Квадрат. Формули та властивості квадрата.
Квадрат - це чотирикутник, у якого всі чотири сторони і кути однакові.
Основні властивості квадрата
Квадратом також можуть бути паралелограм, ромб або прямокутник, якщо вони мають однакові довжини діагоналей, сторін і однакові кути.
1. Усі чотири сторони квадрата мають однакову довжину, тобто вони рівні:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Кожна діагональ квадрата ділить квадрат на дві однакові симетричні фігури
7. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і поділяють один одного навпіл:
8. Точка перетину діагоналей називається центром квадрата і також є центром вписаного та описаного кола
9. Кожна діагональ ділить кут квадрата навпіл, тобто є бісектрисами кутів квадрата:
ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°
10. Обидві діагоналі поділяють квадрат на чотири рівні трикутники, причому ці трикутники одночасно і рівнобедрені та прямокутні:
ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA
Діагональ квадрата
Діагоналлю квадрата називається будь-який відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів квадрата.
Формули визначення довжини діагоналі квадрата
Периметр квадрата
Формули визначення довжини периметра квадрата
Площа квадрата
Площею квадрата називається простір, обмежений сторонами квадрата, тобто у межах периметра квадрата.
Площа квадрата більша за площу будь-якого чотирикутника з таким же периметром.
Формули визначення площі квадрата
Коло описане навколо квадрата
Колом описаним навколо квадрата називається коло, що проходить через чотири вершини квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.
Радіус кола описаного навколо квадрата завжди більше радіуса вписаного кола в 2 разів.
Радіус кола описаного навколо квадрата дорівнює половині діагоналі.
Площа кола описаного навколо квадрата велика площа того ж квадрата в π/2 разів.
Формули визначення радіуса кола описаного навколо квадрата
1. Формула радіуса кола описаного навколо квадрата через бік квадрата:
2. Формула радіуса кола описаного навколо квадрата через периметр квадрата:
3. Формула радіуса кола описаного навколо квадрата через площу квадрата:
4. Формула радіуса кола описаного навколо квадрата через діагональ квадрата:
5. Формула радіуса кола описаного навколо квадрата через діаметр описаного кола:
6. Формула радіуса кола описаного навколо квадрата через радіус вписаного кола:
7. Формула радіуса кола описаного навколо квадрата через діаметр вписаного кола:
8. формула радіуса кола описаного навколо квадрата через довжину відрізка l:
Окружність вписана в квадрата
Навколо вписаним у квадрат називається коло, яке примикає до середин сторін квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.
Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.
Площа кола вписаного в квадрат менша за площу квадрата в 4/π рази.
Формули визначення радіусу кола вписаного у квадрат
5. Формула радіуса кола вписаного в квадрат через радіус описаного кола:
6.Формула радіуса кола вписаного в квадрат через діаметр описаного кола:
7 Формула радіуса кола вписаного в квадрат через діаметр вписаного кола:
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені до чорного списку!
Ласкаво просимо в OnlineMSchool.
Мене звуть Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написаний весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн-вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.
Якщо Ви хочете зв'язатися зі мною, маєте запитання, пропозиції чи хочете допомогти розвивати сайт OnlineMSchool пишіть мені [email protected]
Завдання: коло вписано в квадрат, визначити площу зафарбованої області
Коло вписано в квадрат. Знайти площу зафарбованої області, якщо сторона квадрата дорівнює 2 м.
Дано:
Сторона квадрата,
a = 2 м
Пояснення до малюнка:
O - центр кола
R
- радіус кола
D
- діаметр кола
Знайти площу зафарбованої області: S
Площу шуканої області можна виразити як різницю між площею квадрата та площею кола
Невідомий радіус кола. З малюнка видно, що сторона квадрата дорівнює діаметру кола і відповідно подвоєному радіусу
Виразимо радіус кола через бік квадрата і підставивши значення, отримаємо радіус кола.
Формула площі шуканої області на підставі викладок вище буде виглядати наступним чином.
Підставивши вже відомі значення сторони квадрата та радіуса кола, отримуємо.
Відповідь:
Результат вийшов приблизним, тому що число π не можна виразити точно, воно має безліч знаків після коми. У даному випадку, ми взяли π ≈ 3.14
Якщо вже отриманий вираз підставити формулу площі кола виражену через сторону квадрата і перетворивши, отримаємо наступну формулу, в якій площа зафарбованої області, буде відразу виражена через сторону квадрата.
Перевіримо, підставивши наше значення.
Квадрат вписаний у коло
Квадрат, вписаний у коло - Це квадрат, який знаходиться
всередині кола і стикається з нею кутами.
на малюнку 1 зображена коло, описане навколо
квадрата і коло, вписане у квадрат.
Формули
Радіус вписаного кола в квадрат
- Радіус вписаного кола в квадрат, якщо відомий сторона:
\[ r=\frac\]
- Радіус вписаного кола в квадрат, якщо відомий периметр:
\[ r=\frac\]
- Радіус вписаного кола в квадрат, якщо відомий площа:
\[ r=\frac\]
- Радіус вписаного кола в квадрат, якщо відомий радіус описаного кола:
\[ r=\frac< R>\]
- Радіус вписаного кола в квадрат, якщо відомий діагональ: \[ r=\frac< d>\]
Радіус описаного кола біля квадрата
- Радіус описаного кола біля квадрата, якщо відомий сторона:
\[ R=a\frac< 2>\]
- Радіус описаного кола біля квадрата, якщо відомий периметр:
\[ R=\frac< P>\]
- Радіус описаного кола біля квадрата, якщо відомийплоща:
\[ R=\frac< 2>\]
- Радіус описаного кола біля квадрата, якщо відомий радіус вписаного кола:
\ [R = r \sqrt2 \]
- Радіус описаного кола біля квадрата, якщо відомийдіагональ:
\[R=\frac\]
Сторона квадрата
- Сторона квадрата, вписаного в коло, якщо відомаплоща:
\[ a=\sqrt S \]
- Сторона квадрата, вписаного в коло, якщо відомадіагональ:
\[ a=\frac< d>\]
- Сторона квадрата, вписаного в коло, якщо відомий периметр:
\[ a=\frac< P>\]
Площа квадрата
- Площа квадрата вписаного в коло, якщо відома сторона: \[ S=a^2 \]
- Площа квадрата вписаного в коло, якщо відомий радіус вписаного кола:
\[ S=4r^2 \]
- Площа квадрата вписаного в коло, якщо відомий радіус описаного кола:
\[ S=2R^2 \]
- Площа квадрата вписаного в коло, якщо відомий периметр:
\[ S=\frac< P^2>< 16>\]
- Площа квадрата вписаного в коло, якщо відома діагональ:
\[ S=\frac< d^2>< 2>\]
Периметр квадрата
- Периметр квадрата вписаного в коло, якщо відома сторона:
\ [P = 4a \]
- Периметр квадрата вписаного в коло, якщо відома площа:
\ [ P = 4 \ sqrt S \]
- Периметр квадрата вписаного в коло, якщо відомийрадіус вписаного кола:
\ [P = 8r \]
- Периметр квадрата вписаного в коло, якщо відомий радіус описаного кола:
\ [ P = 4R \ sqrt 2 \]
- Периметр квадрата вписаного в коло, якщо відома діагональ:
\ [ P = 2d \ sqrt 2 \]
Діагональ квадрата
- Діагональ квадрата вписаного в коло, якщо відома сторона:
\[ d=a\sqrt 2 \]
- Діагональ квадрата вписаного в коло, якщо відома площа:
\[ d=\sqrt 2S \]
- Діагональ квадрата вписаного в коло, якщо відомий периметр:
\[ d=\frac< P>\]
- Діагональ квадрата вписаного в коло, якщо відомий радіус вписаного кола:
\[d=2r\sqrt 2\]
- Діагональ квадрата вписаного в коло, якщо відомий радіус описаного кола:
\[ d=2R \]
Властивості
- Усі кути в квадраті прямі.
- Усі сторони квадрата рівні.
- Сума всіх кутів квадрата 360°.
- Діагоналі квадрата одночасно рівні, перетинаються під прямим кутом і є бісектрисами кутів.
- Точка перетину діагоналей квадрата є центром вписаного та описаного кола.
- Діагоналі квадрата перпендикулярні, точкою перетину діляться навпіл.
- Квадрат має симетрією.
