піраміда. Формули та властивості піраміди
Піраміда - це багатогранна об'ємна фігура, обмежена плоским багатокутником (основою) та трикутниками, що мають спільну вершину, що не лежить у площині основи.
Визначення. Бічна грань - Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).
Визначення. Бічні ребра - це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.
Визначення. Висота піраміди - Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.
Визначення. Апофема - Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.
Визначення. Діагональний переріз - це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.
Визначення. Правильна піраміда - це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.
Об'єм та площа поверхні піраміди
Визначення. Бічна поверхня піраміди - це сукупна площа всіх бічних граней піраміди.
Визначення. Повна поверхня піраміди - це сукупність площ бічної поверхні та площі основи піраміди.
Формули. Площа бічної поверхні правильної піраміди через периметр основи та апофему:
Властивості піраміди
Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).
Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.
Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.
Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.
Властивості правильної піраміди
7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.
8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.
9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки, один кут дорівнює π/n, де n - це кількість кутів на підставі піраміди.
Зв'язок піраміди зі сферою
Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.
Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.
У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.
Зв'язок піраміди з конусом
Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.
Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.
Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.
Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.
Зв'язок піраміди з циліндром
Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.
Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
Визначення. Усічена піраміда (пірамідальна призма) - це багатогранник, який знаходиться між основою піраміди та площиною перерізу, паралельною основі. Таким чином піраміда має більшу основу і меншу основу, яка подібна до більшої. Бічні грані є трапецією.
Визначення. Трикутна піраміда (чотирьохгранник) - це піраміда в якій три грані та основа є довільними трикутниками.
У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.
Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.
Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника (GM).
Бімедіаною називається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).
Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S).При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.
Визначення. Похила піраміда - це піраміда в якій одне з ребер утворює тупий кут (β) з основою.
Визначення. Прямокутна піраміда - це піраміда в якій одна з бічних граней перпендикулярна до основи.
Визначення. Гострокутна піраміда - це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.
Визначення. Тупокутна піраміда - це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.
Визначення. Правильний тетраедр - Чотирьохгранник у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним з п'яти правильних багатокутників.
Визначення. Прямокутний тетраедр називається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). прямокутний трикутний кут і грані є прямокутними трикутниками, а основа довільним трикутником.
Визначення. Рівногранний тетраедр називається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.
Визначення. Ортоцентричний тетраедр називається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.
Визначення. Зіркова піраміда називається багатогранник, у якого основою є зірка.
Визначення. Біпіраміда - багатогранник, що складається із двох різних пірамід (також можуть бути зрізані піраміди), що мають загальну основу, а вершини лежать по різні боки від площини основи.
Все про об'ємні геометричні фігури
Правильний малюнок геометричної фігури до задачі з геометрії – майже половина розв'язання задачі. Це підтвердить будь-який викладач геометрії.
При правильному побудові він допоможе не заплутатися у даних та побачити нові деталі!
ГЕОМЕТРИЧНІ ОБ'ЄМНІ ТІЛА
Щоб побудувати будинок нам потрібна цегла. Також і для складних фігур нам потрібні найпростіші постаті. До найпростіших геометричних фігур відносяться: точка, промінь, відрізок та лінія.
Об'ємні фігури називають просторовими фігурами та геометричними тілами. У цьому просторі «живуть» такі фігури: куб, піраміда, конус, циліндр, призма та інші.
Куб
Куб - це об'ємне тіло, яке утворене 6-ма квадратними площинами та поверхнями. Також цю фігуру називають правильний гексаедр, оскільки вона має 6 сторін, або прямокутний паралелепіпед, тому що він складається з 3 пар паралельних сторін, які взаємно перпендикулярні один одному.
Піраміда
Піраміда - це поліедр, який складається з простого багатогранника (основа піраміди) та трикутників, які з'єднуються з основою та мають одну загальну вершину (вершина піраміди). Трикутники називаються бічними гранями піраміди.
Геометричні характеристики піраміди залежать від того, який багатокутник лежить у її основі, а також від того, чи є піраміда прямою чи косою. Під прямою пірамідою розуміють таку піраміду, для якої перпендикулярна основа пряма, проведена через вершину піраміди, перетинає основу в її геометричному центрі.
Призма
Призма - цю геометричну фігуру можна отримати, якщо взяти два багатогранники, розташувати їх паралельно один одному в різних площинах простору, і з'єднати їх вершини між собою. У результаті вийде призма, два багатогранники називаються її основами, а поверхні, що з'єднують ці багатогранники, матимуть форму паралелограмів. Призма називається прямою, якщо її бічні сторони (паралелограми) прямокутники.
Куля
Куля - під об'ємним тілом під назвою кулю розуміють тіло, обмежене сферою. Своєю чергою, сфера - це сукупність точок простору, рівновіддалених від однієї точки, яка називається центром сфери.
Циліндр
Циліндр - це тривимірне геометричне тіло, яке обмежене циліндричною поверхнею та двома паралельними площинами.
Конус
Конус - це геометричне тіло, яке утворене сукупністю всіх променів, що виходять з точки і перетинають будь-яку плоску поверхню. У місці перетину утворюється основа конуса.
Перейшовши на сайт репетиторів онлайн, ви можете ознайомитися з іншими геометричними фігурами, з їх параметрами та правилами побудови.
Тепер ви знаєте основи, наступний крок - підготовка до зно з математики, де кожна тема вивчається поглиблено.
І запам'ятайте - Немає нічого не вирішуваного!
