піраміда. Формули та властивості піраміди
Піраміда - це багатогранна об'ємна фігура, обмежена плоским багатокутником (основою) та трикутниками, що мають спільну вершину, що не лежить у площині основи.
Визначення. Бічна грань - Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).
Визначення. Бічні ребра - це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.
Визначення. Висота піраміди - Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.
Визначення. Апофема - Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.
Визначення. Діагональний переріз - це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.
Визначення. Правильна піраміда - це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.
Об'єм та площа поверхні піраміди
Визначення. Бічна поверхня піраміди - це сукупна площа всіх бічних граней піраміди.
Визначення. Повна поверхня піраміди - це сукупність площ бічної поверхні та площі основи піраміди.
Формули. Площа бічної поверхні правильної піраміди через периметр основи та апофему:
Властивості піраміди
Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).
Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.
Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.
Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.
Властивості правильної піраміди
7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.
8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.
9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки, один кут дорівнює π/n, де n - це кількість кутів на підставі піраміди.
Зв'язок піраміди зі сферою
Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.
Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.
У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.
Зв'язок піраміди з конусом
Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.
Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.
Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.
Зв'язок піраміди з циліндром
Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.
Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
Визначення. Усічена піраміда (пірамідальна призма) - це багатогранник, який знаходиться між основою піраміди і площиною перерізу, паралельною основі.
Визначення. Трикутна піраміда (чотирьохгранник) - це піраміда в якій три грані та основа є довільними трикутниками.
У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.
Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.
Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника (GM).
Бімедіаною називається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).
Всі бімедіани і медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S).
Визначення. Похила піраміда - це піраміда в якій одне з ребер утворює тупий кут (β) з основою.
Визначення. Прямокутна піраміда - це піраміда в якій одна з бічних граней перпендикулярна до основи.
Визначення. Гострокутна піраміда - це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.
Визначення. Тупокутна піраміда - це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.
Визначення. Правильний тетраедр - чотиригранник, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.
Визначення. Прямокутний тетраедр називається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний кут і грані є прямокутними трикутниками, а основа є довільним трикутником. Апофема будь-якої грані дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.
Визначення. Рівногранний тетраедр називається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.
Визначення. Ортоцентричний тетраедр називається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.
Визначення. Зіркова піраміда називається багатогранник, у якого основою є зірка.
Визначення. Біпіраміда - багатогранник, що складається із двох різних пірамід (також можуть бути зрізані піраміди), що мають загальну основу, а вершини лежать по різні боки від площини основи.
Що таке правильна піраміда: визначення, види, властивості
У даній публікації ми розглянемо визначення, види (трикутна, чотирикутна, шестикутна) та основні властивості правильної піраміди.
Визначення правильної піраміди
Правильна піраміда – це піраміда, основою якої є правильний багатокутник, а вершина фігури проектується до центру її основи.
Найпоширеніші різновиди правильних пірамід: трикутна, чотирикутна та шестикутна.
Види правильної піраміди
Правильна трикутна піраміда
- Основа – правильний/рівносторонній трикутник ABC.
- Бічні грані – однакові рівнобедрені трикутники: ADC, BDC і ADB.
- Проекція вершини D на основу – точка O, яка є точкою перетину висот/медіан/бісектрис трикутника ABC.
- DO - Висота піраміди.
- DL і DM – апофеми, тобто висоти бічних граней (рівнобедренних трикутників).
- ⦟DAM = ⦟ DBL = α (кути між бічними ребрами та основою).
- ⦟DLB = ⦟DMA = β (кути між бічними гранями та площиною основи).
- Для такої піраміди правильне співвідношення:
AO:OM = 2:1 або BO: OL = 2:1.
Примітка: якщо у правильної трикутної піраміди всі ребра рівні, вона також називається правильним тетраедром.
Правильна чотирикутна піраміда
- Основа – правильний чотирикутник ABCD, Іншими словами, квадрат.
- Бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники: AEB, BEC, CED і AED.
- Проекція вершини E на основу – точка O, є точкою перетину діагоналей квадрата ABCD.
- EO - Висота фігури.
- EN і EM – апофеми (Усього їх 4, на малюнку як приклад зображено тільки два).
- Рівні кути між бічними ребрами/гранями та основою вказані відповідними літерами (α і β).
Правильна шестикутна піраміда
- Основа – правильний шестикутник ABCDEF.
- Бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники: AGB, BGC, CGD, DGE, EGF і FGA.
- Проекція вершини G на основу – точка O, є точкою перетину діагоналей/бісектрис шестикутника ABCDEF.
- GO - Висота піраміди.
- GN – апофема (загалом їх має бути шість).
Властивості правильної піраміди
- Усі бічні ребра фігури рівні. Тобто вершина піраміди знаходиться на однаковій відстані від усіх кутів її основи.
- Кут між усіма бічними ребрами та основою однаковий.
- Всі грані нахилені до основи під тим самим кутом.
- Площі всіх бічних граней рівні.
- Усі апофеми рівні.
- Навколо піраміди можна описати сферу, центром якої буде точка перетину перпендикулярів, проведених до середин бокових ребер.
- У піраміду можна вписати сферу, центром якої буде точка перетину бісектрис, що беруть початок у кутах між бічними ребрами та основою фігури.
Примітка: Формули знаходження площі поверхні, і навіть обсягу піраміди представлені окремих публікаціях.
Публікації на тему:
- Знаходження площі квадрата: формула та приклади
- Знаходження площі прямокутника: формула та приклад
- Знаходження площі паралелограма: формула та приклади
- Знаходження площі еліпса: формула та приклад
- Знаходження площі опуклого чотирикутника: формула та приклад
- Знаходження периметра трапеції: формула та завдання
- Знаходження периметра паралелограма: формула та завдання
- Знаходження довжини кола: формула та завдання
- Тригонометричні функції гострого кута у прямокутному трикутнику
- Знаходження обсягу піраміди: формула та завдання
- Знаходження площі правильного шестикутника: формула та приклади
- Знаходження обсягу тетраедра: формула та завдання
- Знаходження площі поверхні куба: формула та завдання
- Знаходження площі поверхні циліндра: формула та завдання
- Знаходження площі поверхні конуса: формула та завдання
- Знаходження радіуса кола: формула та приклади
- Знаходження радіусу циліндра: формула та приклади
- Знаходження площі правильної призми: формула та завдання
- Знаходження площі правильної піраміди: формули
- Теорема про зовнішній кут трикутника: формулювання та завдання
- Теорема Чеви: формулювання та приклад із рішенням
- Геометрична фігура: трикутник
- Ознаки рівності трикутників
- Властивості рівностороннього трикутника: теорія та приклад задачі
- Визначення та властивості медіани трикутника
- Властивості бісектриси рівнобедреного трикутника
- Властивості бісектриси прямокутного трикутника
- Властивості бісектриси рівностороннього трикутника
- Властивості висоти прямокутного трикутника
- Властивості висоти рівностороннього трикутника
- Знаходження радіуса описаного навколо трикутника кола
- Знаходження радіусу вписаного в трикутник кола
- Що таке коло: визначення, властивості, формули
- Що таке коло: визначення, властивості, формули
- Що таке прямокутник: визначення, властивості, ознаки, формули
- Властивості рівнобедреної (рівнобічної) трапеції
- Властивості прямокутної трапеції
- Знаходження висоти трапеції: формули та приклади завдань
- Що таке середня лінія трикутника
- Що таке середня лінія трапеції
- Що таке середня лінія чотирикутника
- Знаходження радіусу описаної навколо куба сфери (кулі)
- Знаходження площі кульового сегмента
- Знаходження об'єму кульового сегмента
- Знаходження площі кульового сектора
- Знаходження об'єму кульового сектора
- Що таке усічений конус: визначення, основні елементи
- Знаходження площі поверхні зрізаного конуса: формули
- Знаходження обсягу зрізаного конуса
- Що таке циліндр: визначення, елементи, види, варіанти перерізу
