Як знайти Sбік усіченої піраміди?

Усічену піраміду можна отримати, якщо піраміду перетнути площиною, паралельної площині основи.

На рис дано зображення чотирикутної усіченої піраміди.

Усічені піраміди також називаються трикутними, чотирикутними, п-кутовими залежно від числа сторін основи. З побудови усіченої піраміди випливає, що вона має дві основи: верхню та нижню. Підстави зрізаної піраміди - два багатокутники, сторони яких попарно паралельні. Бічні грані зрізаної піраміди - трапеції.

Висотою усіченою піраміди називається відрізок перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки верхньої основи до площини нижньої.

Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та площиною перерізу, паралельною основі. Висота бічної грані правильної усіченої піраміди (трапеції) називається апофемою.

Можна довести, що у правильної зрізаної піраміди бічні ребра рівні, всі бічні грані рівні, всі апофеми рівні.

Якщо у правильній усіченій n-вугільній піраміді через а і b_n позначити довжини сторін верхньої та нижньої основ, а через h - Довжину апофеми, то площа кожної бічної грані піраміди дорівнює

Сума площ усіх бічних граней піраміди називається площею її бічної поверхні та позначається S_бік. . Очевидно, що для правильної усіченої n-вугільної піраміди

S_бік. = n • 1 /₂( а + b_n ) h .

Бо па = Р і nb_n = Р₁ - периметри основ усіченої піраміди, то

т. е. площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює половині добутку суми периметрів її підстав на апофему.

Якщо піраміду перетнути площиною, паралельною до основи, то:

1) бічні ребра та висота поділяться на пропорційні частини;

2) у перерізі вийде багатокутник, подібний до основи;

3) площі перерізу та основи відносяться, як квадрати їх відстаней від вершини.

Додати коментар

Цей сайт використовує Akismet для боротьби зі спамом. Дізнайтеся, як ваші дані коментарів обробляються.

Усічена піраміда

Навколо нас багато прикладів усічених пірамід. Наприклад, витяжка над кухонною плитою має форму зрізаної піраміди, клавіші клавіатури та інші предмети. У цьому відеофрагменті ми докладно розглянемо таку фігуру, як усічена піраміда: як вона виходить, які властивості має. Окремо розглянемо правильну усічену піраміду, її властивості.

На даний момент ви не можете подивитися чи роздати відеоурок учням

Щоб отримати доступ до цього та інших відеоуроків комплекту, потрібно додати його до особистого кабінету.

Отримайте неймовірні можливості

Конспект уроку "Усічена піраміда"

Минулими уроками ми працювали з пірамідами. Згадаймо, який багатогранник називається пірамідою, що таке правильна піраміда, згадаємо властивості правильної піраміди.

Багатогранник, складений з -кутника та трикутників, називається пірамідою.

Піраміда називається правильноюякщо її основа – правильний багатокутник.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему.

Усі бічні ребра правильної піраміди дорівнюють, а бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.

Нехай нам дана піраміда PA₁A₂…A_n. Проведемо січну площину β, паралельну площині основи піраміди і нехай ця площина перетинає бічні ребра в точках B_1,B₂,…, B_n.

Площина розбиває піраміду на дві фігури: піраміду PB₁B₂…B_n та багатогранник. Багатогранник, гранями якого є n-кутники A₁A₂…A_n та B₁B₂…B_nрозташовані в паралельних площинах і n чотирикутників A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n називається усіченою пірамідою.

Навколо нас багато прикладів усічених пірамід. Витяжка над кухонною плитою має форму усіченої піраміди. клавіші клавіатури та інші предмети.

Відрізки A₁B₁,…, A_nB_n називаються бічними ребрами усіченої піраміди.

Усічену піраміду позначають так A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n. Візьмемо на верхній підставі довільну точку C і з цієї точки опустимо перпендикуляр на нижню основу. Цей перпендикуляр називається висотою усіченої піраміди.

Тепер давайте доведемо, що бічні грані усіченої піраміди – це трапеції.

Для доказу розглянемо грань A₁A₂B₂B₁. Зрозуміло, що для інших бічних граней доказ буде проводитись аналогічно.

Оскільки січна площина проводилася паралельно площині основи, можна записати, що A₁A₂ паралельно B₁B₂. Очевидно, що дві інші сторони чотирикутника A₁A₂B₂B₁ не паралельні (вони перетинаються у точці P). Виходить, що цей чотирикутник – трапеція. Очевидно, що всі інші бічні грані також будуть трапеціями.

Як і у випадку з пірамідою, усічена піраміда також може бути правильною.

Усічена піраміда називається правильною, якщо вона отримана перетином правильної піраміди площиною, паралельною до основи.

Підставами зрізаної піраміди є правильні багатокутники, а бічні грані – рівнобедрені трапеції.

Висоти цих трапецій називаються апофемами.

Об'єднання бічних граней називається бічною поверхнею зрізаної піраміди, а об'єднання всіх граней називається повною поверхнею усіченої піраміди. Тоді площею бічної поверхні піраміди називається сума площ її бічних граней.

А площею повної поверхні піраміди називається сума площ усіх її граней.

Тепер давайте сформулюємо та доведемо теорему про площу бічної поверхні правильної усіченої піраміди.

Площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди дорівнює добутку напівсуми периметрів основи апофему.

Запишемо формулу для знаходження площі бічної поверхні усіченої піраміди.

Оскільки усічена піраміда правильна, отже, її гранями будуть рівнобедрені трапеції.

Площа рівнобедреної трапеції дорівнює добутку напівсуми підстав на висоту. Висота бічної грані є ніщо інше як апофема усіченої піраміди.

Підставимо все у вихідну формулу, винесемо половину апофеми за дужки, а в дужках згрупуємо сторони на підставах. Тоді отримаємо, що площа бічної поверхні дорівнюватиме добутку напівсуми периметрів підстав усіченої піраміди на апофему.

Що й потрібно було довести.

Вирішимо кілька завдань.

Завдання. Сторони основ правильної усіченої чотирикутної піраміди дорівнюють і . Висота піраміди дорівнює. Знайти площу бічної поверхні.

Вирішимо ще одне завдання.

Завдання. Піраміда перетнута площиною, паралельною основі. Довести що бічні ребра та висота піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини.

Що й потрібно було довести.

Вирішимо ще одне завдання.

Завдання. Правильна трикутна піраміда з висотою та стороною основи рівною розсічена площиною, що проходить через середину висоти паралельно основі. Знайти площу бічної поверхні отриманої усіченої піраміди.

Підіб'ємо підсумки уроку. Сьогодні на уроці ми познайомилися з такими поняттями як усічена піраміда, правильна усічена піраміда. Розглянули властивості правильної усіченої піраміди. Вирішили кілька завдань.