Ознаки подільності
Ознаки ділимості чисел - Це особливості чисел, що дозволяють визначити, не виконуючи поділу, кратно число дільнику чи ні.
Чітні та непарні числа
Чітні числа - Це числа які діляться на 2. Непарні числа - Це числа, які на два не діляться.
Число нуль відноситься до парних чисел.
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . - парні,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, . - Непарні.
Ознаки ділимості чисел
Ознака ділимості на 2. Число ділиться на 2, якщо його остання цифра парна. Наприклад, число 4376 ділиться на 2, оскільки остання цифра (6) – парна.
Ознака ділимості на 3. На 3 діляться лише ті числа, у яких сума цифр ділиться на 3. Наприклад, число 10815 ділиться на 3, оскільки сума цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 ділиться на 3.
Ознаки ділимості на 4. Число ділиться на 4, якщо дві останні цифри нулі або утворюють число, яке ділиться на 4. Наприклад, число 244500 ділиться на 4, так як воно закінчується двома нулями. Числа 14708 та 7524 діляться на 4, оскільки дві останні цифри цих чисел (08 та 24) діляться на 4.
Ознаки ділимості на 5. На 5 діляться числа, які закінчуються на 0 чи 5. Наприклад, число 320 ділиться на 5, оскільки остання цифра 0.
Ознака ділимості на 6. Число ділиться на 6, якщо воно ділиться одночасно на 2 і 3. Наприклад, число 912 ділиться на 6, оскільки воно ділиться і на 2 і на 3.
Ознаки ділимості на 8. На 8 діляться ті числа, у яких останні три цифри є нулями або утворюють число, яке ділиться на 8. Наприклад, число 27000 ділиться на 8, так як воно закінчується трьома нулями. Число 63128 ділиться на 8, оскільки останні три цифри утворюють число (128), яке ділиться на 8.
Ознака ділимості на 9. На 9 діляться ті числа, які мають сума цифр ділиться на 9.Наприклад, число 2637 ділиться на 9, оскільки сума його цифр 2+6+3+7=18 ділиться на 9.
Ознаки подільності на 10, 100, 1000 і т. д. На 10, 100, 1000 тощо діляться ті числа, які закінчуються відповідно одним нулем, двома нулями, трьома нулями і так далі. Наприклад, число 3800 ділиться на 10 і 100.
Які числа діляться на 6 без решти? Таблиця.
Список чисел, які можна розділити на 6 без залишку, можна побачити нижче. Повний список навести не вийде, оскільки він нескінченний. У таблиці відображено перші 150 чисел.
На 6 можна поділити тільки таке число, яке одночасно можна поділити і на 2, і на 3 теж. Тільки у разі цих двох намірів! На 2 можна розділити, якщо число закінчується на 0,2,4,6,8. На 3 можна розділити, якщо, склавши всі цифри числа, ми отримаємо нове число, яке теж ділиться на 3.
Приклад: 306 - можна поділити на 6, оскільки воно ділиться на 2 (остання цифра 6), а також воно ділиться на 3 (складемо 3+0+6=9, а 9 ділиться на 3).
Приклад: 224 - НЕ ділиться на 6 без залишку, так як його можна залишити розділити на 2, але на 3 розділити без залишку не вийде (2+2+4=8, а 8 не ділиться на 3).
| 6 |
| 36 |
| 66 |
| 96 |
| 126 |
| 156 |
| 186 |
| 216 |
| 246 |
| 276 |
| 306 |
| 336 |
| 366 |
| 396 |
| 426 |
| 456 |
| 486 |
| 516 |
| 546 |
| 576 |
| 606 |
| 636 |
| 666 |
| 696 |
| 726 |
| 756 |
| 786 |
| 816 |
| 846 |
| 876 |
| 12 |
| 42 |
| 72 |
| 102 |
| 132 |
| 162 |
| 192 |
| 222 |
| 252 |
| 282 |
| 312 |
| 342 |
| 372 |
| 402 |
| 432 |
| 462 |
| 492 |
| 522 |
| 552 |
| 582 |
| 612 |
| 642 |
| 672 |
| 702 |
| 732 |
| 762 |
| 792 |
| 822 |
| 852 |
| 882 |
| 18 |
| 48 |
| 78 |
| 108 |
| 138 |
| 168 |
| 198 |
| 228 |
| 258 |
| 288 |
| 318 |
| 348 |
| 378 |
| 408 |
| 438 |
| 468 |
| 498 |
| 528 |
| 558 |
| 588 |
| 618 |
| 648 |
| 678 |
| 708 |
| 738 |
| 768 |
| 798 |
| 828 |
| 858 |
| 888 |
| 24 |
| 54 |
| 84 |
| 114 |
| 144 |
| 174 |
| 204 |
| 234 |
| 264 |
| 294 |
| 324 |
| 354 |
| 384 |
| 414 |
| 444 |
| 474 |
| 504 |
| 534 |
| 564 |
| 594 |
| 624 |
| 654 |
| 684 |
| 714 |
| 744 |
| 774 |
| 804 |
| 834 |
| 864 |
| 894 |
| 30 |
| 60 |
| 90 |
| 120 |
| 150 |
| 180 |
| 210 |
| 240 |
| 270 |
| 300 |
| 330 |
| 360 |
| 390 |
| 420 |
| 450 |
| 480 |
| 510 |
| 540 |
| 570 |
| 600 |
| 630 |
| 660 |
| 690 |
| 720 |
| 750 |
| 780 |
| 810 |
| 840 |
| 870 |
| 900 |
Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11
Число ділиться на 2 тоді й лише тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто є парною.
2, 8, 16, 24, 66, 150 - діляться на 2, оскільки остання цифра цих чисел парна;
3, 7, 19, 35, 77, 453 - не діляться на 2, оскільки остання цифра цих чисел непарна.
Ознака ділимості на 3
Число ділиться на 3 тоді й лише тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.
75 - ділиться на 3, Оскільки 7+5=12, і число 12 ділиться на 3 (12:3=4);
471 - ділиться на 3, Оскільки 4+7+1=12, і число 12 ділиться на 3 (12:3=4);
532 - не ділиться на 3, Оскільки 5+3+2=10, а число 10 не ділиться на 3 (10:3=3 1 3 ).
Ознака ділимості на 4
Число ділиться на 4 тоді й лише тоді, коли дві його останні цифри становлять число, що ділиться на 4. Двозначне число ділиться на 4 тоді і лише тоді, коли подвоєне число десятків, складене з числом одиниць, ділиться на 4.
4576 - ділиться на 4, Оскільки число 76 ділиться на 4 (7 · 2 +6 = 20, 20: 4 = 5);
9634 - не ділиться на 4, Так як число 34 не ділиться на 4 (3 · 2 + 4 = 10, 10: 4 = 2 1 2).
Ознака ділимості на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли остання цифра ділиться п'ять, тобто. якщо вона 0 чи 5.
375, 5680, 233575 - діляться на 5, оскільки їхня остання цифра дорівнює 0 або 5;
9634, 452, 389753 - не діляться на 5, оскільки їхня остання цифра не дорівнює 0 або 5.
Ознака ділимості на 6
Число ділиться на 6 тоді й лише тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3, тобто якщо воно парне та сума його цифр ділиться на 3.
462 - діляться на 6, За ознакою ділимості на 2 воно ділиться на 2 (остання цифра 2 ділиться на 2), за ознакою ділимості на 3 воно ділиться на 3 (сума цифр числа ділиться на 3: 4+6+2=12, 12:3=4) ;
3456 - діляться на 6, За ознакою ділимості на 2 воно ділиться на 2 (остання цифра 6 ділиться на 2), за ознакою ділимості на 3 воно ділиться на 3 (сума цифр числа ділиться на 3: 3+4+5+6=18, 18:3= 6);
24642 - діляться на 6, За ознакою ділимості на 2 воно ділиться на 2 (остання цифра 2 ділиться на 2), за ознакою ділимості на 3 воно ділиться на 3 (сума цифр числа ділиться на 3: 2+4+6+4+2=18, 18: 3 = 6);
861 - не діляться на 6, Оскільки за ознакою ділимості воно не ділиться на 2;
3458 - не діляться на 6, так як за ознакою ділимості вона не ділиться на 3;
34681 - не діляться на 6, Оскільки за ознакою ділимості вона ділиться на 2.
Ознака ділимості на 9
Число ділиться на 9 тоді й лише тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.
468, 4788, 69759 - діляться на 9, Оскільки сума їх цифр ділиться дев'ять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);
861, 3458, 34681 - не діляться на 9, Оскільки сума їх цифр не ділиться дев'ять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).
Ознака ділимості на 10
Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли воно закінчується на нуль.
460, 24000, 1245464570 - діляться на 10, Оскільки остання цифра цих чисел дорівнює нулю;
234, 25048, 1230000003 - не діляться на 10, Оскільки остання цифра цих чисел не дорівнює нулю.
Ознака ділимості на 11
Число ділиться на 11 якщо сума цифр, що стоять на парних місцях, дорівнює сумі цифр, що стоять на непарних місцях або відрізняється від неї на число кратне 11.
2 4 2 - ділиться на 11, оскільки сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 2 + 2 = 4; сума цифр на парних позиціях S2n = 4 та S2n+1 = S2n .
3 1 9 - ділиться на 11, оскільки сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 3 + 9 = 12; сума цифр на парних позиціях S2n = 1 , які різниця S2n+1 - S2n = 11 – ділиться на 11.
9 1 9 3 8 0 - ділиться на 11, оскільки сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 9 + 9 + 8 = 26; сума цифр на парних позиціях S2n = 1 + 3 + 0 = 4 , які різниця S2n+1 - S2n = 22 – ділиться на 11.
2 8 3 8 — поділяється на 11, оскільки сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 2 + 3 = 5; сума цифр на парних позиціях S2n = 8+ 8 = 16 , а їх різниця S2n - S2n+1 = 11 – ділиться на 11.
2 4 4 - не ділиться на 11, оскільки сума цифр на непарних позиціях S2n+1 = 2 + 4 = 6; сума цифр на парних позиціях S2n = 4 та S2n+1 - S2n = 2 – не ділиться на 11.
