Абсолютна та умовна збіжність невласного інтеграла.
Ознака Діріхле. Ознака Абеля

У попередніх статтях ми досліджували збіжність інтегралів 1-го і 2-го роду (Див. за посиланнями), і в заключній частині уроку розглянемо важливе поняття збіжності, Що стосується і тих, і інших «пацієнтів» Насамперед, тих, у яких підінтегральна функція змінює знак.

Почнемо по порядку, з інтегралу. Якщо функція позитивна (невід'ємна), то проблем ніяких - досліджуємо інтеграл за звичайною схемою. Якщо негативна - теж, картинка відобразиться симетрично щодо осі вниз, і ситуація буде дзеркальною. Якщо десь негативна, а потім позитивна (або навпаки), Інтеграл можна розділити на 2 частини, і розглянути кожен шматок окремо.

Але як дослідити, наприклад, з інтеграл? Тут підінтегральна функція набуває то позитивних, то негативних, то позитивних, то негативних значень – і так далі, до нескінченності (всі пам'ятають синусоїду?). Такі функції називають знакозмінними. Що робити у цьому випадку?

Цьому і присвячена сьогоднішня розмова.

Розглянемо інтеграл – з модулемщо знищує можливі негативні значення підінтегральної функції. Якщо цей інтеграл сходиться, то сходитися буде і інтеграл , при цьому останній називають абсолютно схожим.

Примітка: звідки відразу випливає, що інтеграли, що сходяться, від невід'ємних функцій, наприклад, , сходяться абсолютно.

Дослідити інтеграли на абсолютну збіжність

Рішення:

а) На інтервалі від 0 до 3 підінтегральна функція негативна, а за більших значень «ікс» – позитивна.За іншої умови, цей інтеграл можна розділити на 2 частини:
, і оскільки 1-й шматок сходиться (бо це певний інтеграл), то вся справа зведеться до тривіальному дослідженню.

Але умова вимагає дослідити абсолютну збіжність, і тому слід розглянути інтеграл:
– пам'ятаємо, що експонента позитивна, а тому під модулем їй нема чого робити.

І зараз я розповім вам про ще один прийом порівняння, який можна використовувати і в інших прикладах. Розкладемо експоненту на множники, розпишу дуже докладно:
– це перетворення можна виконати за будь-якого показника, і, зізнатися, я вибрав спеціально – чисто для зручності.

Функція безперервна на проміжку і, отже, вона обмежена на ньому, тобто існує число , таке, що для всіх справедлива нерівність:

Таким чином:
отже, за ознакою порівняння, інтеграл сходиться разом з інтегралом, збіжність якого ми встановили в 1-й частині уроку (Див. за посиланням вище).

А зі збіжності і випливає збіжність, таким чином, інтеграл сходиться, причому сходиться абсолютно.

б), ну, тут все простіше пареної ріпи.

Оскільки синус обмежений: , то й для всіх із проміжку інтегрування справедлива нерівність:
отже, за ознакою порівняння, інтеграл сходиться разом із «еталонним» інтегралом.

Висновок: інтеграл сходиться абсолютно.

Дослідити абсолютну збіжність інтегралу

Рішення наприкінці уроку.

Але, як ви здогадуєтеся, це ще не все. А якщо інтеграл розходиться? В цьому випадку інтеграл може не лише розходитися, а й сходитися!

Якщо інтеграл сходиться, але розходиться, то кажуть, що він сходиться умовно.

Дослідити збіжність інтегралу

Рішення: при розгляді простих шляхів не видно, і тому ми переходимо до прямого дослідження запропонованого інтегралу.

Небагато забігаючи вперед, скажу, що тут зручно застосувати ознаку Діріхле, але чому б не озброїтися на всі випадки життя?

Як і у випадку з певним інтегралом, невласний інтеграл можна проінтегрувати частинами: , єдине, у нас , і натомість слід розглянути межу .

Перше доданок дорівнює кінцевому числу: (межа нескінченно малої функції на обмежену дорівнює нулю - теорема є така (див. приклад 9)); другий доданок - це нещодавно розібраний інтеграл, що абсолютно сходиться.

Таким чином, інтеграл сходиться. Залишилося з'ясувати, умовно чи абсолютно.

Досліджуємо збіжність інтегралу

По «загальним обрисам» він нагадує розбіжний інтеграл, і тому ми намагатимемося спорудити потрібна нерівність, щоб використовувати ознаку порівняння Для всіх «ікс» справедлива нерівність – це зрозуміло? – якщо значення з інтервалу звести у квадрат, то вийде найменше значення. Таким чином, на проміжку інтегрування:

Використовуючи тригонометричну формулу , отримуємо:

Інтеграл - розходиться, а інтеграл сходиться - це "старший брат" нашого інтеграла, збіжність якого доведена в 1-й частині завдання. Отже, інтеграл є розбіжним, і ознакою порівняння, Інтеграл теж розходиться.

Висновок: інтеграл сходиться умовно.

І тепер обіцяний інструмент дослідження:

Ознака Діріхле: інтеграл виду сходиться, якщо:
1) функція інтегрована в будь-кому кінцевому проміжку, де і її первісна на цьому проміжку обмежена;
2) при функція монотонно прагне нуля: .

Застосуємо цей ознака для щойно розібраного інтеграла , у якому позначимо: .

1) На проміжку функція інтегрована:
- І для будь-кого Значення отримана первісна обмежена, «на грубу», можна зробити оцінку: .

2) При функція монотонно зменшується до нуля: (графічно це звичайна «шкільна» гіпербола).

Таким чином, інтеграл сходиться за ознакою Діріхле.

Слід зазначити, що вимога монотонності функції – суттєво, і якщо вона виконано, то ознака Дирихле не спрацьовує, тобто. інтеграл може, як сходитися, і розходитися. Можливо не всім зрозумілий термін – про всяк випадок намалюю приклад немонотонного спадання:

Така ось зовсім не монотонна картинка з веселими підстрибуванням :) …що це за функція?

З допомогою ознаки Дирихле легко встановити, що інтеграли виду сходяться за будь-якого , т.к. монотонність функцій цілком очевидна - всі вони формою схожі на гіперболу.

Але, як ви, мабуть, зрозуміли, ознака Діріхле не дає відповіді на питання, чи сходиться інтеграл . Це достатній ознака збіжності інтеграла.

Наслідком ознаки Діріхле є достатній ознака Абеля:
інтеграл виду сходиться, якщо:
1) інтеграл сходиться (не важливо, умовно чи абсолютно);
2) функція монотонна та обмежена на .

Тут відразу спадає на думку такий приклад:

1) інтеграл сходиться; 2) на проміжку інтегрування арктангенс монотонно зростає і обмежений: отже, за ознакою Абеля, даний інтеграл сходиться.

Наступні інтеграли для самостійного вирішення:

Дослідити збіжність інтегралів

У пункті «а» слід провести заміну та перейти до нових меж інтегрування (так, як ми це зробили у Приклад 17), далі досліджуємо отриманий інтеграл - у плані збіжності він буде еквівалентний вихідному.

Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Хочу звернути увагу, що формулювання «дослідити збіжність» зазвичай має на увазі те, що спочатку потрібно досліджувати збіжність запропонованого інтеграла, і тільки потім (якщо потрібно) – збіжність інтеграла з модулем. У випадку з «халявними» інтегралами, на зразок викладач може запросто повернути завдання на доопрацювання, якщо ви досліджували тільки інтеграл.

І на закінчення статті розглянемо умовну та абсолютну збіжність невласних інтегралів 2-го роду.

Вона визначається аналогічно. Нехай підінтегральна функція терпить нескінченний розрив ліворуч або праворуч, тоді інтеграл називають абсолютно схожим, якщо сходиться , і умовно схожимякщо він сходиться, але – розходиться.

Дослідити збіжність інтегралу

Рішення: підінтегральна функція зазнає нескінченного розриву зліва і є знакозмінною. Досліджуємо збіжність інтеграла:

Оскільки для всіх значень проміжку інтегрування справедлива нерівність:
отже, за ознакою порівняння, інтеграл сходиться разом із «еталонним» інтегралом , звідки випливає і збіжність інтеграла .

Висновок: досліджуваний інтеграл сходиться абсолютно.
Але це був «легкий» шлях, у якому ми не досліджували сам інтеграл. І постає питання: як його дослідити безпосередньо?

За допомогою аналогічного ознаки Діріхле, сформулюю його якраз для розриву зліва:

Інтеграл виду сходиться, якщо:
1) функція інтегрована в будь-кому кінцевому проміжку, де і її первісна на цьому проміжку обмежена;
2) при функція монотонно прагне нуля: .

Представимо наш інтеграл у вигляді та позначимо

1) Функція інтегрована в будь-кому кінцевому проміжку, де:
– і більше, її первісна обмежена у цьому проміжку (З природної обмеженості синуса).

2) При функція монотонно зменшується до нуля: .

Висновок: інтеграл сходиться за ознакою Діріхле. Ну, а абсолютну збіжність ми встановили раніше.

І, зрозуміло, для інтегралів 2-го роду справедливо ознака Абеля (формулюю знову для точки розриву зліва):

Інтеграл виду сходиться, якщо:
1) інтеграл сходиться (умовно чи абсолютно);
2) функція монотонна та обмежена на .

Подивимося, як це працює на практиці:

Дослідити збіжність інтегралу

Рішення: тут ми підемо академічним шляхом і почнемо з прямого дослідження запропонованого інтеграла, в якому позначимо та використовуємо ознаку Абеля:

1) Досліджуємо збіжність інтеграла. Для цього проведемо заміну, і тоді – якщо є якісь сумніви, виконайте зворотну заміну.

З'ясуємо, на що перетвориться диференціал:
оскільки , то

І залишилося знайти нові межі інтегрування:
- Якщо, то;
- якщо , то
Ось така метаморфоза! Внаслідок заміни невласний інтеграл змінив свій рід:
- Отриманий інтеграл сходиться умовно (Див. Приклад 20 і після), Отже, таким є і вихідний інтеграл .

2) З другим пунктом ознаки Абеля все простіше: на напівінтервалі функція обмежена: і за монотонно зменшується до одиниці: . Геометрично – це шматок всім відомої параболи.

Висновок: інтеграл сходиться за ознакою Абеля.

Досліджуємо його на абсолютну збіжність:

І тут знову зручно замінити змінну: тоді:
, і нові межі інтегрування вже знайдено вище:
- Перший інтеграл сходиться по ознакою порівняння , а ось другий розходиться, але вже по іншій частині тієї ж ознаки: (теж знайомий мотив із Прикладів 20, 21).

Отже, інтеграл розходиться, отже, інтеграл сходиться умовно.

Але на практиці така бляха, звичайно, зустрічається вкрай рідко (це треба якось дуже поглиблено вчитися), і тому суто символічний інтеграл для самостійного вирішення:

Дослідити збіжність інтегралу

На цьому цикл статей, присвячених дослідженню невласних інтегралів, завершено – бажаю успіхів і до швидких зустрічей!

Приклад 19. Рішення: .
Оскільки , то:

Досліджуємо збіжність інтеграла. Порівняємо його зі схожим інтегралом («еталонний» інтеграл). Використовуємо гранична ознака порівняння:
– кінцеве число, відмінне від нуля, отже, інтеграл сходиться разом із інтегралом , і з встановленого вище нерівності (за «звичайним») ознакою порівняння), сходиться та інтеграл.

Таким чином, інтеграл сходиться абсолютно.

Приклад 21. Рішення:

а)
Проведемо заміну: . Відповідно до проведеної заміни, та й нові межі інтегрування:
якщо, то;
якщо, то.

Позначимо
1) На проміжку функція інтегрована:
– і для будь-якого значення отримана первісна обмежена.
2) при функція монотонно зменшується до нуля: .
Таким чином, інтеграл сходиться за ознакою Діріхле.

Досліджуємо його на абсолютну збіжність:

На всіх значень справедлива нерівність , тому:

Використовуємо тригонометричну формулу:

Інтеграл розходиться, а інтеграл сходиться за ознакою Діріхле, отже, інтеграл розходиться, і за ознакою порівняння, разом з ним розходиться інтеграл.

Висновок: інтеграл сходиться умовно, і через проведену заміну, умовно сходиться та інтеграл.

б) В інтегралі позначимо.
1) Інтеграл сходиться за ознакою Діріхле.
2) На проміжку інтегрування експонента обмежена: і монотонно зменшується від нуля: .
Таким чином, досліджуваний інтеграл сходиться за ознакою Абеля.

І інший спосіб вирішення, на який вказав один із читачів: можна позначити та використати ознаку Діріхле. Але це якщо вам добре зрозуміло, чому функція зменшується монотонно.

Досліджуємо інтеграл на абсолютну збіжність:

Оскільки , то:

На проміжку інтегрування , тому:
, таким чином, за ознакою порівняння (за побудованим ланцюжком нерівності), інтеграл сходиться разом з інтегралом .

Висновок: досліджуваний інтеграл сходиться абсолютно.

Приклад 24. Рішення: проведемо пряме обчислення:

– даної межі немає, отже, немає і запропонованого невласного інтеграла.

Автор: Ємелін Олександр

(Перехід на головну сторінку)

знижка 15% на перший замовлення, при оформленні введіть промокод: 5530-hihi5

© Copyright Олександр Ємелін, mathprofi.ru, 2010-2024, зроблено в Блокноті

Як обчислити невласний інтеграл та з'ясувати його збіжність

Поняття невласного інтеграла та його геометричний зміст

Для обчислення невласних інтегралів потрібні добрі знання певних інтегралів. і меж. Насправді невласний інтеграл - особливий випадок певного інтеграла.

Як і при вирішенні певного інтеграла, в результаті рішення невласного інтеграла має вийти деяке число. Але це лише тоді, коли невласний інтеграл сходиться. Якщо ж він розходиться, то так і записується: невласний інтеграл розходиться.

А тепер – про те, чому невласний інтеграл – особливий випадок певного інтегралу.

Невласні інтеграли першого роду. По суті це той самий певний інтеграл, але у випадках, коли інтеграли мають нескінченну верхню або нижню межі інтегрування, або обидві межі інтегрування нескінченні.

Невласні інтеграли другого роду. По суті, це той самий певний інтеграл, але у випадках, коли інтеграл береться від необмежених функцій, підінтегральна функція в кінцевому числі точок кінцевого відрізка інтегрування не має, звертаючись у нескінченність.

Для порівняння. При введенні поняття певного інтегралу передбачалося, що функція f(x) безперервна на відрізку [a, b], а відрізок інтегрування є кінцевим, тобто обмежений числами, а чи не нескінченністю. Деякі завдання призводять до необхідності відмовитися від цих обмежень. Так виникають невласні інтеграли.

Геометричний зміст невласного інтегралу з'ясовується досить легко. У разі, коли графік функції y = f(x) знаходиться вище осі Ox , певний інтеграл виражає площу криволінійної трапеції, обмеженою кривою y = f(x) , віссю абсцис та ординатами x = a , x = b . У свою чергу невласний інтеграл виражає площу необмеженої (нескінченної) криволінійної трапеції, укладеної між лініями y = f(x) (на малюнку нижче - червоного кольору), x = a і віссю абсцис.

Аналогічним чином визначаються невласні інтеграли й інших нескінченних інтервалів:

Площа нескінченної криволінійної трапеції може бути кінцевим числом і в цьому випадку невласний інтеграл називається схожим. Площа може бути і нескінченністю і в цьому випадку невласний інтеграл називається розбіжним.

Використання межі інтеграла замість найневласнішого інтеграла. Щоб обчислити невласний інтеграл, потрібно використовувати межу певного інтеграла. Якщо ця межа існує і кінцева (не дорівнює нескінченності), то невласний інтеграл називається схожим, а в іншому випадку - розбіжним.До чого прагне змінна під знаком межі, залежить від того, чи маємо ми справу з невласним інтегралом першого роду чи другого роду. Дізнаємося про це зараз.

Невласні інтеграли першого роду - з нескінченними межами та їхня схожість

Невласні інтеграли з нескінченною верхньою межею

Отже, запис невласного інтеграла відрізняється від звичайного певного інтеграла тим, що верхня межа інтегрування нескінченна.

Визначення. Невласним інтегралом з нескінченною верхньою межею інтегрування від безперервної функції f(x) на проміжку від a до ∞ називається межа інтеграла цієї функції з верхньою межею інтегрування b та нижньою межею інтегрування a за умови, верхня межа інтегрування необмежено зростає , тобто.

Якщо ця межа існує і дорівнює деякому числу, а не нескінченності, то невласний інтеграл називається схожима число, якому дорівнює межа, приймається за його значення. В іншому випадку невласний інтеграл називається розбіжним і йому не приписується жодного значення.

Приклад 1. Обчислити невласний інтеграл (якщо він сходиться).

Рішення. На підставі визначення невласного інтегралу знаходимо

Так як межа існує і дорівнює 1, то і даний невласний інтеграл сходиться і дорівнює 1.

У наступному прикладі підінтегральна функція майже як у прикладі 1, тільки ступінь ікса - не двійка, а буква альфа, а завдання полягає у дослідженні невласного інтеграла на збіжність. Тобто належить відповісти на запитання: за яких значень альфи цей невласний інтеграл сходиться, а за яких розходиться?

Приклад 2. Дослідити на збіжність невласний інтеграл (Нижня межа інтегрування більше нуля).

Рішення. Припустимо спочатку, що , тоді

В отриманому вираженні перейдемо до межі при:

Неважко бачити, що межа у правій частині існує і дорівнює нулю, коли , тобто , і не існує, коли , тобто .

У першому випадку, тобто має місце . Якщо , то немає.

Висновок нашого дослідження наступний: даний невласний інтеграл сходиться при і розходиться при .

Застосовуючи до вивченого виду невласного інтеграла формулу Ньютона-Лейбніца, можна вивести таку дуже схожу на неї формулу:

Це узагальнена формула Ньютона-Лейбніца.

Приклад 3. Обчислити невласний інтеграл (якщо він сходиться).

Рішення. За допомогою методу заміни змінної можна отримати дуже корисну формулу:

Доводити цю формулу немає необхідності, але варто запам'ятати - знадобиться. Отже, застосовуючи цю формулу для знаходження первісної отримаємо

Отже, невласний інтеграл сходиться і дорівнює 1.

Приклад 4. Обчислити невласний інтеграл (якщо він сходиться).

Але межа не існує, тобто дана невласний інтеграл розходиться.

Приклад 5. Обчислити невласний інтеграл (якщо він сходиться).

Рішення. Підінтегральна функція безперервна у кожній точці, тому певний інтеграл від неї на відрізку [0, b] існує при всякому b . Знаходимо цей інтеграл:

Знаходимо межу цього інтеграла:

За визначенням значення даного невласного інтеграла:

Невласні інтеграли з нескінченною нижньою межею

Аналогічно визначається невласний інтеграл від безперервної функції з нескінченною нижньою межею інтегрування, що позначається символом, а саме

Якщо ця межа існує (і, значить, кінцева, тобто дорівнює деякому числу, а не нескінченності), то даний невласний інтеграл називається схожим.

Приклад 6. Обчислити невласний інтеграл з нескінченною нижньою межею (якщо він сходиться).

Рішення. Знаходимо межу даного інтегралу:

Висновок: даний невласний інтеграл сходиться, яке значення дорівнює -1/2.

Невласні інтеграли з двома нескінченними межами

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами інтегрування , що позначається символом , необхідно попередньо у вигляді суми двох невласних інтегралів, з яких з кінцевим верхнім межею інтегрування, інший - з кінцевим нижнім межею інтегрування, тобто.

причому цей невласний інтеграл вважається схожим, якщо обидві межі існують, коли a і b незалежно один від одного необмежено зростають за абсолютною величиною.

Приклад 7. Обчислити невласний інтеграл з двома нескінченними межами (якщо він сходиться).

Рішення. На підставі визначення невласного інтеграла з двома нескінченними межами представляємо цей інтеграл як суму двох невласних інтегралів:

Перетворимо підінтегральний вираз до форми за допомогою виділення повного квадрата:

За формулою знаходимо:

(Ця формула, якою ми скористалися, а також інші формули, придатні для інтегрування дробів, наведені в уроці Інтегрування деяких раціональних дробів та ірраціональностей).

Межа цього інтегралу існує:

Другий інтеграл, що становить суму, що виражає вихідний інтеграл:

Межа цього інтеграла також існує:

Знаходимо суму двох інтегралів, що є значенням вихідного невласного інтеграла з двома нескінченними межами:

Невласні інтеграли другого роду - від необмежених функцій та їхня схожість

Нехай функція f(x) задана на відрізку від a до b і необмежена на ньому.Припустимо, що функція перетворюється на нескінченність у точці b , у той час як у всіх інших точках відрізка вона безперервна.

Визначення. Невласним інтегралом функції f(x) на відрізку від a до b називається межа інтеграла цієї функції з верхньою межею інтегрування c , якщо при прагненні c до b функція необмежено зростає, а точці x = b функція не визначено, тобто.

Якщо ця межа існує, то невласний інтеграл другого роду називається схожим, інакше - розбіжним.

Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, виводимо:

Це також узагальнена формула Ньютона Лейбніца. Саме вона застосовується у вирішенні завдань на обчислення невласних інтегралів від необмежених функцій.

Приклад 8. Обчислити невласний інтеграл (якщо він сходиться).

Рішення. Підінтегральна функція при необмежено зростає, а в точці x = 0 функція не визначена, тобто немає. Застосовуємо узагальнену формулу Ньютона-Лейбніца:

(бо при x = 0 первісна безперервна). Висновок: даний невласний інтеграл сходиться і дорівнює -3/2.

Приклад 9. Обчислити невласний інтеграл (якщо він сходиться).

Рішення. Підінтегральна функція безперервна у кожній точці напіввідрізка [0, 1] . У точці x = 1 функція перетворюється на нескінченність. Якщо взяти, то на [0, c] підінтегральна функція безперервна і, отже, є інтеграл.

Знайдемо межу цього інтеграла:

Результат попередніх дій: невласний інтеграл сходиться та його значення ми знайшли.

Приклад 10. Дослідити на збіжність невласний інтеграл (Верхня межа інтегрування більше нижнього).

Рішення. Підінтегральна функція звертається в нескінченність при x = b , В інших точках вона безперервна. Припустимо спочатку, що , тоді для :

В отриманому вираженні перейдемо до межі при:

Неважко бачити, що межа у правій частині існує і дорівнює нулю, коли , тобто , і не існує, коли , тобто .

У першому випадку, тобто при

Висновок нашого дослідження наступний: даний невласний інтеграл сходиться при і розходиться при .