Помилки вимірів

На результати експерименту впливають як контрольовані чинники, а й неконтрольовані - обурюючі чинники: похибка вимірювальних приладів, неточність налаштування системи, вплив неврахованих зовнішніх і внутрішніх чинників тощо. Вплив цих факторів призводить до того, що виміряні в результаті досвіду величини за своїм характером є випадковими та містять помилку (похибка).

Похибка експерименту це різниця між даними виміру та істинним значенням контрольованої величини.

Помилки (похибки) поділяють на три види:

Грубі помилки - це помилкові виміри, що виникають внаслідок недбалості відліку за приладом, нерозбірливості запису показань. Наприклад, запис результату 26,5 замість 2,65; відлік за шкалою 18 замість 13 і т.д. При виявленні грубої помилки результат цього виміру слід відразу відкинути, а саме вимір повторити.

Систематичні помилки - помилки, які при повторних вимірах залишаються незмінними або змінюються за певним законом. Ці похибки можуть бути обумовлені неправильним вибором методу вимірювання, недосконалістю або несправністю приладів (наприклад, вимірювання за допомогою приладу, у якого зміщений нуль). Щоб максимально виключити систематичні похибки, слід завжди ретельно аналізувати метод вимірювань, звіряти прилади з еталонами.

Випадкові помилки - це помилки, причина яких заздалегідь не може бути врахована.Випадкові похибки залежать від недосконалості наших органів почуттів, від безперервної дії зовнішніх умов, що змінюються (зміна температури, тиску, вологості, вібрація повітря і т.д.). методи теорії ймовірностей

Випадкові помилки

При випадковій помилці результати вимірів (і помилки) є випадковими величинами.

Джерел випадкових помилок, причому одночасно діючих багато.

Основні джерела наступні: прилад або вимірювальний ланцюг (через наявні зазори, заїдання і зношування в механізмах); вимірювану величину (нерівності мікрорельєфу, мінливість оброблюваного матеріалу), методика вимірювання, що визначає вибір приладів, перетворення інформації (дискретні вимірювання безперервної величини, округлення результату, дотримання інструкцій з використання приладів та обладнання);

У дослідженнях головною причиною випадкової помилки та розкиду результатів багаторазових вимірювань частіше виявляється мінливість вимірюваної величини Глибина оранки при визначенні середньої глибини обробки вимірюється в пунктах і значеннях. Х[І ЛХ[є випадкові величини [8].

Випадкові помилки виміру характеризуються певним законом їх розподілу. Існування такого закону можна виявити, повторюючи багато разів у незмінних умовах вимірювання деякої величини та підраховуючи число т тих результатів вимірювання, які потрапляють у будь-який виділений (відзначений) інтервал: відношення цього числа до загального числа п вироблених вимірювань (відносна частота попадання у зазначений інтервал) при досить великій кількості вимірювань виявляється близьким до постійного числа (зрозуміло, своєму для кожного інтервалу) . Ця обставина дозволяє застосувати до вивчення випадкових помилок виміру методи теорії ймовірностей. У теоретико-імовірнісній моделі випадкові помилки х = b - а (а значить, і самі результати виміру b = а + х) розглядаються як випадкові величини, які можуть набувати будь-які дійсні значення причому кожному інтервалу (х_1лх₂) відповідає цілком певне число, зване ймовірністю влучення випадкової величини х у цей інтервал і позначається через Р (х_х т - е - практично саме до цієї ймовірності близькі згадані вище відносні частоти:

де Р(х) - деяка невід'ємна функція, нормована умовою

ця функція повністю визначає відповідний закон розподілу ймовірностей і називається густиною розподілу.

Як закон розподілу випадкових помилок виміру найчастіше приймається нормальний закон розподілу (закон Гаусса).Сума досить великої кількості незалежних (або слабко залежних) випадкових величин, підпорядкованих яким завгодно законам розподілу (при дотриманні деяких дуже нежорстких обмежень), приблизно підпорядковується нормальному закону, і це виконується тим точніше, чим більша кількість випадкових величин підсумовується. Більшість випадкових величин, що зустрічаються на практиці, таких, наприклад, як помилки вимірів, помилки стрільби і т.д., можуть бути представлені як суми дуже великої кількості порівняно малих доданків - елементарних помилок, кожна з яких викликана дією окремої причини, що не залежить від інших . Яким би законам розподілу були підпорядковані окремі елементарні помилки, особливості цих розподілів у сумі значної частини доданків нівелюються, і сума виявляється підпорядкованої закону, близькому до нормального. Основне обмеження, що накладається на підсумовані помилки, полягає в тому, щоб всі вони рівномірно грали в загальній сумі відносно малу роль. Якщо ця умова не виконується і, наприклад, одна з випадкових помилок виявиться за своїм впливом на суму, що різко переважає над іншими, то закон розподілу цієї превалюючої помилки накладе свій вплив на суму і визначить в основних рисах її закон розподілу.

Щільність нормального розподілу дорівнює

де про - параметр, що характеризує точність вимірювань, а > 0.

Графік густини розподілу ймовірностей називається кривою розподілу.

Мал. 1.1. Криві нормального розподілу

На малюнку 1.1 показані криві нормального розподілу при різних значеннях а; з цього малюнка видно, що при зменшенні параметра а крива нормального розподілу стискається вздовж осі Ох та витягується вздовж осі Р(х); і, отже, що менше сг, то швидше зменшується щільність розподілу Р(%) зі зростанням |х|.

Імовірність потрапляння в інтервал (x_ltx₂) графічно зображується площею відповідної криволінійної трапеції під кривою розподілу ймовірностей. Зокрема, ймовірність попадання в симетричний інтервал (-х₁,х₁)(х₁ > 0), зображується площею фігури (рис. 1.2)

Мал. 1.2. Імовірність потрапляння в інтервал

Звідси також видно, що менше а, тим менше розкид помилок близько нуля.

Імовірність потрапляння випадкової помилки в симетричний інтервал (-х_хх_г) при нормальному розподілі обчислюється за формулою

Функція Ф(х) називається інтегралом ймовірностей, її значення наведено у додатку Р. У цій таблиці значення Ф(х) наведено лише позитивних значень аргументу; для негативних значень аргументу функція Ф(х) продовжується непарним чином:

Імовірність потрапляння випадкової помилки в будь-який інтервал (х₁,х₂) у разі нормального розподілу обчислюється за формулою

Р(|х| > ха) = 1 - 2Ф (х). (1.7)

При великих значеннях x ймовірність (7) дуже мала. Наприклад,

Р(|х|> 4а) = 1 - 2Ф(4) = 6? 10 -5 ,Р(|х|> 5а) =

Вже ймовірність за межі За = 0,0027 настільки мала, що її вважають практично неможливою (правила трьох сигм). Іншими словами, приймається, що випадкові помилки вимірів обмежені абсолютною величиною значенням За.

Якщо випадкові помилки мають нормальний закон розподілу, то розподіл результатів виміру b = а 4-х має щільність

яка лише на величину а відрізняється від густини (3) (рис.1.1).Цей закон розподілу називається загальним нормальним законом із центром а (Рис. 1.3).

Мал. 1.3. Загальний закон нормального розподілу із центом а

Для випадкових помилок завжди передбачається, що центр їхнього розподілу дорівнює нулю.

Часто відбувається, що з проведенні дослідів перевіряється гіпотеза про рівність центрів нормальних розподілів (що разом із прийнятими припущеннями означає тепер повний збіг законів розподілу). Перевірена гіпотеза називається нульовою гіпотезою.

Значення, що знаходяться поза зоною довірчого інтервалу при визначенні нульової гіпотези називаються критичними.

Контрольні питання та завдання

• 1. У чому полягають основні проблеми механізації сільськогосподарського виробництва?
• 2. Назвіть загальноприйнятий критерій ефективності.
• 3. Назвіть основні помилки (промахи) і в чому вони полягають?
• 4. Якими є основні джерела випадкових помилок?
• 5. Як змінюється крива нормального розподілу при зменшенні параметра?

Помилки вимірювань та методи їх оцінювання

- методами оцінки достовірності аналітичних даних.

Абсолютні та відносні помилки

Усі виміри, які виконуються щодо властивостей геологічних тіл і об'єктів, з об'єктивних причин завжди мають обмежену точність, і отримані у своїй результати є наближеними величинами їх істинних значень. Використання подібних даних у математичних формулах та проміжних обчисленнях призводить до того, що кінцеві результати завжди мають обмежену точність. Так, наприклад, маса частинки сферичної форми радіусом К (м) дорівнює добутку її обсягу на питому щільність р (кг/м 3 ) ув'язненої в ній речовини:

У цій формулі лише цифри 4 і 3 є точними числами, решта — наближені величини. Число л береться з обмеженою кількістю десяткових знаків, явно меншим, ніж може бути висловлене його реальне значення. Помножувачі

Яїр - величини також наближені, так як їх значення отримані з деякою точністю шляхом вимірювання, і внаслідок цього обчислена маса частки є наближеною величиною її значення. Досить очевидно, що точність кінцевого результату обчислень величин, що характеризують властивості об'єктів, що досліджуються, залежить від точності вихідних даних.

Використання сучасних обчислювальних засобів позбавляє необхідності контролювати кількість знаків у загальноприйнятих константах (числа л, е та ін) і значення стандартних математичних функцій (синус, тангенс, інтеграл ймовірностей та ін), а також у результатах проміжних обчислень між ними. Тому результати математичних операцій з участю загальноприйнятих констант завжди потенційно містять у собі зайву кількість десяткових знаків, математично вірних, але з відповідних їх реальної точності. Ця обставина робить необхідною під час запису обчислених значень враховувати доцільне число десяткових і навіть цілих знаків, округляючи їх, відкидаючи зайві цифри.

Так, наприклад, при записі числа л, яке, як уже було сказано, може бути представлено дуже великою кількістю десяткових знаків, зазвичай обмежуються меншою послідовністю чисел, записуючи його як 3,1416 або частіше 3,14. У більшості випадків число цифр, що залишаються, не повинно перевищувати їх кількість у величині, що характеризується найменшою точністю.Прикладом цього є дані в табл. 1.1 (див. тему 1), де наведено вміст елементів у бокситах. Зміст оксидів кальцію і магнію становлять тисячні частки відсотка, і тому вони не враховуються в записі суми вмісту, оскільки точність результатів аналізу оксидів алюмінію, заліза та кремнію характеризується однією десятковою цифрою.

При округленні чисел, якщо послідовність цифр, що відкидається, починається з 5, то першу залишкову цифру збільшують на одиницю, за винятком тих випадків, коли сама відкидається цифра 5 з'явилася в результаті доповнення. Якщо точність кінцевого результату заздалегідь визначена з будь-яких оцінок, то при округленні чисел користуються правилом доповнення: збільшують на одиницю останню з цифр, що залишаються, якщо перша з цифр, що відкидаються більше 5.

У тих випадках, коли при округленні наближеного числа отримане значення стає менше вихідного, кажуть, що воно взято з деяким недоліком, інакше наближене число береться з деяким надлишком. Тому всі наближені величини характеризуються деякою похибкою чи помилкою проти їх справжніми значеннями. Для їх подання використовуються дві категорії помилок: абсолютна та відносна.

Абсолютною помилкою наближеної величини називають абсолютну величину різниці між її точним (а) та наближеним (х) значеннями:

Однак абсолютна помилка (4.1) не є величиною, що вичерпно характеризує наближені значення.Так, наприклад, абсолютна помилка визначення вмісту свинцю, що дорівнює 10 г/т, дуже велика для характеристики його розподілу в галузі геохімічного фону гірських порід і ґрунтів, де вона в середньому дорівнює 15 г/т, і зневажливо мала при оцінці його запасів у рудних родовищах, де вміст свинцю сягає сотень кілограмів на тонну. Тому поряд із абсолютною помилкою як міру достовірності отриманих результатів використовують відносну помилку.

Відносною помилкою називають величину відношення абсолютної помилки до точного значення цієї величини:

Вона виявляється у частках одиниці чи найчастіше у відсотках, унаслідок чого її іноді називають процентною відносною помилкою.

В результаті вимірювань набувають значення, що мають цілком певну розмірність, тому абсолютні помилки також є розмірними розмірами. Відносні помилки рівні частки від розподілу величин однієї й тієї ж розмірності і є безрозмірними величинами. Внаслідок цього відносні помилки дають можливість порівнювати точність даних, різнорідних за своєю фізичною суттю, наприклад таких, як результати вимірювання мас, довжин, часу і т. д. Необхідність у такому порівнянні часто виникає на практиці, коли оцінюється гранична відносна помилка величин, обчислених формулам, що включають змінні різної природи. Прикладом подібних обчислень є формула розрахунку маси кулястої частки, наведена на початку цього розділу.

Для наближених чисел (л, е, логарифм числа та ін), значення яких відомі з вельми великим числом десяткових знаків, величину абсолютних та відносних помилок завжди можна безпосередньо обчислити з необхідною точністю.Так, наприклад, значення числа л з дробовою частиною 15 цифр, має вигляд: л = = 3,141592653589793. Умовно приймаючи цю величину за справжнє значення числа л, можна шляхом обчислень отримати відповідні величини абсолютних та відносних помилок для двох різних його наближень 3,1 та 3,14:

Відносна помилка наближеного значення числа л = 3,14 у 26 разів менша від наближеного значення л = 3,1. Однак з цього не випливає, що використання в розрахунках л = 3,14 або його значення з великим числом десяткових знаків дасть точніший результат, оскільки він залежить від точності інших величин, що беруть участь у розрахунках. Те саме можна застосувати до всіх наближених величин: табличні значення стандартних функцій, фізичні та хімічні константи і т. п., значення яких відомі з дуже високою точністю.

Якщо шукана величина отримана в результаті виміру, то, оскільки її справжнє значення невідоме, як міра абсолютної помилки береться різниця між нею та її найбільш ймовірним (середнім) значенням. Аналогічно цьому мірою відносної помилки величини, отриманої під час проведення вимірювань, є відношення абсолютної помилки до середнього значення вимірюваної величини.

Обидві помилки, абсолютна Дх та відносна 8_ХЯк було показано вище, повністю залежать від точності вихідних даних. Однак відносна помилка, згідно з її визначенням, залежить і від точності результату вимірювання величини, що вимірюється. Тому за однієї й тієї ж абсолютної помилки можливі різні значення відносних помилок, якщо вимірювані величини відмінні за своїми величинами. При постійній абсолютній помилці відносна помилка змінюється обернено пропорційно до вимірюваної величини.Ця властивість відносної помилки дає підставу вважати її наочнішою характеристикою якості отриманого результату.

Розглянуті нижче правила операцій із відносними помилками дозволяють, з відомих відносних помилок вихідних даних, оцінити відносну помилку кінцевого результату. Це дає можливість, використовуючи вираз (4.2), що пов'язує абсолютну та відносну помилки, визначити абсолютну помилку шуканого значення, тим самим встановивши доцільну кількість цифр у дробовій частині, якими її слід записати.

Усі наближені величини їх впливу на помилку кінцевого результату обчислень можна розділити втричі групи.

1. Наближені величини, такі як математичні константи (л, е) та значення спеціальних функцій (логарифми чисел, величина інтеграла ймовірностей та ін.). Їхні величини наведені в математичних довідниках і обчислюються програмними модулями в комп'ютерних системах і калькуляторах з великою точністю. Тому значення таких величин завжди можна брати з необхідним числом цифр, відповідно з цим змінюється величина їх помилок. Знак і величину помилок, що виникають, завжди можна визначити, як це було показано на прикладі числа л. Можливість проводити помилки наближених величин цього типу дозволяє вважати їх наближеними, а точними. Справді, за будь-яких обчисленнях їх можна доповнити необхідною кількістю десяткових знаків і забезпечити необхідну точність кінцевого результату.

Слід зазначити, що з обчисленнях з допомогою сучасних комп'ютерних систем оцінка кількості необхідних знаків відпадає через непотрібність, оскільки точність закладених у яких значень свідомо вичерпно достатня і потрібно лише контролювати число значущих цифр у кінцевому результаті.

• 2.Значення фізичних констант, таких як прискорення сили тяжіння, питома щільність, теплоємність фізичних середовищ, ентальпії хімічних сполук та ін, відомі в більшості випадків з вичерпною точністю. Ухвалені в даний час значення різних фізичних констант, наведені в численних довідниках, були встановлені в результаті великої кількості незалежних і ретельно виконаних прецизійних вимірювань. Внаслідок цього значення цих наближених величин відомі з дуже великою точністю, які помилки значно менше тих, які допускаються при звичайних рядових вимірах. Завдяки цьому величини цього типу вважатимуться практично точними числами, подібно до наближених величин першого типу. Відмінність від них полягає у їхній меншій точності та у відсутності відомостей про знак відхилення від істинного значення.
• 3. Результати вимірювань, отримані при польових спостереженнях і лабораторних дослідженнях, через неідеальність методів вимірювання та впливу випадкових факторів є дійсно наближеними величинами і мають точність суттєво нижчу за точність значень математичних функцій від заданих аргументів та фізичних констант. Працюючи з наближеними величинами цього необхідно враховувати властивості похибок, що вносяться.

Усі фізичні величини, грають якусь роль під час проведення вимірів, у тому чи іншою мірою залежать друг від друга, тому із зміною зовнішніх умов можуть змінюватися самі справжні значення вимірюваних величин. Отримані при цьому результати завжди містять деякі похибки, причини яких непередбачувано різні: збій у показаннях приладів, вплив зовнішніх факторів - зміна температурного режиму середовища, коливання струму напруги в електричній мережі тощо.Крім того, можлива дія факторів, які встановити не вдається.

Однією з завдань математичної обробки геохімічних даних є оцінка їх точності. збіжністю та відтворюваністю.

Під збіжністю, згідно з нормативними документами метрології («Державна система забезпечення єдності виміру. ГОСТ Р ИСО 5725-1-2002»), розуміється «ступінь близькості один до одного незалежних результатів вимірювань, отриманих в умовах повторюваності — одним і тим же методом на ідентичних об'єктах, в одній і тій самій лабораторії, одним і тим же оператором, з використанням того самого обладнання, в межах короткого проміжку часів ».

Під відтворюваністю розуміється «ступінь близькості один до одного незалежних результатів вимірювань, отриманих тим самим методом на ідентичних об'єктах, у різних лабораторіях, різними операторами, з використанням різного обладнання».

При неодмінному дотриманні цих вимог кількісною мірою достовірності використовуваних даних служить величина помилки вимірів. , умовно названі як грубі, систематичні та випадкові.

Помилки виміру

У статті пояснюється, що таке похибки виміру. Ви дізнаєтеся, що означає помилка виміру, різні типи помилок виміру та їх можливі причини.

Що таке похибка виміру?

Помилка виміру (або помилка виміру ) - Це збій, що виникає при вимірі величини. Таким чином, похибка вимірювання є різницею між виміряним значенням і фактичним значенням.

У техніці та фізиці під час експериментів часто припускаються помилок вимірювань. Обережність Незважаючи на те, що це робиться для мінімізації можливої ​​помилки вимірювання, при проведенні великої кількості спостережень цілком ймовірно, що будуть допущені помилки вимірювання.

Тому, хоча зазвичай це нудне завдання, ми повинні бути обережні у процесі вимірювання величини, щоб мінімізувати помилки виміру.

Види помилок виміру

Тепер, коли ми знаємо визначення помилки виміру, давайте подивимося, які різні типи помилок виміру, щоб краще зрозуміти цю концепцію.

Залежно від характеру похибок вимірів їх можна поділити на два типи:

• Випадкові помилки виміру : тип помилки вимірювання, причина якої невідома. Іноді, проводячи експеримент в тих самих умовах, можна отримати дещо інший результат, не знаючи чому.
• Систематичні помилки виміру : цей тип помилки виміру залишається постійним, і тому відомий закон чи механізм, що її викликає. Оскільки помилка виміру має конкретну причину, відхилення між виміряним значенням та фактичним значенням зазвичай однаково під час проведення кількох експериментів.

З іншого боку, допущену помилку виміру можна оцінити шляхом розрахунку різниці між виміряним значенням та фактичним значенням. Таким чином, розрізняють абсолютну помилку та відносну помилку.

Абсолютна помилка : це різниця між виміряним значенням та фактичним значенням. Тому, щоб обчислити абсолютну похибку, ви просто віднімаєте значення, отримане в результаті виміру, мінус фактичне значення.

Причини помилок вимірів

Існує кілька причин, які призводять до помилок вимірювання, зокрема:

• Похибки вимірювання, пов'язані з вимірювальним інструментом : Помилка вимірювання може бути спричинена конструктивним або виробничим дефектом вимірювального інструменту. Аналогічним чином, зношування пристрою при виконанні великої кількості вимірювань може вплинути на процес вимірювання.
• Помилки виміру з вини оператора : Важливо поводитися з вимірювальним інструментом, щоб уникнути помилок. Таким чином, оператор може припуститися помилок вимірювання при зчитуванні вимірюваного значення, помилки через неправильне позиціонування вимірювального пристрою або навіть помилки через втому.
• Помилки вимірювання через фактори навколишнього середовища : Під час проведення експерименту також необхідно враховувати умови довкілля. Тому якщо температура дуже висока або дуже низька, металеві предмети відповідно розширюються або стискаються. Крім того, на процес вимірювання можуть впливати пил, вологість та тиск, а також інші фактори.
• Помилки вимірювання через геометричні допуски деталі : під час вимірювання деталь може зазнавати занадто великої сили, що викликає деформацію.

Приклади помилок виміру

Нарешті, ми розглянемо кілька прикладів помилок виміру, щоб краще зрозуміти, що таке помилка виміру.

1. При вимірі невеликих деталей часто припускаються помилок, оскільки вони легко деформуються. Наприклад, якщо занадто сильно натиснути на деталь за допомогою мікрометра, вона деформується і виміряний розмір буде меншим, ніж є насправді.
2. Іншим прикладом поширеної помилки вимірювання є помилка, що виникає через проблеми із зором. Якщо у оператора проблеми із зором, він прочитає на приладі неправильне значення і, отже, станеться помилка у проведеному вимірі.
3. Якщо довжини певних розмірів вимірювати на сонці, то цілком ймовірно, що матеріал трохи розшириться і, отже, ми отримаємо більші розміри, ніж вони є насправді.
4. Деякі вимірювальні прилади перед початком вимірювань необхідно спочатку калібрувати. Тому, якщо прилад не відкалібровано заздалегідь, він даватиме невірні значення вимірювання.
5. При послідовному виконанні кількох вимірів може виникнути помилка виміру через втому. Хоча процес вимірювання зазвичай монотонний, на нього слід звернути увагу і за необхідності зробити перерву.