Лінійні операції над векторами

Сумою а + b двох векторів а і b називається вектор, який йде з початку вектора а в кінець вектора b за умови, що вектор b прикладено до кінця вектора (правило трикутника) Побудова суми а + b зображено на рис. 42.

Поряд із правилом трикутника часто користуються (рівносильним йому). правилом паралелограма: якщо вектори а і b приведені до загального початку і на них побудований паралелограм, то сума а + b є вектор, що збігається з діагоналлю цього паралелограма, що йде із загального початку а та b (рис. 43). Звідси відразу випливає, що a + b = b + а.

Додавання багатьох векторів здійснюється за допомогою послідовного застосування правила трикутника (див. рис. 44, де зображено побудову суми чотирьох векторів а, b, с, d).

Різницею а - b двох векторів а і b називається вектор, який у сумі з вектором Ь складає вектор а. Якщо два вектори а і b приведені до загального початку, то різниця їх а - b є вектор, що йде з кінця b («віднімається») до кінця а («зменшується»). Два вектори рівної довжини, що лежать на одній прямій і спрямовані в протилежні сторони, називаються взаємно зворотними: якщо один із них позначений символом а, інший позначається символом -а. Легко бачити, що а – b = а + (-b). Таким чином, побудова різниці рівносильна додаванню до «зменшуваного» вектора, зворотного «віднімається».

Добутком ом (або також aα) вектора на число α називається вектор, модуль якого дорівнює добутку модуля вектора а на модуль числа α; він паралельний вектору а або лежить з ним на одній прямій і спрямований так само, як вектор а, якщо - число позитивне, і протилежно вектору а, якщо - число негативне.

Додавання векторів і множення вектора на число називаються лінійними операціями над векторами.

Мають місце такі дві основні теореми про проекції векторів:

1. Проекція суми векторів на якусь вісь дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь:

2. При множенні вектора на його проекція множиться «а те число:

Якщо а = (X; Y; Z), то для будь-якого числа α

Вектори, що лежать на одній прямій або паралельних прямих, називаються колінеарними. Ознакою колінеарності двох векторів

є пропорційність їх координат:

Трійка векторів i, j, k називається координатним базисом, якщо ці вектори задовольняють наступним умовам:

1) вектор i лежить на осі Ох, вектор i – на осі Оу, вектор k – на осі Oz;

2) кожен із векторів i, j, k спрямований на своїй осі в позитивну сторону;

3) вектори i, j, k – поодинокі, т. е. |i| = 1, | j | = 1, | k | = 1

Яким би не був вектор, він завжди може бути розкладений по базису i, j, k, т. е. може бути представлений у вигляді:

коефіцієнти цього розкладання є координатами вектора (т. е. X, Y, Z суть проекції вектора а на координатні осі).

761. За даними векторами а та b побудувати кожен із наступних векторів: 1) а + b; 2) a - b; 3) b - а; 4) -а – b.

762. Дані: | а | = 13, | b | = 19 та |а + b| = 24. Обчислити | а - b |.

763. Дані: | а | = 11, | b | = 23 і | а - b | = 30. Визначити | а + b |.

764.Вектори і b взаємно перпендикулярні, причому |а| = 5 та |b| = 12. Визначити | a + b | та |а - b|.

765. Вектори а та b утворюють кут φ = 60°, причому |а| = 5 та |b| = 8. Визначити | а + b | та |а - b|.

766. Вектори а та b утворюють кут φ = 120°, причому |а| = 3 та |6| =5. Визначити | a + b | та |а - b|.

767. Якій умові повинні задовольняти вектори а та b, щоб мали місце такі співвідношення: 1) |а + b| = | а - b |; 2) |а+b| > |а-b|; 3) |а+b| АB = m та вектор АC = n. Побудувати кожен із наступних векторів: 1) (m + n)/2; 2) (m - n)/2; 3) (n - m)/2; 4) -(m + n)/2. Приймаючи як масштабну одиницю 1/2 |n|, побудувати також вектори: 5) |n| m + | m | n; 6) | n | m - | m | n.

771. Точка Про є центром тяжкості трикутника АБС. Довести, що OA+OB+OC=0.

772. У правильному п'ятикутнику ABCDE задані вектори, що збігаються з його сторонами: AB = m, BC = n, CD = р, DE = q та EA = r. Побудувати вектори: 1) m – n + p – q + r; 2) m + 2р + 1/2r; 3) 2m + 1/2n - Зр - q + 2r.

773. У паралелепіпеді ABCDA'B'C'D' (рис задані вектори, що збігаються з його ребрами: АB = m, АD = n і АA' = p. Побудувати кожен із наступних векторів:

1) m+n+р; 2) m+n+1/2p;

3) 1/2m + 1/2n + р; 4) m + n – р;

774. Три сили М, N та Р, прикладені до однієї точки, мають взаємно перпендикулярні напрямки. Визначити величину їх рівнодіючої R, якщо відомо, що | = 2кГ, | N | = 10 кг і |Р| = 11 кг.

775. Дано два вектори а = і b = . Визначити проекції на координатні осі наступних векторів: 1) a + b; 2) а - b; 3) 2а; 4) – 1/2b; 5) 2а + 3b; 6) 1/3a – b.

776.Перевірити колінеарність векторів а = та b = . Встановити, який з них довший за інший і у скільки разів, як вони спрямовані - в одну або в протилежні сторони.

777. Визначити, за яких значень α, β вектори а = 2i + 3j + βk і b = ai - 6j + 2k колінеарні.

778. Перевірити, що чотири точки А (3; -1; 2), B (1; 2; -1), С (-1; 1; -3), D (3; -5; 3) служать вершинами трапеції .

779. Дано точки А(- 1; 5; -10) B(5;-7; 8), С(2; 2; -7) і D(5; -4; 2). Перевірити, що вектори АB та CD колінеарні; встановити, який з них довший за інший і у скільки разів, як вони спрямовані - в одну або в протилежні сторони.

780. Знайти орт вектора а = .

781. Знайти орт вектора а = .

782. Визначити модулі суми та різниці векторів а = та b = .

783. Дано розкладання вектора з базисом i, j, k: с = 16i - 15j + 12k. Визначити розкладання за тим самим базисом вектора d, паралельного вектору з і протилежного з ним напряму, за умови, що | d | = 75.

784. Два вектори а = та b = прикладені до однієї точки. Визначити координати вектора, направленого по бісектрисі кута між векторами а і b, за умови, що |з| = 3√42.

785. Вектори АB = та АC = збігаються зі сторонами трикутника ABC. Визначити координати векторів, прикладених до вершин трикутника і збігаються з медіанами AM, BN, СР.

786 *). Довести, що якщо р і q - які завгодно не-колінеарні вектори, то будь-який вектор, що лежить у їхній площині, може бути представлений у вигляді: a = αp + αq.

Довести, що числа α та β векторами а, р та q визначаються однозначно. (Подання вектора а у вигляді a = αp + βq називається розкладанням його за базисом р, q; числа α і β називаються коефіцієнтами цього розкладання.)

Доказ. Наведемо вектори а, р та q до загального початку, яке позначимо буквою О (рис. 46).Кінець вектора позначимо буквою А. Через точку А проведемо пряму, паралельну вектору q. Точку перетину цієї прямої з лінією дії вектора р позначимо через А_p. Аналогічно, проводячи через точку А пряму, паралельну вектору р отримаємо в перетині з лінією дії вектора q точку A_q.

За правилом паралелограма отримаємо:

Оскільки вектори OA _p і р лежать на одній прямій, то вектор OA _p може бути отриманий множенням вектора на деяке число α

З рівностей (1). (2) та (3) отримуємо: а = αр + βq. Тим самим можливість необхідного розкладання доведено. Залишається довести, що коефіцієнти і цього розкладання визначаються однозначно.

*) Завдання 786 та 792 істотні для правильного розуміння інших завдань. Рішення першої тут наводиться повністю.

Припустив, що вектор має два розкладання;

а = αр + βq, а = α'р + βq,

і, наприклад, α' ≠ α. Віднімаючи почленно одне з іншого, отримуємо:

(α'-α)р + (β'-β)q = 0 або р = (β-β')/(α'-α)q.

Але ця рівність означає колінеарність векторів р і q, які, однак, за умовою є неколінеарними. Отже, нерівність α' ≠ α неможлива. Аналогічно доводиться, що неможлива нерівність β' ≠ β. Таким чином, α'= α, β' = β,т. е. двох різних розкладів той самий вектор мати не може.

787. На площині дано два вектори р = , q = < 1; 2>. Знайти розкладання вектора а = базисом р, q.

788. На площині дано три вектори a = , b = і с = . Визначити розкладання кожного з цих трьох векторів, приймаючи як базис два інших.

789. Дано три вектори а = , b = , с = . Визначити розкладання вектора р = а + b + з базисом а, b.

790.Приймаючи як базис вектори AB = b і AC = с, що збігаються зі сторонами трикутника ABC, визначте розкладання векторів, прикладених у вершинах трикутника і збігаються з його медіанами.

791. На площині дано чотири точки A (1; -2), (2; 1), С(3; 2) і D (-2; 3). Визначити розкладання векторів AD , BD , CD та AD + BD + CD , приймаючи як базис вектори AB і AC .

792. Довести, що й р, q і r - які завгодно некомпланарні вектори ), то кожен вектор простору може бути представлений у вигляді: а = αр + βq + γr. Довести, що числа α, β, γ векторами а, р, q і r визначаються однаково. (Подання вектора а у вигляді a = αр + βq + γr називається розкладанням його за базисом р, q, r. Числа α, β і γ називаються коефіцієнтами цього розкладання.)

793. Дано три вектори р = , q = , r = . Знайти розкладання вектора з = базисом р, q, r.

*) Три вектори називаються некомпланарними, якщо після приведення до загального початку вони не лежать в одній площині.

794. Дано чотири вектори а = , b = , с = і d = . Визначити розкладання кожного з цих чотирьох векторів, приймаючи як базис три інші.

Вектор для чайників. Дії з векторами.
Векторні координати. Найпростіші завдання з векторами

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною.Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичний ж метод передбачає вирішення завдань переважно за допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звісно, ​​не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

З інструментальних засобів пропоную власну розробку – програмний комплекс з аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб і т.д. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площині з найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуться типові завдання.

Більше того, за матеріалами сайту створено книгу!

. так, це відбулося! - Освойте ази теорії і навчитеся вирішувати в найкоротші терміни! Дякую за підтримку проекту.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Вектор називається спрямований відрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напрям має важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти у двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором . У такого вектора кінець і початок збігаються.

. Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення: Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим самим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і таке інше. При цьому перша літера обов'язково позначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиною або модулем ненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

Це були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам.В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший «шкільний» вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини чи простору. Це дуже крута властивість! Уявіть спрямований відрізок довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все майже коректно – спрямований відрізок можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор – це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретний спрямований відрізок, взятий з даної множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка застосування має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі чи лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад тягне різні наслідки. Втім, невільні вектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Далі, якщо не обговорюється інше, йтиметься лише про вільні вектори.

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін. Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінця вектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний зміст: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого переміщення з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початку вектора , то вийде еквівалентне правило паралелограма додавання векторів.

Розмноження вектора на число

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення: колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Твором ненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямок на протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшується у раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний (По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співспрямовані та мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничні вектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарність і ортогональність.

Позначення: ортогональність векторів записують звичною позначкою перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторами або ортами. Дані вектори утворюють базис на площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів. Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованим базисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення: базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовності перераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можна переставляти місцями.

Будь-який вектор площині єдиним чином виражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами вектора у цьому базисі. А сам вираз називається розкладання вектора по базису .

! ВСІМ настійно рекомендую прочитати ВСЕ!

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, слушна для будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, ліворуч унизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор направлений протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:

А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І, нарешті: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Прослідкуйте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт (Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються усі три варіанти запису.

Сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місці записуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місці записуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежусь одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Перед вами ортонормований базис тривимірного простору та прямокутна система координат, поодинокі вектори даного базису попарно ортогональні: і . Вісь нахилена під кутом 45 градусів лише для того, щоб складалося візуальне враження простору. Про те, як правильно виконувати плоскі та тривимірні креслення на папері, читайте на самому початку методички Графіки та властивості функцій.

Будь-який вектор тривимірного простору можна єдиним способом розкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад із зображення: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка).По-друге, перед вами приклад додавання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо у розкладанні відсутня один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо) - запишемо;
вектор (прискіпливо) - запишемо;
вектор (прискіпливо) - запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для складання теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця вектора потрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання: Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення: за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок - Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора - Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому при бажанні чи необхідності ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини (щоб уникнути плутанини перепозначивши, наприклад, через ). Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координат абсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори.

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться ;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії? Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення: за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна.Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, в такий спосіб: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Отже: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок: якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, його довжина обчислюється за такою формулою.

Дані формули (як і формули довжини відрізка) легко виводяться за допомогою відомої теореми Піфагора.

Дано крапки і . Знайти довжину вектора.

Я взяв ті ж точки, що й у Прикладі 3.

Рішення: Спочатку знайдемо вектор:

За формулою обчислимо довжину вектора:

Відповідь:

Не забуваймо вказувати розмірність – «одиниці»! Чи завжди, до речі, потрібно розраховувати наближене значення (у даному прикладі 8,94), якщо цього не потрібно умовою? На мою думку, зайвим не буде, відсутність наближеного значення тягне на причіпку. Округлення доцільно проводити до 2-3 знаків після коми.

Виконаємо креслення до завдання:

У чому принципова відмінність від Прімера 3? Відмінність полягає в тому, що тут йдеться про вектор, а не про відрізок. Вектор можна перемістити в будь-яку точку площини, при цьому краще перепозначити, наприклад, через .

А в чому подібність Прімера 3 і Прімера 5? Геометрично очевидно, що довжина відрізка дорівнює довжині вектора. Так само очевидно, що довжина вектора буде такою самою. За підсумками:

Завдання 3 можна було вирішити і другим способом, повторюю умову: Дані точки та . Знайти довжину відрізка.

Замість застосування формули, чинимо так:
1) Знаходимо вектор.
2) А тепер посилаємося на те, що довжина відрізка дорівнює довжині вектора:

Цей спосіб широко практикується в ході розв'язування задач аналітичної геометрії.

Вищесказане справедливе і для просторового випадку

а) Дані точки та . Знайти довжину вектора.
б) Дано вектори , , і . Знайти їх довжину.

Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Дії з векторами в координатах

У першій частині уроку ми розглядали правила складання векторів та множення вектора на число. Але розглядали їх із принципово-графічної точки зору. Подивимося, як ці правила працюють аналітично – коли задані координати векторів:

1) Правило складання векторів. Розглянемо два вектори площини та . Для того щоб скласти вектори, потрібно скласти їх відповідні координати: . Як просто. Про всяк випадок запишу окремий випадок – формулу різниці векторів: . Аналогічне правило справедливе для суми будь-якої кількості векторів, додамо, наприклад, вектор і знайдемо суму трьох векторів:

Якщо мова йде про вектори в просторі, то все так само, тільки додасться додаткова координата. Якщо дані вектори , їх сумою є вектор .

2) Правило збільшення вектора на число. Ще простіше! Щоб вектор помножити на число , потрібно кожну координату даного вектора помножити на число :
.

Для просторового вектора правило таке саме:

Наведені факти доводяться в курсі аналітичної геометрії.

Примітка: Дані правила справедливі як для ортонормованих базисів , але й довільного афінного базису площини чи простору. Докладніше про базиси читайте у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.

Дано вектори і . Знайти і

Рішення чисто аналітичне:

Відповідь:

Креслення в подібних завданнях будувати не треба, проте геометрична демонстрація буде дуже корисною. Якщо вважати, що вектори задані в ортонормованому базисі, то графічне розв'язання задачі буде таким:

Якщо йдеться тільки про вектори в ортонормованому базисі, осі малювати не обов'язково. Достатньо накреслити базисні вектори, причому де завгодно. Ну і координатну сітку для зручності. Строго кажучи, раніше я допустив невеликий огріх - у деяких кресленнях уроку теж можна було не креслити прямокутну декартову систему координат. Векторам вона не потрібна, їм потрібен базис. Втім, краще завжди малюйте, бо налякаєте всіх своїми знаннями =)

Як бачите, графічний спосіб розв'язання привів до тих самих результатів, що й аналітичний спосіб розв'язання. Ще раз зауважте свободу векторів: будь-яку з трьох «конструкцій» можна перемістити у будь-яку точку площини.

Для векторів у просторі можна провести аналогічні викладки. Але там креслення будувати значно складніше, тому обмежуся аналітичним рішенням (на практиці, власне, більшого і не треба):

Дано вектори і . Знайти і

Рішення: Для дій з векторами справедливий звичайний пріоритет алгебри: спочатку множимо, потім складаємо:

Відповідь:

І насамкінець цікавий приклад з векторами на площині:

Дано вектори. Знайти і

Це завдання самостійного рішення.

Який висновок? Багато завдань аналітичної геометрії прозорі і прості, головне, не допустити обчислювальних помилок. Наступні уроки, що рекомендуються до вивчення:

Це, скажімо, вектор-мінімум студента =)

Любіть вектори і вектори полюблять вас!

Приклад 4: Рішення:
За відповідною формулою: і

Відповідь:

Приклад 6: і
а) Рішення: знайдемо вектор:

Обчислимо довжину вектора:

Відповідь:

б) Рішення:
Обчислимо довжини векторів:

Приклад 9: Рішення:

Примітка: Перед виконанням дій можна попередньо розкрити дужки:

Автор: Ємелін Олександр

(Перехід на головну сторінку)

знижка 15% на перший замовлення, при оформленні введіть промокод: 5530-hihi5

© Copyright Олександр Ємелін, mathprofi.ru, 2010-2024, зроблено в Блокноті