Визначення циліндра: його основа та висота, різновиди

Розбираємось в особливостях тривимірного геометричного тіла під назвою циліндр. Дивимося види циліндрів, його властивості, які бувають розгортки, а також даємо визначення складових частин цієї фігури.

Що таке циліндр у геометрії

Циліндр — це тривимірне геометричне тіло, яке обмежене циліндричною поверхнею та двома паралельними площинами.

Циліндрична поверхня - Це поверхня, яка утворюється за рахунок руху в просторі прямої (утворюючої) паралельно самій собі, що перетинає цю лінію (напрямну).

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

Підстави — це однакові кола, які обмежують циліндр і є паралельно одне одному.

Утворююча - Відрізок, який з'єднує точки кіл основ циліндра і перпендикулярний площин цих основ. Вона дорівнює висоті циліндра або відстані від однієї його основи до іншої.

Види циліндрів

Класифікація циліндрів може бути різною залежно від тих чи інших параметрів:

У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні підстав фігури.

У разі, коли цей кут не дорівнює \(90^\circ\), циліндр називають похилим.

Крім кіл, в основі фігури можуть бути ще й еліпси або інші замкнуті фігури. Однак, крім замкнутих форм, на підставі циліндра може служити і парабола, і гіпербола, і будь-яка друга відкрита функція. Такий циліндр називатиметься розгорнутим.

Як знайти висоту циліндра

Розглянемо варіанти знаходження висоти фігури, а також довжини її утворюючої (яка дорівнює цій висоті).

• Насамперед поглянемо на формулу: \(V=\pi R^2\times H\) , де V — об'єм циліндра, R — радіус основи, H — висота фігури.

Через цю формулу можемо висловити висоту:

Таким чином ми можемо дізнатися H даного геометричного тіла, якщо нам відомий його об'єм та радіус. Якщо ж замість радіусу ми знаємо діаметр, формула розрахунку виглядатиме так:

У випадку, коли нам відомий діаметр і площа фігури, ми можемо знайти висоту. Слід звернути увагу, що залежно від того, чи буде відома площа бічний або повної поверхні, формула буде змінюватися.

Для розрахунку S бічної поверхні (Частина, обмежена циліндричною поверхнею) циліндра ми використовуємо формулу:

виражаємо H і отримуємо:

Якщо відома S повної поверхні (включає площу підстав фігури), використовуємо формулу:

\(S=2\pi R(H+R)=2\pi R\times H+2\pi R^2\)

виражаємо H і отримуємо:

• Для третього способу потрібно буде провести прямокутний переріз, ширина якого повинна збігатися з діаметрами основ, а довжина - з утворюючими циліндра.

Таким чином, виходить прямокутний трикутник САВ. Оскільки висота дорівнює твірної, ми можемо обчислити її за теоремі Піфагора:

Розгортка

Як вже було згадано вище, всього існує дві площі поверхні циліндра: бічної поверхні та повної поверхні. Кожна з них також має свою розгортку. Розберемося, як вони виглядають.

Розгорнення бічної поверхні

Найлегше уявити розгортку бічної поверхні циліндра, подивившись на етикетку пластикової пляшки. Коли ви відклеюєте її, то бачите прямокутник.Те саме і з циліндричним геометричним тілом: розгорткою його бічної поверхні є прямокутник. Його довжина відповідає довжині кола, що лежить в основі, а ширина — висоті тривимірної фігури.

Розгортання повної поверхні

Якщо розгорнути повну поверхню циліндра, вийде приблизно те саме, тільки з двома додатковими елементами у вигляді кіл підстав. Виглядає так:

Циліндр у геометрії - формули, визначення з прикладами

Поверхню циліндра можна розгорнути на площину, в результаті вийде прямокутник, що представляє бічну поверхню циліндра, і два кола, що становлять його основи. На малюнку 30 показаний циліндр та його розгортка.

Теорема 4.

Бічна поверхня циліндра дорівнює добутку довжини кола основи та утворює:

p align="justify"> На площині важливою конфігурацією, яка часто зустрічається в задачах, є поєднання кола з прямою. Подібною просторовою конфігурацією є поєднання циліндра із площиною.

Якщо циліндр перетнути площиною, паралельною основі, то вийде коло, що дорівнює основі (рис. 31), а якщо площиною, перпендикулярною до основи, то — прямокутник, одна сторона якого дорівнює висоті циліндра (рис. 32). Осьовий переріз циліндра, е. переріз площиною, що проходить через вісь циліндра, є прямокутником, сторони якого рівні висоті циліндра та діаметру його основи (рис. 33).

Рухатимемо площину, що проходить через вісь циліндра, паралельно самій собі (рис. 34). При цьому дві протилежні сторони прямокутника-перетину циліндра, що є хордами основ, будуть зменшуватися, а дві інші сторони, що є утворюючими циліндра, - зближуватись до того моменту, поки не збігатимуться.Отримаємо площину, що містить утворює циліндра і не має інших загальних точок. дотичною площиною циліндраБудь-яка пряма, проведена в дотичній площині циліндра і відмінна від твірної, має з циліндром єдину загальну точку. дотичної прямої циліндра.

Теорема 5.

Якщо площина стосується циліндра деякою твірною, то їй перпендикулярна площина, що проходить через цю утворюючу і вісь циліндра.

Доказ:

Нехай площина стосується циліндра з віссю утворюючою (рис. 35).

Проведемо пряму , яка перетинає пряму в точці , пряму в точці і перпендикулярна до осі . що стосується кола, можемо стверджувати, що пряма перпендикулярна радіусу кола з центром в точці . площині . що містить утворюючу і вісь, проходить і через пряму. Тому вона, за ознакою перпендикулярності площин, перпендикулярна площині.

Теорема 5 висловлює властивість щодо площини циліндра.

Теорема 6.

Площина стосується циліндра, якщо вона проходить через його утворювальну і перпендикулярну площині, що містить цю утворювальну і вісь циліндра.

Доказ:

Нехай площина містить утворює циліндра і перпендикулярна до площини, що проходить через цю утворювальну і вісь (рис. 36). Доведемо, що площина немає з циліндром інших загальних точок, крім точок утворює .

Нехай - точка площини, що не належить твірній. Через цю точку проведемо площину, перпендикулярну до осі. Вона перетне циліндр по колу з центром, що утворює в деякій точці і площину по прямій. Оскільки площини та обидві перпендикулярні площині, то їхня лінія перетину також перпендикулярна площині, а тому. Враховуючи, що і відповідно гіпотенуза і катет прямокутного трикутника , отримаємо, що . Значить, точка не належить циліндрові з віссю.

Теорема 6 висловлює ознака дотичної площини циліндра.

Нехай є циліндр (рис. 37). Впишемо в одну з підстав циліндра багатокутник, через його вершини проведемо ті, що утворюють , , . , і з'єднаємо їх інші кінці, , . , . В результаті отримаємо призму. Її називають призмою, вписаною в циліндр, а сам циліндр називають циліндром, описаним біля призми.

Якщо циліндр описаний біля призми, то основи циліндра описані біля основ призми, а бічна поверхня циліндра містить бічні ребра призми.

Подібним чином запроваджується поняття призми, описаної біля циліндра, і циліндра, вписаного в призму (Рис. 38). Якщо призма описана біля циліндра, її підстави описані біля основ циліндра, а бічні грані стосуються бічної поверхні циліндра.

Теорема 7.

Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи та утворює:

Доказ:

Нехай є циліндр із віссю (рис. 39). У нього впишемо правильну призму і, крім того, біля нього опишемо правильну призму. Відповідно до теореми 3 обсяг першої призми дорівнює добутку площі багатокутника і висоти призми, яка дорівнює бічному ребру, а обсяг другої — добутку площі багатокутника і тієї ж висоти. Об'єм самого циліндра укладено між цими обсягами.

Будемо кількість сторін підстав призми робити все більшим і більшим. Тоді обсяг першої призми збільшується, обсяг другої — зменшується, а різниця між ними прагне нуля, якщо кількість сторін стає необмежено більшою. Те число, якого наближаються обсяги обох призм, приймається за обсяг циліндра.

В описаному процесі висота призми залишається рівною бічному ребру, яке дорівнює утворює циліндра, а площі багатокутників і прагнуть площі кола, що лежить в основі циліндра. Значить, об'єм циліндра дорівнює добутку площі основи та утворює циліндра:

Поверхня циліндра

Ще один важливий клас просторових фігур – тіла обертання. Циліндр є одним із них, ми познайомимося з ним глибше. Властивості циліндра нагадують властивості призм, ми послідовно вивчимо їх.

Тіло, отримане обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін називають циліндром (точніше, прямий круговий циліндр) (рис. 75). При обертанні прямокутника одна його сторона залишається нерухомою. Її називають віссю циліндра. Поверхню, утворену при обертанні протилежної сторони прямокутника, називають циліндричною поверхнею, а сам бік утворює циліндра. Дві інші сторони прямокутника при цьому обертанні утворюють два рівні круги, які називають основами циліндра (Мал. 76).

Зауваження. Тіло, отримане обертанням прямокутника навколо однієї з сторін називають прямим круговим циліндром.Більш широке поняття циліндра вводять в такий спосіб.

Нехай у просторі паралельне перенесення переводить плоску фігуру F₁у фігуру F2. Тіло, що складається з цих фігур і відрізків, що з'єднують їх відповідні точки, називають циліндром (Мал. 77).

Якщо при паралельному перенесенні утворює перпендикулярну площину фігури F_{1 ,} циліндр називають прямим (рис. 78.а), інакше похилим циліндром (Мал. 78.b). На малюнку 78.с зображено Пізанську вежу, що має вигляд похилого циліндра.

Якщо фігура F₁ є кругом, то циліндр називають круговим циліндром.

Тільки прямий круговий циліндр є тілом обертання. Надалі ми розглядатимемо прямі кругові циліндри, які для стислості називатимемо циліндрами.

Основи циліндра є рівними колами, лежать на паралельних площинах. Перпендикуляр, опущений з певної точки однієї основи на іншу, називають його заввишки.

Відстань між паралельними площинами дорівнює висоті циліндра. Вісь циліндра також його висотою.

Утворювальні циліндри паралельні і рівні. Так само, довжини висоти, осі і утворюють циліндра будуть рівні між собою.

Перерізом циліндра площиною паралельної осі є прямокутник (рис.79.а). Дві протилежні сторони - це утворюють циліндра, а дві інші сторони - відповідні паралельні хорди основ циліндра.

Зокрема, осьовий переріз також прямокутник, утворений перерізом циліндра площиною, що проходить через вісь (рис. 79.b).

Діагоналі осьового перерізу циліндра проходять через точку, що є серединою відрізка, що з'єднує центри основ циліндра. Отже, ця точка Q є центр симетрії циліндра (рис. 79с).

Площина, що проходить через точку Q Перпендикулярно до осі циліндра є його площиною симетрії (рис. 80). Будь-яка площина, що проходить через вісь циліндра, також буде вісь симетрії циліндра (рис. 81).

Приклад:

Осьовий переріз циліндра - квадрат, площа якого Q. Знайдіть площу основи циліндра.

Рішення:

Сторона квадрата дорівнює. Вона дорівнює діаметру

основи. Тому його площа дорівнює

Доведіть самостійно цю теорему, використовуючи малюнок 82.

Слідство. Повна поверхня циліндра дорівнює сумі його бічної поверхні та площ двох його основ:

Нехай дано довільний циліндр. Впишемо в одну з його основ багатокутник (рис. 83). Через вершини багатогранника проведемо утворювальні циліндри, інші кінці яких і послідовно з'єднаємо відрізками. В результаті отримаємо призму. Цю призму називають призмою, вписаною в циліндр. А циліндр називають циліндром, вписаним у призму. Якщо призма вписана в циліндр, то основа призми буде вписана в основу циліндра і бічні ребра призми лежатимуть на бічній поверхні циліндра.

Зрозуміло, якщо навколо основи призми можна описати окружність, то навколо призми можна описати циліндр.

Аналогічно вводяться поняття призми, описаної навколо циліндра і циліндра, вписаного в призму (Рис. 84). Якщо призма описана навколо циліндра, то основа призми буде описана навколо основи циліндра і бічні грані призми стосуватимуться бічної поверхні циліндра.

Зрозуміло, що й у підставу призми можна вписати коло, навколо циліндра можна описати призму.

Об'єм циліндра

Теорема. Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи та утворює циліндра:

Доказ. Нехай дано циліндр із віссю ГО₁ (Рис. 85).Впишемо в нього призму і опишемо навколо нього призму. Позначимо об'єм циліндра V, а обсяги вписаної та описаної призм V₁ і V₂ , тоді має місце подвійна нерівність. Обсяги призм знаходять за такими формулами:

Збільшуватимемо все більше і більше n сторін підстав призм. Тоді обсяг вписаної призми збільшуватиметься, а обсяг описаної призми зменшуватиметься. Якщо число n сторін збільшувати необмежено, то різницю між обсягами прагне до нуля. Число, до якого наближаються обсяги вписаної та описаної призм, приймають за обсяг цієї призми. При цьому площі багатогранників і прагнутимуть площі S кола, що лежить в основі циліндра. Отже,

Історичні відомості:

У творі Абу Райхна Беруні "Книга про початки мистецтва астрономії" ("Астрономія") як введення в стереометрію в розділі про геометрію наводяться такі визначення фігур:

Куб - фізична фігура, схожа на кубик для гри в нарди, обмежена із шести сторін квадратами.

Призма - являє собою фігуру, обмежену з боків площинами у формі квадрата або прямокутника, а зверху та знизу -двома трикутниками. У цьому вся визначенні Беруні наведено опис приватного виду призми, саме трикутної призми.

Книга Беруні «Канон Масьуда» написана 1037 року. У ній наведено правила знаходження обсягів паралелепіпеда і призми: «Якщо тіло не чотирикутне або іншого виду, то його розрахунок такий: знайди площу, помнож його на глибину, в результаті отримаєш об'єм». У творі Абу Алі ібн Сіно «Книга знання» у розділі «Основи вивчення геометричних тіл» дано опис тіла та трикутної призми. А також описано умови взаємної рівності двох призм.Ібн Сіно дає таке визначення призми: «Призма - тіло, обмежене двома плоскими трикутними сторонами.

У творі Аль Каші «Книга рахунку» наведе багато прикладів розрахунку площ поверхонь та обсягів тіл. Завдяки своїм глибоким знанням у математиці, геометрії, тригонометрії, механіці та астрономії він користувався увагою та повагою Улугбека. Аль Каші поряд з багатокутниками вивчав призми, піраміди, циліндри, конуси, усічені конуси.

Таблиця наближених значень тригонометричних функцій:

• Піраміда у геометрії
• Конус у геометрії
• Сфера у геометрії
• Куля в геометрії
• Виникнення геометрії
• Призма у геометрії
• Планіметрія - формули, визначення та обчислення
• Стереометрія - формули, визначення та обчислення

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.

Циліндр. Формули та властивості циліндра

Циліндр - це геометричне тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома площинами (основами циліндра).

Циліндрична поверхня - Поверхня, що отримується при русі прямий (утворює L) паралельно самій собі, вздовж плоскої кривої спрямовуючою.

Основи циліндра - Плоскі фігури, утворені перетином циліндричної поверхні з двома площинами.

Круговий циліндр

Найчастіше під циліндром мається на увазі прямий круговий циліндр, у якого напрямна - Коло, а підстави перпендикулярні утворює. Такий циліндр має вісь симетрії.

Прямий круговий циліндр можна описати, як об'ємну фігуру, що утворюється обертанням прямокутника навколо своєї сторони на 360°.

Визначення. Осьовий переріз циліндра - це переріз циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра.

Визначення. Стосовна площина до циліндра - це площина, яка проходить через утворювальну циліндра і перпендикулярно до осьового перерізу циліндра.

Похилий циліндр - Циліндр, у якого утворюють не перпендикулярно основам циліндра (Рис.3 - похилий круговий циліндр).

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені до чорного списку!