Розповсюдження звукової хвилі в газі

Розглянемо процес поширення звуку в газовому середовищі та знайдемо його швидкість у газі. Уявімо з цією метою напівнескінченну циліндричну трубу, заповнену газом, наприкінці якої вставлений поршень, що робить коливання туди й назад. Ці коливання передаватимуться від поршня до сусідніх із ним частинок газу, від цих частинок – до більш далеких частинок, і тому вздовж труби поширюватиметься хвиля стиснення та розрідження газу.

Визначимо швидкість цієї хвилі, позначивши її v _зв. За час dt звук пошириться на відстань v _зв dt, так що стан хвильового руху прийдуть частки в обсязі v _зв dtS, де S - Площа поперечного перерізу труби. Позначимо швидкість поршня у певний момент часу v. За проміжок часу dt поршень зрушить на відстань vdt, завдяки чому обсяг газу зменшиться на vdtS. Розділивши цю величину на v _зв dtS, ми знайдемо відносну зміну щільності газу в момент часу t

де – щільність газу без звуку, а – зміна щільності, обумовлене поширюється звуковий хвилею.

Зміна густини викликає зміну тиску газу. Оскільки звукові коливання відбуваються дуже швидко, при поширенні звуку не встигає відбуватися обмін теплом між різними елементам середовища. Іншими словами, поширення звуку є адіабатним процесом. Тому зміна тиску, що виникає при поширенні звуку, можна подати у вигляді

де – похідна від тиску газу за густиною при адіабатному процесі.Ця формула відповідає припущенню, що звукові коливання є малими. Величину часто називають акустичним тиском. З урахуванням формули (5.17) акустичний тиск можна подати у вигляді

Помноживши на S, отримаємо силу F, з якою поршень діє газ,

Відповідно до другого основного закону динаміки ця сила дорівнює зміні імпульсу газу за одиницю часу. За час dt, як було зазначено вище, до хвильового руху залучені частки газу в обсязі v _зв dtS. Помноживши цей обсяг на ми знайдемо зміна імпульсу газу за проміжок часу dt. Тому зміна імпульсу газу в одиницю часу дорівнює З урахуванням цього ми можемо записати рівність.

Ця загальна формула визначає швидкість звуку, тобто. швидкість поширення малих коливань густини в газах. В ідеальному газі процеси стиснення та розрідження описуються рівнянням адіабати (5.15). З цього рівняння випливає

Враховуючи, що де m - Маса газу в обсязі V, будемо мати

де - показник адіабати, - тиск без звуку.

Тому швидкість звуку в ідеальному газі дорівнює

Бо де – температура газу, n₀ - щільність газу без звуку, рівна (тут - маса молекули газу), то вираз для швидкості звуку можна представити у вигляді

Помноживши чисельник та знаменник підкореного дробу на число Авогадро, отримаємо більш зручний для практичного користування вираз

(- Молярна маса). Ця формула показує, що за порядком величини швидкість звуку в газі збігається з тепловою швидкістю його молекул. Обчислена за цією формулою швидкість звуку добре збігається з досвідченими даними.

Швидкість поршня v збігається, очевидно, зі швидкістю частинок газу трубі.Ця величина пов'язана із зміною тиску Δ p співвідношенням (5.18). Враховуючи, що отримаємо звідси

Величина, що входить сюди, називається акустичним опором. Швидкість руху частинок середовища має напрям або збігається з напрямом поширення звуку, або прямо протилежне йому. Тому звукові хвилі в газах є поздовжніми хвилями.

Сподобалася стаття? Додай її в закладку (CTRL+D) і не забудь поділитися з друзями:

Підручник Звук

Звуковими хвилями чи просто звуком прийнято називати хвилі, які сприймаються людським вухом. Діапазон звукових частот лежить у межах приблизно від 20 Гц до 20 кГц. Хвилі з частотою менше 20 Гц називаються інфразвуком, а з частотою більше 20 кГц - Ультразвуком. Хвилі звукового діапазону можуть поширюватися не тільки в газі, але і в рідині (подовжні хвилі) і в твердому тілі (поздовжні та поперечні хвилі). Однак хвилі в газоподібному середовищі – середовищі нашого проживання – становлять особливий інтерес. Вивчення звукових явищ займається розділ фізики, який називають акустикою.

При поширенні звуку газі атоми і молекули коливаються вздовж напрями поширення хвилі. Це призводить до змін локальної щільності ρ та тиску p. Звукові хвилі в газі часто називають хвилями густини або хвилями тиску.

У простих гармонійних звукових хвилях, що розповсюджуються вздовж осі OX, Зміна тиску p(x, t) залежить від координати x та часу t згідно із законом p(x, t) = p₀ cos (ωt±kx).

Два знаки у аргументі косинуса відповідають двом напрямам поширення хвилі. Співвідношення між круговою частотою ω, хвильовим числом kдовжиною хвилі λ, швидкістю звуку υ такі ж, як і для поперечних хвиль у струні або гумовому джгуті (див. §2.6): υ = λ T = ω k ; k = 2 π λ; ω = 2 π f = 2 π T .

Важливою характеристикою звукових хвиль є швидкість їхнього поширення. Вона визначається інертними та пружними властивостями середовища. Швидкість поширення поздовжніх хвиль у будь-якому безмежному однорідному середовищі визначається за формулою (див. §2.6) υ = B ρ , де B – модуль всебічного стиску, ρ - Середня щільність середовища. Ще Ньютон намагався обчислити значення швидкості звуку повітря. Він припустив, що пружність повітря просто дорівнює атмосферному тиску. p_атмтоді швидкість звуку в повітрі виходить меншою 300 м/с, в той час, як справжня швидкість звуку при нормальних умовах (тобто при температурі 0 °С та тиск 1 атм) дорівнює 331,5 м/с, а швидкість звуку за температури 20 °С та тиск 1 атм дорівнює 343 м/с. Лише через сто з лишком років французький вчений П. Лаплас показав, що припущення Ньютона рівносильне припущенню про швидке вирівнювання температури між областями розрідження та стиснення. Це припущення через погану теплопровідність повітря та малий період коливань у звуковій хвилі не виконується. Насправді між областями розрідження та стиснення газу виникає різниця температур, яка суттєво впливає на пружні властивості. Лаплас припустив, що стиснення та розрідження газу в звуковій хвилі відбуваються по адіабатичного закону (Див. §3.8), тобто без впливу теплопровідності. Формула Лапласа (1816) має вигляд υ = γ p ρ , де p – середній тиск у газі, ρ - Середня щільність, γ - Деяка константа, яка залежить від властивостей газу. Для двоатомних газів γ = 1,4. Розрахунок швидкості звуку за формулою Лапласа дає значення υ = 332 м/с (за нормальних умов).

У термодинаміці доводиться, що коефіцієнт γ дорівнює відношенню теплоємностей при постійному тиску C_p та при постійному обсязі C_V (Див. §3.10). Формулу Лапласа можна подати в іншому вигляді, якщо скористатися рівнянням стану ідеального газу (Див. §3.3). Наведемо тут остаточний вираз: υ = γ R T M , де T – абсолютна температура, M – молярна маса, R = 8,314 Дж/мольК – універсальна газова постійна. Швидкість звуку залежить від властивостей газу. Чим легше газ, тим більша швидкість звуку в цьому газі. Так, наприклад, у повітрі () за нормальних умов υ = 331,5 м/с, у гелії (M = 4?10 -3 кг/моль) υ = 970 м/с, у водні ) υ = 1270 м/с.

У рідинах та твердих тілах швидкість звукових хвиль ще більша. У воді, наприклад, υ = 1480 м/с (при 20 °С), у сталі.

При сприйнятті різних звуків людське вухо оцінює їх насамперед за рівнем гучності, що залежить від потоку енергії або інтенсивності звукової хвилі. Вплив звукової хвилі на барабанну перетинку залежить від звукового тиску, Т. е. амплітуди p₀ коливань тиску у хвилі. Людське вухо є досконалим створенням Природи, здатним сприймати звуки у величезному діапазоні інтенсивностей: від слабкого писку комара до гуркоту вулкана. Поріг чутності відповідає значенню p₀ порядку 10 -10 атм, Т. е. 10 -5 Па. При такому слабкому звуку молекули повітря коливаються в звуковій хвилі з амплітудою лише 10 -7 см! Больовий поріг відповідає значенню p₀ порядку або . Таким чином, людське вухо здатне сприймати хвилі, в яких звуковий тиск змінюється у мільйон разів. Оскільки інтенсивність звуку пропорційна квадрату звукового тиску, діапазон інтенсивностей виявляється порядку 10 12 ! Людське вухо, здатне сприймати звуки в такому величезному діапазоні інтенсивності, можна порівняти з приладом, який можна використовувати для вимірювання та діаметру атома та розмірів футбольного поля.

Для порівняння вкажемо, що при звичайних розмовах людей у ​​кімнаті інтенсивність звуку приблизно в 10 6 разів перевищує поріг чутності, а інтенсивність звуку на рок-концерті наближається до болючого порога.

Ще однією характеристикою звукових хвиль, що визначає їхнє слухове сприйняття, є висота звуку. Коливання гармонійної звукової хвилі сприймаються людським вухом як музичний тон. Коливання високої частоти сприймаються як звуки високого тону, коливання низької частоти – як звуки низького тону. Звуки, що видаються музичними інструментами, а також звуки людського голосу можуть сильно відрізнятися за висотою тону та діапазоном частот. Так, наприклад, діапазон найнижчого чоловічого голосу – басу – простягається приблизно від 80 до , а діапазон високого жіночого голосу – сопрано – від 250 до.

Діапазон звукових коливань, що відповідає зміні частоти коливань у два рази, називається октавою. Голос скрипки, наприклад, перекриває приблизно три з половиною октави (), а звуки піаніно – сім із лишком октав ().

Коли говорять про частоту звуку, що видається струнами будь-якого струнного музичного інструменту, то мається на увазі частота f₁ основного тону (див. §2.6).Але в коливаннях струн можуть бути і гармоніки, частоти f_n яких задовольняють співвідношення: f_n = nf₁, (n = 1, 2, 3.).

Тому струна, що звучить, може випромінювати цілий спектр хвиль із кратними частотами. Амплітуди A_n цих хвиль залежать від способу збудження струни (змичок, молоточок); вони визначають музичне забарвлення звуку чи тембр. Аналогічно справи з духовими музичними інструментами. Труби духових інструментів є акустичними резонаторамитобто акустичними коливальними системами, здатними збуджуватися (резонувати) від звукових хвиль певних частот. За певних умов повітря всередині труб виникають стоячі звукові хвилі. На рис. 2.7.1 показано кілька типів стоячих хвиль (мод) в органній трубі, закритій з одного кінця та відкритій з іншого. Звуки, що видаються трубами духових інструментів, складаються з спектру хвиль з кратними частотами.

Стоячі хвилі в органній трубі, що закрита з одного кінця і відкрита з іншого. Стрілки показують напрямки руху частинок повітря протягом одного напівперіоду коливань

При настроюванні музичних інструментів часто використовується пристрій камертоном. Воно складається з дерев'яного акустичного резонатора та скріпленої з ним металевої виделки, налаштованих у резонанс. При ударі молотком по вилці вся система збуджується та видає чистий музичний тон.

Акустичним резонатором є гортань співака. На рис. 2.7.2 представлені спектри звукових хвиль, що випускаються камертоном, струною піаніно та низьким жіночим голосом (альт), що звучать на одній і тій самій ноті.

Відносні інтенсивності гармонік у спектрі звукових хвиль, що випускаються камертоном (1), піаніно (2) та низьким жіночим голосом (альт) (3), що звучать на ноті «ля» контроктави (f₁ = 220 Гц). По осі ординат відкладено відносні інтенсивності I/I₀

Звукові хвилі, частотні діапазони яких зображені на рис. 2.7.2, мають однією і тією самою висотою, але різними тембрами.

Розглянемо тепер явище, що виникає при накладенні двох гармонійних звукових хвиль з близькими, але все ж таки дещо різними частотами. Це явище зветься биття. Воно виникає, наприклад, при одночасному звучанні двох камертонів або двох гітарних струн, налаштованих майже однакові частоти. Биття сприймаються вухом як гармонійний тон, гучність якого періодично змінюється у часі. Нехай звуковий тиск p₁ і p₂, що діють на вухо, змінюються за законами p₁ = A₀ cos ω₁t і p₂ = A₀ cos ω₂t.

Для простоти вважатимемо, що амплітуди коливань звукових тисків однакові та рівні p₀ = A₀.

Відповідно до принципом суперпозиції повний тиск, що викликається обома хвилями в кожний момент часу, дорівнює сумі звукових тисків, що викликаються в той же момент часу кожною хвилею окремо.

Сумарну дію обох хвиль за допомогою тригонометричних перетворень можна представити у вигляді p = p 1 + p 2 = 2 A 0 cos ( 1 - 2 2 t ) cos ( 1 + 2 2 t ) = 2 A 0 cos ( 1 2 Δ ω t ) cos ( ω cp t ) , де Δω = ω 1 - ω 2 , а cp = 1 + 2 2 .

На рис. 2.7.3(1) зображено залежності тиску p₁ і p₂ від часу t. У момент часу t = 0 обидва коливання перебувають у фазі, та його амплітуди складаються.Так як частоти коливань дещо відрізняються одна від одної, через деякий час t₁ коливання виявляться у протифазі. У цей момент сумарна амплітуда обернеться в нуль (вагання «гасять» один одного). На момент часу t₂ = 2t₁ коливання знову опиняться у фазі тощо. буд. (Рис. 2.7.3 (2)).

Мінімальний інтервал між двома моментами часу з максимальною (або мінімальною) амплітудою коливань називається періодом биття T_б. Поступово змінюється амплітуда A результуючого коливання дорівнює A = 2 A 0 | cos 1 2 Δ ω t | .

Період T_б зміни амплітуди дорівнює 2π / Δω. Це можна показати й іншим способом, припустивши, що періоди коливань тисків у звукових хвилях T₁ і T₂ такі, що T₁ < T₂ (Тобто. ω₁ > ω₂). За період биття T_б відбувається деяке число n повних циклів коливань першої хвилі та (n – 1) циклів коливань другої хвилі: T_б = nT₁ = (n - 1) T₂.

Звідси випливає: T б = T 1 T 2 T 2 - T 1 = 2 π ω 1 - ω 2 = 2 π Δ ω або f б = 1 T б = 1 T 1 - 1 T 2 = f 1 - f 2 = Δ f .

Частота биття f_б дорівнює різниці частот Δf двох звукових хвиль, що сприймаються вухом одночасно.

Людина сприймає звукові биття до частот. Прослуховування биття є важливим елементом техніки налаштування музичних інструментів.

Биття, що виникають при накладенні двох звукових хвиль з близькими частотами Биття

Підручник Механічні хвилі

Якщо в якомусь місці твердого, рідкого або газоподібного середовища збуджені коливання частинок, то внаслідок взаємодії атомів і молекул середовища коливання починають передаватися від однієї точки до іншої з кінцевою швидкістю. Процес поширення коливань серед називається хвилею.

Механічні хвилі бувають різних видів. Якщо хвилі частки середовища відчувають зміщення у напрямі, перпендикулярному напрямку поширення, то хвиля називається поперечної. Прикладом такого роду хвилі можуть служити хвилі, що біжать по натягнутому гумовому джгуту (рис. 2.6.1) або по струні.

Якщо зміщення частинок середовища відбувається у напрямі поширення хвилі, то хвиля називається поздовжньою. Хвилі в пружному стрижні (рис. 2.6.2) або звукові хвилі в газі є прикладами таких хвиль.

Хвилі на поверхні рідини мають як поперечну, так і поздовжню компоненти.

Як у поперечних, і у поздовжніх хвилях перенесення речовини у напрямі поширення хвилі немає. У процесі поширення частки середовища лише роблять коливання біля положень рівноваги. Однак хвилі переносять енергію коливань від однієї точки середовища до іншої.

Поширення поперечного хвильового імпульсу по натягнутому гумовому джгуту Поширення поздовжнього хвильового імпульсу по пружному стрижню

Характерною особливістю механічних хвиль є те, що вони поширюються у матеріальних середовищах (твердих, рідких чи газоподібних). Існують хвилі, які здатні поширюватись і в порожнечі (наприклад, світлові хвилі). Для механічних хвиль обов'язково потрібне середовище, що має здатність запасати кінетичну та потенційну енергію. Отже, середа має володіти інертними та пружними властивостями. У реальних середовищах ці властивості розподілені у всьому обсязі. Так, наприклад, будь-який малий елемент твердого тіла має масу та пружність. У найпростішій одновимірної моделі тверде тіло можна як сукупність кульок і пружинок (рис. 2.6.3).

Найпростіша одновимірна модель твердого тіла

У цій моделі інертні та пружні властивості розділені. Кульки мають масу m, а пружинки – жорсткістю k. За допомогою такої простої моделі можна описати поширення поздовжніх та поперечних хвиль у твердому тілі. У поздовжніх хвилях кульки зазнають усунення вздовж ланцюжка, а пружинки розтягуються або стискаються. Така деформація називається деформацією розтягування чи стиснення (Див. §1.12). У рідинах чи газах деформація такого роду супроводжується ущільненням або розрідженням.

Поздовжні механічні хвилі можуть поширюватися в будь-яких середовищах – твердих, рідких та газоподібних.

Якщо в одномірній моделі твердого тіла одну або кілька кульок змістити в напрямку, перпендикулярному ланцюжку, то виникне деформація зсуву. Деформовані при такому зміщенні пружини прагнутимуть повернути зміщені частинки положення рівноваги. При цьому на найближчі незміщені частинки діятимуть пружні сили, які прагнуть відхилити їх від рівноваги. В результаті вздовж ланцюжка побіжить поперечна хвиля.

У рідинах та газах пружна деформація зсуву не виникає. Якщо один шар рідини або газу помістити на деяку відстань щодо сусіднього шару, то жодних дотичних сил на межі між шарами не з'явиться. Сили, що діють на межі рідини та твердого тіла, а також сили між сусідніми шарами рідини завжди спрямовані нормалі до кордону – це сили тиску. Те саме стосується газоподібного середовища. Отже, поперечні хвилі не можуть існувати в рідкому або газоподібному середовищах.

Значний інтерес для практики становлять прості гармонійні або синусоїдальні хвилі. Вони характеризуються амплітудою A коливання частинок, частотою f і довжиною хвилі λ.Синусоїдальні хвилі поширюються в однорідних середовищах з деякою постійною швидкістю. υ.

Зміщення y(x, t) частинок середовища із положення рівноваги в синусоїдальній хвилі залежить від координати x на осі OX, вздовж якої поширюється хвиля, і від часу t за законом: y ( x , t ) = A cos ? ( t - x ? ) = A cos ( ? t - k x ) , де k = ? ω = 2πf - Кругова частота.

На рис. 2.6.4 зображені моментальні фотографії поперечної хвилі в два моменти часу: t і t + Δt. За час Δt хвиля перемістилася вздовж осі OX на відстань υΔt. Такі хвилі прийнято називати біжучими (на відміну від стоячих хвиль, див. далі).

«Моментальні фотографії» синусоїдальної хвилі, що біжить в момент часу t і t + Δt

Довжиною хвилі λ називають відстань між двома сусідніми точками на осі OX, що коливаються в однакових фазах. λ, хвиля пробігає за період Т, отже, λ = υT, де υ - Швидкість поширення хвилі.

Для будь-якої обраної точки на графіку хвильового процесу (наприклад, для точки A на рис. 2.6.4) з часом t змінюється координата x цієї точки, а значення виразу ωt – kx не змінюється. Δt крапка A переміститься по осі OX на деяку відстань Δx = υΔt. Отже: ωt – kx = ω(t + Δt) – k(x + Δx) = const або ωΔt = kΔx.

Звідси випливає: υ = Δ x Δ t = k або k = 2 π λ = ω υ .

Таким чином, синусоїдальна хвиля, що біжить, має подвійну періодичність - у часі і просторі Тимчасовий період дорівнює періоду коливань. T частинок середовища, просторовий період дорівнює довжині хвилі λ. Хвильове число k = 2 π λ є просторовим аналогом кругової частоти ω = 2 π T .

Звернімо увагу на те, що рівняння y(x, t) = A cos (ωt + kx) описує синусоїдальну хвилю, що розповсюджується в напрямку, протилежному напрямку осі OX, Зі швидкістю υ = - ω k .

У синусоїдальній хвилі, що біжить, кожна частка середовища здійснює гармонічні коливання з деякою частотою ωТому, як і у випадку простого коливального процесу, середня потенційна енергія, запасена в деякому обсязі середовища, дорівнює середньої кінетичної енергії в тому ж обсязі і пропорційна квадрату амплітуди коливань.

Звідси випливає, що при поширенні хвилі, що біжить, виникає потік енергії, пропорційний швидкості хвилі і квадрату її амплітуди.

Хвилі, що біжать, поширюються в середовищах з певними швидкостями, що залежать від типу хвилі, а також від інертних і пружних властивостей середовища.

Швидкість поперечних хвиль у натягнутій струні або гумовому джгуті залежить від погонної маси μ (т. е. маси одиниці довжини) та сили натягу T: υ = T μ.

Швидкість поширення поздовжніх хвиль у безмежної середовищі визначається щільністю середовища ρ (тобто масою одиниці обсягу) та модулем всебічного стиснення B, який дорівнює коефіцієнту пропорційності між зміною тиску Δp та відносною зміною обсягу ΔV/V, взятому зі зворотним знаком: p = - B V V .

Вираз швидкості поширення поздовжніх хвиль у безмежних середовищах має вигляд υ = B ρ .

Наприклад, при температурі 20 °С швидкість поширення поздовжніх хвиль у воді υ ≈ ​​1480 м/с, у різних сортах сталі υ ≈ ​​5–6 км/с.

При поширенні поздовжніх хвиль у пружних стрижнях у формулу швидкості хвиль замість модуля всебічного стиснення B входить модуль Юнга E (Див. §1.12): υ = E ρ .

Для стали відмінність E від B невелико, для інших матеріалів воно може становити 20–30 % і навіть більше.

Поздовжні та поперечні хвилі

Якщо механічна хвиля, яка поширюється серед, зустрічає своєму шляху якесь перешкода, вона може різко змінити характер своєї поведінки. Наприклад, на межі розділу двох середовищ з різними механічними властивостями хвиля частково відбивається, а частково проникає у друге середовище. Хвиля, що біжить гумовим джгутом або струною відбивається від нерухомо закріпленого кінця; при цьому виникає хвиля, що біжить у зустрічному напрямку. У струні, закріпленій обох кінцях, виникають складні коливання, які можна як результат накладання (суперпозиції) двох хвиль, що розповсюджуються в протилежних напрямках і зазнають відображення та переображення на кінцях. Коливання струн, закріплених обох кінцях, створюють звуки всіх струнних музичних інструментів. Дуже схоже явище виникає під час звучання духових інструментів, зокрема органних труб.

Якщо хвилі, що біжать струною у зустрічних напрямках, мають синусоїдальну форму, то за певних умов вони можуть утворити стоячу хвилю.

Нехай струна довжини l закріплена так, що один з її кінців знаходиться в точці x = 0, а інший – у точці x₁ = L (Рис. 2.6.5). У струні створено натяг T.

Освіта стоячої хвилі в струні, закріпленої обох кінцях

По струні одночасно поширюються у протилежних напрямках дві хвилі однієї й тієї частоти:

• y₁ (x, t) = A cos (ωt + kx) - хвиля, що біжить праворуч наліво;
• y₂ (x, t) = -A cos (ωt - kx) - хвиля, що біжить зліва направо.

У точці x = 0 (один із закріплених кінців струни) падаюча хвиля y₁ внаслідок відображення породжує хвилю y₂. При відображенні від нерухомо закріпленого кінця відбита хвиля виявляється у протифазі з падаючою. Згідно принципом суперпозиції, Що є експериментальним фактом, коливання, викликані зустрічними хвилями в кожній точці струни, складаються. Таким чином, результуюче коливання в кожній точці дорівнює сумі коливань, спричинених хвилями y₁ і y₂ окремо. Отже, y = y₁ (x, t) + y₂ (x, t) = (-2A sin ωt) sin kx.

Це і є стояча хвиля. У стоячій хвилі існують нерухомі точки, які називаються вузлами. Посередині між вузлами знаходяться точки, що коливаються з максимальною амплітудою. Ці точки називаються пучностями.

Обидва нерухомі кінці струни повинні бути вузлами. Наведена вище формула задовольняє цю умову на лівому кінці (x = 0). Для виконання цієї умови та на правому кінці (x = L), необхідно щоб kL = nπ, де n - Будь-яке ціле число. Це означає, що стояча хвиля у струні виникає не завжди, а лише в тому випадку, якщо довжина L струни дорівнює цілому довжині напівхвиль: l = n λ n 2 або λ n = 2 l n ( n = 1, 2, 3, . ) .

Набір значень λ_n довжин хвиль відповідає набір можливих частот f_n: f n = ? λ n = n ? 2 l = n f 1 , де ? = T μ - швидкість поширення поперечних хвиль по струні. Кожна частот f n і пов'язаний з нею тип коливання струни називається нормальною модою. Найменша частота f₁ називається основною частотою, всі інші (f₂, f₃, …) називаються гармоніками. На рис.2.6.5 зображено нормальну моду для n = 2.

У стоячій хвилі немає потоку енергії. T) Перетворення кінетичної енергії в потенційну і назад як у звичайній коливальній системі. f_n.На рис. 2.6.6 зображено кілька типів стоячих хвиль у струні, закріпленій на обох кінцях.

Перші п'ять нормальних мод коливань струни, закріпленої на обох кінцях

Відповідно до принципу суперпозиції стоячі хвилі різних типів (тобто з різними значеннями n) можуть одночасно бути присутнім у коливаннях струни.