Ортогональна проекція

Нехай на площині задані прямі L і точки A. Опустимо з точки A на пряму L перпендикуляр (рис. 1.8, а). Тоді його основу (точку O) називають ортогональною проекцією точки A на пряму L. Якщо пряма L і точка A задані в просторі, то в цьому випадку ортогональною проекцією точки A на пряму L називають точку O перетину прямої L з перпендикулярною площиною, що проходить через точку A (рис. 1.8, б). Якщо точка A лежить на прямий L, вона співпадає зі своєю ортогональною проекцією на L.

Для вектора - AB (на площині чи просторі) можна побудувати ортогональні проекції на пряму L його початку та кінця (Рис. 1.9). Вектор O_AO_B , що з'єднує ці проекції O_A та O_B і лежить на прямій L, називають ортогональною проекцією вектора AB на пряму L.

Пряму, на якій задано один із двох можливих напрямків, називають віссю. Вибраний напрямок на осі зображують за допомогою стрілки на відповідному кінці осі. Ортогональну проекцію O_AO_B вектора AB на вісь l можна повністю описати довжиною вектора O_AO_B , приписавши їй знак,

вказівний напрямок вектор. Якщо напрямок O_AO_B збігається із заданим напрямом осі, то беруть знак плюс, а якщо напрямок вектора протилежний напрямку осі, то беруть знак мінус. Довжина вектора O_AO_B зі знаком, що визначає напрямок цього вектора, називають ортогональною проекцією вектора AB на вісь l і позначають пр_lа.

Звернемо увагу на те, що ортогональна проекція вектора на вісь є число, в той час як ортогональна проекція вектора на пряму - це вектор.Щоб вектору відповідало число як його проекція, на прямій потрібно вибрати один із двох можливих напрямків.

Кожен ненульовий вектор l однозначно визначає вісь: його можна розглядати розташованим на деякій прямий і напрямок, що задає на ній. Ортогональну проекцію вектора на таку вісь називають ортогональною проекцією цього вектора на напрямок вектор l.

Кут між напрямками двох ненульових векторів називають кутом між цими векторами. Кут може змінюватись у межах від 0 до π. Крайні значення 0 та π відповідають колінеарним векторамвідповідно односпрямованим та протилежно спрямованим. Якщо хоча б один із двох векторів є нульовимто кут між такими векторами не визначений. Зручно, однак, вважати, що в цьому випадку кут має довільне значення. Так, нульовий вектор колінеарен будь-якому іншому, що формально відповідає куту 0 (або π). Конкретне значення, що приписується куту між нульовим вектором і будь-яким іншим, вибирають з ситуації.

Теорема 1.1. Ортогональна проекція вектора на напрям ненульового вектора l дорівнює довжині |а|, помноженої на косинус кута між векторами а і l, тобто.

де - кут між векторами а та l

◄ Нехай вектор l лежить на прямій L, а його початком є ​​точка A. Сумісний початок вектора а з точкою A, і нехай його кінцем буде точка B (рис. 1.10). Побудуємо ортогональні проекцію C точки B на пряму L. Тоді вектор AC є ортогональною проекцією вектора а = AB на пряму L.

Якщо кут між векторами а і l гострий (як це показано на рис. 1.10, а), то кінець вектора l і точка C лежать по одну сторону від точки A.І тут проекція а напрям вектора l дорівнює довжині |AC| = | AB | cosφ катета AC трикутника ABC.

Якщо кут φ тупий (див. рис. 1.10, б), то кінець вектора l і точка C лежать по різні боки від точки A. Це означає, що вектори AC і l мають протилежні напрямки, а проекція вектора дорівнює - |AC| . У трикутнику ABC кут ψ, що належить до катета AC, дорівнює π - φ, тому |AC| = | AB | cos(π - φ) = - | AB | cosφ.

Якщо ж φ = π/2 чи а = 0, точка C збігається з точкою A і вектор AC є нульовим вектором. Проте cosπ/2 = 0, отже, й у разі затвердження теореми справедливо. ►

Теорема 1.2. Ортогональна проекція суми векторів на напрям ненульового вектора дорівнює сумі їх ортогональних проекцій на напрям цього вектора, а при множенні вектора на число ортогональна його проекція на напрям ненульового вектора множиться на те ж число:

◄ Доказ випливає із рис. 1.11. У випадку, зображеному на рис. 1.11, а, маємо пр_lа = | AB |, ін_lb = -|BC|, пр_l(а + b) = | AC | = | AB | - | BC |. У випадку, зображеному на рис. 1.11, б, ін_lа = | AB | і, якщо λ > 0, пр_l(λа) = | AE | = λ | AB |. Інші варіанти (точка C не належить відрізку AB у разі а, λ ≤ 0 у разі б) розглядаються аналогічно. ►

Проекція точки на площину онлайн

За допомогою цього онлайн калькулятора можна знайти проекцію точки на задану площину. Надається докладне рішення з поясненнями. Для побудови проекції точки на дану площину введіть координати точки та коефіцієнти рівняння площини у комірки та натискайте на кнопку "Вирішити".

Попередження

Інструкція щодо введення даних. Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів.Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Проекція точки на площину – теорія, приклади та рішення

Для знаходження проекції точки M₀ на площину α, необхідно:

• побудувати пряму L, що проходить через точку M₀ та ортогональній площині α.
• знайти перетин цієї площини α з прямою L(Рис.1).

Загальне рівняння площини має вигляд:

де n(A,B,C)− називається нормальним вектором площини.

Рівняння пряме, що проходить через точку M₀(x₀, y₀, z₀) і має напрямний вектор q(l, m, n) має такий вигляд:

Для того, щоб пряма (2) була ортогональна площині (1), напрямний вектор q(l, m, n) прямий (2) повинен бути колінеарним нормальному вектору n(A,B,C) площини (1) (Рис. 1). Отже, як напрямний вектор прямої (2) можна взяти нормальний вектор площини (1) .

Таким чином, рівняння прямої, що проходить через точку M₀(x₀, y₀, z₀) та ортогональної площини (1) має такий вигляд:

Для знаходження точки перетину прямої L з площиною α, Найпростіше розглядати параметричне рівняння прямої. Складемо її

Виразимо змінні x, y, z через рараметр t.

Підставимо значення x,y,z з виразу (4) в (1) і вирішимо щодо t.

Підставляючи значення параметра t у виразі (4), знаходимо проекцію M₁ крапки M₀ на площину (1).

Приклад 1. Знайти проекцію M₁ крапки M₀(4, -3, 2) на площину

Нормальний вектор площини має вигляд:

тобто. A=5, B=1, C=−8.

Підставляючи координати точки M₀ і нормального вектора площини (5), отримаємо:

З виразів (7) знаходимо:

Проекцією точки M₀(4, -3, 2) на площину (6) є точка: