Біноміальний розподіл випадкової величини

Не всі явища вимірюються в кількісній шкалі типу 1, 2, 3…100500… Не завжди явище може приймати нескінченну чи велику кількість різних станів. Наприклад, стать у людини може бути М, або Ж. Стрілець або влучає в ціль, або не влучає. Голосувати можна або "За", або "Проти" і т.д. і т.п. Інакше кажучи, такі дані відбивають стан альтернативного ознаки – або «так» (подія настала), або «ні» (подія не наступило). Подію, що настала (позитивний результат) ще називають «успіхом».

Експерименти з такими даними називаються схемою Бернуллі, на честь відомого швейцарського математика, який встановив, що при великій кількості випробувань співвідношення позитивних результатів та загальної кількості випробувань прагне ймовірності настання цієї події.

Змінна альтернативна ознака

Для того щоб в аналізі задіяти математичний апарат, результати подібних спостережень слід записати у числовому вигляді. Для цього позитивному результату надають число 1, негативному – 0. Іншими словами, ми маємо справу зі змінною, яка може набувати лише двох значень: 0 або 1.

Яку користь звідси можна отримати? Взагалі не меншу, ніж від звичайних даних. Так, легко підрахувати кількість позитивних наслідків – досить підсумувати всі значення, тобто. всі 1 (успіхи). Можна піти далі, але для цього потрібно ввести кілька позначок.

Насамперед слід зазначити, що позитивні результати (які рівні 1) мають певну ймовірність появи. Наприклад, випадання орла при підкиданні монети дорівнює ½ або 0,5. Така ймовірність традиційно позначається латинською літерою. p. Отже, ймовірність настання альтернативної події дорівнює 1 - p, яку ще позначають через q, тобто q = 1 - p. Зазначені позначення можна наочно систематизувати у вигляді таблички розподілу змінної X.

Ми отримали перелік можливих значень та їх ймовірності. Можна розрахувати математичне очікування і дисперсію. Матоочікування – це сума творів усіх можливих значень на відповідні їм ймовірності:

Обчислимо маточування, використовуючи позначення в таблиці вище.

Виходить, що математичне очікування альтернативної ознаки дорівнює ймовірності цієї події. p.

Тепер визначимо, що таке дисперсія альтернативної ознаки. Дисперсія є середній квадрат відхилень від математичного очікування. Загальна формула (для дискретних даних) має вигляд:

Звідси дисперсія альтернативної ознаки:

Неважко помітити, що ця дисперсія має максимум 0,25 (при p = 0,5).

Стандартне відхилення – корінь із дисперсії:

Максимальне значення вбирається у 0,5.

Як видно, і математичне очікування, і дисперсія альтернативної ознаки мають дуже компактний вигляд.

Біноміальний розподіл випадкової величини

Розглянемо ситуацію під іншим кутом. Справді, кому цікаво, що середнє випадання орлів за одного кидання дорівнює 0,5? Це навіть неможливо уявити. Цікавіше поставити питання про кількість випадання орлів за заданої кількості кидків.

Іншими словами, дослідника часто цікавить ймовірність настання деякої кількості успішних подій. Це може бути кількість бракованих виробів у партії, що перевіряється (1- бракована, 0 - придатна) або кількість одужань (1 - здоровий, 0 - хворий) і т.д. Кількість таких «успіхів» дорівнюватиме сумі всіх значень змінної X, тобто.кількості поодиноких результатів.

Випадкова величина B називається біномною і набуває значення від 0 до n (при B = 0 - всі деталі придатні, при B = n - Усі деталі браковані). Передбачається, що всі значення x незалежні між собою. Розглянемо основні характеристики біномної змінної, тобто встановимо її математичне очікування, дисперсію та розподіл.

Маточка біноміальної змінної отримати дуже легко. Математичне очікування суми величин є сума математичних очікувань кожної величини, що складається, а воно у всіх однакове, тому:

Наприклад, математичне очікування кількості орлів, що випали, при 100 підкиданнях дорівнює 100 × 0,5 = 50.

Тепер виведемо формулу дисперсії біноміальної змінної. Дисперсія суми незалежних випадкових величин є сумою дисперсій. Звідси

Стандартне відхилення, відповідно

Для 100 підкидань монети стандартне відхилення кількості орлів дорівнює

І, нарешті, розглянемо розподіл биномиальной величини, тобто. ймовірності того, що випадкова величина B прийматиме різні значення k, де 0≤ k ≤n. Для монети це завдання може звучати так: якою є ймовірність випадання 40 орлів при 100 кидках?

Щоб зрозуміти метод розрахунку, уявімо, що монета підкидається лише 4 рази. Кожного разу може випасти кожна зі сторін. Ми запитуємо: яка ймовірність випадання 2 орлів з 4 кидків. Кожен кидок незалежний один від одного. Отже, ймовірність випадання будь-якої комбінації дорівнюватиме добутку ймовірностей заданого результату для кожного окремого кидка. Нехай О – це орел, Р – решка. Тоді, наприклад, одна з комбінацій, що влаштовують нас, може виглядати як ООРР, тобто:

Імовірність такої комбінації дорівнює добутку двох ймовірностей випадання орла та ще двох ймовірностей не випадання орла (зворотна подія, що розраховується як 1 - p), тобто. 0,5×0,5×(1-0,5)×(1-0,5)=0,0625. Така ймовірність однієї з комбінацій, що влаштовують нас. Але ж питання стояло про загальну кількість орлів, а не про якийсь певний порядок. Тоді потрібно скласти ймовірності всіх комбінацій, у яких є рівно 2 орла. Зрозуміло, всі вони однакові (від зміни місць множників твір не змінюється). Тому потрібно обчислити їх кількість, а потім помножити на ймовірність будь-якої комбінації. Підрахуємо всі варіанти поєднань із 4 кидків по 2 орли: РРОО, РОРО, РООР, ОРРО, ОРОР, ООРР. Усього 6 варіантів.

Отже, шукана можливість випадання 2 орлів після 4 кидків дорівнює 6×0,0625=0,375.

Однак підрахунок подібним чином стомливий. Вже для 10 монет шляхом перебору отримати загальну кількість варіантів буде дуже складно. Тому розумні люди давно винайшли формулу, за допомогою якої розраховують кількість різних поєднань з n елементів по k, де n – загальна кількість елементів, k - Кількість елементів, варіанти розташування яких і підраховуються. Формула поєднання з n елементів по k така:

Подібні речі відбуваються у розділі комбінаторики. Усіх охочих підтягнути знання відправляю туди. Звідси, до речі, і назва біномного розподілу (формула вище є коефіцієнтом розкладання бінома Ньютона).

Формулу для визначення ймовірності легко узагальнити на будь-яку кількість n і k. У результаті формула біномного розподілу має такий вигляд.

Кількість відповідних за умов комбінацій помножити на ймовірність однієї з них.

Для практичного використання досить просто знати формулу біномного розподілу. А можна навіть не знати – нижче показано, як визначити ймовірність за допомогою Excel. Але краще все-таки знати.

Розрахуємо за цією формулою можливість випадання 40 орлів при 100 кидках:

Або лише 1,08%. Для порівняння, ймовірність настання математичного очікування цього експерименту, тобто 50 орлів, дорівнює 7,96%. Максимальна ймовірність біноміальної величини належить значенню, що відповідає математичному очікуванню.

Розрахунок ймовірностей біномного розподілу в Excel

Якщо використовувати тільки папір та калькулятор, то розрахунки за формулою біномного розподілу, незважаючи на відсутність інтегралів, даються досить важко. Наприклад значення 100! – має понад 150 знаків. Раніше, та й зараз, для обчислення подібних величин використовували наближені формули. На даний момент доцільно використовувати спеціальне програмне забезпечення, типу MS Excel. Таким чином, будь-який користувач (навіть гуманітарій за освітою) може обчислити ймовірність значення біноміально розподіленої випадкової величини.

Для закріплення матеріалу задіємо Excel поки як звичайний калькулятор, тобто. зробимо поетапне обчислення за формулою біномного розподілу. Розрахуємо, наприклад, можливість випадання 50 орлів. Нижче наведено картинку з етапами обчислень та кінцевим результатом.

Як видно, проміжні результати мають такий масштаб, що не поміщаються в комірку, хоча скрізь і використовуються прості функції типу: ФАКТР (обчислення факторіалу), СТУПЕНЬ (зведення числа до ступеня), а також оператори множення та поділу. Понад те, цей розрахунок досить громіздкий, у разі випадковий перестав бути компактним, т.к. задіяно багато осередків.Та й розібратися з ходу важкувато.

Загалом у Excel передбачено готову функцію для обчислення ймовірностей біномного розподілу. БІНОМ.РАСП.

Синтаксис функції складається з чотирьох аргументів:

Поля мають такі призначення:

Число успіхів – кількість успішних випробувань. У нас їх 50.

Число випробувань - Кількість кидків: 100 разів.

Ймовірність успіху - Імовірність випадання орла при одному підкиданні 0,5.

Інтегральна - Вказується або 1, або 0. Якщо 0, то розрахується ймовірність P(B=k);якщо 1, то розрахується функція біномного розподілу, тобто сума всіх ймовірностей від B=0 до B=k включно.

Натискаємо ОК і отримуємо той самий результат, що і вище, тільки все розрахувалося однією функцією.

Дуже зручно. Експерименту заради останнього параметра 0 поставимо 1. Отримаємо 0,5398. Загалом розрахунки проводяться легко і швидко.

Справжній аналітик повинен розуміти, як поводиться функція (який її розподіл), тому зробимо розрахунок ймовірностей для всіх значень від 0 до 100. Тобто поставимо питання: яка ймовірність, що не випаде жодного орла, що випаде 1 орел, 2, 3 , 50, 90 або 100. Розрахунок наведено у наступній картинці. лінія – саме біноміальний розподіл, червона точка – ймовірність для певної кількості успіхів k.

Хтось може запитати, а чи не схожий на біноміальний розподіл на… Так, дуже схоже.Ще Муавр (1733 р.) говорив, що біноміальний розподіл при великих вибірках наближається до нормального закону (не знаю, як це тоді називалося), але його ніхто не слухав. Тільки Гаусс, а потім і Лаплас через 60-70 років знову відкрили і ретельно вивчили нормальний закон розподілу. На графіці вище добре видно, що максимальна ймовірність посідає математичне очікування, а в міру відхилення від нього, різко знижується. Так само, як і у нормального закону.

Біноміальний розподіл має велике практичне значення, трапляється досить часто. За допомогою Excel розрахунки проводяться легко та швидко.

Як вирахувати ймовірність

Співавтор(и): Mario Banuelos, PhD. Маріо Бануелос - викладач математики в Університеті штату Каліфорнія у Фресно. Має понад вісім років викладацького досвіду, спеціалізується на математичній біології, оптимізації, статистичних моделях еволюції геному та науки про дані. Здобув ступінь бакалавра з математики в Університеті штату Каліфорнія у Фресно та PhD з прикладної математики в Каліфорнійському університеті в Мерседі. Викладав як на рівні вишу, так і старшої школи.

Кількість джерел, використаних у цій статті: 10. Ви знайдете їх список унизу сторінки.

Кількість переглядів цієї статті: 752 357.