Який кут називається гострим: визначення, властивості, приклади

Гострим кутом прийнято позначати такий кут, який менший у порівнянні з прямим, тобто має градусну міру більше, ніж нуль, але менше ніж 90°.

Зобразимо малюнку, як виглядає гострий кут, з розглянутого визначення:

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

На уроках геометрії та математики при вирішенні різних завдань школярі користуються спеціальними вимірювальними та креслярськими інструментами. Одним із таких корисних пристроїв є транспортир. З його допомогою можна досить швидко і просто виконати побудову гострого кута будь-якої градусної міри.

Порядок дій при побудові гострого кута із застосуванням транспорту:

1. Відзначити якусь точку на аркуші паперу, яка відіграватиме роль вершини заданого кута.
2. Використовуючи отриману точку, збудувати промінь, вершина якого збігається з нею. Цей промінь є однією із сторін шуканого кута.
3. За допомогою транспортира сумісний вершину кута з отвором, розташованим по центру інструменту, таким чином, щоб зазначений на ньому нуль градусів збігся з визначеною стороною кута.
4. Припустимо, що необхідно розглянутим способом накреслити кут 72°. На шкалі транспортира в даному випадку потрібно знайти позначку відповідно до заданого градусного заходу та намалювати точку.
5. Далі слід з'єднати отриману точку з вершиною кута за допомогою променя, який є другою стороною кута, що шукається.

Перенесемо розглянуту схему зображення гострого кута 72°.Зауважимо, що звіт градусного заходу можна починати з нижньої або верхньої шкали, зазначеної на транспортирі:

Ознаки та властивості гострих кутів

Перерахуємо властивості, які характерні для будь-якого гострого кута:

1. При розгляді пари суміжних кутів, один з яких менший у порівнянні з прямим, тобто визначається як гострий, можна зробити висновок, що другий із суміжних кутів є тупим.
2. Якийсь довільний трикутник має як мінімум один гострий кут.
3. Трикутники, які утворені трьома гострими кутами, звуться гострокутних.

Ознакою будь-якого гострого кута є його градусний захід, який у будь-якому випадку буде меншим, ніж 90°. У геометрії часто трапляються завдання, коли необхідно ідентифікувати той чи інший кут за його ознакою. Тоді доцільно скористатися ще одним корисним інструментом під назвою косинець.

Як приклад скористаємося косинцем і з'єднаємо його вершину з вершиною шуканого кута, який необхідно ідентифікувати. При цьому розташуємо косинець так, щоб його грань проходила по якійсь одній стороні кута, що розглядається. В результаті інший бік вимірювального інструменту перекриє другий бік кута. Зобразимо схематично принцип виконання цієї процедури:

Приклади розв'язання задач

На малюнку зображено кілька кутів. Потрібно з'ясувати, який із представлених кутів є гострим.

Скористаємося визначенням гострого кута і пригадаємо, що його градусний захід менший, ніж 90°.

Розглянемо зображення кута малюнку (а). Зауважимо, що у разі одна сторона кута грає роль перпендикуляра стосовно другий. Тоді кут, розташований між ними, становить 90°. Зробимо висновок, що такий кут є прямим.

Далі звернемося до малюнка (б). Побудуємо до однієї зі сторін кута перпендикуляр. Зобразимо це наочно, доповнивши початкове зображення:

Зауважимо, що кут менший у порівнянні з прямим. Це твердження повністю відповідає поняттю гострого кута. Зробимо висновок у тому, що кут, зображений малюнку (б), є гострим.

Перейдемо до третього варіанту. Аналогічно попередньому прикладу побудуємо перпендикулярну пряму до кута, зображеного на малюнку (в), яка проходить через його вершину:

Зауважимо, що шуканий кут більший у порівнянні з прямим, тобто має такий градусний захід, який перевищує 90°. Цей кут можна ідентифікувати як тупий. Він не є гострим.

Відповідь: гострим є кут, зображений малюнку (б).

Є пара суміжних кутів. Один із них має градусний захід, який на 30° менший, ніж у другого. Необхідно визначити, чому дорівнює гострий кут.

Введемо позначення x для невідомого гострого кута. У такому разі кут, градусна міра якого більша, можна записати у вигляді наступного виразу:

Згадаймо, що гострий кут має корисну властивість. При розгляді пари суміжних кутів, один з яких менший у порівнянні з прямим, тобто визначається як гострий, можна зробити висновок, що другий із суміжних кутів є тупим. У сумі суміжні кути становлять 180 °. Запишемо справедливу рівність:

Кут, який раніше був позначений за х становить 75°. Зауважимо, що такий градусний захід менший, ніж 90°. З цього факту гострий кут дорівнює 75°.

На малюнку зображено коло із центром у точці О. До кола побудована дотична СА, яка грає роль однієї зі сторін кута з вершиною в точці С. Друга сторона кута перетинає точку О.Градусний захід отриманої дуги АD становить 100°. Необхідно обчислити, чому дорівнює кут АСО.

Побудуємо у заданому колі радіус, який позначимо як ОА. Перенесемо дії на малюнок:

Зауважимо, що отриманий трикутник АОС має прямий кут, тобто є прямокутним за визначенням:

Згадаймо, що у сумі всі кути у трикутнику становлять 180°. На підставі цього співвідношення обчислимо градусний захід кута СОА:

СОА = 180 - АОD = 180 - 100 = 80

В результаті кут АОС становитиме:

На малюнку зображено два суміжні кути. Необхідно обчислити, чому дорівнює кут АОЕ за умови, що ОЕ є бісектрисою кута АОС. Аналогічно, ОD грає роль бісектриси кута СОВ. Градусна міра кута ВОD становить 25 °. Необхідно обчислити кут АОЕ.

Виходячи з того, що бісектриса ділить кут на дві рівні частини, обчислимо градусну міру кута СОВ:

Розгорнутий кут АОВ становить 180 ° за визначенням. Тоді можна знайти величину кута АОС:

Знаючи, що бісектриса ОЕ ділить кут АОС на два рівні кути, отримаємо, що кут АОЕ, що шукається, дорівнює:

Що таке кут

У статті поговоримо про одну з найважливіших тем у математиці, яка є основною в геометрії з 2-го до 5-го класу. Ця тема – кут. Кути оточують нас усюди, і розуміння їх властивостей допоможе краще орієнтуватися у світі геометрії і навіть у повсякденному житті. Давайте розберемося, що це таке, які вони бувають і як правильно їх вимірювати.

Визначення кута

Кут - це геометрична фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки. Ці промені називаються сторонами кута, а точка, з якої вони виходять, — вершиною кута. Наприклад, якщо ми маємо кут ABC, точка B — вершина кута.

Позначення кутів

Кути зазвичай позначаються трьома літерами, наприклад, ∠ABC.У цьому вершина кута завжди пишеться у середині. Іноді кути позначають однією літерою, якщо зрозуміло, про яке вугілля йдеться, наприклад, ∠A.

Внутрішня та зовнішня області кута

Простір, обмежений сторонами кута, називається внутрішньою областю кута. Зовнішня область кута — це решта площини, яка входить у внутрішню область.

Види кутів

Кути бувають різними за величиною. Познайомимося з основними видами кутів.

➤ Гострий кут - Його величина менше 90 градусів. Наприклад, кут 30 градусів — гострий.

→ Прямий кут - дорівнює 90 градусів. Наприклад, кути у квадраті чи прямокутнику — прямі.

➤ Тупий кут - Його величина більше 90 градусів, але менше 180 градусів. Наприклад, 120 градусів - тупий.

→ Розгорнутий кут - дорівнює 180 градусів. Такий кут має вигляд прямої лінії.

➤ Випуклий кут - Його величина більше 0 градусів, але менше 180 градусів.

→ Повний кут — дорівнює 360 градусам, що становить повний оберт навколо вершини кута.

➤ Суміжні кути — це два кути, які мають одну спільну сторону, а дві інші сторони є продовженням один одного. Сума прилеглих кутів завжди дорівнює 180 градусів.

Порівняння кутів

Кути можна порівнювати за величиною. Наприклад, гострий завжди менший за тупий кут. Щоб визначити, чи рівні кути, можна виміряти їх за допомогою транспортира.

Як правильно вимірювати кути

Для вимірювання кутів використовується інструмент, який називається транспортиром. Транспортир має шкалу від 0 до 180 градусів. Щоб виміряти кут, потрібно поєднати центр транспорту з вершиною кута, а одну зі сторін кута - з нульовою відміткою транспорту. Друга сторона вкаже на величину кута у градусах.

Градуси, хвилини та секунди

Кути вимірюються у градусах.Один градус ділиться на 60 хвилин, а одна хвилина – на 60 секунд. Це дозволяє дуже точно виміряти кути.

Позначення кутів на кресленні

На кресленні кути позначаються дугою між сторонами кута та вказують градуси. Наприклад, кут 45 градусів позначається як ∠45°.

Кути в різних геометричних фігурах

У різних геометричних постатях кути відіграють важливу роль. У трикутнику сума всіх кутів завжди дорівнює 180 градусів. А у прямокутнику та квадраті всі кути дорівнюють 90 градусам.

Розв'язання задач

✔ Завдання 1. Визначте види кутів малюнку.

Відповідь: ∠1 - гострий, ∠2 - прямий, ∠3 - тупий, ∠4 - прямий, ∠5 - тупий, ∠6 - гострий.

✔ Завдання 2. Назвіть усі кути на малюнку.

✔ Завдання 3. Знайдіть невідомий кут.

Відповідь: ∠EKT = ∠OKT - ∠EKT = 180 ° - 130 ° = 50 °.

Запитання для самоперевірки

1. Що таке кут?
2. Як позначаються кути?
3. Чим відрізняються гострий і тупий кути?
4. Як виміряти кути за допомогою транспортира?
5. Що таке прилеглі кути і чому дорівнює їхня сума?
6. Яким чином можна визначити третій кут у трикутнику, якщо відомі два інші?
7. Що таке повні кути?

Отже, нам вдалося дізнатися:

1. Кут - це фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки.
2. Кути бувають різними за величиною: гострий, прямий, тупий, розгорнутий, опуклий та повний.
3. Позначаються кути літерами та вимірюються у градусах за допомогою транспортира.
4. У різних геометричних фігурах кути мають свої особливості та властивості.

Якщо дитина зазнає труднощів у розумінні кутів, скористайтесь матеріалами статті для тренування або приходьте до нас на заняття 💜

Кути у просторі

Стереометрія - це не просто розділ математики, який потрібно довго і нудно вивчати. Насправді стереометрія описує все наше життя.Чи стало цікаво? Давайте розумітися.

Кути між площинами

Ми точно знаємо, що кут між стіною та підлогою дорівнює 90°. Також, як і кут між стіною та стелею, або підлогою та будь-яким предметом меблів.

Але чому дорівнює кут між двома відкритими сторінками зошита? Чи кут між стіною та напіввідчиненими дверима? Кут між перилами та площиною підлоги? Усі ці кути досить легко знайти. І відповіді на ці запитання нам дає саме стереометрія.

Почнемо розбирати у кутах між площинами з того, що введемо поняття двогранного кута.

Двогранний кут - Це частина простору, укладена між двома напівплощинами, що мають спільний кордон.

Якщо ми відкриємо книгу не повністю і подивимося на простір між двома сторінками, цей простір буде двогранним кутом.

На малюнку:
АВ - загальна пряма для площин, її називають рубом двогранного кута;
a, b - площини, що утворюють двогранний кут, вони називаються гранями двогранного кута.

Зауважимо, що при перетині двох площин зазвичай утворюється чотири двогранні кути. Нас цікавить менший із них.

Настав час запровадити поняття кута між двома площинами. Але для цього нам потрібно провести перпендикуляри до ребра двогранного кута у кожній площині. Важливо, щоб перпендикуляри перетинали в одній точці.

Проведені перпендикуляри утворили чотири кути. Найменший з них і називатиметься кутом між площинами.

Кут між площинами - Це кут між перпендикулярами, проведеними до лінії перетину площин. Перпендикуляри повинні лежати у цих площинах.

Позначимо потрібний нам кут малюнку як кут COD. Він і буде кутом між цими площинами.

Кут COD також називатиметься лінійним кутом двогранного кута.

Лінійний кут двогранного кута показує градусну міру двогранного кута. Оскільки двогранний кут - це частина простору, то в цьому просторі можна провести безліч лінійних кутів, які будуть рівними між собою.

Як і звичайні кути, кути між площинами бувають трьох видів:

• Гострі, тобто менше 90 0
• Прямі, рівні 90 0
• Тупі, які більше 90 і менше 180 0

Як було зазначено вище, за кут між площинами завжди приймається гострий кут, утворений цими площинами.

А що буде, якщо між площинами вийде прямий кут?

Такі площини називаються перпендикулярними.

У перпендикулярних площин є одна дуже цікава особливість: всі кути, утворені ними, рівні між собою і дорівнюють 90° градусів.

Щоб знайти кут між площинами, необхідно дотримуватися наступного алгоритму.

1 крок. Знайти лінію перетину площин.

2 крок. Добудувати до цієї лінії перпендикуляр у кожній площині.

Кути між прямою та площиною

Якщо намалювати дві прямі на аркуші паперу, ми легко можемо виміряти кут між ними за допомогою транспортира. А якщо провести пряму до площини, як виміряти кут між ними?

І у цьому питанні до нас знову на допомогу приходить стереометрія. Але для початку розглянемо, що таке кут між прямою та площиною.

Кут між прямою та площиною — це кут між прямою та її проекцією на цю площину.

Що таке проекція? Припустимо, ми проткнемо аркуш паперу (площину) дуже довгою голкою.

А тепер зробимо цей малюнок ближчим до креслення. Нехай площина а перетинає пряма а точці О.

Почнемо будувати проекцію. Перш ніж розібратися, що таке пряма проекція на площину, знайдемо проекцію точки на площину.

Візьмемо на нашій прямій а точку А та опустимо з неї перпендикуляр до площини а. Точка, в якій перпендикуляр перетне площину, називатиметься проекцією точки на площину. На малюнку позначимо її як А₁.

Проекція точки на площину - Це основа перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

Тепер, якщо ми будемо брати кожну точку на прямій та проектувати її на площину а, то отримаємо проекцію цієї прямої на площину. Але оскільки на прямій безліч точок, достатньо з'єднати точки А₁ та О, отримуємо, що А₁О — проекція пряма а на площину а.

Зауважимо, що якщо ми проведемо з будь-якої точки пряму проекцію до площини, то потрапимо на пряму А₁О.

Проекція пряма а на площину - це пряма а₁, утворена проекціями всіх точок прямої а на площину.

Таким чином, можна побудувати проекції не тільки прямої, а й будь-якої фігури.

Ми побудували кут із визначення. Тоді кутом між прямою а і площину а буде кут А₁ОА.

У цьому випадку ми також беремо гострий кут, утворений прямою та площиною.

Крок 1 Побудувати проекцію прямою на площину.

Якщо пряма паралельна площині кут дорівнює 0.

Проекція прямої на площину буде цією ж прямою, що просто лежить у площині.

Коли пряма перпендикулярна до площини, проекцією прямої на площину буде точка перетину прямої та площини. Кут між прямою і площиною дорівнюватиме 90°.

Трохи докладніше зупинимося у разі, коли пряма перпендикулярна площині.

Пряма, перпендикулярна до площини - Пряма, яка перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в цій площині.

А що робити, якщо пряма буде перпендикулярна лише одній прямій із площини? За визначенням обов'язково, щоб вона була перпендикулярна всім прямим із площини. Як перевірити перпендикулярність?

Для цього існує ознака перпендикулярності прямої та площини:

• Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, у цій площині, то вона буде перпендикулярна цій площині.

Отже, якщо необхідно в задачі довести перпендикулярність прямої і площини, достатньо довести, що пряма буде перпендикулярна всього двом прямим прямій в цій площині, що перетинається, а не всій безлічі прямих, що лежить в даній площині.

Розглянемо кілька цікавих властивостей, Пов'язаних з прямою, перпендикулярною до площини.

Властивість 1. Через будь-яку точку простору можна провести єдину пряму, перпендикулярну до площини.

Спробуйте підставити куточок до стіни будь-якої точки. Чи вийде у вас зробити так, що з однієї і тієї ж точки куточок встане перпендикулярно стіні кілька разів? Ні.

Властивість 2. Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то такі прямі паралельні.

Тут також просто все довести. Достатньо побудувати у площині пряму, яка перетне дві дані прямі та подивитися на малюнок “збоку”. Зауважимо, що відповідні кути рівні, отже, прямі паралельні.

Докладніше про відповідні кути та паралельні прямі можна прочитати у статті “Основи планіметрії”.

Властивість 3. Якщо до однієї прямої перпендикулярні дві площини, такі площини паралельні.

Тут такі самі міркування, як і в попередній властивості: достатньо побудувати прямі, що належать площинам, і подивитися на них збоку.

Властивість 4. Якщо через перпендикулярну до площини пряму проходить площину, дані площини будуть перпендикулярні.

Це легко перевірити, якщо знайти будь-який двогранний кут між збудованими площинами.

Теорема про три перпендикуляри

Розберемо ще одну дуже цікаву теорему, пов'язану з проекціями прямої на площину. А саме ми розглянемо теорему про три перпендикуляри.

Спочатку спробуємо зрозуміти її на реальних предметах.

Як за допомогою лінійки та аркуша відтворити в житті теорему про три перпендикуляри?

Візьмемо куточок і зафіксуємо його вертикально на листі. Для зручності назвемо куточок АВС, де С - Прямий кут.

Відразу зауважимо, що пряма АС буде перпендикулярна площині листа (оскільки куточок стоїть вертикально, а лист лежить горизонтально).
Далі зауважимо, що прямі АС і ВС також перпендикулярні, оскільки в куточку кут дорівнює 90°.
Подивимося трохи уважніше і звернемо увагу, що пряма НД при цьому буде проекцією на площину листа прямої АВ.

Трохи добудуємо наш малюнок і через точку проведемо пряму, перпендикулярну ВС. Назвемо цю пряму КМ.
Відразу відзначаємо, що пряма КМ перпендикулярна до ВС за побудовою, а також перпендикулярна до прямої АС (оскільки АС — перпендикуляр до площини листа).

Чи можемо щось ще сказати про нашу ситуацію? Виявляється, пряма АВ також буде перпендикулярна до прямої КМ.

Виникне питання, чому?

1. Згадаймо ознаку перпендикулярності прямої і площини: якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, у цій площині, то вона буде перпендикулярна цій площині.

Тепер дізнаємося, як ця ознака виконується у цій ситуації.

2.Подивимося на ситуацію трохи під іншим кутом і на цей раз візьмемо за площину не аркуш, а нашу лінійку.

3. Тоді дві прямі в площині лінійки, що перетинаються, будуть перпендикулярні прямий КМ: BCKM по побудові, а ACKM як пряма, перпендикулярна до площини листа, а значить, і перпендикулярна всім прямим у цій площині.

4. Виходить, що пряма КМ перпендикулярна площині АВС, отже перпендикулярна і всім прямим у цій площині, у тому числі прямий АВ.

Таким чином, довга сторона лінійки буде похилою прямою, основа її проекцією, а накреслена лінія перпендикуляром до проекції.

Ми розглянули теорему про три перпендикуляри. Залишилося її лише сформулювати математичною мовою.

Теорема про три перпендикуляри
Якщо похила пряма АВ до площини а перпендикулярна до прямої КМ в цій площині, то і проекція прямої АВ на площину а перпендикулярна до прямої КМ.

Для побудови креслення замінимо лінійку на кілька відрізків.

Для цього потрібно взяти аркуш паперу і трикутну лінійку.

Ось і все, нічого складного. А називається теорема так тому, що в побудові справді присутні три перпендикуляри, які добре видно на малюнку.

Теорему про три перпендикуляри можна активно використовувати для доказу та вирішення завдань.

Фактчек

• Двогранний кут - Це частина простору, укладена між двома напівплощинами, що мають спільний кордон.Градусною мірою двогранного кута буде лінійний кут двогранного кута або, іншими словами, кут між площинами.
• Кут між площинами - Це кут між перпендикулярами, проведеними до лінії перетину площин. Перпендикуляри повинні лежати у цих площинах. За кут між площинами беруть гострий кут, утворений цими площинами. Якщо кут між площинами дорівнює 90°, такі площини перпендикулярні.
• Кут між прямою та площиною — це кут між прямою та її проекцією на цю площину. Щоб знайти кут між прямою та площиною, необхідно побудувати проекцію прямої на площину та знайти кут між прямою та її проекцією. Якщо пряма паралельна площині, то кут між ними дорівнюватиме 0°. Якщо пряма перпендикулярна площині, то кут між ними дорівнюватиме 90°.
• Пряма, перпендикулярна до площини - Пряма, яка перпендикулярна до кожної прямої, що лежить в цій площині. Щоб довести, що пряма перпендикулярна до площини, достатньо довести, що ця пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються в площині.
• Теорема про три перпендикуляри говорить, що якщо похила пряма до площини а перпендикулярна до прямої b у цій площині, то і проекція прямої а на площину а перпендикулярна до прямої b.

Перевір себе

Завдання 1.
Виберіть правильне затвердження.

1. Градусною мірою двогранного кута буде лінійний кут двогранного кута. У цьому всі лінійні кути двогранного кута рівні між собою;
2. Градусною мірою двогранного кута буде лінійний кут двогранного кута. У цьому лінійні кути двогранного кута не рівні між собою;
3. Грань двогранного кута - це загальна пряма площин, що його утворюють;
4. Ребра двогранного кута – це площини, що його утворюють.

Завдання 2.
Кут між площинами це...

1. Тупий кут між перпендикулярами, проведеними до лінії перетину площин;
2. Гострий чи прямий кут між перпендикулярами, проведеними до лінії перетину площин;
3. Тупий кут між двома довільними лініями, проведеними до лінії перетину площин;
4. Гострий або прямий кут між двома довільними лініями, проведеними до перетину лінії площин.

Завдання 3.
Що таке проекція прямої на площину?

1. Це будь-яка пряма, проведена з точки перетину прямої та площини;
2. Це перпендикуляр, опущений із будь-якої точки на площину;
3. Це завжди точка перетину прямої та площини;
4. Це пряма, утворена проекціями всіх точок прямої на площину.

Завдання 4.
Якою буде проекція пряма, перпендикулярна до площини, на цю площину?

1. Проекція дорівнюватиме цій прямій і паралельна їй;
2. Проекція буде меншою за пряму і утворюватиме з нею кут;
3. Проекція буде точкою перетину прямої та площини;
4. Проекція буде більш прямою і утворюватиме з нею кут.

Завдання 5.
Як довести, що пряма перпендикулярна до площини?

1. Достатньо довести, що пряма перпендикулярна одній будь-якій прямій у площині;
2. Достатньо довести, що пряма перпендикулярна двом паралельним прямим у площині;
3. Достатньо довести, що кут між прямою і будь-якою прямою в площині дорівнює 90°;
4. Достатньо довести, що пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, в цій площині.

Відповіді: 1. 1 2. — 2 3. — 4 4. — 3 5. — 4