Перетин сфери (кулі) площиною

Нехай площина перетинає сферу W(O,R). З центру O опустимо перпендикуляр OC на площину.

З'єднаємо довільну точку M лінії пересіння площини зі сферою W(O,R) з точками O і C. Т.к. OC ⊥ α, то OC ⊥ CM.

У прямокутному трикутнику ∆OCM CM 2 = OM 2 - OC 2 . Т.к. OM та OC - величини постійні, то і CM - величина постійна. Таким чином, всі точки лінії перетину площини α і сфери W(O,R) рівновіддалені від точки C, тому ця лінія перетину є колом з центром у точці C і радіусом r = CM.

Перетин кулі площиною є коло, а основа перпендикуляра проведеного з центру кулі до площини, що перетинається, є центр кола, отриманого в перерізі.

Площина, що проходить через центр сфери (кулі) називається діаметральною площиною.

Перетин сфери (кулі) діаметральною площиною називається великим колом (великим колом).

Статистика відвідувань Номер ресурсу в БелДІЕ: 137297 | Номер свідоцтва в НДРУП «ІППС»: 4141816821

Ів'ївський державний коледж, 2024 ©

Перетин кулі та площини

Визначення. Тіло, що походить від обертання півкола навколо діаметра, називається кулею, а поверхня, що утворюється при цьому півколом, називається кульовий або сферичної поверхнею.
Можна також сказати, що ця поверхня є геометричне місце точок, однаково віддалених від однієї і тієї ж точки (званої центром кулі).

Відрізок, що з'єднує центр з якоюсь точкою поверхні, називається радіусома відрізок, що з'єднує дві точки поверхні і проходить через центр, називається діаметром кулі. Усі радіуси однієї кулі рівні між собою; кожен діаметр дорівнює двом радіусам.

Дві кулі однакового радіусу рівні, тому що при вкладенні вони поєднуються.

Теорема. Будь-який переріз кулі площиною є коло.

1) Припустимо спочатку, що (рис. 137) січна площина АВ проходить через центр О кулі. .

2) Покладемо тепер, що січна площина СО не проходить через центр.

Так як довжини відрізків ОМ і ОК не змінюються при зміні положення точки М лінії перетину, то відстань MK є величина постійна для даного перерізу; значить, лінія перетину є коло, центр якої є точка До.

Слідство. Нехай R і r будуть довжини радіуса кулі та радіуса кола перерізу, а d - відстань січної площини від центру, тоді рівність (1) набуде вигляду:

З цієї формули виводимо:

1) Найбільший радіус перерізу виходить при d = 0, тобто. коли січна площина проходить через центр кулі. У цьому випадку r = R. Коло, що отримується в цьому випадку, називається великим колом.

2) Найменший радіус перерізу виходить при d = R. У цьому випадку r = 0, т. е. коло перерізу перетворюється на точку.

3) Перерізи, рівновіддалені від центру кулі, рівні.

4) З двох перерізів, неоднаково віддалених від центру кулі, те, що ближче до центру, має більший радіус.

128. Теорема. Будь-яка площина (Р, рис. 138), проходить через центр кулі, ділить його поверхню на дві симетричні та рівні частини.

Візьмемо на поверхні кулі якусь точку А; нехай АВ є перпендикуляр, опущений з точки на площину Р. Продовжимо АВ до перетину з поверхнею кулі у точці С. Провівши ВО, ми отримаємо два рівні прямокутні трикутники

АОВ та ВОС (загальний катет ВО, а гіпотенузи рівні, як радіуси кулі); отже, АВ = НД; таким чином, будь-якій точці поверхні кулі відповідає інша точка З цієї поверхні, симетрична щодо площини Р з точкою А. Значить, площина Р поділяє поверхню кулі на дві симетричні частини.

Ці частини як симетричні, а й рівні, оскільки, розрізавши кулю по площині Р, ми можемо вкласти одну з двох частин в іншу і поєднати ці частини.

Теорема. Через дві точки кульової поверхні, що не лежать на кінцях одного діаметра, можна провести коло великого кола і лише одну.

Нехай на кульовій поверхні, що має центр О, взяті якісь дві точки, наприклад, С і N, що не лежать на одній прямій з точкою О. Тоді через точки С, N можна провести площину. Ця площина, проходячи через центр О, дасть у перетині з кульовою поверхнею коло великого кола.

Іншого кола великого кола через ті ж дві точки С та N провести не можна. Дійсно, будь-яке коло великого кола повинно, за визначенням, лежати в площині, що проходить через центр кулі; отже, якби через З і N можна було провести ще інше коло великого кола, тоді виходило б, що через три точки З, N і О, які не лежать на одній прямій, можна провести дві різні площини, що неможливо.

Теорема. Кола двох великих кіл при перетині діляться навпіл.

Центр Про (рис.139), перебуваючи на площинах обох великих кіл, лежить на прямій, якою ці кола перетинаються; отже, ця пряма є діаметр того й іншого кола, а діаметр ділить коло навпіл.

Урок геометрії в 11-му класі на тему "Куля і сфера. Перетин кулі площиною"

ТИП УРОКУ: урок систематизації та узагальнення знань на цю тему.

ЦІЛІ УРОКУ (Слайд 2)

• повторити визначення сфери та кулі та пов'язаних з ними понять (центр, радіус, діаметр, хорда, вісь, діаметрально протилежні точки, велике коло, велике коло);
• розглянути переріз кулі площиною, віддаленою від центру кулі на відстані, меншій за радіус кулі

• розвивати просторову уяву учнів під час вирішення геометричних завдань, геометричне мислення, інтерес до предмета, пізнавальну та творчу діяльність учнів, математичну мову, пам'ять, увагу;
• вчити учнів вчитися математики, самостійно здобувати знання.

• виховувати в учнів відповідальне ставлення до навчальної праці, волю;
• формувати емоційну культуру та культуру спілкування.

МЕТОДИ НАВЧАННЯ: словесний, наочний, діяльнісний.

ФОРМИ НАВЧАННЯ: колективна, індивідуальна.

ОБЛАДНАННЯ: картки із завданнями на кожен етап уроку, оціночні листи учнів, комп'ютер, проекційний екран, проектор

ХІД УРОКУ

ОРГМОМЕНТ

Сьогодні на уроці ми закріпимо навички розв'язання задач з цієї теми, розглянемо перерізи кулі площиною, віддаленою від центру кулі на відстані меншій за радіус.

Наша мета-розвиток просторової уяви, геометричного мислення, грамотної математичної мови.

ПЕРЕВІРКА ВИКОНАННЯ ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ здійснюється до уроку з метою вже на уроці акцентувати увагу всіх учнів на труднощі, що виникли.

УСНА РОБОТА (Питання класу): (Слайди 3-6)

1.Назвіть формулу для знаходження висоти рівностороннього трикутника зі стороною а.

2. У чому ділиться медіана точкою перетину медіан трикутника?

3. Назвіть формулу для обчислення:

а) площі довільного трикутника;

б) площі прямокутного трикутника.

4. Як знайти висоту, опущену на гіпотенузу у прямокутному трикутнику, знаючи довжини катетів та гіпотенузи? (З якої рівності можна виразити висоту?)

5. Як записати формулу Герона для обчислення площі трикутника?

6. Як виразити відстань від центру кулі до січної площини через радіус кулі та радіус перетину? Відображення відповідних слайдів.

ОЦІНЮВАЛЬНИЙ ЛИСТ НАВЧАЛЬНОГО (Слайд 7)

Проводиться інструктаж із заповнення листів.

• "5" - НЕ МЕНШ 11 БАЛІВ;
• "4" - 9,10 БАЛОВ;
• "3" - МЕНШЕ 9 БАЛІВ.

РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ (Слайди 8,9)

1. Куля радіуса 2 см стосується всіх сторін правильного трикутника зі стороною 6см. Знайдіть відстань від центру кулі до площини трикутника.

2. Сторони трикутника 8см, 15см та 17см. Знайдіть відстань від площини трикутника до центру кулі, що стосується всіх сторін трикутника, якщо радіус кулі дорівнює 3 см.

3. Діагоналі ромба 9см та 12см. Кульова поверхня стосується всіх сторін. Радіус кулі 8,5 див. Знайдіть відстань від центру кулі до площини ромба.

Бажаючий учень запрошується на вирішення першого завдання за крилом дошки. Вчитель, проходячи рядами, зазначає в оцінних листах учнів виконання ними відповідного завдання. Потім перевірка за рішенням на дошці для тих, хто не може. Аналогічно перевіряються інші завдання.За потреби вчитель пропонує хлопцям-консультантам надати допомогу нужденним.

ВІДПОВІДІ: 1. 3см, 2. 6см, 3. 7,7см.

ПИТАННЯ ДЛЯ ЗАКРІПЛЕННЯ (Слайд 10)

• Що таке куля?
• Що таке кульова поверхня чи сфера?
• Що таке радіус, діаметр, хорда кулі?
• Які точки називаються діаметрально протилежними?
• Що є перетином кулі площиною, віддаленою від центру кулі на відстань, меншою за радіус кулі?
• Яка площина називається діаметральною площиною кулі?
• Що таке велике коло, велике коло?

ТЕСТОВА РОБОТА (Слайд 11)

Вкажіть правильні відповіді:

1. Всі точки кулі віддалені від центру на відстань, що дорівнює радіусу.

2. Центр сфери не належить цій сфері.

3. Відстань між будь-якими точками кулі не більше діаметра.

4. Відстань між будь-якими точками сфери не більша за діаметр.

5. Будь-який переріз сфери площиною є коло.

6. Будь-який переріз кулі площиною є коло.

7. З двох перерізів кулі площинами більша площа того, що ближче до центру.

8. Радіус будь-якого перерізу сфери площиною не більший за радіус сфери.

Хлопці ставлять у оцінних аркушах букву “В” за правильної відповіді чи букву” Н” за неправильного. Після виконання тестової роботи здійснюється перевірка виконання відповідей на слайді.

ДОМАШНЕ ЗАВДАННЯ (Слайд 13)

Надаються коментарі вчителя щодо виконання домашнього завдання (у рамках підготовки до контрольної роботи).

1. Радіус кулі 25см. Відстань від центру кулі до площини перерізу дорівнює 15см. Знайдіть: а) площу перерізу; б) довжину кола перерізу.

2. Радіус кулі дорівнює 2 див. Через кінець радіуса під кутом 30 ° до нього проведено площину. Знайдіть площу перерізу кулі, що вийшов.

3.На відстані 2 см від центру кулі проведено перетин кулі, площа якої в 2 рази менша за площу великого кола.

ВІДПОВІДІ: 1. 400 см 2 , 40 см, 2. 9 см 2 , 3. 2 см. (Слайд 16)

Для охочих пропонується виконати вдома завдання 4-6 із картки з додатковим завданням на окрему оцінку (Слайд 14).

ПІДСУМКИ УРОКУ (Слайд 19)

Вчитель підбиває підсумки уроку, ставлячи запитання на кількість набраних балів. Просить здати оціночні листи.

ЛИСТ УСПІХУ НАВЧАННЯ

Рефлексія (Слайд 20)

ДОДАТКОВЕ ЗАВДАННЯ (Слайд 17)

Ті хлопці, які швидко справляються із запропонованими завданнями, отримують картки із завданнями для додаткового розв'язання:

1. Знайдіть площу перерізу кулі площиною, що віддалена від центру кулі на 5см, якщо радіус кулі дорівнює 13см.

2. Радіус кулі R утворює з радіусом перерізу кулі площиною кут a. Знайдіть площу перерізу кулі.

3. Точка В належить колу великого кола кулі з центром О, а точка А належить колу з центром О₁ перерізу кулі площиною. a, АВ = m. Знайдіть довжину відрізка О₁А.

4. У трикутнику АВС В-прямий, АВ=9, ВС=12.

5. Трикутник АВС вписаний в коло перетину кулі площиною.₁=5. Знайдіть радіус кулі.

6.Трикутник АВС вписаний у коло перерізу кулі площиною. АВ = m, АСВ = a.

Знайдіть відстань від центру кулі радіуса R до площини перерізу.

ВІДПОВІДІ: 1. 144 , 2. R 2 cos 2 a, 3. R-m sin , 4. 4, 5. 5 , 6. .

Вказівка ​​для вирішення задачі №5: (Слайд 15)

розглянути знаходження радіуса перерізу кулі площиною трикутника двома способами:

а) використовуючи подобу прямокутних трикутників;

б) застосовуючи слідство з теореми синусів.

Ця робота також оцінюється вчителем.