Глава 10 БЕЗКОНЕЧНІСТЬ

Кожен, хто починає думати про числа, неминуче приходить до висновку, що існує безліч чисел, і зовсім незрозуміло, як можна його висловити. На допомогу приходить поезія. Ми можемо сказати, що чисел так багато, як піщинок в пустелі, як крапель води в океані або як мерехтливих зірок на небі. Але для математика такі порівняння марні. З точки зору математика, ми можемо до будь-якого числа додати одиницю і отримати наступне число, потім до отриманого числа додати одиницю і так далі. Оскільки в математиці немає жодних обмежень для операцій додавання, можна скласти будь-які два числа, і, отже, цей процес нескінченний. Таким чином, ми можемо взяти скільки завгодно велике число, додати

до нього одиницю та отримати ще більше. Ми можемо уявити число, довжина якого дорівнює відстані до дальньої зірки, але й до нього можна додати одиницю і отримати ще більше.

Послідовність цілих чисел, записаних у порядку 1, 2, 3… , являє собою нескінченність, тобто щось, що не має кінця. Тобто коли ми пишемо 1, 2, 3… Це означає «1, 2, 3 і далі нескінченно».

Так само ми можемо записати ряд цілих негативних чисел: -1, -2, -3… , Що означатиме «-1, -2, -3 і далі нескінченно» або ряд позитивних або негативних уявних чисел: +1i, +2i, +3i ... або -1i, -2i, -3i ...

А тепер давайте запишемо інший ряд чисел, ряд парних чисел: 2, 4, 6, 8 тощо. Скільки є парних чисел?

З погляду звичайного здорового глузду можна було б сказати, що парних чисел удвічі менше, ніж усіх цілих чисел, разом узятих, оскільки цілі числа поділяються на парні та непарні.Скажімо, з перших десяти чисел п'ять – парні, а п'ять – непарні.

Але це негаразд. Адже кількість цілих чисел нескінченна, і ми не можемо говорити про «половину нескінченності».

Розглянемо ряд парних чисел з іншого погляду. Яке б скільки завгодно велике число ми не виберемо, до нього завжди можна додати 2 і отримати число ще більше. Навіть якщо ми уявимо собі гігантське парне число, цифри якого простяглися до найдальшої зірки, ми і до нього зможемо додати 2 і отримати ще більше.

Те саме можна сказати про ряд непарних чисел 1, 3, 5, 7… і про ряд чисел, кратних 5, тобто 5, 10, 15, 20, 25…, і про ряд чисел, кратних мільйону, тобто 1 000 000, 2000000, 3000000 ... Всі ці ряди нескінченні, і, уявляючи такі ряди, ви складаєте уявлення про поняття «нескінченність».

Тим не менше, моє пояснення може вас не задовольнити. Адже здається настільки очевидним, що парних чисел має бути вдвічі менше, ніж цілих чисел взагалі, хай навіть їх число буде нескінченно, а чисел, кратних мільйону, має бути в мільйон разів менше, ніж усіх цілих чисел.

Але не завжди те, що здається очевидним, відповідає істині. Здавалося б, очевидно, що якщо людина стоїть обличчям на північ, її спина звернена на південь. Хто ж заперечуватиме проти цього? Але якщо він стоїть на Південному полюсі, це не відповідає істині. І його обличчя, і його спина буде звернено на північ.

Давайте таки розберемося з числами. Давайте з'ясуємо, яке співвідношення існує між парними числами і всією кількістю цілих чисел. Як це зробити, адже цілих чисел нескінченна кількість? Проте, метод для такого підрахунку існує.

Як ми зазвичай рахуємо об'єкти? Ми приписуємо кожному об'єкту певну кількість із зростаючої послідовності цілих чисел. Перший об'єкт — об'єкт номер один, другий — номер два тощо. Якщо останній об'єкт виявляється об'єктом номер десять, значить, у нас лише десять об'єктів.

А чи можна рахувати, не користуючись числами? Це майже те саме, що запитати: «А чи можна вважати, не рахуючи?» Як це не дивно, це можливо.

Уявімо, що навколо нас стоїть натовп кричучих дітлахів, яким ми повинні роздати льодяники. Ми не знаємо ні скільки дітей потребує льодяників, ні скільки льодяників у нас в коробці. Але робити нічого, і ми починаємо роздавати льодяники — по одному кожному малюкові. Якщо до того моменту, коли коробка спорожніє, кожен малюк смоктатиме смачний льодяник, значить, кількість льодяників дорівнювала кількості дітей. Якщо до того моменту, коли ми обдаруємо всіх малюків льодяниками, у нас в коробці ще залишаться льодяники, значить, кількість льодяників більша за кількість дітей. Якщо ж, навпаки, у нас не вистачить льодяників на всіх, це означатиме, що дітей більше, ніж льодяників.

Такий метод підрахунку, який полягає у порівнянні послідовних рядів (один льодяник проти однієї дитини, або одне парне число проти одного цілого числа), допоможе з'ясувати, чи рівні два ряди чисел, і якщо вони не рівні, то який ряд більший.

Напишемо ряд цілих чисел, а під ним ряд парних чисел:

Ми, що кожного цілого числа знайшлося парне число, причому його можна отримати, помноживши відповідне ціле число на 2.

Ми бачимо, що, як би багато чисел ми не написали, кожному цілому числу відповідає певне парне число і, навпаки, кожному парному числу відповідає певне ціле число (тобто кожній дитині дістається по одному льодянику).

Що це означає? Чи можемо ми стверджувати, що кількість парних чисел дорівнює кількості цілих чисел? Не зовсім так. Справа в тому, що коли йдеться про нескінченність, ми не можемо сказати, що одна нескінченність дорівнює іншій нескінченності. Але ми можемо стверджувати, що є відповідність один в один між послідовністю цілих чисел і послідовністю парних чисел, тобто послідовність парних чисел є однозначною з послідовністю цілих чисел. Це означає, що якщо ми порівняємо послідовність цілих чисел із послідовністю парних чисел, то для кожного цілого числа знайдеться своє парне число і навпаки.

Так само ми можемо порівняти послідовності цілих чисел і чисел, кратних мільйону. Для кожного цілого числа можна написати відповідне число, кратне мільйону, яке отримаємо множенням даного цілого числа на мільйон. Для 1 це буде 1 000 000, для 6 це буде 6 000 000, а для 234 - 234 000 000. Тобто можна сказати, що кожному цілому число відповідає число, кратне мільйону, або що ці дві послідовності відповідають один одному «один у один» або є взаємно однозначними. Будь-яка послідовність чисел, взаємно однозначна з послідовністю цілих чисел, називається лічильною. Послідовність цілих чисел також називається лічильною.

Нескінченність у малому

Коли йдеться про нескінченне, у нашій уяві виникає щось величезне і вічне, незрозуміле і, мабуть, марне.

Однак, навіть якщо ми маємо справу з малими числами, несподівано в нашому полі зору знову виникає поняття «нескінченність». Припустимо, нам треба розділити 1 на 1/10. Ми пам'ятаємо правило зворотних величин і знаємо, що розділити число на 1/10 це все одно, що помножити його на 10. Таким чином, 1 : 1/10 = 10, 1 : 1/ 100 = 100, 1: 1/1000 = 1000.

Тобто чим менше дільник при тому самому ділимому, тим більше приватне від поділу.

І дійсно, якщо ділити одиницю або будь-яке інше число на ряд чисел, що послідовно зменшуються, тобто стають все менше і менше, ми отримаємо ряд чисел (приватних від поділу), які стають дедалі більше. А коли дільник стає нескінченно малою величиною, то приватне від розподілу перетворюється на нескінченно більшу величину.

Ви можете запитати: що це таке «нескінченно мала величина»? Звичайно, найменшою величиною є нуль. Але мала величина може бути

дріб. Скажімо, 1/10 – це мала величина, 1/100 – ще менше, 1/1000 – ще менше, а 1/10000 – ще менше. Немає межі, до якої можна зменшувати величини. Але як би ви не збільшували кількість нулів у знаменнику, ви ніколи не досягнете нуля. Таким чином, коли ви ділите одиницю або якесь інше число на послідовність нескінченно зростаючих чисел, ви отримуєте послідовність нескінченно спадних чисел. Коли дільник стає нескінченно більшим числом, приватне стає нескінченно малим.

Зверніть увагу, що ми не можемо ділити числа на нуль. Ця операція в математиці не розглядається і причина дуже проста.Скажімо, яке приватне ми отримаємо від поділу 6 на 0? Інакше кажучи, яке число треба помножити 0, щоб отримати 6? Такого числа немає, отже, операція 6: 0 неможлива. Будь-яке число, помножене на нуль, дає нуль. Це означає, що ми можемо жодне число розділити на нуль.

Проміжок між двома числами, скажімо, між одиницею та двійкою, можна розділити на будь-яку кількість часток, на мільйон, трильйон тощо, нескінченно. Те саме можна зробити і з меншим інтервалом, скажімо, з інтервалом між ? і? або між 0,0000001 та 0,00000001.

Математики довели, що всі можливі дроби (тобто всі раціональні числа) можна розташувати таким чином, щоб отримати однозначну послідовність по відношенню до послідовності цілих чисел.

Для кожного цілого числа існуватиме відповідний дріб, і, навпаки, не може бути дробу без відповідного цілого числа. Таким чином, послідовності всіх можливих дробів є лічильними послідовностями.

Все ближче і ближче, і ближче

Розглянемо нескінченну послідовність дробів:

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512.

Зверніть увагу на те, що кожен наступний дріб дорівнює половині попередньої, оскільки знаменник щоразу подвоюється. (Якщо взяти будь-який дріб і розділити його на 2, наприклад 1/128 : 2, то це те саме, що помножити його на 1/2, тобто 1/128 : 2 = 1/128 ? 1/2, а це означає, що знаменник подвоюється.)

Хоча дроби постійно зменшуються, ця послідовність також є нескінченною, адже будь-який скільки завгодно малий дріб з цієї послідовності можна розділити на два і отримати ще менший.Знаменник дробу збільшується нескінченно, але сам дріб ніколи не досягне нуля, оскільки для цього треба, щоб знаменник досяг нескінченності, а це неможливо.

А тепер давайте з'ясуємо, чому дорівнює сума цієї нескінченної послідовності. З погляду простого здорового глузду може здатися, що сума такої послідовності має бути нескінченно великою величиною. Але ми вже знаємо, наскільки оманливим буває так званий «здоровий глузд».

Спочатку до 1/2 додаємо 1/4, отримуємо 3/4, потім до 3/4 додаємо 1/8, отримуємо 7/8, потім до 7/8 додаємо 1/16, отримуємо 15/16, додаємо 1/32, отримуємо 31/32 і таке інше. Зверніть увагу, що чим більше членів послідовності ми додаємо, тим ближче сума послідовності наближається до 1. Коли ми складаємо перші два члени ряду, до одиниці залишається 1/4, додаємо наступний член, і до одиниці залишається 1/8, і так далі можна дійти до однієї мільйонної або однієї трильйонної, але одиниця так ніколи й не буде досягнуто.

Математики так формулюють це положення: «Сума нескінченної послідовності дробів 1/2, 1/4, 1/8… наближається до одиниці, яка є межею суми цієї послідовності».

Це приклад послідовності, що збігається, тобто послідовності, що складається з нескінченного числа членів, сума яких наближається до якого-небудь кінцевого числа як до межі.

Ще в Стародавній Греції математики виявили нескінченні послідовності, що сходяться, але вони були настільки вражені тим, що кількість членів послідовності нескінченно, що навіть не могли припустити, що сума таких послідовностей може бути не нескінченною величиною.Грецький математик і філософ Зенон поставив низку завдань, званих парадоксами, які, начебто, спростовують цілком очевидні постулати. Один із його парадоксів служив доказом того, що рух у принципі неможливий. Ці парадокси вважалися нерозв'язними протягом століть, доки не з'ясувалася правда про схожі нескінченні послідовності.

Найзнаменитіший парадокс Зенона називається «Ахіл і черепаха». Давньогрецький герой Ахілл славився як чудовий бігун, а черепаха відома тим, що пересувається надзвичайно повільно. Проте Зенон продемонстрував, що Ахілл ніколи не зможе наздогнати черепаху у змаганні з бігу, якщо спочатку черепаха матиме перевагу.

Припустимо, що Ахілл бігає вдесятеро швидше за черепаху, але до початку змагань у черепахи буде перевага в 100 ярдів. У кілька стрибків Ахілл подолає відстань у 100 ярдів, але за цей час черепаха, яка рухається в десять разів повільніше за Ахілла (що дуже непогано для черепахи), пройде 10 ярдів. Ахілл пробігає і ці 10 ярдів, але черепаха віддаляється від нього на 1 ярд. Тоді Ахілл пробігає один ярд, але черепаха віддаляється від нього на 1/10 ярду, і так далі до нескінченності.

Ось бачите, що відбувається. Ахілл продовжує рух, але й черепаха рухається, і Ахілл не може її наздогнати. І більше того, повторюючи це міркування для іншого первісного розриву між черепахою і Ахіллом, ми можемо сказати, що, хоч би якою малою була початкова перевага черепахи, чи це один фут або один дюйм, нічого не зміниться. Ахілл ніколи не зможе добитися жодної переваги, а це, у свою чергу, означає неможливість руху взагалі.

Звичайно, ви чудово знаєте, що Ахілл може наздогнати черепаху і рух можливий, отже, доказ Зенона несе у собі протиріччя, тобто є парадоксом.

А тепер розглянемо докладно задачу Зенона. Де помилка в його міркуваннях? . Ахілл долає 10 ярдів за одну секунду, а черепаха за цей час проходить 1 ярд.

Іншими словами, час, який потрібно Ахіллу для того, щоб наздогнати черепаху, є спадною послідовністю 100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001, 0,00001…

Скільки часу знадобиться Ахіллу для того, щоб подолати нескінченну послідовність відстаней, що зменшуються? .

Наприклад, якщо ми складемо перші два члени послідовності Зенона, ми отримаємо 11, сума перших трьох членів дорівнює 11,1, перших чотирьох - 11,11, перших п'яти - 11,111, перших шести 11,1111. А якщо уявити суму всього нескінченного ряду. , то ми отримаємо 11,1111111111111111111 І так до нескінченності.

А що таке 11,111111111…? Це десятковий еквівалент числа 11 1 /₉. Якщо перекласти 11 1 /₉ у десятковий дріб, ми отримаємо саме 11,111111111111111111…

Таким чином, сума послідовності в задачі Зенона складає 11 1 /₉ секунди.Це той самий час, який знадобиться Ахіллу, щоб подолати всі послідовно спадні відстані, на які віддаляється від нього черепаха. А це означає, по-перше, що Ахілл зрештою наздожене черепаху, по-друге, що рух можливий, ну а по-третє, що і ми можемо нарешті розслабитися.

Послідовності можуть прагнути до межі, яка є нескінченним десятковим дробом, причому не повторюється. Такі послідовності можна складати для відображення ірраціональних чисел. Додаючи все нові та нові члени до такої послідовності, ми все ближче підходимо до величини ірраціонального числа, хоча ніколи не зможемо її досягти. Такі ж послідовності, що сходяться, використовують для визначення ірраціональних чисел, наприклад таких, як логарифми.

Більший, ніж нескінченний

Але чи всі нескінченності нескінченні однаково? Чи можна уявити собі нескінченну послідовність, яка не була б лічильною нескінченною послідовністю цілих чисел?

Так, загалом, можливо. Уявіть собі лінію з поділками через рівні інтервали, що позначають числа, до такої лінії ми зверталися кілька разів у міру викладу матеріалу в нашій книзі. А тепер уявіть, що всі інтервали між числами розбиті на всі можливі дроби. Тобто інтервали між цілими числами щільно наповнені третіми частками, сьомими частками, тисячними, мільйонними тощо. Проте на прямій залишаться точки, яким не відповідатиме якийсь дріб, навіть у тому випадку, якщо дробів буде нескінченна кількість. Згадайте ірраціональні числа.

Наприклад, квадратний корінь з 2 не має точки на лінії дробів, тому що його неможливо уявити у вигляді дробу. Проте на лінії він існує.Уявіть квадрат зі стороною від одного цілого числа до іншого (як на малюнку).

Діагональ цього квадрата дорівнює кореню квадратному з 2, і якщо відрізок, рівний довжині цієї діагоналі відкласти на лінії від нульової точки, то він закінчиться на точці, що дорівнює кореню квадратному з 2, якій не відповідає жоден дріб. На цій точці жоден дріб просто не може бути. На лінії також можна відзначити будь-яке інше ірраціональне число, і знову-таки цій точці не відповідатиме жодна дріб.

Який висновок можна зробити з усього сказаного? Якщо на лінії позначені точками всі раціональні числа, залишиться нескінченна кількість точок, що відповідають ірраціональним числам. Більше того, дві точки, що відповідають раціональним числам, ніколи не будуть поруч. Математики довели, що між ними завжди буде принаймні точка, що відповідає ірраціональному числу. І навпаки, між двома ірраціональними числами завжди буде, принаймні, одне раціональне число. Якщо на лінії будуть нанесені всі раціональні та ірраціональні числа, це означає, що використані всі точки. Послідовність дійсних чисел, куди входять як раціональні, і ірраціональні числа, утворює «континуум».

А як справи з дійсними числами? Чи є послідовність дійсних чисел лічильною з послідовністю цілих чисел, як і послідовність усіх раціональних чисел? Ні, не є. Було показано, що, хоч би як ми намагалися розташувати дійсні числа таким чином, щоб одному дійсному числу відповідало одне ціле, все одно залишиться нескінченна кількість вільних дійсних чисел.

Нескінченність дійсних чисел позначають З (Від латинського "continuum"). З — це нескінченність більша, ніж лічильна нескінченність, оскільки нескінченної послідовності цілих чисел недостатньо, щоб порахувати нескінченну послідовність дійсних чисел.

Можна перевірити, чи є інші види нескінченних послідовностей рахунковими по відношенню до нескінченної послідовності дійсних чисел. Наприклад, послідовність всіх комплексних чисел (тобто всі точки на площині, а не лише точки на прямій) є лічильною по відношенню до послідовності всіх дійсних чисел. Так само і нескінченна послідовність гіперкомплексних чисел (тобто всі точки у просторі Всесвіту, яку ми теж вважаємо в даному випадку нескінченною) є лічильною по відношенню до послідовності всіх дійсних чисел.

В 1896 математик Джордж Кантор висунув теорію «трансфінітних чисел», згідно з якою існує нескінченна кількість нескінченностей різного роду. Ці нескінченності він окреслив буквою «алеф» давньоєврейського алфавіту. Кожну таку нескінченність позначали за допомогою правого нижнього індексу за буквою «алеф»:

Перша нескінченність називається "алеф-нуль" і відповідає нескінченній послідовності цілих чисел. Це означає, що нескінченність, з опису якої я почав цей розділ, може бути найменшою з існуючих нескінченностей. Іншими словами, досі не відкрита така нескінченна послідовність будь-чого, яка не була б лічильною з послідовністю цілих чисел з тієї причини, що залишилися б зайві цілі числа.

Вважається, що наступна по порядку послідовність, "алеф-один" ( ₁), являє собою З, або нескінченність континууму, але це положення ще не було доведено. Нікому не вдалося виявити нескінченної послідовності будь-чого в проміжку між «алеф-нуль» ( ₀) і С, але ніхто також і не довів, що існування такої нескінченності неможливе.

Нескінченність кількості різноманітних кривих, які можна намалювати на площині, може бути нескінченністю «алеф-два» ( ₂).

Що ж до наступних по порядку нескінченностей, то їм поки не було знайдено відповідності.

Проте вже існує концепція нескінченного розмаїття нескінченностей, що починається із звичайної нескінченної послідовності цілих чисел, найменшою з можливих нескінченностей.

Таким чином, людина, на зорі розвитку, що навчилася розрізняти 1 і 2, шляхом спроб і помилок рухалася до вершин пізнання і в наші дні може безстрашно оперувати такими поняттями, як різноманіття нескінченностей.

У будь-якій книзі, присвяченій досягненням людства, не слід писати слово «кінець», бо кінця не існує, а процес пізнання нескінченний. Потрібно ставити знак

Нескінченність

Безкінечність - У сучасній Росії під час проходження курсу шкільної математики багато школярів стикаються з безліччю невідомих термінів, значення яких вони розуміють вже трохи пізніше. І «нескінченність», з якою школярі вже знайомляться у 9 класі під час уроків алгебри, стає однією з невідомих і незрозумілих термінів в дітей віком [1] .

Визначення поняття нескінченність

Ще з давніх-давен відомо, що математика, як і всі інші науки, стоїть на трьох китах, і для

«Цариці наук» це — нуль, одиниця та нескінченність, які відповідно позначаються у сучасній математиці 0, 1 та ∞.І якщо з нулем і одиницею все більш-менш зрозуміло, то з нескінченністю все не так однозначно. Адже спочатку у нескінченності навіть не було всім відомого символу та чіткого визначення не лише в математиці, а й в інших науках. Лотц Галина наводить у своїй роботі найчастіше зустрічаються визначення нескінченності в математиці:

• Нескінченність - відсутність кінця, межі наявності будь-яких однорідних об'єктів у просторі або моменту здійснення будь-яких процесів;
• Нескінченність - простір, що не має видимих ​​меж, меж;
• Нескінченність — умовна величина, яка більша за будь-яке наперед задане значення [1] .

Історія символу нескінченності

І перед тим, як визначити яке саме нам потрібне визначення, варто дізнатися історію поняття «нескінченність» та символу ∞. У 1655 році англійський математик Джону Валлісу випускає трактат «Про конічні перерізи», в якому вперше використовує запис нескінченності у вигляді знайомого символу (перевернутого на 90° цифри 8) і ніяк не пояснює свій вибір символу, через що люди вирішили що автор вирішив так зобразити не «нескінченність», а запис числа 1000 римськими цифрами, який спочатку виглядав досить схоже запис символу нескінченності. Але на цьому не закінчилася історія символу, а навпаки, Леонард Ейлер, який зробив значний внесок у математику, також використав даний варіант запису «нескінченності», але вже пояснив, що цим символом він позначає «абсолютну нескінченність». І згодом символ нескінченності закріпився у математичному світі. Використовують символ нескінченності в математиці само собою частіше для вираження "потенційної нескінченності", а не для позначення якихось реальних нескінченно великих величин [2] .

Різновиди нескінченності

Незбагненна чи актуальна нескінченність

Детальне визначення представлене у Філатової Марії, на її думку актуальною нескінченністю є нескінченність, яка має кінець, тобто є кінцевою, але під цим поняттям передбачається не стільки відсутність кінця, скільки відсутність нестачі [2] .

Ідеальна нескінченність

Як вважає Ситников Сергій, ідеальна нескінченність означає нескінченність, у якої відсутні будь-які взаємозв'язки та взаємодії між об'єктами [3] .

Хибна (потенційна) нескінченність

Визначення даному поняття так само наведено Філатовою Марією, але вже з іншої її роботи, на думку автора помилковою нескінченністю прийнято вважати нескінченність у якої відсутня кінець, у разі додавання одиниці до будь-якого числа з ряду натуральних чисел, або поділу відрізка на необмежену кількість разів [4] ].

Нескінченність у сучасному світі

Незважаючи на складність даного відділу математики, його продовжують вивчати та викладати у школах та вишах. На заняттях математики та математичного аналізу, школярі та студенти ближче знайомляться з цим поняттям та використовують при вирішенні завдань. І для багатьох школярів стає відкриттям на проходженні курсу 9 класу, коли вивчається нескінченність, коли виявляється, що з нескінченністю вони вже хоч і побічно, але зустрічалися, а саме у другому класі на уроках математики, коли вони вивчали такі дії як множення та розподіл. На питання: «Можна ділити на 0?» вони чули, що так неправильно і що на нуль ділити не можна. У 9 клас дізнаються, що ділити на нуль можна, хоч і вийде ∞.

Узагальнюючи все вище сказане, можна дійти висновку, що нескінченність хоч і складна тема, але необхідна як математикам, а й кожній людині. Її вивчення все ще продовжується і, напевно, ніколи не припиниться, адже ніяка наука і ніякі знання не стоять на місці.

Примітки

1. ↑ 1,01,1Лотц Р.Нескінченність у математиці // Проекти. - 2018.
2. ↑ 2,02,1Філатова М. І.Актуальна нескінченність: псевдопроблема чи метазаснування західноєвропейської філософії та науки? // Ідеї та ідеали: Журнал. - 2021.
3. ↑ 3,03,1Сітніков С.Хибна нескінченність у математиці // Євразійський науковий журнал. - 2018. - № 10. - С. 8 .
4. ↑Філатова М. І.Потенційна нескінченність як парадигмальне ядро ​​постмодернізму // Сучасні філософські дослідження: Журнал. - 2023. - № 2. - С. 14 .

Ця стаття має статус «готової». Це не говорить про якість статті, проте в ній вже достатньо розкрито основну тему. Якщо ви хочете покращити статтю – правте сміливо!