 15 кульок. З них 3 фіолетового кольору та 12 червоного. Яка загальна ймовірність усіх кульок?

• Імовірність того, що намальована кулька фіолетового кольору = 3/15 = 0,2.
• Імовірність того, що витягнута кулька червона = 12/15 = 0,8.

Імовірність витягнути червону кульку, враховуючи, що фіолетова кулька визначається як: Р(В|А) = 12/14 Р(В|А) = 0,85

Імовірність перетину = P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = (0,2) × (0,85) = 0,17

Союз А та Б:

Об'єднання означає виникнення всіх виняткових незалежних подій та розраховується калькулятором ймовірностей на основі виразу:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Приклад:

Припустимо, ви кинули гральну кістку, для якої вам потрібно обчислити ймовірність того, що число, що випало, буде або непарним, або кратним 2. Отже, ми маємо:

Імовірність непарного числа:

Імовірність кратного 2:

P(B) = = 3/6 = 1/2 = 0,5 Р(А ∩ В) = 0

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Р(АВБ) = 0,5 + 0,5 - 0 Р(АВ) = 1

Як використовувати калькулятор?

Калькулятор вище дуже простий у використанні. Для розрахунку результатів потрібні певні команди як вхідні дані, які включають:

Дані, які необхідно ввести:

• Виберіть тип ймовірності, яку потрібно розрахувати
• Тепер укажіть необхідні значення у відповідних полях.
• Натисніть «Розрахувати»

Результати, які ви отримаєте:

Розрахунок ймовірності дає вам ймовірність виникнення однієї незалежної випадкової події по відношенню до іншої події.

• Імовірність події, яка станеться P(A) і не станеться P(A') як у десяткових, так і у відсоткових виразах.

При цьому калькулятор визначає ймовірність різних ймовірнісних збігів, які включають:

• Обидві події відбуваються P(A ∩ B)
• Або події, що відбуваються P(A ∪ B)
• Умовна ймовірність P(A | B)
• Або події, що відбуваються P(A ∪ B)
• Зустрічається A або B, але не обидва P(AΔB)
• Ні A, ні B не зустрічаються P((A∪B)')
• Б відбувається, але не

Важливі питання:

Як знайти можливість за допомогою відсотків?

Якщо ви хочете обчислити ймовірність у відсотках, вам слід вирішити завдання, як завжди.

Якщо я кину гральну кістку 6 разів, яка ймовірність?

Існує 66,5-відсоткова ймовірність того, що хоч один раз випаде цифра 6.

Як мені перетворити шанси у відсотки?

Перетворіть це непарне число на еквівалентний десятковий запис. Помножте десяткове число на 100, щоб отримати відсоток.

Таблиця ймовірностей: