Переміщення тіла при прямолінійному рівноприскореному русі

Розглядаючи прямолінійний рівноприскорений рух на минулих уроках, ми вже багато чого дізналися про прискорення, швидкість та їх проекції. Прискорення як фізична величина описує швидкість зміни швидкості за певний проміжок часу.

Розрахувати його проекцію можна за формулою $a_x = \frac<\upsilon_x \space − \space \upsilon_>$. Швидкість при рівноприскореному русі змінюється (збільшується або зменшується) однаково за рівні проміжки часу. Її проекцію ми можемо розрахувати за такою формулою: $\upsilon_x = \upsilon_ \space + \space a_xt$.

Тепер ми перейдемо до переміщення тіла. На даному уроці ми доведемо, що площа під графіком проекції швидкості чисельно дорівнює проекції переміщення тіла і виведемо формулу для її розрахунку.

Переміщення та площа під графіком проекції швидкості

Коли ми розглядали рівномірний прямолінійний рух, проекцію вектора переміщення ми визначали за тією ж формулою, що і площа прямокутника, укладеного під графіком (рисунок 1).

А тепер погляньте на графік (відрізок AC) залежності проекції вектора швидкості від часу (рисунок 2). Тіло рухається із постійним прискоренням $a$ (при початковій швидкості $\upsilon_0$).

Рисунок 2. Графік залежності проекції вектора швидкості від часу при прямолінійному рівноприскореному русі

Чи проекція переміщення тіла в цьому випадку дорівнює площі фігури OACB під графіком проекції швидкості? Припустімо, що вони рівні один одному і доведемо це.

Для цього виділимо на осі часу Ot маленький проміжок часу db (Рисунок 3). З крапок d і b проведемо перпендикуляри до осі Ot до їхнього перетину з графіком проекції швидкості. Перпендикуляри перетнуть графік у двох точках: a і c. Швидкість тіла у точці a дорівнює $\upsilon_$, у точці c - $ \ upsilon_$.

Ми вибрали такий маленький проміжок часу db, Що проекція швидкості на ньому практично не змінюється. Сам рух у такому наближенні буде дуже схожим на рівномірненіби тепер наше тіло рухається з постійною швидкістю.

Отже, ми можемо розглядати ділянку ac як горизонтальний, а фігуру acbd як прямокутник. Тоді проекція переміщення, яке тіло зробило за проміжок часу db, чисельно дорівнює площі фігури acbd.

На такі вузькі прямокутники-смужки ми можемо розбити всю площу трапеції. OACB (Малюнок 4).

Зробимо висновок із вищесказаного.

Проекція вектора переміщення $s_x$ за проміжок часу, що відповідає відрізку OBчисельно дорівнює площі $S$ трапеції OACB і визначається за тією самою формулою, що і ця площа.

Висновок формули проекції переміщення

З курсу геометрії ми знаємо, що площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту (рисунок 5).

Наша трапеція OACB:

• основа $OA = \upsilon_$;
• основа $BC = \upsilon_x$;
• висота $OB = t$.

Виходить, що площа трапеції OACB дорівнює:
$S = \frac <\upsilon_<0x>\space + \space \upsilon_x> \cdot t$.

Площа $S$ буде чисельно дорівнює проекції переміщення $s_x$. Проекцію швидкості $\upsilon_x$ ми можемо виразити через проекцію прискорення $a_x$:
$\upsilon_x = \upsilon_ \space + \space a_xt$.

Підставимо ці вирази у формулу площі:
$S = s_x = \frac <\upsilon_\space + \space \upsilon_ \space + \space a_xt> \cdot t = \frac <2 \upsilon_\space + \space a_xt^2> = \upsilon_t \space + \ space \frac$.

Так ми отримали формулу векторної проекції переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі.

Вправи

Велосипедист з'їхав з гірки за $5\space з$, рухаючись із постійним прискоренням $0.5\frac$.Визначте довжину гірки, якщо відомо, що на початку спуску швидкість велосипедиста дорівнювала $18 \frac$.

Дано:
$\upsilon_ = 18 \frac$
$t = 5 \space з$
$a_x = 0.5 \frac$

СІ:
$\upsilon_ = 5 \frac$

Подивитися рішення та відповідь

Рішення:

В даному випадку довжина гірки — це і є переміщення велосипеда.

Розрахуємо це переміщення:
$l = s_x = \upsilon_t \space + \space \frac$,
$l = 5 \frac \cdot 5 \space з \space + \space \frac<0.5 \frac \cdot ^2> = 25 \space м \space + \space 6.25 \space м = 31.25 \space м$.

Відповідь: $l = 31.25 \space м$.

Поїзд, що йде зі швидкістю $15 \frac$, зупинився через $20 \space з$ після початку гальмування. Вважаючи, що гальмування відбувалося з постійним прискоренням, визначте переміщення поїзда за $20\space з $.

Дано:
$\upsilon_ = 15 \frac$
$t = 20 \space з$
$\upsilon_x = 0$

Подивитися рішення та відповідь

Рішення:

Тепер ми можемо розрахувати переміщення:
$s_x = \upsilon_t \space + \space \frac$,
$s_x = 15 \frac \cdot 20 \space з \space + \space \frac<−0.75 \frac \cdot ^2> = 300 \space м \space − \space 150 \space м = 150 \space м$.

Відповідь: $ s_x = 150 \ space м $.

Наведіть формулу $S = \frac <\upsilon_<0x>\space + \space \upsilon_x> \cdot t$ до вигляду $s_x = \frac<<\upsilon_x>^2 \space − \space <\upsilon_<0x> >^2>$.

Відповідь:

У формулі, яку треба отримати, немає часу $t$. Виразимо його з формули для проекції прискорення:
$a_x = \frac<\upsilon_x \space − \space \upsilon_<0x>>$,
$t = \frac<\upsilon_x \space − \space \upsilon_<0x>>$.

Підставимо в початкову формулу:
$S = s_x = \frac <\upsilon_\space + \space \upsilon_x> \cdot t = \frac <\upsilon_\space + \space \upsilon_x> \cdot \frac<\upsilon_x \space − \space \upsilon_> = \frac <(\upsilon_\space + \space \upsilon_x) \cdot (\upsilon_x \space − \space \upsilon_)>$.

Подивіться на чисельник. Тут ми можемо скористатися формулою скороченого множення:
$(a \space + \space b)(a \space − \space b) = a^2 \space − \space b^2$.

Так ми отримуємо потрібний вид формули:
$s_x = \frac <(\upsilon_\space + \space \upsilon_x) \cdot (\upsilon_x \space − \space \upsilon_)> = \frac<<\upsilon_x>^2 \space − \space <\upsilon_> ^2>$.

Часті питання

Чому дорівнює проекція вектора переміщення на графіку залежності проекції швидкості від часу за прямолінійного рівноприскореного руху?

Проекція вектора переміщення чисельно дорівнює площі фігури під графіком векторної проекції швидкості.

За якою формулою можна розрахувати проекцію вектора переміщення за прямолінійного рівноприскореного руху?

Проекцію вектора переміщення можна розрахувати за такою формулою:
$s_x = \upsilon_t \space + \space \frac$.

Проекція переміщення

Бо x x 0 , то S х 0 (позитивна).

х 0

S x = x – x 0 - проекція переміщення на вісь ОХ

Бо x 0 , то S х (Негативна).

x 0