Трикутник. Види трикутника

Трикутники можна класифікувати не лише за видом кутів, а й за кількістю рівних сторін.

Усі сторони різної довжини

АВ і ВС – бічні сторони,

3 . Периметр трикутника.

• Сума довжин усіх сторін трикутника периметр трикутника .
• Якщо сторона рівностороннього трикутника дорівнює a , то його периметр обчислюється за формулою Р = 3а

Виконання усних вправ

• 1. Визначте вигляд трикутника, зображеного на малюнку, залежно від виду його кутів та кількості рівних сторін.

• 2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см. Знайдіть основу трикутника, якщо його бічні сторони дорівнюють 5 см.
• 3. Знайдіть периметр рівностороннього трикутника зі сторонами 4 см.

Робота в парах за картками

• Картка № 1
• 1. Накресліть трикутник:
• а) різнобічний прямокутний;
• б) рівнобедрений прямокутний;
• в) рівнобедрений тупокутний.
• 2. Знайдіть периметр трикутника, одна сторона якого дорівнює 8 см, друга — у 2 рази довша. Третя сторона на 5 см менша за другу.
• 3. Знайдіть сторону рівностороннього трикутника, якщо його периметр 36 см.

• 1. Одна зі сторін трикутника дорівнює 12 см, що на 5 см більше, ніж друга сторона, а третя сторона у 2 рази більша за другу. Знайдіть периметр трикутника.
• 2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 26 см. Його бічна сторона дорівнює 10 см. Знайдіть довжину основи.
• 3. Сторони трикутника рівні a см, b см, c див. Обчисліть його периметр, якщо a = 5, b = a + 2, c = b + 1.

• Картка № 1
• 2.
• 1) 8 · 2 = 16 (см) - Довжина другої сторони;
• 2) 16 – 5 = 11(см) – довжина третьої сторони;
• 3) Р = 8 + 16 + 11 = 35 (см).
• Відповідь: 35 см.

• 3.
• Так як периметр дорівнює 36 см, то сторона
• 1) 36: 3 = 12 (см)
• Відповідь: 12 см сторона трикутника

• 1.
• 1) 12 – 5 = 7(см) – довжина другої сторони;
• 2) 7 · 2 = 14 (см) - Довжина третьої сторони;
• 3) Р = 12 + 7 + 14 = 33 (см).
• Відповідь: 33 см.

• 2.
• 26 - 10 · 2 = 6 (см).
• Відповідь: 6 см.

• 3.
• Р = a + b + c = 5 + (5 + 2) + (7 + 1) = = 20 (см).
• Відповідь: 20 см.

Домашнє завдання, інструктаж щодо його виконання

• П. 2.7
• № 449(б), 450
• С.М. Нікольський, М.К. 2012. - 272 с.

Підбиття підсумків уроку

• Фронтальне опитування
• 1. Що таке трикутник?
• 2. Скільки сторін, вершин та кутів у трикутнику?
• 3. Які види трикутників існують залежно від величини їх кутів?
• 4. Який трикутник називають прямокутним;
• 5. Які види трикутників бувають в залежності від кількості рівних сторін?
• 6. Який трикутник називають різнобічним;
• 7. За якою формулою обчислюється периметр рівностороннього трикутника?

Трикутники

Трикутник - це геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій (вершин трикутника) і трьох відрізків з кінцями в цих точках (сторін трикутника).

Кутами (внутрішніми кутами) трикутника називаються три кути, кожен з яких утворений трьома променями, що виходять з вершин трикутника і проходять через дві інші вершини.

Зовнішнім кутом трикутника називається кут, суміжний внутрішньому куту трикутника.

Сума кутів трикутника дорівнює 180°:

Зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним, і більше за будь-який внутрішній, з ним не суміжний:

Довжина кожної сторони трикутника більша від різниці і менша від суми довжин двох інших сторін:

У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, проти більшої сторони лежить більший кут:

Середньою лінією трикутника називається відрізок, який з'єднує середини двох сторін.

Середня лінія трикутника паралельна одній з його сторін і дорівнює її половині:

Трикутники називаються рівними, якщо у них відповідні сторони рівні та відповідні кути рівні:

У рівних трикутників усі відповідні елементи рівні (сторони, кути, висоти, медіани, бісектриси, середні лінії тощо)

У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів – рівні сторони.

Перша ознака рівності трикутників.

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника рівні відповідно двом сторонам та куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні:

Друга ознака рівності трикутників.

Якщо сторона та прилеглі до неї кути одного трикутника рівні відповідно до сторони та прилеглих до неї кутів іншого трикутника, то такі трикутники рівні:

Третя ознака рівності трикутників.

Якщо три сторони одного трикутника рівні відповідно до трьох сторін іншого трикутника, то такі трикутники рівні:

Подібними називають трикутники, у яких відповідні сторони пропорційні.

Коефіцієнт пропорційності називається коефіцієнтом подібності:

Два трикутники подібні, якщо:

• Два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника.
• Дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого і кути, утворені цими сторонами, рівні.
• Сторони одного трикутника пропорційні сторонам іншого.

У подібних трикутників відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні:

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності.

Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Пряма, що перетинає дві сторони трикутника, і паралельна третій, відсікає трикутник, подібний до цього:

Три середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники, подібні даному, з коефіцієнтом подібності ½:

Медіаною трикутника називається відрізок, який з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, що ділить медіани щодо 2:1, рахуючи від вершини:

• Медіана ділить трикутник на два рівновеликі (з рівними площами) трикутники.
• Три медіани трикутника ділять його на шість рівновеликих трикутників:

Довжини медіан, проведених до відповідних сторін трикутника, дорівнюють:

Бісектриса трикутника, проведена з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує цю вершину з точкою на протилежній стороні.

Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці, що знаходиться всередині трикутника, рівновіддаленої від трьох його сторін, яка є центром кола, вписаного в даний трикутник.

Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну куту сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам:

Довжина бісектриси кута А:

Бісектриси внутрішнього та суміжного з ним зовнішнього кута перпендикулярні.

Бісектриса зовнішнього кута трикутника ділить (зовні) протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

BL - бісектриса кута В;

ВЕ – бісектриса зовнішнього кута СВК:

Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з будь-якої вершини трикутника на протилежну сторону або продовження сторони.

Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.

Висоти трикутника обернено пропорційні його сторонам:

Довжина висоти, проведеної до сторони а :

Серединний перпендикуляр – це пряма, яка проходить через середину сторони трикутника перпендикулярно до неї.

Три серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, описаного біля даного трикутника.

Точка перетину бісектриси кута трикутника із серединним перпендикуляром протилежної сторони лежить на колі, описаному біля даного трикутника.

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно стосується всіх його сторін.

Точки торкання вписаного кола сторін трикутника відсікають від його сторін три пари рівних між собою відрізків:

Радіус вписаної в трикутник кола - відстань від її центру до сторін трикутника:

Коло називається описаним біля трикутника, якщо вона проходить через усі його вершини.

Радіус описаного кола:

Трикутник називається рівнобедреним, якщо у нього дві сторони рівні. Рівні сторони називають бічними сторонами, а третю – основою рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику кути при підставі дорівнюють: ∠A = ∠C.

У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є і бісектриса, і висотою: BL – медіана, бісектриса, висота.

Основні формули для рівнобедреного трикутника:

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім або правильним трикутником.

Центри вписаного та описаного кіл правильного трикутника збігаються.

Усі кути рівностороннього трикутника рівні:

Кожна медіана рівностороннього трикутника збігається з бісектрисою та висотою, які проведені з тієї ж вершини:

Основні співвідношення для елементів рівностороннього трикутника

Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут.

Сторони, що належать до прямого кута, називаються катетами, що протилежить прямому куту – гіпотенузою.

Прямокутні трикутники рівні, якщо вони рівні:

• два катети;
• катет та гіпотенуза;
• катет та прилеглий гострий кут;
• катет та протилежний гострий кут;
• гіпотенуза та гострий кут.

• одному гострому кутку;
• із пропорційності двох катетів;
• з пропорційності катета та гіпотенузи.

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:

Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного:

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу:

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є пропорційне середнє між проекціями катетів на гіпотенузу:

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, може бути визначена через катети та їх проекції на гіпотенузу:

Медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи:

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить цей трикутник на два трикутники, подібні до цього:

Площу прямокутного трикутника можна визначити

через катет та гострий кут:

через гіпотенузу та гострий кут:

Центр описаного кола збігається із серединою гіпотенузи.

Радіус описаного кола:

Радіус вписаного кола:

Три кола, кожна з яких стосується однієї сторони (зовні) та продовжень двох інших сторін трикутника, називаються вписаними.

Центр вписаного кола лежить на перетині бісектриси одного внутрішнього кута і бісектрис зовнішніх кутів при двох інших вершинах.

Так точка О₁ , центр одного з вписаних кіл Δ ABC , лежить на перетині бісектриси ∠ A трикутника ABC і бісектрис BО₁ і C Про₁ зовнішніх кутів ABC при вершинах B і C .

Таким чином, шість бісектрис трикутника - три внутрішні і три зовнішні - перетинаються по три в чотирьох точках - центрах вписаного і трьох вписаних кіл.

ΔABC є ортоцентричним у ΔО₁Про₂Про₃ (точки A, B і C – підстави висот у Δ₁Про₂Про₃ ).

В ABC кути дорівнюють 180°–2 О₁ , 180 ° -2 Про₂ , 180 ° -2 Про₃ .

Радіус кола, описаного близько Δ₁Про₂Про₃ , дорівнює 2 R , де R - радіус кола, описаного близько ABC .

ΔABC має найменший периметр серед усіх трикутників, вписаних у ΔО₁Про₂Про₃ .

Якщо r_a , r_b , r_з – радіуси вписаних кіл в ΔABC, то в ΔABC вірно:

Теорема косінусів. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:

• якщо c 2 > a 2 +b 2 то кут γ - тупий (cos γ < 0);
• якщо c 2 < a 2 +b 2 , то кут γ - гострий (cos γ> 0);
  
• якщо c 2 = a 2 +b 2 то кут γ - прямий ( cos γ = 0 ).
  

Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Коефіцієнт пропорційності дорівнює діаметру описаного кола:

Теорема тангенсів (формула Регіомонтану):