Ізометрія

Ізометрією називаються аксонометрические проекції у разі, коли коефіцієнти спотворення за всіма трьома осями рівні. Найбільш поширена прямокутна ізометрія, має високу наочність і досить проста в побудові. Аксонометричні осі в цьому випадку розташовані під кутом 120 ° один до одного, вісь Oz - вертикальна, а коефіцієнти спотворення дорівнюють 0,82. Для прямокутної ізометрії сума квадратів коефіцієнтів спотворення дорівнює 2: р 2 + q 2 + г 2 = 2. Для простоти побудов практично часто приймають коефіцієнти спотворення рівними одиниці і паралельні аксонометрическим осям відрізки відкладають у натуральну величину. Нехай є куб, довжина ребра якого дорівнює а. Побудова прямокутної ізометрії куба провадиться наступним чином (рис. 6.4):

0 будують аксонометричні осі; На цих осях відкладають відрізки, рівні по довжині а (Коефіцієнти спотворення по всіх осях однакові і рівні для простоти одиниці), і отримують т.п. А і У на осях Ох і Оу Про з точок А і У паралельно осям Оу і Ох проводять прямі, точку перетину яких позначають З. В результаті одержують ромб АОВС, який є ізометричною проекцією нижньої грані куба; Про з точок А, В, С і Про паралельно осі Oz вертикально вгору проводять відрізки прямих, по довжині рівні ребру куба а; Про з'єднують кінці цих відрізків прямими, паралельними осям Ох і Оу. Мал. 6.4 Прямокутна ізометрія куба збудована. Проекціями ребер куба є однакові ромби.Якщо у видимі грані куба вписують кола, їх проекції мають вигляд еліпсів (чи спрощеному вигляді — овалів). Як видно з креслень, у прямокутній ізометрії бічні сторони куба однакові, а діагональні ребра (переднє та заднє) зливаються в одну лінію, що ускладнює правильне сприйняття креслення. Прямокутна ізометрія кола будується за допомогою сітки (див. § 6.1). Еліпс, що отримується при побудові, має осі, рівні 1,22D (велика вісь) і 0,7/) (мала вісь), де D - Діаметр вихідного кола. Прямокутна ізометрія правильного шестикутника у якого а - Сторона шестикутника, 5 - відстань між його протилежними сторонами, будується наступним чином (рис. 6.5): Рис. 6.5 Про осі Ох в обидва боки від т.ч. Про відкладають відрізки завдовжки а (Банка шестикутника) і отримують т.ч. А і D; Про по осі Оу в обидва боки від т.ч. Про відкладають відрізки, рівні по довжині половині відстані між протилежними сторонами шестикутника s/2, через кінці яких проводять прямі, паралельні осі Ох; Про на кожній із побудованих прямих по обидва боки від осі Оу відкладають відрізки, рівні по довжині половини сторони шестикутника а/2, і одержують точки У, З, Е, F. Побудовані точки А, В, З, D, Е, Fє ізометричними проекціями вершин шестикутника; Про ці точки з'єднують і отримують ізометрію шестикутника. Прямокутну ізометрію правильної шестикутної призми або циліндра одержують наступним чином: Про будують ізометрію основи (відповідно правильного шестикутника або кола); Про побудовані вершини ізометрії шестикутника або точок еліпса будують вертикалі, довжина яких дорівнює висоті відповідно призми або циліндра; Про кінці вертикалей з'єднують відповідно до форми основи. Ізометрія побудована.

Прямокутна ізометрія

При побудові прямокутних аксонометричних проекцій за площину проекцій приймається загальна площина. У цьому випадку проєкуючий промінь становитиме з площиною аксонометричних проекцій кут 90°. Слід пам'ятати, що переважними є прямокутні аксонометричні проекції. Цей вид аксонометричних проекцій дає найменше спотворення предметів, що зображаються.

Прямокутна ізометрія характеризується тим, що коефіцієнти спотворення становлять U = V = W = 0,82 ~ 1. Аксонометричні осі у прямокутній ізометрії розташовуються під кутом 120 ° один до одного (рис. 5.5).

Мал. 5.5. Розташування осей у прямокутній ізометрії

Коло в аксонометрії проектується в еліпс, якщо площина кола розташована під кутом до площини проекції. Для побудови прямокутної аксонометрії кіл, що у координатних чи їм паралельних площинах, керуються правилом: велика вісь еліпса перпендикулярна тієї координатної осі, яка відсутня у площині окружности.

У прямокутній ізометрії рівні кола, розташовані в координатних площинах, проектуються на рівні еліпси, але по-різному орієнтовані залежно від площини розташування кола (рис. 5.6).

Розміри осей еліпсів при використанні наведених коефіцієнтів спотворення дорівнюють: велика вісь БО = 1,22d, мала вісь МО = 0,71J, де d - діаметр зображуваного кола.

У навчальних кресленнях замість еліпсів рекомендується застосовувати овали, окреслені дугами кіл. Спрощений спосіб побудови овалів наведено на рис. 5.7.

Мал. 5.6. Зображення кола у прямокутній ізометрії

З точки перетину осей Про проводять допоміжне коло діаметром d, рівним дійсною величиною діаметра зображуваного кола, і знаходять точки п/, П2, ПЗ, П4 перетину цього кола з аксонометричними осями X і У. З крапок mi і m2 перетину допоміжного кола з віссю Z, як із центрів радіусом R = ттз проводять дві дуги 23 та 14, що належать овалу. Перетин цих дуг з віссю Z дають точки З і D.

З центру Про радіусом ОС, рівним половині малої осі овалу, засікають на великій осі овалу АВ крапки О/, і О2. Точки 1, 2, 3 і 4 пар дуг радіусів R і R] знаходять, з'єднуючи точки mi та m2 з точками О] і О2 і продовжуючи прямі до перетину з дугами 23 та 14. З крапок Про/ і О2 радіусом R /= Про А проводять дві дуги. Так само будують овали, розташовані в площинах, паралельних площин П2 і З (рис. 5.7, б і в).

На рис. 5.8 показаний приклад побудови прямокутної ізометрії деталі із вирізом 1/4.

На рис. 5.9 представлено побудову прямокутної ізометричної проекції усіченої шестикутної призми з наскрізним прямокутним отвором.

Спочатку на ортогональному кресленні наноситься система осей координат. Рекомендується проводити їх через центр основи призми.Щоб отримати аксонометричне зображення призми, через вторинні проекції точок 1]', 21', 31', 41', 51', 61' (на малюнку вони не показані) проводимо вертикальні прямі і відкладаємо відрізки Zi, Z2, Z3 і т .д. Отримані точки (верхні кінці вертикальних відрізків) з'єднуємо прямими лініями. Решта побудов зрозумілі з креслення.

Мал. 5.7. Побудова овалу у прямокутній ізометрії

Мал. 5.8. Приклад побудови прямокутної ізометрії деталі

Мал. 5.9. Побудова ізометричної проекції усіченої призми

Прямокутна ізометрична проекція

Освіта ізометричної проекції. Якщо куб розташувати так, щоб три грані його були нахилені під однаковим кутом до картинної площини, і проектувати куб на цю площину за допомогою променів, спрямованих до неї під прямим кутом, утворюється ізометрична проекція (рис. 95). Мал. 95 Розташування координатних осей X, У, Z у прямокутній ізометричній проекції показано на рис. 96. Вісь Zпроводять вертикально, а осі Xі Y- під кутом 30 ° до горизонталі. Коефіцієнт спотворення розмірів за всіма трьома осями дорівнює 0,82 (від грецьк. «ізометрія» - рівномірність). Для спрощення рекомендується будувати ізометричну проекцію без скорочень осях координат. Зображення при цьому виходить більше дійсних розмірів на 22%, проте побудова виявляється легшою.

• 1. З точки Про, як із центру, описати дугу будь-якого радіусу.
• 2. З точки перетину цієї дуги з віссю Z зробити на дузі тим самим розчином циркуля дві засічки.
• 3. Крапку Про з'єднати прямими лініями з отриманими за допомогою засічок крапками.

Зручно будувати осі та виконувати ізометричну проекцію, користуючись косинцями з кутами 30 та 60°.

Приклади побудови ізометричних проекцій.

Побудова ізометричної проекції правильного шестикутника (Мал. 98).

• 1. Для побудови викреслюють ізометричні осі X, У, Z.
• 2. З точки Про_х по осі X відкладають відрізки Про_х1_х і Про_х4_х, рівні розміру відрізків 01 і 04.

• 3. По цій же осі відкладають відрізки 0Х і Про_х8_ь рівні відрізкам 07 і 08.
• 4. Через отримані точки 7 і 8 проводять паралельно осі У прямі лінії.
• 5. На проведених прямих лініях відкладають відрізки, рівні відрізкам 7-2, 8-3 і т.д., одержують точки 2_х, З_х, 5_Ь6. Знайдені шість точок послідовно з'єднують прямими.

Побудувавши ізометричну проекцію правильного шестикутника, неважко викреслити і наочне зображення правильної шестикутної призми. Для цього потрібно виконати побудови, аналогічні до побудови фронтальної диметричної проекції трикутної призми (див. рис. 89):

• • відновити перпендикуляри з вершин основи (у наведеному прикладі з точок 7_Ь2_Х, З_і 4_Ь 5_Ь6_х);
• • на одному з них відкласти розмір, що дорівнює висоті призми;
• • через отриману точку послідовно провести паралельно ребрам нижньої основи ребра верхньої основи.

Порядок побудови ізометричної проекції призми зі зрізом, Три види якої наведено на рис. 88, апоказаний на рис. 99.

Побудова проведена в такий спосіб.

• 1. Викреслено ізометричні осі X, У, Z У площині XOZ побудовано передню грань предмета (рис. 99, а).
• 2. З усіх вершин отриманої фігури проведено прямі, паралельні осі. У (Мал. 99, б), оскільки бічні ребра призми перпендикулярні до передньої грані.
• 3. По осі У відкладений відрізок 60 мм та проведені лінії, паралельні ребрам передньої грані.

4. Після цього обведено видимий контур та проставлено розміри (рис. 99, в).

Побудова ізометричної проекції кіл. На малюнку 100 представлено зображення куба з вписаними в його межі колами. Як видно з малюнка, кола на всіх гранях куба зображуються в ізометрії у вигляді однакових еліпсів. Для побудови цих еліпсів достатньо знати напрямок та розміри їх великої та малої осей.

Для спрощення роботи еліпси замінюють овалами, що окреслюються дугами кіл. Побудова овалу, що зображує в ізометрії коло, перпендикулярне осі Z, представлено на рис. 101. Побудова виконується в такий спосіб.

1. Викреслюють ромб, в який повинен вписуватися овал, що зображує це коло в ізометрії.

Для цього від точки Про на осяхХі відкладають у чотирьох напрямках відрізки, рівні радіусу зображуваного кола (рис. 101, я). Через отримані точки a, b, с, dпроводять прямі, паралельні осям X і Y. Ці прямі утворюють ромб, сторони якого дорівнюють діаметру зображуваного кола.

• 2. З вершин тупих кутів (крапки Чи В) описують дуги ab і cd радіусом R, рівним довжині прямих Ac (Ad) або Ва (ВЬ) відповідно (рис. 101, а).
• 3. Проводять прямі і ВЬ. Точки С та D перетину прямих Ва і ВЬ з горизонтальною діагоналлю ромба є центрами малих дуг, що поєднують великі (рис. 101,5).
• 4. Описують малі дуги радіусом R, рівним відрізку Са (Db).

Побудова ізометричних проекцій деталей. Як приклад розглянемо порядок побудови ізометричної проекції деталі, два види якої наведено на рис. 102, а.

Побудову проводять у такому порядку.

• 1. Спочатку викреслюють вихідну форму деталі - косинець.
• 2. Потім будують овали, що зображують півколо (рис. 102, б) і кола (рис. 102, в, г).

Для цього на вертикально розташованій площині знаходять точку Про - центр кола та півкола. Через точку Про проводять ізометричні осі XylZ. Такою побудовою одержують ромб, в який вписана половина овалу (рис. 102, б). Овали на паралельно розташованих площинах будують перенесенням центрів дуг на відрізок, що дорівнює відстані між даними площинами. Подвійними кружальцями на рис. 102 показані центри цих дуг.

На тих же осях X і Z будують ромб зі стороною, що дорівнює діаметру кола d. У ромб вписують овал (рис. 102 в).

Знаходять центр кола на горизонтально розташованій грані, проводять ізометричні осі, будують ромб, який вписують овал (рис. 102, г).

Диметрична прямокутна проекція

Розташування осей прямокутної диметричної проекції показано на рис. 103. Вісь Z проводять вертикально, вісь X — під кутом 7° 10' до горизонталі, а вісь утворює з горизонталлю кут 4Г25'.

Побудувати осі диметричної проекції можна за допомогою лінійки та циркуля, як показано на рис. 104. Для побудови з точки Про відкладають по горизонталі праворуч і ліворуч по вісім рівних поділів. З кінцевих точок останніх поділів відновлюють перпендикуляри. Висота їх рівна: для перпендикуляра до осі X - одному поділу, а для перпендикуляра до осі Y - Семи поділів. Крайні точки перпендикулярів з'єднують із точкою О.

Стандарт рекомендує будувати диметричну проекцію осями X і Z без спотворення, а по осі Y - з урахуванням коефіцієнта спотворення 0,5 (зображення у своїй збільшується на 6% проти реального).При кресленні диметричної прямокутної проекції, як і при побудові косокутної фронтальної диметричної проекції, розміри по осі Yпри побудові зменшують у два рази, а по осях X та Z відкладають натуральну величину.

Побудова диметричної прямокутної проекції кіл.

Кола в диметричній проекції зображуються еліпсами.

На малюнку 105 показано диметричну проекцію куба з вписаними в його межі колами. Велика вісь еліпса (7), розташованого верхньої грані куба, проходить горизонтально. Велика вісь еліпса (J), що знаходиться на бічній грані, складає з вертикаллю кут 7°. Велика та мала осі еліпса (2) проходять по діагоналях ромба.

Побудова наочних зображень у диметричній прямокутній проекції проводиться за загальними правилами аналогічно розглянутим вище побудовам. Диметрична прямокутна проекція на вигляд одержуваного зображення нагадує косоугольную фронтальну диметричну проекцію (див. рис. 84, а, в).