Що таке "висота у геометрії": основні визначення
Висота - одне з фундаментальних понять геометрії, без знання якого неможливо осягнути властивості багатьох геометричних фігур. Що ж є висота з точки зору математики та геометрії? Давайте розберемося!
Основні визначення висоти у геометрії
Що таке висота у геометрії? Дамо кілька визначень.
Висотою трикутника називається відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони та перпендикулярний цій стороні.
Це визначення справедливе для гострокутного та прямокутного трикутників. Однак у тупокутному трикутнику висота виходить за межі фігури:
Тому дамо більш загальне визначення:
Висота трикутника – відрізок, проведений з вершини трикутника перпендикулярно до прямої, що містить протилежну сторону.
Висота трикутника
Розглянемо докладніше поняття висоти трикутника у геометрії. Кожен трикутник має 3 висоти – за кількістю вершин. Розглянемо їх властивості.
- Три висоти (або їх продовження) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром.
- Висоти обернено пропорційні сторонам трикутника, на які вони опущені.
Крім того, висоти мають цікаві властивості залежно від виду трикутника.
Висота в рівнобедреному трикутнику
У рівнобедреному трикутнику висота, опущена на основу:
- Діляє основу навпіл
- Є медіаною та бісектрисою одночасно
Висота в рівносторонньому трикутнику
У правильному рівносторонньому трикутнику всі висоти рівні між собою і одночасно є медіанами, бісектрисами та осями симетрії.
Висота у прямокутному трикутнику
Що таке висота у геометрії 7 клас учні вивчають на прикладі прямокутного трикутника. Тут одна висота повна гіпотенузі, а дві інші – катетам:
При розв'язанні задач зручно користуватися теоремою Піфагора для обчислення невідомих елементів трикутника.
Формули висоти трикутника
Існує кілька способів обчислити висоту трикутника, якщо відомі інші елементи:
| Через бік a і кут α: |
h = a * sin(?) |
| Через сторони a, b, c і напівпериметр p: |
h = 2 * sqrt (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) / b |
| Через площу S і сторону a: |
h = 2 * S / a |
Знаходження висоти у прямокутному трикутнику
Розглянемо на конкретному прикладі, що таке висота геометрії у прямокутному трикутнику та як її знайти.
Дано прямокутний трикутник ABC, де AC = 5 см, BC = 12 см. Знайдемо висоту h, опущену гіпотенузу.
- За теоремою Піфагора знаходимо гіпотенузу: AB = 13 см
- Використовуємо властивість висоти у прямокутному трикутнику: вона поділяє гіпотенузу навпіл
- Отримуємо: h = 6,5 см
Таким чином, ми виявили, що таке висота в даному конкретному випадку. А тепер давайте узагальним цей підхід.
Узагальнений алгоритм знаходження висоти
Що таке висота в загальному випадку та як її знайти для довільного трикутника за відомими елементами?
- Визначити тип трикутника (гострокутний, прямокутний, тупокутний)
- Згадати властивості висоти для цього типу трикутника
- Підібрати відповідну формулу висоти з наявних даних про трикутник
- Підставити значення у формулу та обчислити невідому висоту
Цей загальний алгоритм дозволяє вирішувати більшість завдань, пов'язаних з висотою трикутника.
Висота трапеції
Крім трикутника, поняття висоти застосовується й інших геометричних фігур.Розглянемо, наприклад, що таке висота трапеції.
Висотою трапеції називається відстань між її основами, виміряна перпендикулярно до них. Для обчислення висоти трапеції можна скористатися висотами трикутників, куди вона розбивається діагоналлю.
Висота паралелограма
Ще однією поширеною чотирикутною фігурою, для якої визначається висота, є паралелограм.
Висотою паралелограма називається відстань між його протилежними сторонами, виміряна перпендикулярно їм. Як і у випадку з трапецією, висоту паралелограм можна знайти через висоти трикутників, на які він розбивається діагоналями.
Висота у завданнях на обчислення площ
Одне з основних застосувань поняття висоти у геометричних задачах – це обчислення площ трикутників. Згадаймо формулу:
де S – площа трикутника, h – висота, a – основа трикутника. Дана формула дозволяє ефективно знаходити площу трикутника за висотою та основою. Розглянемо приклад такого завдання.
Висота у стереометрії
Поняття висоти застосовується у планіметрії, а й у стереометрії – розділі геометрії, вивчає об'ємні фігури.
Зокрема, у призми висотою називається відстань між основами, а піраміди – відстань від вершини до площини основи. Висота використовується, наприклад, у формулах для обчислення обсягів призм та пірамід.
Висота у завданнях на доказ
Ще одне важливе застосування поняття висоти в геометричних задачах – це доказ рівності чи подібності до трикутників.
Відомо, що якщо два трикутники мають рівні висоти, проведені до рівних сторін, такі трикутники подібні.Ця властивість часто використовується при доказі подібності трикутників у завданнях.
Висота в інженерних розрахунках
Поняття висоти широко застосовується в інженерії та будівництві.
Зокрема, при проектуванні будівель та споруд необхідно проводити розрахунки з урахуванням їхньої висоти - це впливає на стійкість, навантаження, аеродинаміку та інші характеристики.
Вимірювання висот рельєфу
У топографії поняття висоти використовується позначення перевищення однієї точки земної поверхні над рівнем моря чи над інший опорної поверхнею.
Вимірювання висот території необхідно, наприклад, при складанні топографічних карт. Для цього застосовуються спеціальні висотоміри та нівеліри.
Висота в архітектурних шедеврах
Поняття висоти в архітектурі та будівництві здавна сприймалося не лише як інженерний параметр, а й як вираження могутності, величі.
Багато видатних архітектурних споруд відомі саме своїми грандіозними висотами, що увійшли в історію людства: єгипетські піраміди, Ейфелева вежа, хмарочоси Нью-Йорка та Дубая.
Усі формули висоти трикутника
Висота- перпендикуляр, що виходить з будь-якої вершини трикутника, до протилежної сторони (або її продовження, для трикутника з тупим кутом).
Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається - ортоцентр.
H - Висота трикутника
a - сторона, основа
b, c - Сторони
β , γ - кути при основі
p - напівпериметр, p=(a+b+c)/2
R - радіус описаного кола
S - площа трикутника
Формула довжини висоти через сторони, ( H ):
Формула довжини висоти через бік та кут, ( H ):
Формула довжини висоти через бік і площу, ( H ):
Формула довжини висоти через сторони та радіус, ( H ):
