Батісфера

Батісфера (від грецької βαθύς - глибоко і "σφαῖρα" - куля) - глибоководний апарат у формі кулі, що опускається на тросі під воду з базового судна. На відміну батискафа батисфера неспроможна самостійно пересуватися.

Сфера - геометричне тіло, що має найбільший об'єм за найменшої площі поверхні. Порожниста сфера при рівній товщині стінок (у порівнянні, наприклад, з паралелепіпедом або циліндром рівного об'єму) матиме меншу масу. Також сфера володіє абсолютною симетрією, для сферичного міцного корпусу найлегше зробити інженерні розрахунки. . Рекорд глибини, 932 метри, встановлений 15 серпня 1934 року Вільямом Бібі (William Beebe) та Отісом Бартоном, протримався 15 років.

Максимальна глибина, досягнута за допомогою батісфери, становить 1375 метрів у 1949 році (пілот – Отіс Бартон).

Відсутність у батисфери можливості самостійного переміщення та небезпека затонути під час обриву троса призвели до того, що з середини XX століття ці апарати були витіснені мобільними глибоководними апаратами. Для океанографічних та рятувальних робіт нині використовуються батискафи та глибоководні апарати інших конструкцій.

Пов'язані поняття

Підрулюючий пристрій - судновий пристрій, призначений для активного керування судном; робочий орган (гвинт) у наскрізному каналі, що проходить від одного борту судна до іншого борту, перпендикулярно до його діаметральної площини.

В'юшка - барабан або лебідка без механічного приводу, як правило, з горизонтальною віссю. Призначена для зберігання троса (шланга, кабелю) та зручного розмотування та змотування. На відміну від брашпіль, не призначена для роботи з якірним ланцюгом і не призначена для великих навантажень.

Перископна глибина - неточна величина, що характеризує глибину занурення підводного човна, при якому можна скористатися перископом. Перископну глибину прийнято усереднено вважати рівною 10 метрам.

Якірний пристрій - один із корабельних пристроїв, сукупність технічних засобів, призначенням яких є утримання корабля на місці щодо берега, хвилі, вітру або течії при стоянці його на рейді - в гавані або на мілководді. У складі якірного пристрою є якорі, якірні ланцюги та пристосування для віддачі, підйому, кріплення та зберігання якорів та якірних ланцюгів (якорні клюзи, шпилі, брашпілі, стопори).

Судновий крильчатий рушій, відомий також під назвою рушій Фойта - Шнайдера (англ. Voith Schneider Propeller) - рушійно-кермовий пристрій з повністю зануреним в середу крильчастим рушієм з циклоїдальним рухом лопатей, що створює упор, напрямок якого може змінюватися в межах 0 ° вправо або вліво при зміні кутів установки лопатей, що дозволяє дуже добре маневрувати судам і може майже миттєво змінити його упор.

Згадки у літературі

Перші занурення в глибокий океан були здійснені з метою біологічних досліджень: людину цікавило, чи живі організми на великих глибинах.Але дізнатися про це можна було, лише занурившись у їхнє природне довкілля і побачивши все на власні очі. Співдружність американських вчених – біолога Вільяма Біба та інженера Отіса Бартона – призвела до створення батисфери – прообразу сучасних населених апаратів. Їхня батисфера була розрахована на двох осіб і занурювалася на тросі, дозволяючи вести безпосередні візуальні спостереження за підводними тваринами в товщі води до глибини 1000 метрів і більше. В 1934 Біб і Бартон, занурюючись в районі Бермудських островів, досягли глибини 923 метра, що було абсолютним рекордом для того часу. У 1948 році Бартон опустився в батісфері вже на глибину 1496 метрів, що залишається досі рекордною для заселених апаратів цього класу.

Батисфера (від грецького bathys – глибокий і sphaira – куля) називається глибоководний апарат у формі кулі (зі сталі або титанового сплаву). Під воду він опускається на тросі, що спускається із судна забезпечення.

1910 року відбулася друга за значимістю після «Челленджера» експедиція Дж. Мерея: разом із Йоном Йортом на судні "Михаель Саре" він пішов на чотири місяці до північної Атлантики. Експедиція мала у своєму арсеналі комплект планктонних мереж, що автоматично закриваються, зібраних у величезну гірлянду, яка буксирувалася судном. Тільки середніх верств океану видобули 65 видів медуз, їх 16 – нових для науки, виявили вертикальні міграції батипелагических тварин. Наукова співдружність Дж. Меррея та Й. Йорта було настільки плідно, що у 1912 році вони опублікували книгу «Глибині океану», екземпляр якої через 22 роки побував у батисфері разом із Вільямом Бібом на глибині 923 метри. У цей час Дж.Меррей працює над коротким популярним нарисом «Моря», який у 1923 році під назвою «Океан, загальний нарис науки про море» перекладається російською мовою. У свої 73 роки Дж. Меррей був дуже діяльний: планував дослідження канадських озер, зустрічався з друзями, грав у гольф, їздив машиною, але в середині березня 1914 року загинув у автомобільній катастрофі.

Пов'язані поняття (продовження)

Алвін (англ. DSV-2 Alvin) - один з найвідоміших пілотованих підводних апаратів (ППА), що діють. Батискаф розрахований на трьох осіб (двох вчених та пілота) і дозволяє за 10 годин здійснювати занурення на глибину до 4500 метрів. Розміри устаткування, що використовується, обмежені розмірами люка апарату, який має діаметр 48,2 см (19 дюймів).

Барограф (з др.-грец. βάρος «тяжкість, вага» і γράφω «пишу») або барометрограф - самописний прилад для безперервного запису значень атмосферного тиску. Застосовується на метеорологічних станціях, а також на літаках та аеростатах для реєстрації висоти (за зміною тиску).

Огородження висувних пристроїв (амер. англ. Sail, англ. fin) - елемент архітектури підводних човнів, баштоподібна конструкція, що служить для візуального спостереження за поверхнею моря, захисту висувних пристроїв (перископи, антени, радари тощо), входу та виходу екіпажу, збільшення курсової стійкості в підводному положенні та, іноді, розміщення горизонтальних кермів.

Напівжорсткий дирижабль - різновид дирижабля, конструктивно виконаного з частковим каркасом, що перешкоджає деформації його оболонки.

Вилицевий кіль (У XIX столітті називався бічний, в середині ХХ — бортовий) — спеціальний пристрій, розташований на вилицевій частині обводу деяких кораблів.На відміну від традиційного кіля, що служить насамперед для забезпечення міцності корпусу судна, основним призначенням бортового кіля є зменшення бічної хитавиці під час руху. Вони є довгими пластинами, встановленими вздовж борту в районі вилиці, звідки й пішла їхня друга назва.

Покладка на грунт - вид підводного маневрування підводних човнів з дизельними силовими установками, який застосовується з метою збереження енергоресурсів, що є на борту, і досягнення максимальної скритності, а також - в ситуаціях, які змушують субмарину перебувати в зануреному положенні з відключеними двигунами.

Штірборт (нідерл. stuurboord, stuur - кермо, boord - борт; англ. steerboard, пізніше - англ. starboard) - правий по ходу руху борт судна. Еквівалентна назва для лівого борту – бакборт. Штирборт уночі позначається зеленим навігаційним вогнем, а бакборт червоним.

Пайкеріт, пайкріт (англ. pykrete) - композиційний матеріал, що складається приблизно з 18-45% (за вагою) тирси (або будь-якого іншого виду деревної маси, наприклад, паперової пульпи) і до 82% водяного льоду.

Підводний звуковий канал - шар води в морях і океанах, в якому можливе наддальше поширення звуку внаслідок рефракції.

Індикаторна потужність парової машини визначається як сума потужності, що отримується на колінчастому валу (ефективна потужність), і потужності, що витрачається на втрати (потужність тертя). Поняття індикаторної потужності застосовується також у теорії двигунів внутрішнього згоряння.

Рідкий баласт - як правило, забортна вода або вода, заздалегідь занурена з причалу чи берега.Для прийняття рідкого баласту на плавучих засобах обладнуються баластові танки та баластова система.

Водолазні роботи, професійний дайвінг - це підводні занурення, які виконують професіонали за винагороду. У вузькому значенні - роботи, що виконуються водолазом під водою у водолазному спорядженні.

Легкі Момсена — індивідуальний рятувальний апарат, по суті примітивний ребризер, який використовувався як до, так і під час Другої світової війни американськими підводниками для порятунку підводного човна, що затонув. Цей апарат був винайдений Чарльзом Момсеном у 1929 році після загибелі екіпажу затонулого човна USS S-4 (SS-109). Підводники тренувалися із цим пристроєм на глибині близько 30 м. Вперше було введено у стандартне спорядження на човнах Porpoise та Salmon класів.

Марс (нідерл. mars, англ. top, фр. hune) - майданчик на топі складової щогли, прикріплена до її салінгу. На вітрильних судах служить для рознесення стін-вантів і місцем для деяких робіт при постановці та прибиранні вітрил. На марсах військових кораблів, як правило, встановлювалася огорожа (леєр) та під час бою могли розміщуватись стрілки. З появою систем управління артилерійським вогнем, на марсах почали розміщувати далекомірні та прожекторні пости.

Мареограф (від лат. mare — море та ін.-грец. γράφω — пишу; інші назви — лімніграф, приливомер, самописний футшток) — прилад для вимірювання та безперервної автоматичної реєстрації коливань рівня моря.

Форпі́к (нідерл. voorpiek, англ. forepeak) — відсік основного корпусу судна між форштевнем і першою («тараною») перебиранням, крайній носовий відсік судна. Зазвичай служить розміщувати вантажів чи водяного баласту.

Декомпресія - це набір процедур, покликаних забезпечити підйом аквалангіста або водолаза з глибини без ризику для здоров'я.

Підкрадання - це режим пересування підводних човнів під водою з найменшим рівнем шуму. Мета даного режиму - уникнення виявлення при використанні противником як засіб пошуку пасивних гідрофонів. Покладка човна на дно або повна зупинка на приладі стабілізації глибини до режиму підкрадання не відносяться, хоча служать тій самій меті - уникнути виявлення гідрофонів. Швидкість руху сучасних підводних човнів у малошумному режимі близько 14 км/година.

Рятувальний апарат Девіса ( Davis Submerged Escape Apparatus або скор. DSEA ) -- один з перших кисневих ребризерів . Цей апарат в 1910 винайшов Роберт Девіс, глава Siebe Gorman and Co. Ltd., натхненний раніше створеною у компанії системою Флюсса. Незважаючи на те, що цей апарат винаходився для порятунку підводників із затонулих субмарин, іноді його використовували для звичайного дайвінгу.

Корабельні (суднові) пристрої - традиційний узагальнюючий термін, що включає корабельне обладнання з певними ознаками, а саме, точкові об'єкти.

Кіле́ктор (також кіліхтер — від нідерл. kiellichter: kiel — балка, lichter — вантажне судно) — допоміжне судно для підводних вантажних робіт: постановки мертвих якорів, бонів, розчищення фарватерів, підйому затонулих об'єктів і т. д. Зазвичай низькобортне вантажопідйомним пристроєм, розміщеним, як правило, у кормовій частині. Фактично вони є морехідний швидкохідний варіант плавкрана.

Водовмісне судно - термін теорії корабля, що позначає судно (корабель), для якого все або більша частина сил підтримки створюється за рахунок виштовхування води (так званих Архімедових сил).

Підводний апарат (англ. Submersible) - невелике судно або технічний пристрій, що використовується для виконання різноманітних завдань у товщі води і на морському дні. носієм. Підводні апарати можуть працювати на глибині недоступною для підводних човнів та водолазів.

Пожежне судно — корабель, катер, моторний човен для виконання завдань, що вирішуються спеціалізованими пожежними службами. палаючого об'єкта забезпечується потужними підрулюючими пристроями, а на судах останніх років будівлі – системами динамічного позиціонування.

Курсовий кут - поняття навігації, що позначає кут між діаметральною площиною судна і напрямом на будь-який об'єкт, що спостерігається з судна.

Рятувальне судно - судно допоміжного призначення, що служить для допомоги судам, що зазнають лиха, для підйому затонулих підводних човнів.Рятувальні судна мають високу швидкість ходу, мають обладнання для виконання пошуково-рятувальних робіт, протипожежні та водовідливні засоби, обладнання для надводного та підводного ремонту, засобами для зняття людей, вантажопідйомними пристроями.

Хідкість - якість судна мати і зберігати задану швидкість ходу за цих умов за мінімальної витрати потужності механізмів, встановлених на ньому. З двох подібних суден найкращою ходкістю має те, що розвиває велику швидкість при однаковій потужності головних суднових двигунів або однакової парусності.

Активна турбіна (англ. action turbine) - турбіна, в якій потенційна енергія робочого тіла (газу, пари, рідини) перетворюється на кінетичну (тобто тиск робочого тіла зменшується, а швидкість зростає) в нерухомих каналах (соплах), а перетворення кінетичної енергії у механічну роботу відбувається на робочих лопатках. Дану конструкцію також називають імпульсною турбіною або турбіною рівного тиску, оскільки тиск робочого тіла всередині самої турбіни не змінюється. Альтернативна.

"Трієст" (італ. Trieste) - дослідницький батискаф, на якому в 1960 році було здійснено рекордне занурення в Маріанську западину.

Телекерований безлюдний підводний апарат (ТНПА) (англ. Remotely operated underwater vehicle (ROV)) - це підводний апарат, часто званий роботом, який управляється оператором або групою операторів (пілот, навігатор та ін) з борту судна. Апарат пов'язаний із судном складним вантажонесучим кабелем, через який на апарат надходять сигнали дистанційного керування та електроживлення, а назад передаються показання датчиків та відеосигнали.Пілот знаходиться на борту судна, тому апарат безлюдний.

Шпіга́т (нідерл. spuigat від spuien «зливати, скидати» і gat «отвір») — отвір у палубі або фальшборті судна для видалення за борт води, яку судно прийняло при заливанні хвилями, атмосферних опадів, гасінні пожеж, прибирання палуби та ін.

Під Буксируванням мається на увазі тяга недіючого (або безмоторного) транспортного засобу, несамохідних машин, літаків на аеродромах тощо. за допомогою іншого транспортного засобу як тимчасовий захід.

Батискаф (Bathyscaphe) (від грец. βαθύς - глибокий і σκάφος - судно) - автономний (самохідний) підводний апарат для океанографічних та інших досліджень на великих глибинах. Основна відмінність батискафа від «класичних» підводних човнів полягає в тому, що батискаф має легкий корпус, що представляє собою поплавець, заповнений для створення позитивної плавучості бензином або іншим речовиною, що мало стискається, легше води, що несе під собою міцний корпус, як правило виготовлений у вигляді порожнистої сфери.

Нактоуз (від нідерл. nachthuis, "нічний будиночок") - ящик, в якому розташований судновий компас, а також деякі інші навігаційні інструменти. Зазвичай зміцнюється на підставці або на тумбі, зазвичай може містити також масляний світильник або інше джерело світла, пісочний годинник. Нактоуз користується керманич при навігації.

Водолазний дзвін - в даний час це засіб транспортування водолазів у водолазному спорядженні на глибину до об'єкта робіт і назад, з подальшим переведенням їх у декомпресійну камеру.

Трьохболтове водолазне спорядження, «трьохболтування» — спорядження для безпечного занурення під воду, класичний водолазний костюм.

Бархоут (Нідерл.berghout, від bergen - охороняти, hout - дерево) - посилений ряд дощок зовнішньої обшивки в районі ватерлінії на парусних суднах або сталевий профіль наварений на зовнішню сторону пояса сталевої обшивки корпусу судна в районі головної ватерлінії (ГВЛ) та/або вище. Бархоут служить для захисту обшивки корпусу судна під час швартування, стоянки біля причалу, абордажу, тому що виступає назовні від обшивки і, приймаючи на себе перший удар (тиск) при торканні причалу або інше судно, не дає можливості.

Епіцентр ядерного вибуху (англ. ground zero) – проекція на земну або водну поверхню точки центру ядерного вибуху. Це точка на поверхні.

Осу́шка — ділянка морського дна, що оголюється під час відливу і заливається водою під час припливу, має порівняно невеликий ухил і безпосередньо прилягає до берега. Різновид літоралі у значенні припливно-відливної зони. Осушка утворюється в результаті наносу дрібнодисперсних осадових порід, що відбувається у зв'язку з різницею швидкостей та тривалості припливу та відливу. Розмір осушки визначається рельєфом дна (особливо — градієнтом висоти) і амплітудою приливно-відливних коливань.

Водний велосипед - один з найпопулярніших прогулянкових суден, що рухаються м'язовою силою.

Езельгофт (нідерл. ezel hoofd - «осляча голова») - деталь кріплення додаткових рангоутних дерев до основних (утегаря до бушприту, стінки до щогли, брам-стеньги до стіни).

Космічна навігація - визначення місця розташування космічних літальних апаратів, або місце розташування деякої точки на Землі за допомогою штучних супутників.

Декомпресійна таблиця (зазвичай мається на увазі кілька таблиць) - таблиця, побудована в результаті експериментів та математичного моделювання і відображає залежність кількості поглиненого інертного газу (азоту та/або гелію) і режиму декомпресії від глибини, тривалості занурення та складу дихальної суміші.

Та́лреп (від нідерл. talrеєр, taljerеер) — пристрій для стягування та вибирання слабини такелажу, кабелів тощо.

X Міжнародна студентська наукова конференція Студентський науковий форум – 2018

Протягом багатьох століть людство не переставало поповнювати свої знання в різноманітних галузях наук. .

Вчених геометрів і звичайних людей завжди цікавила така фігура як куля та її «оболонка» – сфера. були вже відомі геометрам Стародавньої Греції), та й відводиться тепер у наш час. з кулями. Наприклад, люди користуються кульковою ручкою, де в кінець стрижня вмонтована металева куля, носять прикраси та вішають ялинкові іграшки такої форми; снарядів теж мають якісь сферичні поверхні - обтічники.Крім цього в сучасному світі космічні кораблі і апарати, що спускаються в атмосферу, так само мають форму кулі, як і відсіки, що входять до них, а архітектори включають у свої проекти різні сферичні та кулясті об'єкти, будь то незвичайні колони або самі будівлі. Також завдання на сферу та кулю зустрічаються у завданнях на єдиному державному іспиті у школі. У всьому цьому і полягає актуальність дослідження: дуже важливо вивчати різні властивості представлених фігур для їх правильного та грамотного застосування у реальному житті.

Обидва слова "куля" і "сфера" походять від одного і того ж грецького слова "сфайра", що означає "м'яч", при цьому "куля" утворилося від переходу приголосних "сф" в "ш" [9]. Сфера в давнину перебувала у великій пошані, спостереження астрономів за небесним склепінням викликали її образ. Піфагорійці говорили про те, що існують десять сфер Всесвіту, якими рухаються небесні тіла [9]. За їхніми словами, відстані цих тіл були пропорційні інтервалам музичної гами – і в цьому вони бачили елементи музичної гармонії. Такі напівмістичні неправдоподібні міркування становили піфагорову "музику сфер" [9].

Аристотель вважав, що досконала куляста форма властива Сонцю, Місяцю, Землі та всім іншим світовим тілам [9]. Розвиваючи погляди Евдокса Кнідського [8], він укладав, що Земля оточена концентричними сферами.

У книзі «Початок» у XI столітті Евклід визначає кулю як фігуру, описану напівколом, що обертається біля нерухомого діаметра [9].Він доводить лише теорему про те, що об'єми двох куль ставляться як куби їх радіусів, але не виводить формули і не дає жодного правила для обчислення площі поверхні сфери або об'єму кулі, якої, швидше за все, і не знав. Найбільшим відкриттям Архімеда було виведення цих формул. У його творі «Про кулю та циліндр» є такі теореми [15]:

1. Площа поверхні сфери дорівнює вчотирьох площі її великого кола (т. Е.).

2. Обсяг кулі дорівнює вчетверенному об'єму конуса, основою якого є велике коло, а висотою – радіус кулі (т. е. ).

3. Об'єм циліндра в півтора рази більший за обсяг вписаної в нього кулі.

4. Площа поверхні циліндра дорівнює площі поверхні вписаної сфери.

Різними авторами визначення кулі та сфери представлені наступним чином:

У енциклопедичному словнику Ф.А. Брокгауза та І.А. Ефрона [24]: Куля – геометричне тіло, обмежене сферичною чи кульовою поверхнею. Всі нормалі до поверхні сфери сходяться в центрі кулі, і всі точки сфери стоять на рівних відстанях від центру. Відстань це радіус кулі. Сфера – поверхня кулі.

За А.В. Погорелову [19]: Кулькою називається тіло, яке складається з усіх точок простору, що знаходяться на відстані, не більшій за дану, від даної точки. Ця точка називається центром кулі, а ця відстань – радіусом кулі. Кордон кулі називається кульовою поверхнею чи сферою.

За Л.С. Атанасяну [4]: ​​Сферою називається поверхня, що складається з усіх точок простору, розташованих на даній відстані від цієї точки. Ця точка називається центром сфери, а ця відстань – радіусом сфери. Тіло, обмежене сферою, називається кулею.

Об'єкт дослідження - Тіла обертання.

Предмет дослідження – Завдання на тему «Сфера та куля».

Мета дослідження – Систематизація теоретичного матеріалу та його застосування до вирішення завдань на тему «Сфера і куля».

Робота складається з вступу, двох частин та висновків.

Список використаних джерел включає 25 найменувань.

Теоретична частина 1. Куля, сфера – тіла обертання та їх частини

Як тіла обертання куля та сфера мають такі визначення:

Поверхня, утворена обертанням півкола біля її діаметра, є сфера (кульова поверхня) [14].

Поверхня, утворена обертанням півкола біля її діаметра, є куля [14].

Складові частини кулі та сфери:

Кульовим сегментом називається частина кулі, що відсікається від нього площиною [14]. Коло, утворене перетином кулі цією площиною, називається основою кульового сегмента. Частина радіуса кулі, що лежить усередині кульового сегмента і перпендикулярна до його основи, називається висотою кульового сегмента.

Кульовим сектором називається частина кулі, складена з кульового сегмента та конуса, основою якого є основа кульового сегмента, а вершиною – центр кулі [22].

Частина кульової поверхні, укладена між двома паралельними січними площинами, називається кульовим поясом або зоною [14].

Частина сфери, укладена між двома січними паралельними площинами, називається сферичним поясом. Сферичний пояс - бічна поверхня шарового шару. Кульовий шар – тіло обертання. Він виходить обертанням частини кола, укладеної між двома паралельними хордами, навколо осі симетрії [13].

Покажемо, який вид має рівняння сфери у прямокутній системі координат [4]:

Виведемо рівняння сфери радіусу R з центром C (Рис. 1).

Відстань від довільної точки М (x; y; z) до точки З обчислюється за формулою

Якщо точка М лежить на цій сфері, то МС = R, або , т.е. е. координати точки М задовольняють рівняння

Якщо ж точка М (x; y; z)не лежить на цій сфері, то M, т. е. координати точки М не задовольняють рівняння (1). Отже, у прямокутній системі координат рівняння сфери радіусу R з центром

3. Взаємне розташування кулі та сфери з площиною, взаємне розташування двох сфер

Можливі три випадки взаємного розташування сфери та кулі з площиною залежно від співвідношення між радіусом сфери (кулі) та відстанню від її центру до площини:

Теорема 1 (Про перетин кулі та сфери з площиною) [3].

1) Якщо відстань від центру кулі до даної площини більша за радіус кулі, то площина не має з кулею загальних точок

2) Якщо відстань від центру кулі до площини дорівнює радіусу кулі, то площина має з кулею і сферою, що обмежує її, тільки одну загальну точку.

3) Якщо відстань від центру кулі до площини менша за радіус кулі, то перетин кулі з площиною є коло. Центр цього кола знаходиться на основі перпендикуляра, опущеного з центру кулі на площину, або в самому центрі кулі, якщо площина проходить через центр. Перетин площини зі сферою представляє коло зазначеного кола.

Докази цих тверджень [3]:

Нехай крапка Про - Центр кулі, R - Його радіус, крапка А - Проекція точки Про на цю площину, отже.

1. ). Тоді для будь-якої точки X площині виконується нерівність

З цього випливає, що на поверхні немає точок кулі.

2. ). Оскільки , то точкаA належить кулі. Візьмемо будь - яку точку , відмінну від A. Для неї, а оскільки, то. Отже, будь-яка точка X, відмінна від точки A, не належить кулі. Отже, у цьому випадку куля та площина мають єдину загальну точку – точку. A.

3. Доведемо, що перетин кулі та площини – коло K у площині з центром у точці A та радіусом

де. Для цього про точку Xплощині доведемо два твердження:

1) якщо точка X лежить у кулі, то вона лежить у колі A;

2) назад, якщо точка X лежить у колі K, вона лежить в кулі.

Зазначимо, що для будь-якої точки виконується рівність

Доведемо перше твердження. Нехай крапка X площині лежить у кулі. Тоді а значить Тому, враховуючи (2), отримуємо

Звідси випливає, що

Тобто Це і означає, що точка

Доведемо друге твердження. Нехай крапка X площині лежить у колі K. Тоді

Тому т.д. е. Це означає, що т.д. е. крапка X лежить у кулі.

Міркування про перетин сфери з площиною проводяться аналогічно, тільки замість нерівностей виникають рівності.

Умова перетину двох сфер являє собою таке:

Теорема 2 [19]. Лінія перетину двох сфер є коло.

Доказ [19]. Нехай і - центри сфер та A - Точка їх перетину (рис. 3). Проведемо через точку A площину перпендикулярну до прямої .

Позначимо тепер через точку B точку перетину площини з прямою. По теоремі про те, що всякий переріз кулі площиною є коло, площина перетинає обидві сфери по колу K з центром B, що проходить через точку A. Таким чином, коло K належить перетину сфер.

Покажемо тепер, що сфери не мають інших точок перетину, крім точок кола K. Припустимо, точка X перетину сфер не лежить на колі K. Проведемо площину через точку X і пряму . Вона перетне сфери по колам з центрами і . Kта ще й у точці XАле два кола не можуть мати більше двох точок перетину.K). Теорема доведена.

4. Торкання кулі та сфери з площиною

Тепер розглянемо другий випадок, де сфера (і обмежена нею куля) має з площиною єдину загальну точку.

Теорема 3 [19]. Стосовна площина має з кулею лише одну загальну точку – точку торкання.

Доказ [19] Нехай – площина, що стосується кулі, і. A – точка торкання (рис. 4). X площині , відмінну від A. OA – перпендикуляр, а OX - Похила, то

Отже, точка X не належить кулі. Теорема доведена.

Пряма в дотичній площині кулі, що проходить через точку торкання, називається торкаючою до кулі в цій точці.

5. Властивості кулі та сфери, їх симетрія

Куля і сфера мають безліч властивостей, нижче представлені лише деякі з них [2]:

1) два кола, що не лежать в одній площині, але мають дві загальні точки, визначають кулю;

2) два кола, що стосуються один одного, але не лежать в одній площині, визначають кулю;

3) окружність і точка, що не лежить у її площині, визначають кулю;

4) чотири точки, що не лежать в одній площині, визначають шар;

5) ортогональна проекція кулі, як і сфери, є коло того ж радіусу;

6) всі діаметральні площини кулі служать його площинами симетрії;

7) куля не може мати ні двох центрів, ні, отже, двох нерівних радіусів.

Сфера та куля – найсиметричніші фігури. Вони мають центральну та дзеркальну симетрії, а також є фігурами обертання, тобто вони симетричні щодо свого центру, будь-якої площини, що проходить через центр, а вісь обертання – це будь-яка пряма, що проходить через нього [3].

6. Вписані та описані багатогранники

Також сферу та обмежену нею кулю можна вписувати в багатогранники та описувати біля них. Існують відповідні теоретичні положення щодо комбінації цих тіл з іншими. Декілька теорем та визначень наведено нижче [22]:

Визначення 1. Багатогранник називається вписаним у сферу, якщо всі його вершини належать цій сфері. Сама сфера при цьому називається описаною у багатогранника.

Теорема 4. Біля будь-якої трикутної піраміди можна описати сферу, і лише одну.

Теорема 5. Біля будь-якої призми можна описати сферу тоді й тільки тоді, коли в основі цієї призми можна описати коло.

Визначення 2. Багатогранник називається описаним біля сфери, якщо площини всіх його граней стосуються сфери. Сама сфера називається вписаною в багатогранник.

Теорема 6. У будь-яку трикутну піраміду можна вписати сферу, і лише одну.

Теорема 7. У пряму призму можна вписати сферу тоді і лише тоді, коли в основу цієї призми можна вписати коло і висота призми дорівнює діаметру цього кола.

Докази всіх цих теорем представлені у підручнику І.М. Смирнової та В.А. Смирнова [22].

7. Площа сфери та кульового поясу

Розглянемо, за допомогою яких формул обчислюються площа сфери та кульового поясу:

Теорема 8 [19].Площа сфери радіусу R виражається формулою

Доказ [19]. Опишемо у сфері опуклий багатогранник з малими гранями (рис. 5). Нехай - площа поверхні багатогранника,

т. е. сума площ його граней. Знайдемо наближене значення площі багатогранника, припускаючи, що лінійні розміри граней, т.к. е. відстань між будь-якими двома точками будь-якої грані, менша за .

Обсяг багатогранника дорівнює сумі обсягів пірамід, що мають своїми основами грані багатогранника, а вершиною – центр сфери (рис. 6). Так як всі піраміди мають одну і ту ж висоту, рівну радіусу R сфери, то обсяг багатогранника

Об'єм багатогранника більший за об'єм кулі, обмеженої сферою, але менший за об'єм кулі з тим же центром і радіусом . Таким чином,

Ми, площа поверхні описаного багатогранника при необмеженому зменшенні розмірів його граней, т.к. е. при необмеженому зменшенні прагне приймається за площу сфери.

Теорема 9 [3]. Крива поверхня шарового шару (кульового пояса) дорівнює добутку його висоти на коло великого кола кулі:

Виведення цієї формули представлено у підручнику А. Д. Александрова, вона визначається аналогічно площі сфери [3].

8. Обсяг кулі та її частин

При обчисленні обсягу кулі та її частин застосовуються такі формулы:

Теорема 10 [20]. Об'єм кулі радіуса R виражається формулою:

Теорема 11 [14]. Обсяг кульового сектора виражається формулою:

Теорема 12 [14]. Обсяг кульового сегмента дорівнює об'єму циліндра, у якого радіус основи є висота сегмента, а висота дорівнює радіусу кулі, зменшеному на третину висоти сегмента, тобто.

Як виводяться ці формули можна знайти у підручнику А.П. Кисельова [14], Л.С. Атанасяна [4].

9. Сфера як поверхня другого порядку

Серед поверхонь другого порядку сфера є окремим випадком еліпсоїда, коли всі його півосі однакові (і рівні радіусу сфери) [5]. Рівняння сфери з центром на початку координат та радіусом R виражається формулою [12]:

Рівняння сфери з центром у довільній точці:

де (a, b, c) − координати центру сфери [1].

Рівняння сфери за заданими кінцями діаметра [6]:

де - Кінцеві точки діаметра.

Загальне рівняння сфери має такий вигляд [17]:

Центр сфери має координати (a, b, c), де

Радіус сфери дорівнює

Рівняння сфери за чотирма точками [17]:

Представлений у теоретичній частині матеріал допоміг скласти нам класифікацію завдань на тему «Сфера і шар». До кожного з видів ми запропонували приклади таких завдань із рішеннями та відповідями. При їх вирішенні ми використовували поетапно-обчислювальний та аналітичний методи.

1. Завдання на обчислення величин:

1) завдання на обчислення елементів;

2) завдання на обчислення обсягів;

3) завдання на обчислення площ.

2. Завдання на взаємне розташування:

1) кулі та сфери з площиною;

3. Завдання складати рівняння сфери.

4. Завдання на комбінації із багатогранниками.

1. Завдання на обчислення величин:

1) завдання на обчислення елементів

Завдання 1. Дана куля з центром у точці O, - Дотична площина, точка A – точка торкання, точка B лежить на площині , ,

(Рис. 8). Знайдіть радіус кулі [25].

Рішення. так як A – точка торкання, розглянемо прямокутний ( – дотична площина, A – точка торкання, значить): за теоремою Піфагора знайдемо

2) завдання на обчислення обсягів

Завдання 2. Круговий сектор з кутом та радіусом R обертається навколо одного з радіусів, що його обмежують (рис. 10).Знайдіть обсяг кульового сектора, що вийшов [10].

Рішення. Нехай круговий сектор обертається біля радіусу OA. У перерізі кульового сектора, що вийшов, площиною вийде ще один круговий сектор, симетричний вихідному щодо прямої AO і має той самий кут. Кут дорівнює , тому правильний, причому його сторона BC відсікає від радіусу OA відрізок AD, рівний висоті Hвідповідного кульового сектора сегмента. Знайдемо її: Залишається за формулою знайти обсяг сектора:

3) завдання на обчислення площ

Завдання 3. Радіуси двох паралельних перерізів сфери дорівнюють 9 см () та 12 см (), – відстань між січними площинами (рис. 9). Знайдіть площу сфери [25].

Рішення. Проведемо діаметри перпендикулярно до цих паралельних перерізів. Через діаметр проведемо січну площину, яка перетне сферу по колу, радіус якої дорівнює радіусу сфери.

Завдання 4. Перетин кулі площею знаходиться на відстані 3 см від її центру (рис. 10). Знайдіть площу поверхні

Рішення. Розглянемо: - відстань, значить, кут

2. Завдання на взаємне розташування:

1) кулі та сфери з площиною

Завдання 5. Куля радіуса 41 дм перетнута площиною, що знаходиться на відстані d=9 дм від центру (рис. 11). Знайдіть площу перерізу [25].

Рішення.dR, Отже, перетином кулі площиною є коло.

прямокутний, за теоремою Піфагора

Завдання 6. Діаметр кулі дорівнює 16 см. Через кінець діаметра під кутом проведено переріз кулі площиною (рис. 12). Знайдіть площу цього

Рішення. Нехай – відстань від O до площини. Розглянемо: (радіус сфери), ∠

(OK – відстань від центру до площини перерізу). , де

r – радіус перерізу, як катет, що лежить проти кута

Завдання 7. Радіуси куль дорівнюють 25 і 29 дм, а відстань між їхніми центрами 36 дм. Знайти довжину лінії, якою перетинаються їх поверхні [11].

Рішення. Розглянемо на площині відрізок довжиною 36 дм та два кола з центрами в точках радіусами 25 та 29 дм. Якщо A – одна з точок перетину цих кіл (рис. 13), то радіус r кола даних за умови завдання сфер (поверхень даних куль) дорівнює висоті AH і його можна знайти, попередньо обчисливши площу за формулою Герона:

Довжина кола перетину сфер дорівнює.

3. Завдання на складання рівняння сфери

Завдання 8. Напишіть рівняння сфери з центром у точці A, яка проходить через точку N, якщо A (-2; 2; 0), N (5; 0; -1) [21].

Рішення. Рівняння сфери Оскільки сфера проходить через точку N, отже, її координати задовольняють рівняння сфери. ; .

Завдання 9. Сфера задана рівнянням

a) Знайдіть координати центру та радіус сфери.

б) Знайдіть значення m, при якому точки

належать цій сфері [25].

При крапки A і В належать сфері.

4. Завдання на комбінації з багатогранниками

Завдання 10. Об'єм прямокутного паралелепіпеда, описаного біля сфери, дорівнює 10648 (рис. 14). Знайдіть радіус сфери [16].

Рішення. Прямокутний паралелепіпед, описаний навколо сфери, є кубом. Тому 10648 = а 3 , де а - Ребро куба. Звідки а = 22.При цьому радіус сфери є . Отже, радіус сфери є R = = 11.

У цій роботі ми розглянули основну теорію про сферу і кулю, а також показали використання цієї теорії на практиці.

У теоретичній частині був представлений систематизований матеріал за такими аспектами: куля та сфера як тіла обертання та їх частини, рівняння сфери, взаємне розташування кулі та сфери з площиною, взаємне розташування двох сфер, дотик кулі та сфери з площиною, їх властивості, симетрія, комбінації цих тіл обертання з багатогранниками, площа сфери та кульового поясу, обсяг кулі та її частин, сфера як поверхня другого порядку. Тут також присутні відповідні формули, визначення, теореми та докази.

У практичній частині роботи на підставі того систематизованого матеріалу з попередньої частини ми розробили класифікацію видів завдань на тему «Сфера та куля». До кожного з видів було підібрано різні завдання, до яких додаються рішення з відповідями.

1. Завдання на обчислення величин:

1) завдання на обчислення елементів;

2) завдання на обчислення обсягів;

3) завдання на обчислення площ.

2. Завдання на взаємне розташування:

1) кулі та сфери з площиною;

3. Завдання складати рівняння сфери.

4. Завдання на комбінації із багатогранниками.

Таким чином, ми досягли поставленої мети дослідження.

Список використаних джерел

Авілова, Л.В. Практикум та індивідуальні завдання з векторної алгебри та аналітичної геометрії (типові розрахунки) [Текст]: навчальний посібник / Л.В. Авілова, В.А. Болотюк, Л.А. Болотюк. - СПб.: Лань, 2013. - 288 с.

Адамар, Ж. Елементарна геометрія. - Ч.2.: Стереометрія [Текст]: посібник / Ж. Адамар. - 3-тє вид. - М.: Учпедгіз, 1958. - 760 с.

Александров, А.Д. Математика: алгебра та початку математичного аналізу, геометрія. Геометрія. 10-11 класи [Текст]: навч. для загальноосвіт. організацій: базовий та поглибл. рівні/А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.І. Рижик. - М.: Просвітництво, 2014. - 255 с.

Атанасян, Л.С. Геометрія: 10-11 класи [Текст]: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін. - 22-е вид. - М.: Просвітництво, 2013. -

Атанасян, Л.С. Геометрія, о 2-й год. – Ч. 1 [Текст]: навчальний посібник / Л.С. Атанасян, В.Т. Базильов. - 2-ге вид., Стер. - М.: КНОРУС, 2015. - 400 с.

Беклемішев, Д.В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри [Текст]/Д.В. Беклемішів. - М.: Фізматліт, 2007. - 304 c.

Бляшці, В. Коло та куля [Текст] / В. Бляшці; ред. Д.Л. Сніжко. - М.: Наука, 1967. - 232 с.

Велика енциклопедія Кирила та Мефодія [Електронний ресурс], 2006. - Режим доступу: http://megabook.ru (дата звернення: 19.11.2016).

Глейзер, Г.І. Історія математики у школі VII-VIII кл. [Текст]: посібник для вчителів/Г.І. Глейзер. - М.: Просвітництво, 1982. - 240 с.

Готман, Е.Г. Стереометричні завдання та методи їх вирішення [Текст]/Е.Г. Готман. - М.: МЦНМО, 2007. - 160 с.

Гусєв, В.А. Математика: Справ. матеріали: [Текст]/В.А. Гусєв, А.Г. Мордкович. - М.: Просвітництво, 2001. - 416 с.

Жуков, А. Куля та сфера [Текст] / А. Жуков, Співак А. // Квант. - 2000. - № 6. - С. 32-33.

Калінін, А.Ю. Геометрія. 10-11 класи [Текст]/А.Ю. Калінін, Д.А. Терешин. - Нове вид., Випр. та дод. - М.: МЦНМО, 2011. - 640 с.

Кисельов, А.П. Геометрія [Текст]/А.П. Кисельов - М.: ФІЗМАТЛІТ, 2014. - 328 с.

Калейдоскоп «Кванта»: Сфера та куля [Текст] // Квант. - 1991. -

Освітній портал для підготовки до іспитів [Електронний ресурс]. – Режим доступу: https://ege.sdamgia.ru (дата звернення: 25.04.2017)

Поверхні другого порядку [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://www.math24.ru (дата звернення: 20.04.2017).

Погорєлов, А.В. Аналітична геометрія [Текст]/А.В. Погорєлов. - М.: Наука, 1978. - 208 с.

Погорєлов, А.В. Геометрія. 10-11 класи [Текст]: навч. для загальноосвіт.організацій: базовий та профіл. рівні/О.В. Погорєлов. -

13-те вид. - М.: Просвітництво, 2014. - 175 с.

Потоскуєв, Є.В. Геометрія. 11 клас [Текст]: навч. для загальноосвіт. установ з поглибл. та профільним вивченням математики / О.В. Потоскуєв, Л.І. Звавич. - 2-ге вид., Випр. - М.: Дрофа, 2013. - 368 с.

Саакян, С.М. Вивчення геометрії у 10-11 класах [Текст]: кн. для вчителя/С.М. Саакян, В.Ф. Бутузів. - 4-те вид., Дораб. - М.: Просвітництво, 2010. - 248 с.

Смирнова, І.М. Геометрія. 10-11 клас [Текст]: навч. для учнів загальноосвіт. установ (базовий та профільний рівні) /

І.М. Смирнова, В.А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. - М.: Мнемозіна, 2008. - 288 с.

Шаригін, І.Ф. Геометрія 10-11 класи [Текст]: навч. для загальноосвіт. навч. закладів/І.Ф. Шаригін. - М.: Дрофа, 2013. - 240 с.

Енциклопедичний Словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Ефрона – у 86 томах з ілюстраціями та додатковими матеріалами [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://www.vehi.net/brokgauz (дата звернення: 20.11.2016).

Яровенко, В.А. Поурочні розробки з геометрії: 11 клас [Текст]/В.А. Яровенко. - М.: ВАКО, 2010. - 336 с.