[Для новачків] 6 пунктів за малювання ліній

Перше, з чим зазвичай стикаються ілюстратори-початківці, — це «малювання ліній».
Коли у вас виникають проблеми з лінійними малюнками, такі як "Я хочу малювати прямі лінії без вагання" або "Я хочу щось зробити з плоскими лініями", є шість пунктів, про які вам слід знати.

Отже, цього разу давайте подивимося на 6 пунктів, а також малювання ліній картинка нижче.

1. Малювання малюнок

При створенні лінійного малюнка спочатку намалюйте грубий малюнок.
Можна визначити композицію заздалегідь або під час ескізу.

① Визначте зразкову форму та композицію

② Створіть новий шар та визначте лінії більш докладно

*Тут ми відрегулювали розмір начерку ①, збільшивши або зменшивши.
Після цього трохи змінювали композицію та малювали грубий малюнок на новому шарі темним кольором.

③ Намалюйте більше деталей

*Ми зменшили непрозорість шару ②, щоб лінії на новому шарі було краще видно.

[Пункт 1: Давайте малювати дедалі більше начерків]

Чим детальнішим буде малюнок, тим менше сумнівів буде на етапі малювання лінії.
Якщо ви малюєте кілька ліній на одному шарі, ви не зможете зрозуміти яка лінія вам потрібна, тому рекомендується створити новий шар і малювати там, щоб відібрати лінії.

Це залежить від людини, наскільки докладно вона хоче малювати, але для тих, хто схильний плутатися у тому, яку лінію вибрати, рекомендується намалювати певну кількість деталей та відібрати лінії, які хочеться малювати.

2. Малювання контуру

Після того, як малюнок готовий, настав час малювати лінійний малюнок.
Звідки малювати лінію залежить від людини, але тут ми спочатку намалюємо контур.

Якщо ви не можете малювати так, як хочете, рекомендується переглянути, чи підходить вам метод малювання ліній.

[Пункт 2: Виберіть стиль малювання, який вам підходить]

Існує три основні способи малювання ліній.
Будь ласка, спробуйте кожен метод малювання та знайдіть той, який вам підходить.

① Малювати одним мазком

Це найстандартніший метод малювання. Намалюйте пряму лінію одним штрихом.
Може бути складно відразу намалювати ідеальну лінію, тому перерисуємо, виправляючи за допомогою «Скасувати» в MediBang Paint або «ctrl (command) + Z» на клавіатурі.

② З'єднати короткі лінії

Цей метод малювання часто використовується для малювання довгих ліній.
Кінці коротких ліній перекриваються та з'єднуються в одну лінію.

③ Малювати лінії, обрізаючи їх

Це метод малювання, при якому спочатку малюють лінію, а потім витончують гумкою, щоб надати їй форму.
Лінії можна витончати потроху, тому це вимагає часу, але легко намалювати лінії, які ви хочете.

[Пункт 3: Використовуйте "Коррекція"]

Тим, хто має труднощі при малюванні прямих ліній, ми рекомендуємо використовувати функцію «Корекції (стабілізації зображення)».
За допомогою цієї функції ви можете зменшити коливання та малювати прямі лінії.

[Пункт 4: Поверніть полотно]

Рукою людини малює лінії в постійному русі.
Тому є деякі напрямки, які зовсім не годяться через будову руки.

Якщо ви малюєте у складному напрямку, поверніть полотно за допомогою , або на вікні «Навігатор», щоб змінити напрям малювання.

3. Малювання волосся

Після того як ви намалювали контур, настав час намалювати волосся.
Оскільки волосся перекриває обличчя та тіло, створіть новий шар та малюйте там.
Такий поділ шарів зручно, тому що вам не доведеться турбуватися про те, що «я хотів стерти волосся, але випадково стирав обличчя» при внесенні виправлень.

[Пункт 5: При малюванні довгі лінії, тримайте ручку за верхню частину та енергійно малюйте]

На цей раз у персонажа довге волосся, тому потрібно малювати довгі лінії без вагання.
Коли ви малюєте довгу пряму лінію, буде легко малювати, якщо ви «тримаєте верхню частину ручка і енергійно рухаєтеся».

① Тримайте ручку за верхню частину

Якщо тримати ручку за нижню частину, штрих скорочуватиметься, і малювати довгі лінії буде важко.
Під час малювання довгих ліній малюйте кінчиком ручка.

② Енергійно малюйте

Коли ви малюєте чітку лінію, ви можете бути схильні проводити лінію повільно і обережно, але насправді лінія виходять більш вагається, якщо малювати їх повільно.
У цифрі ви можете перемалювати скільки завгодно раз за допомогою "Скасувати", так що давайте сміливо проведіть лінію.
Легше намалювати чисту лінію, якщо ви малюєте штрих, ніби ви махаєте ручкою, а не застосовуєте силу.

4. Малювання деталі

Після того як ви намалювали контур та волосся, настав час намалювати частини обличчя та деталі.

Коли малюєте ці деталі, використовуйте тонкі лінії.

[Пункт 6: Змініть товщину лінії]

При малюванні лінії,
・Контур та прилеглі об'єкти — товщі
・Деталі, текстури та предмети, що знаходяться далеко, — тонше
Таким чином можна додати жвавість картинку.

5. Налаштування лінійного малюнка

Після того як ви намалювали лінійний малюнок, відрегулюйте частини, які не добре намальовані.
Тут тривимірний ефект додається за рахунок додавання чорного кольору у місцях перетину ліній.
У цьому лінійний малюнок завершено.

▼Якщо ви хочете дізнатися більше про методи покращення якості, такі як товщина ліній та «небагато штрих», також прочитайте цю статтю.

6. Оздоблення

Після того, як ви намалювали лінійний малюнок, ви можете його розфарбувати та налаштувати лінійний малюнок, змінивши колір ліній відповідно до навколишніх кольорів.

▼Про те, як змінити колір ліній, прочитайте також цю статтю.

Після того, як ви відкоригували потрібні деталі, все готово.

7. Висновок

Зрештою, ми підсумуємо 6 пунктів для малювання красивих лінійних малюнків.

[Пункт 1: Давайте малювати дедалі більше начерків]
[Пункт 2: Виберіть стиль малювання, який вам підходить]
[Пункт 3: Використовуйте "Коррекція"]
[Пункт 4: Поверніть полотно]
[Пункт 5: При малюванні довгі лінії, тримайте ручку за верхню частину та енергійно малюйте]
[Пункт 6: Змініть товщину лінії]

Чим більше ви малюєте і звикаєте до малювання, тим більше ви зможете малювати потрібні лінії, так спробуйте намалювати багато лінійних малюнків!

＼ We are accepting requests for articles on how to use ／

Криві лінії в накреслювальній геометрії з прикладами

Криву лінію можна як безліч послідовних положень точки, безперервно переміщається у просторі. Крива лінія може бути результатом перетину між собою поверхонь або поверхні та площини.

Розрізняють плоскі та просторові лінії. Крива лінія називається плоскою, якщо всі точки лінії лежать в одній площині і просторової, якщо її точки нс лежать в одній площині. Плоськими лініями є, наприклад, коло, еліпс, овал. Прикладом просторової лінії може бути гвинтова лінія.

Проекціями просторової кривої є плоскі лінії.Плоска крива проектується у вигляді плоскої лінії або у вигляді прямої лінії, якщо крива знаходиться в проекції площині.

У загальному випадку січна АВ кривою проектується січної проекції, а дотична CD до кривої проектується дотичної до її проекції (рис. 5.1).

Лінія вважається закономірною, якщо у своїй освіті вона підпорядкована якомусь геометричному закону. Закономірні лінії поділяють на алгебраїчні і трансцендентні. У першому випадку лінію можна описати рівнянням алгебри, а в другому - трансцендентним (наприклад, тригонометричним). Порядок кривої алгебри дорівнює ступеня її рівняння або максимальному числу точок її можливого перетину з площиною або прямою.

На комплексному кресленні крива лінія задається своїми проекціями, які будують за проекціями точок, що належать цій лінії. Якщо площина плоскої кривої займає проецірующее положення (рис. 5.2 а), то одна проекція цієї кривої має форму прямої. У просторової кривої всі проекції – криві лінії (рис. 5.2, б).

Щоб визначити за кресленням, яка задана крива (плоска або просторова), необхідно з'ясувати, чи всі точки кривої належать одній площині. Задана на рис. 5.2 б крива є просторовою, так як прямі AD і BF не перетинаються, а схрещуються (тобто не лежать в одній площині).

У накреслювальній геометрії крива часто будується як лінія, що послідовно проходить через точки, що її задають. Упорядковане безліч точок, що визначають лінію, становить сітчастий каркас. Точки каркасу поділяють на опорні і проміжні. Проміжні точки повинні забезпечити необхідну та достатню густину каркаса, тобто забезпечують кількісну характеристику кривої. Найбільш важливими є опорні точки, які відображають якісну характеристику кривої. Розглянемо деякі з опорних точок.

Екстремальні точки це точки, які віддалені від площин проекцій на максимальну або мінімальну відстань (верхня та нижня, крайня права та ліва точки).

Крапки видимості. Якщо криву розглядати як лінію на якійсь непрозорій поверхні, то точки, в яких змінюється видимість кривої, називають точками видимості (Зазвичай вони розташовані на контурних лініях поверхні).

До опорних відносять і точки, у яких крива перетинає свою вісь чи площину симетрії (якщо є).

Криві другого порядку:

Рівнянням другого ступеня відповідають криві другого порядку. До них відносяться еліпс, гіпербола та парабола. Окружність є окремим випадком еліпса; крапка, дві перетинаються, паралельні і дві прямі, що збіглися, є вироджені випадки кривих другого порядку. Всі ці лінії (крім двох паралельних прямих) можна зустріти на конічній поверхні обертання, тому часто їх називають коніками.

Криві лінії

Криву лінію можна розглядати як безперервну множину послідовних положень точки, що рухається в просторі, тобто як траєкторію точки, що рухається. Протягом кривої лінії повинно бути прямолінійних ділянок. Крива лінія визначається положеннями її складових точок, точки кривої визначаються їх координатами. Якщо координати будь-якої точки кривої задовольняють деякому рівнянню, такі криві називаються закономірними. Закономірні криві лінії утворюються за певним законом і можуть бути задані графічно та аналітично.

Аналітично криву лінію на площині можна встановити рівнянням

(може виявитися, що даному рівнянню не задовольняють координати жодної дійсної точки на площині. Тоді умовно говорять, що дані рівняння зображаються уявною кривою), у просторі – двома рівняннями (як лінію перетину двох поверхонь)

Існують також незакономірні криві, освіта яких має емпіричний характер. Незакономірні криві лінії задаються лише графічно на кресленні.

Одна й та сама крива лінія може бути утворена різними способами:

1. рухом точки у просторі;
2. перетином кривої поверхні з площиною;
3. взаємним перетином двох поверхонь, з яких хоча б одна крива.

Криві лінії поділяють на плоскі і просторові. У плоских кривих всі точки належать площині, у просторових кривих точки не належать до однієї площини. Просторові прямі називаються також лініями подвійної кривизни. Найбільш відомими з плоских та просторових кривих ліній є відповідно коло та циліндрична гвинтова лінія.

Закономірні криві, що визначаються в декартовій системі координат алгебраїчним рівнянням виду де - багаточлен ступеня від одного або декількох змінних називаються алгебраїчними.

Порядком кривої лінії алгебри називається ступінь її рівняння. Геометрично порядок плоскої кривої лінії алгебри характеризується найбільшим числом точок її перетину з прямою лінією. Порядок просторової кривої лінії алгебри визначається найбільшим числом точок її перетину з площиною загального положення.

До ліній першого порядку відносяться прямі лінії, розглянуті раніше.

Лінії другого порядку - це еліпс, гіпербола та парабола.

З ліній третього порядку найбільш відомі Аньєзі Локон, декартів лист, напівкубічна парабола, строфоїда.

З ліній четвертого порядку - равлик Паскаля, конхоїда Нікомеда, лемніската Бернуллі.

З ліній вищих порядків – крива Ламе, синусоїдальна спіраль.

Якщо закономірна крива визначається неалгебраїчним рівнянням, вона належить до трансцендентних. Серед трансцендентних кривих виділяють графіки тригонометричних функцій, показової та логарифмічної функції, клас циклоїдальних кривих, спіралі.

Локальні елементи кривої

Локальні властивості характеризують криву і ставляться до дуже малих її частин. Кожна з кривих ліній має більший або менший ступінь викривленості. Ця викривлення задається деяким числом і називається кривизною. Кривизна у точці - це число, що характеризує відхилення кривої (у малій її частині, що містить точку) від прямої лінії.

Радіусом кривизни у точці кривої називається величина, зворотна кривизні Чим більше викривлена ​​крива поблизу заданої точки, тим більше і менше у цій точці. У загальному випадку для будь-якої точки кривизна і радіус кривизни різні, вони характеризують криву на нескінченно малій ділянці, що становить околицю точки.

поточної називається пряма, що перетинає криву в одній, двох або більше точках.

Стосовна до кривої в точці визначається як граничне положення сіючої, що проходить через і сусідню точку кривої, за умови, що прагне (рис. 135). Дотична вказує напрямок руху точки.

Нормаль для плоских кривих - це пряма, перпендикулярна дотичній у точці дотику.

Для просторових кривих ліній у кожній точці в загальному випадку, визначаються три прямі і три площини, що взаємно перетинаються під прямими кутами і утворюють супроводжуючий тригранник (Рис. 136). На малюнку видно, що до кривої в точці перпендикулярна нормальній площині. Всі прямі, що проходять через і лежать у цій площині, називаються нормалями просторової кривої у точці

Дотикається площина - це граничне положення площини, що проходить через три близькі точки кривої і коли і прагнуть до площини, Що Дотикається, містить у собі дотичну.

Головна нормаль - це лінія перетину нормальної і торкається площин (та з нормалей, яка лежить в площині, що торкається).

Бінормаль - Пряма, перпендикулярна площині, що стикається.

Спрямовуюча площина - проходить через дотичну та бінормаль.

Довжина відрізка кривої (плоскою або просторовою) визначається в загальному випадку приблизно шляхом заміни кривої лінії вписаної в неї ламаною лінією з максимально великим числом її сторін, що досить добре передає форму кривої.

Властивості проекцій кривої лінії

З усіх інваріантних властивостей проектування для кривої лінії можна виділити такі:

• - проекції кривої у випадку є криві. В окремому випадку плоска крива проектується в пряму, якщо вона належить проецірующей площині;
• - якщо точка лежить на кривій, її проекції лежать на однойменних проекціях цієї кривої;
• - якщо пряма стосується кривої у просторі, то проекції цієї прямої стосуються однойменних проекцій кривої. Сікна кривої проектується як січна проекції кривої;
• - крива, що є проекцією кривої деякого порядку, зберігає той самий порядок або виявляється кривою нижчого порядку.

Плоскі криві лінії

При побудові проекцій плоскої кривої лінії необхідно вказувати на їх так звані характерні точки, до яких відносяться особливі точки кривої, а також точки, найбільш віддалені від площини проекцій і близькі до них Плоска крива, до кожної точки якої можна дотичну, називається плавною. Проте на кривій можуть існувати точки, в яких є дві дотичні, загальна дотична для двох гілок або кількох витків кривої. Крива у таких точках не є плавною.

Нехай дотична перекочується по кривій при цьому змінна точка дотику здійснює поступальний рух по дотичній (рис. 137).

Якщо у певній точці змінюється напрямок поступального руху її по дотичній, вона називається особливою точкою.

Якщо в деякому положенні змінюється напрям повороту дотичної, то вона називається особливою дотичною.

Якщо таких змін не відбувається, то точка та дотична називаються звичайними. Відповідна точка кривої також називається звичайною (рис. 138, а).

На рис. 138 представлені деякі спеціальні точки кривих:

• - точка перегину (з особливою дотичною) (див. рис. 138, б);
• - точка повернення першого роду або загострення (особлива точка) (див. рис. 138, в);
• - точка повернення другого роду, або «дзьоб» (особлива точка з особливою дотичною) (див. рис. 138, г);
• - точка зламу в якій є дві дотичні (див. рис.138, д);
• - вузлова точка в якій крива перетинає себе і має дві дотичні (див. рис. 138, е);
• - точка самодотику в якій крива зустрічає саму себе, але обидві дотичні збігаються (див. рис. 138, ж).

На комплексному кресленні задаються проекції кількох звичайних і всіх спеціальних точок кривої лінії. Дотичні та нормалі до кривих ліній будують або графічно, або користуючись спеціальними приладами.

На рис. 139 показано побудову дотичної до кривої лінії, що проходить через задану поза кривою точку. . Через середини хорд проводять криву яка називається криві помилки. Ця допоміжна крива перетинає цю криву в точці точкою дотику. Пряма є дотична до даної кривої лінії.

Побудова нормалі до кривої лінії, що проходить через задану точку поза кривою, показано на рис. 140. Приймаючи крапку за центр, проводять ряд кіл, що перетинають криву по хордах 11, 22, 33 і т.д. З кінців хорд проводять різнобічно спрямовані перпендикуляри до них, у яких відкладають відрізки, рівні довжинам відповідних хорд. Кінці відрізків цих перпендикулярів намічають криву помилок - лінію перетинає цю криву в точці Пряма задає напрямок шуканої нормалі до даної кривої.

Криві лінії називаються стикаються. якщо у спільній їх точці вони мають загальну дотичну. Нормалі кривих ліній у точці дотику лежать на одній прямій.

Дотик називається внутрішнім, якщо в точці дотику нормалі кривих збігаються (рис. 141, а). Якщо нормалі спрямовані у різні сторони, то криві лінії мають зовнішні дотику (рис. 141,б).

Дотикається коло в даній точці кривої визначає кривизну плоскої кривої в цій точці. Дотикається коло або кругом кривизни кривої називають граничне положення кола, коли вона проходить через дану точку і дві нескінченно близькі до неї точки кривої є радіус кривизни, а центр - центр кривизни. кривої лінії у цій точці (рис. 142).

Геометричне місце центрів кривизни для всіх точок даної кривої є крива, звана еволютою (рис. 143). Вона є огинаючої нормалей даної кривої.

Розглянуту криву лінію по відношенню до своєї еволюти називають евольвентоюЧерез кожну точку дотичної до еволюти проходить одна і тільки одна евольвента.

Плоскі криві лінії другого порядку та їх проекції

Алгебраїчну криву лінію, яка описується у системі декартових координат рівнянням другого ступеня щодо поточних координат, називають лінією другого порядку.

Загальне рівняння другого ступеня із двома змінними має вигляд

Після приведення рівняння кривої до канонічного виду криві можуть бути кваліфіковані таким чином:

1. криві еліптичного типу. Це еліпс (в окремому випадку коло, одна точка або уявне місце точок);
2. криві гіперболічного типу. Це гіпербола або пара прямих;
3. криві лінії параболічного типу - парабола, пара паралельних прямих (в окремому випадку збігаються) або уявне місце крапок.

Криві лінії другого порядку називають кониками або лініями конічних перерізів, оскільки вони можуть бути отримані при перетині прямого кругового конуса з площиною.Конічні перерізи будуть розглянуті далі (Розділ VII.1). Криву другого порядку однозначно визначають завданням п'яти точок загального стану: через задані п'ять точок проходить одна і лише одна крива другого порядку. Якщо хоча б три точки лежать на одній прямій, то виходить конічний перетин, що розпадається.

Еліпс є геометричне місце точок, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок (фокусів) є постійна величина. Канонічне рівняння еліпса має вигляд

Осі координат є осями симетрії еліпса (рис. 144). Точка перетину осей симетрії називається центром еліпса, точки перетину еліпсу осями симетрії - вершинами еліпса. Відрізки, що з'єднують протилежні вершини еліпса, рівні і називають відповідно великою та малою осями еліпса. Два фокуси еліпса - точки і розташовані на відстані один від одного. Величину називають фокусною відстанню. Будь-яка точка площини належить еліпсу, якщо дотримується умова де – велика вісь еліпса.

Діаметри еліпса – це відрізки прямих, що проходять через центр еліпса. Геометричним місцем середин хорд, паралельних одному з діаметрів еліпса, є діаметр, пов'язаний з заданим. На рис.145 діаметри і є сполученими. Велика та мала осі еліпса є сполученими взаємно перпендикулярними діаметрами.

Дотичні, проведені до еліпсу в кінцях якогось діаметра, паралельні іншому діаметру, пов'язаному з першим. Дотична до еліпса складає рівні кути з фокальними радіусами-векторами точки торкання. Нормаль еліпса в заданій точці є бісектрисою кута між фокальними радіусами-векторами цієї точки (див. рис. 144).

Приватним видом еліпса є коло.Якщо фокуси і збігаються, то умови маємо виходить геометричне місце точок, рівновіддалених від цієї точки, тобто. коло. Еліпс є крива, споріднена колу. На спорідненості двох постатей засновано низку способів побудови еліпса.

На рис. 146 представлений один із способів побудови еліпса за його сполученими діаметрами. Цей спосіб використовують у разі, коли еліпс проектується на площині проекцій у вигляді еліпсів.

Нехай задані проекції двох довільно обраних і відрізків, що діляться навпіл, - і Ці відрізки можна розглядати як сполучені діаметри еліпса. Один з відрізків, наприклад приймемо за діаметр кола, спорідненого з еліпсом. Тут діаметр кола збігається з діаметром еліпса. Діаметри та спорідненої еліпсу кола є взаємно пов'язаними, тобто. взаємно перпендикулярними. Побудувавши коло і намітивши на ній ряд точок, можна визначити відповідний їм ряд точок еліпса.

Інший спосіб побудови еліпса за його сполученими діаметрами показаний на рис. 147. На півдіаметрах еліпса і будують паралелограм. Сторони паралелограма ділять відповідно на однакову кількість рівних відрізків. Промені, проведені з точок і кінців півдіаметрів через однаково нумеровані точки сторін паралелограма, перетинаються в точках еліпса.

На рис. 148 показаний спосіб побудови еліпса заданим осям. Для побудови точок еліпса з центру проводять два кола, діаметрами яких є велика та мала осі еліпса. З центру довільно проводять промінь, який перетинає кола в точках і З цих точок проводять прямі, паралельні осям і відповідно еліпса. Точка їхнього перетину є точкою еліпса.Вибираючи інші промені та помічаючи точки на колах, будують відповідні точки еліпса.

У нарисній геометрії еліпси найчастіше розглядають як проекції кола. При ортогональному паралельному проектуванні коло може проектуватися на площині проекцій у вигляді відрізка прямої, кола (приватні випадки) або у вигляді еліпса (загальний випадок).

Окружність проектується на площину проекцій без спотворення, якщо її площина паралельна площині проекцій. Нехай коло лежить у фронтальній площині рівня, тоді її фронтальна проекція є коло, а горизонтальна - відрізок, що дорівнює діаметру і паралельний осі проекцій (рис. 149).

Якщо коло належить проецірующей площині, одна з її проекцій збігається зі слідом площині і дорівнює діаметру кола, іншу є еліпс.

Нехай коло даного діаметра належить заданій горизонтально-проецірующей площині (рис. 150). Горизонтальна проекція кола дорівнює діаметру і збігається зі слідом площини Фронтальна проекція кола є еліпс, велика вісь якого є проекція вертикального діаметра кола. Велика вісь еліпса є горизонтально-проецирующей прямий і зображується в справжню величину, рівну діаметру кола. Мала вісь еліпса перпендикулярна до великої осі і паралельна осі вона є горизонталлю. Таким чином, фронтальна проекція горизонтального діаметра кола є мала вісь еліпса.

Побудову інших точок еліпса виконують методом хорд. Хорди паралельні вертикальному діаметру і проектуються в натуральну величину.Для більш точної побудови на кресленні вісь проекцій проводять через фронтальну проекцію центру еліпса - точку Вводять додаткову площину проекцій, яка збігається з площиною (на кресленні нова вісь збігається зі слідом). На площині проекцій зобразиться лише половина кола з позитивними координатами, рівними половині хорд. Величину координати відкладають від осі лініями зв'язку вгору і вниз. Виходять дві точки еліпса та симетричні відносно малої осі. Аналогічно будують інші точки еліпса.

Якщо коло належить площині загального становища, то ортогональних проекцій її є еліпси. Велика вісь еліпса дорівнює і паралельна до того діаметра кола, який паралельний даній площині проекцій. Мала вісь еліпса дорівнює проекції діаметра кола, що є лінією найбільшого ската площини цього кола.

Нехай коло лежить у площині загального становища, заданої горизонталлю та фронталлю, точка перетину яких приймається за центр кола (рис. 151). Діаметр кола 12 збігається з горизонталлю, а діаметр 34 збігається з фронталлю. Малу вісь еліпса визначають за допомогою додаткової площини проекцій перпендикулярної заданої площини.

На коло проектується у відрізок, що дорівнює діаметру. У системі площин вирішуємо раніше розглянуте завдання побудови еліпса як проекції кола, що лежить в площині, що проеціює. Аналогічно можна побудувати велику та малу осі еліпса – фронтальної проекції кола. Однак тут наведено інший спосіб побудови еліпса.На фронтальній площині проекцій велика вісь еліпса збігається з напрямком фронталі площини і дорівнює діаметру 34 кола. Для побудови малої осі еліпса проводять коло з діаметром, що дорівнює великій осі еліпса. Через точку перпендикулярно великий осі будують відповідно півхорди та еліпса та кола. Напівхорд обертанням навколо точки поєднують з великою віссю.

Крапки і з'єднують прямою лінією, паралельно якій з точки проводять пряму до перетину в точці з напрямом малої осі еліпса. Відрізок визначає величину малої півосі еліпса – фронтальної проекції кола.

За заданими осями можна побудувати інші точки еліпса розглянутим вище способом (див. рис. 148).

Гіперболу - це геометричне місце точок, котрим абсолютна величина різниці відстаней до двох заданих фіксованих точок (фокусів) є величина постійна.

На рис. 152 крапки і є фокусами гіперболи. Відстань між ними Точка перетину координатних осей є центром симетрії. Точки і – вершини гіперболи, відстань між ними називають справжньою віссю гіперболи. Вісь симетрії, яка не перетинає гіперболу, називають уявною віссю.

Асимптоти гіперболи – прямі, до яких гілки гіперболи необмежено наближаються при видаленні в нескінченність. Асимптоти гіперболи спрямовані по діагоналях прямокутника зі сторонами та

Канонічне рівняння гіперболи (осі координат збігаються з осями гіперболи) має вигляд

Будь-яка точка площини належить правої гілки гіперболи, якщо дотримується умова Точки, котрим належать лівої гілки.Дотична і нормаль до гіперболи є бісектрисами відповідно внутрішнього та зовнішнього кутів, утворених радіусами-векторами, проведеними з фокусів у точку торкання.

На рис. 153 показано побудову гіперболи по точках, якщо відомі величини її півосей і З точки як з центру, проводять коло радіусом Окружність перетинає вісь в точках і гіперболи, що є фокусами. З фокусів, як із центрів, проводять дуги кіл відповідно радіусами і Точки їх перетину є точками гіперболи, так як різниця відстаней від кожної точки до фокусів дорівнює і є величина постійна. Змінюючи та повторюючи побудови, знаходять нові точки гіперболи.

Парабола - це геометричне місце точок, рівновіддалених від фіксованої точки (фокусу) та від заданої прямої (директриси).

На рис. 154 точка є фокус параболи, а пряма перпендикулярна до осі - її директриса. Вісь збігається з віссю симетрії параболи, точка є вершиною параболи. Відстань від фокусу до вершини параболи дорівнює Величина називається фокальним параметром і дорівнює відстані від фокусу до директриси або половині хорди, що проходить через фокус перпендикулярно до осі

Канонічне рівняння параболи: де Будь-яка точка площини належить параболі, якщо

Дотична і нормаль до параболи є бісектрисами кутів між фокальним радіусом-вектором точки параболи та діаметром, що проходить через цю саму точку. Під діаметром параболи розуміють пряму, паралельну до осі параболи. На рис. 155 показаний спосіб побудови параболи, якщо відома її вершина - точка і одна з точок - точка З'єднавши вершину з точкою визначають різниці координат між цими точками. Відстань і ділять на однакову кількість рівних частин, точки поділу позначають.Через точки поділу з однаковими номерами проводять лінії побудови, на перетині яких визначають шукані точки параболи.

Просторові криві лінії та їх проекції

Просторову криву лінію на кресленні задають послідовним рядом її точок. Щоб встановити особливі точки просторової кривої, необхідно наявність двох її проекцій, на відміну плоскої кривої, визначення особливих точок якої досить однієї проекції. Зіставлення горизонтальної та фронтальної проекцій на рис. 156 показує, що хоча на горизонтальній проекції є подвійна точка, але на кривій подвійної точки немає.

Так само, як і для плоскої кривої, дотична до кривої в просторі проектується дотичну до проекції цієї кривої. Проецірующая площина, проведена через дотичну до проекції кривої, стосується кривої просторі.

Але якщо для плоскої кривої можна було провести лише один перпендикуляр до дотичної в точці, то для просторової кривої таких перпендикулярів у точці торкання можна провести безліч, що призводить до поняття нормальної площини.

Трьома площинами - спрямовуючою, що стикається і нормальною (див. рис.136), що утворюють тригранник, користуються як координатними при розгляді кривої в цій точці. Положення тригранника залежить від положення точки на кривій.

Якщо дотичні до просторової кривої лінії у всіх її точках однаково похилі до будь-якої площини, такі лінії називаються лініями однакового ухилу.

Циліндричні гвинтові лінії однакового ухилу широко застосовують у техніці. Моделью такої лінії може бути циліндрична пружина.

Циліндрична гвинтова лінія - геліса - є траєкторія складного руху точки, що рівномірно переміщається по утворюючій і рівномірно обертається разом з цією осі циліндра, що утворює навколо.

Гвинтова лінія має три параметри: діаметр циліндра, крок і напрямок. Крок - це зміщення точки вздовж утворює за один оборот.

На рис. 157 побудована геліса заданого радіуса правого напрямку і з кроком, рівним висоті циліндра. лінії зв'язку.

На фронтальній площині проекцій через точки поділу прямокутника проводять прямі, паралельні основи. поставлена ​​на горизонтальній проекції. проекція гвинтової лінії є коло, а фронтальна – синусоїда.

При побудові розгортки циліндрична поверхня розгортається в прямокутник зі сторонами, рівними довжині кола основи і висоті циліндра.

Що таке поверхні

У існуючому світі нас оточує необмежену кількість різноманітних поверхонь. Деякі можуть бути математично описані, інші настільки складні, що не піддаються математичному опису.

У математиці під поверхнею мається на увазі безперервне безліч точок, якщо між координатами точок цієї множини може бути встановлена ​​залежність, що визначається рівнянням виду де - многочлен й ступеня, або у формі будь-якої трансцендентної функції. У першому випадку поверхні називаються алгебраїчними, у другому - трансцендентними.

Якщо поверхня алгебри описується рівнянням й ступеня, то поверхня вважається го порядку.

Будь-яка довільно розташована січна площина перетинає поверхню по кривій того ж порядку (іноді розпадається або уявної), який має сама поверхня.

Порядок поверхні може бути визначений також числом точок її перетину з довільною прямою, вважаючи всі точки (дійсні та уявні).

Що таке криві лінії

Кривою лінією називається траєкторія точки, що переміщається в просторі за будь-яким законом.

На малюнку 8.1 представлено класифікацію кривих ліній.

Плоскою кривою лінією називається лінія, кожна точка якої належить одній площині.

Закономірні лінії описуються рівняннями і поділяються на алгебраїчні другого та вищого порядків і трансцендентні, що описуються тригонометричними функціями. Порядок кривої лінії - це ступінь її рівняння або кількість точок перетину кривої лінії з прямою лінією (для плоских кривих) або кількість точок перетину з площиною (для просторових ліній). Криві другого порядку іноді називаються кониками.

Коробовими лініями (або обводами) називаються складові криві лінії, дуги яких послідовно визначені парами точок обведення. Якщо на стиках можна побудувати загальну дотичну, обвід називається гладким. Циркульними лініями називаються лінії, побудова яких можна здійснити циркулем (овал, овоїд, завиток та ін.).

Лекальними кривими називаються плоскі закономірні лінії, при кресленні яких використовуються лекала (еліпс, парабола, гіпербола та ін.). Циклічні криві лінії - це лінії, що повторюються в процесі утворення (циклоїд, епіциклоїд, гіпоциклоїд та ін).

Гладкі криві лінії складаються із звичайних точок. Прості точки кривої лінії - це точки, в яких можна побудувати лише одну дотичну до кривої лінії. Якщо крива лінія містить спеціальні точки (див. далі), то лінія називається негладкою.

Еквідистантні та еквітангентні лінії - це лінії, рівновіддалені від якоїсь кривої лінії та повторюють її форму. Апроксимовані лінії - це лінії, приблизно замінені іншими більш зручними для викреслення лініями (наприклад, еліпс іноді замінюють овалом).

Криві лінії можуть бути утворені рухом точки в просторі, перетином кривої поверхні площиною (криві Персея), взаємним перетином двох поверхонь.Криві Персея, наприклад, утворюються при перетині торових поверхонь площиною.

На малюнку 8.2 представлені деякі алгебраїчні криві лінії другого, третього та четвертого порядків, а також трансцендентні криві лінії.

Найчастіше в техніці застосовуються лекальні криві лінії, які можуть бути плоскими та просторовими. До них відносяться еліпс, парабола, гіпербола, евольвента, циклоїда, гвинтова лінія та інші, приклади яких наведено на малюнку 8.3. Способи побудови лекальних кривих зазвичай у курсі технічного креслення.

Евольвента - траєкторія точки дотичної, що перекочується без ковзання по колу. Іноді її неправильно називають розгорткою кола.

Синусоїда - крива лінія, що описується рівнянням

Гіперболу - геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох точок, званих фокусами, є постійна величина.

Гвинтова лінія - траєкторія точки, що переміщається по утворюючою циліндра, конуса або тора, в той час як сама утворює рівномірно обертається навколо осі згаданих поверхонь.

Еліпс - геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох точок, званих фокусами, є постійна величина.

Парабола - геометричне місце точок, рівновіддалених від деякої точки, званої фокусом, і деякою прямою, званою директрисою.

Циклоїда - траєкторія точки кола, що перекочується без ковзання по прямій лінії. При побудові епі- та гіпоциклоїди коло перекочують по колу.

На малюнку 8.4 представлені спеціальні точки кривих ліній. Особливими точками називаються точки, в яких можна провести не одну, а дві і більше дотичних або в яких змінюється напрямок руху точки або обертання дотичної.

На епюрі криві лінії задаються безліччю точок, що належать до лінії (рисунок 8.5). Можливі табличний та аналітичний способи завдання.

Проекції кривої лінії мають такі властивості:

1. У випадку проекція кривої лінії є крива лінія;
2. Якщо точка належить кривої лінії, її проекції належать однойменним проекціям кривої;
3. Дотична до кривої лінії проектується в дотичну до проекцій кривої лінії.

Приклад: Побудувати проекції правої циліндричної гвинтової лінії, що проходить через точку поверхні циліндра.

Рішення: Знаходимо точку Починаючи з точки , ділимо коло основи циліндра на 12 частин. Висоту циліндра Н ділимо на 12 частин, починаючи з точки На перетині вертикальних та горизонтальних однойменних ліній знаходимо точки гвинтової лінії, які плавно з'єднуємо (рисунок 8.6).

Криві лінії та криві поверхні

Лінію можна розглядати як безліч послідовних положень точки, що рухається - траєкторію точки.

Крива - різновид лінії, яка виходить, коли рушійна точка змінює напрямок свого руху. Крива лінія може бути результатом перетину кривої поверхні площиною або кривих поверхонь між собою.

У накреслювальній геометрії криві лінії вивчаються за їх проекціями. Якщо всі точки кривої лежать в одній площині, криву називають плоскою, інакше – просторовою.

Крива – це безліч точок простору, координати яких є функціями однієї змінної. Термін «крива» у різних розділах математики визначається по-різному.У накреслювальній геометрії криву розглядають як траєкторію, описану рушійною точкою, як проекцію іншої кривої, як лінію перетину двох поверхонь (рисунок 7.1), як безліч точок, які мають будь-яку загальну для всіх їх властивість і т.д.

Рисунок 7.1 – Крива, як лінія перетину двох поверхонь

Способи завдання кривих. Кожна крива включає геометричні елементи, які складають її визначник, тобто. сукупність незалежних умов, що однозначно визначають цю криву.

Різні та способи завдання кривих:

• Аналітичний – крива задана математичним рівнянням;
• Графічний – крива задана візуально на носії графічної інформації;
• Табличний – крива задана координатами послідовного ряду точок.

Криві лінії діляться на плоскі та просторові.

Про це можна дізнатися про наявність конкуруючих точок на двох її проекціях. Зображення просторових кривих можуть і мати конкуруючих точок. У разі, якщо потрібно, криву перевіряють на площинність. Для цього попарно з'єднують чотири довільні точки кривої прямими. Якщо прямі перетинаються, то крива плоска досліджувана, а якщо схрещуються - просторова.

З просторових кривих найбільше застосовуються геліси-циліндричні гвинтові лінії. Зазвичай їх орієнтують щодо площин проекцій так, щоб вісь перпендикулярна до однієї з них. Тоді проекції геліси - коло та синусоїда.

Таку лінію в просторі описує точка, яка рухається по будь-якій утворює прямого кругового циліндра, що обертається навколо своєї осі так, що шлях проходить точкою по утворює пропорційний куту повороту циліндра.

Всі плоскі криві поділяються на циркульні, що складаються зі сполучених дуг кіл (їх проводять за допомогою циркуля), і лекальні, що викреслюються за допомогою лекала за попередньо побудованими точками.

Деякі криві, які часто зустрічаються в практиці

Розглянемо побудову деяких плоских кривих (еліпса, синусоїди, спіралі Архімеда), а також просторових гвинтових ліній [5].

Еліпс (рис 7.2.) – плоска замкнута крива, у якої сума відстаней від будь-якої її точки (наприклад, від точки М) до двох заданих точок F1 і F2 (фокус еліпса) є постійна величина, що дорівнює великій осі еліпса АВ (F1M+F2M = AB).

Малюнок 7.2 - Еліпс Малюнок 7.3 - Побудова еліпса

Відрізок CD - мала вісь еліпса, точка О - центр еліпса. Точки F1 і F2 розташовані на великій осі АВ симетрично щодо точки Про і віддалені від кінців малої осі (точок С і D) на відстань, що дорівнює половині великої осі еліпса.

Існує низка способів побудови еліпса. Найбільш просто побудувати еліпс по двох його осях за допомогою допоміжних кіл (рис. 7.3).

Синусоїда-крива, що характеризує зміну синуса кута залежно від величини центрального кута (рис.7.4).

Відстань між крайніми точками синусоїди по висоті, що дорівнює діаметру виробляє кола, називається амплітудою. Відстань – крок синусоїди. Побудова точок синусоїди показано малюнку 7.4.

Малюнок 7.4 - Побудова точок синусоїди

Спіраль Архімеда (рис. 7.5) – крива, яку описує точка, що рівномірно обертається навколо нерухомої точки (полюса) Про) і одночасно рівномірно віддаляється від нього. Відстань ОА, пройдене точкою від полюса Про при повороті на 360º – крок спіралі.

Крапки, що належать спіралі Архімеда, будують, виходячи з визначення кривої, задаючись кроком ОА та напрямом обертання.

Отриманий відрізок і коло поділяють на однакове число частин (12) і через точки розподілу кола проводять в одному напрямку дотичні до неї. По кожній дотичній відкладаємо відрізки і т.д., рівні відповідно і т.д. Отримані точки з'єднуємо плавною кривою.

Малюнок 7.5 - Спіраль Архімеда

Циліндрична гвинтова лінія (геліса) - Просторова крива, яка утворюється на поверхні циліндра обертання в результаті подвійного рівномірного руху точки - обертання навколо осі циліндра і поступального руху вздовж утворює циліндра (рис. 7.6).

Рисунок 7.6 - Циліндрична гвинтова лінія

Крок гвинтової лінії (Н) – відстань між двома її сусідніми витками у напрямі паралельності. Для побудови циліндричної гвинтової лінії ділимо коло основи циліндра і крок Н гвинтової лінії на рівне число частин (12). Визначимо відповідні фронтальні проекції точки, що переміщається, і з'єднаємо їх плавною кривою.

Горизонтальна проекція циліндричної гвинтової лінії - коло, а фронтальна синусоїда. Розгорткою циліндричної гвинтової лінії є пряма.

Кут α - Кут підйому гвинтової лінії: . Розрізняють праві та ліві гвинтові лінії. У правій підйом зліва нагору направо, у лівої - праворуч нагору наліво.

Конічна гвинтова лінія – просторова крива, яка утворюється на поверхні конуса обертання в результаті подвійного рівномірного руху точки – обертання навколо осі конуса та поступального руху вздовж утворюючого конуса (рис. 7.7).

Малюнок 7.7 - Конічна гвинтова лінія

Крок конічної гвинтової лінії Р - величина прямолінійного переміщення точки у напрямку осі конуса при повному обороті навколо осі.

Для побудови проекцій конічної гвинтової лінії розділимо коло основи конуса та крок Р на рівну кількість частин (12). Проводимо проекції утворюють конуса і визначимо на них положення відповідних проекцій точок та з'єднаємо їх плавною кривою.

Горизонтальна проекція гвинтової лінії – спіраль Архімеда, а фронтальна – загасаюча синусоїда (синусоїда з амплітудою, що зменшується).

Освіта та класифікація поверхонь

Лінія або поверхня, що переміщається в просторі, називається твірною, яка при русі може зберігати або змінювати свою форму.

Закон переміщення твірної зазвичай визначається іншими лініями (іноді точками), званими напрямними, якими ковзає твірна при своєму русі, а також умовою руху твірної.

Розрізняють три основні способи завдання поверхні:

• - аналітичний (поверхня задається рівнянням);
• - каркасний (поверхня задається сукупністю точок або ліній);
• - кінематичний (поверхня утворюється безперервним переміщенням у просторі будь-якої лінії поверхні).

У нарисній геометрії користуються, головним чином, кінематичним способом утворення поверхонь (Малюнок 7.8) [1]. При цьому способі поверхня розглядається як сукупність всіх послідовних положень лінії, що переміщається у просторі за певним законом.

Лінія, що виробляє поверхню в кожному її положенні, називається твірною (L). Утворювальна може бути як прямою, так і будь-якою кривою, постійною або змінювати свою форму в процесі переміщення.

Нерухома лінія, по якій ковзає утворює, називається напрямною (М).

Сукупність кількох послідовних положень утворює та напрямних створює каркас поверхні. Не важко переконатися (рис. 7.8), що утворювальні L і направляючі М можна міняти місцями. При цьому поверхня виходить та сама.

Малюнок 7.8 - Утворення поверхні

Поверхня на кресленні вважається заданою повністю, коли з однієї проекції точки, що належить поверхні, можна побудувати другу її проекцію. Крапка належить поверхні, якщо належить будь-якій лінії, що лежить на цій поверхні.

Щоб задати поверхню на комплексному кресленні, достатньо мати на ньому такі елементи поверхні, які дозволять побудувати кожну її точку. Сукупність елементів поверхні, що дозволяють побудувати її кожну точку, називається визначником поверхні (Ф). Визначник складається з 2-х частин: Ф(Г), /А/:(Г) – геометричної, до якої входять основні геометричні елементи та співвідношення між ними та [А] -алгоритмічної, що містить закон побудови окремих точок та ліній даної поверхні. Умовно геометричну частину укладають у круглі дужки, а алгоритмічну – у квадратні. Для надання кресленню поверхні наочності поруч із проекцією визначника найчастіше дається ще й обрис її.

Нарисом поверхні називається слід (лінія) на площині проекцій поверхні, що проеціює, який огинає задану поверхню. Це зазвичай контурна лінія, яку називають лінією видимості.

Залежно від форми твірної та закону її переміщення у просторі поверхні умовно можна розділити на такі класи [1]:

1. Лінійчасті поверхні;
2. Поверхні обертання;
3. Гвинтові поверхні;
4. Поверхні другого порядку;
5. Циклічні поверхні;
6. Топографічні поверхні.

Слід зазначити, що окремі поверхні можуть бути віднесені не до одного, а до кількох класів.

Лінійчастою поверхнею називається поверхня, утворена переміщенням у просторі прямолінійної твірної, закон руху якої може бути різним.

Загалом лінійчасті поверхні однозначно визначається трьома напрямними лініями.

Залежно від виду напрямних і закону руху утворює виходять різні типи лінійних поверхонь.

Малюнок 7.9 - Освіта циліндричної поверхні

Розглянемо деякі лінійчасті поверхні з однієї напрямної. Циліндрична поверхня утворюється рухом прямої лінії L по деякій кривій лінії М і має постійний напрямок S. переміщення твірної.

Слід зазначити, що одна і та ж поверхня може бути отримана різними способами.

Для більшої наочності зображення поверхонь у ряді випадків використовують її нарис – межі видимості на площинах проекцій.

Залежно від форми утворюючої поверхні поділяються на лінійчасті (утворююча – пряма лінія) та нелінійчасті (криволінійна твірна).Лінійчасті поверхні називаються такими, що розгортаються, якщо їх можна поєднати з площиною без розривів і складок. Поверхні, що не розгортаються, не можуть бути поєднані з площиною без наявності розривів і складок.

Поверхні з постійною твірною – поверхні, що утворює яких не має своєї форми при утворенні поверхні. Поверхні зі змінною твірною – поверхні, що утворює яких змінюється при утворенні поверхні.

Гвинтові поверхні

Гвинтові поверхні утворюються гвинтовим рухом деякої лінії – твірної.

Під гвинтовим рухом розуміється сукупність двох рухів: поступального паралельно деякої осі, і обертального навколо тієї ж осі.

При цьому поступальне та кутове переміщення знаходяться у певній залежності – лінійне переміщення за час – кутове переміщення за той же час, k - Коефіцієнт пропорційності. Якщо k = Constто крок поверхні постійний.

Лінійчасті гвинтові поверхні (утворююча - пряма лінія) називаються гелікоїдами.

Прямий гелікоїд (рис. 7.10) утворюється рухом прямої, що перетинає гвинтову лінію, а також вісь гвинтової лінії i під прямим кутом [5].

Оскільки утворює перпендикулярна осі гвинтової лінії, вона паралельна площині проекцій Н. Тому інша назва прямого гелікоїда - гвинтовий коноїд.

Малюнок 7.10 - Прямий гелікоїд Малюнок 7.11 - Косий гелікоїд

Косий гелікоїд (рис. 7.11) утворюється рухом прямої, яка перетинає гвинтову лінію та вісь гвинтової лінії i під постійним кутом не рівним 90° [5].

Особливе місце займають такі нелінійні поверхні, освіта яких не підпорядкована жодному закону.Оптимальну форму таких поверхонь визначають тими фізичними умовами, в яких вони працюють та встановлюють її форму експериментально (поверхні лопатей турбін, обшивка каркасів морських суден та літаків).

Поверхні обертання

Поверхні обертання - Це поверхні створені при обертанні утворює m навколо осі i (Мал. 7.12).

Геометрична частина визначника складається з двох ліній: утворює m та осі i .

Алгоритмічна частина включає дві операції:

1. На твірній m виділяють ряд точок A, B, C, …F;
2. Кожну точку обертають навколо осі i.

Так створюється каркас поверхні, що складається з безлічі кіл), площини яких розташовані перпендикулярно до осі. i. Ці кола називаються паралелями; найменша паралель називається горлом, найбільша – екватором.

Із закону утворення поверхні обертання випливають дві основні властивості:

1. Площина перпендикулярна до осі обертання, перетинає поверхню по колу – паралелі.
2. Площина, що проходить через вісь обертання, перетинає поверхню по двох симетричних щодо осі лініях – меридіанам.

Площина проходить через вісь паралельно фронтальної площини проекцій називається площиною головного меридіана, а лінія, отримана у перерізі, – головним меридіаном.

Малюнок 7.12 - Поверхня обертання

Замкнену область простору разом із її кордоном (поверхнею) називають геометричним тілом.

Розглянемо найбільш поширені поверхні обертання з прямолінійними та криволінійними утворюючими.

Циліндр обертання (рис. 7.12) утворюється обертанням прямої навколо паралельної осі i. Всі точки, що утворює (наприклад, точка А) описують кола (паралелі) рівні колам основ циліндра.

Малюнок 7.12 - Циліндр обертання Малюнок 7. 13 - Конус обертання

Конус обертання (рис. 7.13) утворюється обертанням прямої навколо осі i, що перетинається з нею. Усі точки утворює описують кола різних радіусів. Величина радіуса змінюється від нуля до радіуса кола основи конуса.

Однопорожнинний гіперболоїд обертання (рис. 7.14) утворюється обертанням утворюючої лінії ℓ навколо осі, що схрещується з нею i. Точки, що утворює ℓ описують кола змінних радіусів. Радіус паралелі найменшого радіуса (горла) дорівнює найкоротшій відстані між твірною ℓ і віссю i.

Малюнок 7.14 - Однопорожнинний

Малюнок 7.15 - Сфера гіперболоїд обертання

Сфера (рис. 7.15) утворюється обертанням кола навколо його діаметра. Точки утворює кола описують кола змінних радіусів. Крапка А визначає паралель найбільшого радіусу (екватор). Для сфери екватор та меридіани – рівні між собою кола.

Еліпсоїд обертання утворюється обертанням еліпса навколо його осі. При обертанні еліпса навколо його великої осі виходить витягнутий еліпсоїд, при обертанні навколо малої – стислий еліпсоїд. Для еліпсоїда обертання меридіаном є еліпс.

Малюнок 7.17 – Однопорожнинний гіперболоїд

Малюнок 7.18 – Двопорожнинний гіперболоїд

Тор (рис. 7.16) утворюється обертанням кола навколо осі i, що лежить у площині кола, але не проходить через її центр.

Залежно від взаємного розташування утворюючого кола та осі обертання розрізняють: відкритий тор (кругове кільце), замкнутий, що самоперетинається.

Внутрішню частину відкритого тора у техніці називають глобоїдом.

Приклад застосування – глобоїдна черв'ячна передача.

Однопорожнинний гіперболоїд обертання (рис.7.17) утворюється обертанням гіперболи навколо її уявної осі.

Двопорожнинний гіперболоїд обертання (рис. 7.18) утворюється обертанням гіперболи довкола її дійсної осі.

Меридіанами гіперболоїдів обертання є гіперболи.

Параболоїд обертання (рис. 7.19) утворюється обертанням параболи навколо її осі.

Меридіаном параболоїда обертання є парабола.

Малюнок 7.19 -Параболоїд обертання

Поверхні обертання: циліндр, конус, однопорожнинний гіперболоїд є також і лінійчастими поверхнями.

Тор є поверхнею четвертого порядку, що відповідає максимальній кількості точок перетину поверхні з прямою лінією. Решта перераховані вище поверхні обертання є поверхнею другого порядку.

Поверхні циклічні, каркасні та з площиною паралелізму

Циклічна поверхня утворюється колом постійного чи змінного радіусу за її довільному русі.

Каналова поверхня (рис. 7.20) утворюється рухом кола змінного радіусу вздовж кривої напрямної, причому площина утворює кола залишається перпендикулярною до заданої напрямної, по якій рухається центр кола. Якщо радіус утворюючого кола постійний, то така каналова поверхня називається трубчастою.

Коли спрямовуючою кривою є циліндрична гвинтова лінія, утворюється трубчаста гвинтова поверхня. Вона може бути отримана і рухом сфери постійного діаметра, центр якої переміщається циліндричною гвинтовою лінією. Прикладом такої поверхні є поверхня циліндричної пружини з круглим перетином витків.

Рисунок 7.20 – Каналова поверхня

Каркасними називають поверхні, задані деяким числом ліній - каркас поверхні може бути отриманий лініями перетину її площинами паралельними площин проекцій.

Прикладом каркасних поверхонь можуть бути поверхні корпусів суден, літаків, автомобілів. До розряду каркасних поверхонь відноситься і топографічна поверхня. Ця зображується сукупністю горизонталей, тобто. ліній, одержуваних у перерізі земної поверхні поверхню горизонтальними площинами.

Поверхні з площиною паралелізму (Поверхні Каталана) являють собою безліч прямих ліній l (утворюючих), паралельних до деякої площини α (площини паралелізму) і перетинають дві дані напрямні m, n.

Поверхні з площиною паралелізму мають застосування в архітектурі, будівництві, конструюванні технічних форм.

Рисунок 7.15 – Поверхні з площиною паралелізму

Точка та лінія на поверхні

Точка належить поверхні в тому випадку, якщо вона знаходиться на лінії, що лежить на цій поверхні. В якості таких ліній можуть бути обрані утворюючі паралелі, меридіани та ін.

Малюнок 7.16 – Точка та лінія на поверхні

Розглянемо побудову точок, що лежать на геометричних тілах та поверхнях.

Крапка на поверхні циліндра

Поверхні циліндра обертання (рис. 7.17) є горизонтально проецірующей, що утворюють циліндри перпендикулярні горизонтальній площині проекцій, внаслідок чого поверхня циліндра проектується на цю площину колом [5].

Малюнок 7.17 - Крапка на поверхні циліндра

Горизонтальні проекції точок А і У (А' і В') лежать на колі.

Профільні проекції цих точок А "' і У "' знаходяться за допомогою ліній.

Нарисові утворювальні циліндри поділяють фронтальну та профільні проекції на видиму та невидимі частини. Так утворюють L1 і L2 ділять циліндричну поверхню на видиму спереду та невидиму, що утворюють L3 і L4 на видиму ліворуч та невидиму. Невидимі проекції точок вказані у дужках.

Крапка на поверхні конуса

Конус обертання є також лінійною поверхнею, тому для побудови точок на його поверхні можна використовувати і утворюють і паралелі.

На рис. 7.18а показана побудова горизонтальної А' та профільний А "' проекцій точки А по заданій фронтальній проекції А" за допомогою твірної [5].

Малюнок 7.18 - Крапка на поверхні конуса

Якщо задана горизонтальна проекція В' крапки У, то побудова починається з проведення горизонтальної проекції S '2' утворює S2, на якій знаходиться точка У. Визначити фронтальну проекцію S" 2" цієї утворюючої, лініями зв'язку знаходимо фронтальну проекцію - В" крапки У, а потім і профільну В ''.

Утворюючі L1 і L2 поділяють конічну поверхню на видиму спереду і невидиму, а ті, що утворюють L3 і L4 на видиму ліворуч та невидиму.

Проекції B" і В'' знаходяться на невидимій частині конуса. Горизонтальна проекція поверхні конуса є видимою.

На рис. 7.18 б показано побудову відсутніх проекцій точок A і У за допомогою паралелей. Через задані проекції А'' і В' проводяться проекції m''1 і m' 2 паралелей m1 і m2 Використовуючи т.1 і 2, що лежать на нарисових утворюючих, визначимо положення проекцій m'1 і m''2 проведених паралелей. По лініях зв'язку визначимо положення проекцій А' і А '' крапки А та проекцій В'' і В''' крапки У.

Крапка на поверхні сфери

На рис. 7.19 наведено проекції сфери, які обмежені екватором До, фронтальним меридіаном m та профільним n [5]. Кожен їх проектується на відповідну площину проекцій в натуральну величину (коло), інші - як відрізків прямих довжиною, рівної діаметру сфери. На цьому ж малюнку показано побудову відсутніх проекцій точок А, В і З за заданими фронтальними проекціями цих точок. Крапка А знаходиться на екваторі До, точка У - На фронтальному меридіані m, точка З - На профільному меридіані n. Проекції, що бракують, визначаються за допомогою ліній зв'язку (проведення ліній зв'язку на малюнку показано стрілками).

Малюнок 7.19 - Крапка на поверхні сфери

Екватор До поділяє сферу на видиму (верхня половина) на горизонтальній проекції невидиму частину. Фронтальний меридіан m поділяє сферу на видиму (ближня половина) та невидиму частини на фронтальній проекції.

Профільний меридіан n поділяє сферу на видиму (ліва половина) і невидиму частини на профільній проекції.

Так, на рис. 7.19 горизонтальна проекція З точки С невидима (взята в дужки), т.к. знаходиться на нижній (невидимій) половині сфери.

На поверхні сфери можна провести безліч паралелей, відповідно до паралельних площин проекцій. Ці паралелі використовують для побудови проекцій точок на сфері.

За цією фронтальною проекцією А" крапки А, знайдена горизонтальна А' як належить горизонтальній паралелі L1. Для побудови горизонтальної проекції L'2 використано точку 1, що належить фронтальному меридіану. Профільна проекція А'" крапки А побудована за допомогою ліній зв'язку та знаходиться на невидимій (правій половині) частині сфери.

Крапка на поверхні тора

На малюнку 7.20 представлені проекції відкритого тора (кругового кільця), отриманого обертанням кола радіусу. r навколо осі i.

Проекції екватора позначені k, горла - m, крайніх паралелей n1 (верхня) та n2 (Нижня).

Стрілками на малюнку показано побудову фронтальних проекцій точок А, В, С за заданими горизонтальними, розташованими відповідно на екваторі k, горлі - m, і крайньої (верхньої) паралелі п1.

Для побудови горизонтальної проекції D' крапки D, через фронтальну проекцію D" проведено фронтальну проекцію L"1 паралелі L1. Горизонтальна проекція L'1 паралелі L1 побудована за допомогою точки 1, що лежить на утворюючому колі.

Горизонтальна проекція точки У знайдена за допомогою ліній зв'язку, як паралелі, що належить L1.

Для побудови фронтальної проекції точки Е (за заданою гори-зонтальною), що лежить на внутрішній частині тора, використана паралель L2. Фронтальна проекція цієї паралелі будується за допомогою точки 2, Що належить утворюючому колу.

Малюнок 7.20 - Крапка на поверхні тора

Екватор k поділяє тор на видиму (верхня половина) та невидиму частини на горизонтальній проекції. На фронтальної видимої проекції є ближня зовнішня частина відкритого тора.

Визначення кривих ліній

Проектування обводів складних технічних форм безпосередньо пов'язане з питанням конструювання кривих за наперед заданими умовами. Останнє великою мірою обумовлено способом завдання та формування кривих.

Прийнято розглядати криві по відношенню до тривимірного простору.Якщо криві повністю належать гіперпростору (двовимірній площині) розширеного простору Евклідова, то такі криві називає плоскими. Решта відносять до просторових кривих.

У випадку криві розглядаються як результат перетину поверхонь. У цьому сенсі плоскі криві є результатом перетину поверхні із площиною.

Усі криві на кресленні задаються проекціями, які є плоскими кривими, тому велика честь розділу та присвячена конструюванню плоских кривих.

У практичній роботі проектувальнику доводиться мати справу з двома великими класами кривих, що представляють дуги простих кривих (графіків функцій) та складових (складних). Складові криві, що отримали в техніці назву обводів, конструюються з ряду простих дуг з дотриманням заданих умов на стиках.

Диференціальні характеристики кривої

Форма та характер поведінки плоскої кривої на околиці будь-якої точки визначається її диференціальними характеристиками.

Рисунок 7.1 - Характеристики кривої лінії F(x,y)=0

До основних характеристик плоскої кривої відносять дотичну t, нормаль і кривизну р (рисунок 7.1).

Дотична (у точці Р) — граничне положення 12 при нескінченному наближенні точок У і 2 до точки

Рівняння дотичної має вигляд:

- Перша похідна в точці

Нормаль – лінія, перпендикулярна дотичній у фіксованій точці кривої.

Кривизна — величина, обернена до значення радіуса кола кривизни кривої p=l/R у фіксованій точці Р, визначиться рівнянням:

де штрихи означають диференціювання X .

Коло кривизни — граничне положення кола 1Р2, що стикається, при нескінченному наближенні точок 1 і 2 до точки

Наведені рівняння показують, що дотична та кривизна не є повними аналогами першої та другої похідної (така аналогія прийнята у обчислювальній математиці), хоча і пов'язані з ними.

Особливі точки кривих

"Поведінка кривої" можна оцінити і за типом точок, які вона несе на собі (рис. 7.2).

Малюнок 7.2 - Точки кривої

Точка кривої, у якій визначено єдину дотичну, називається звичайною (регулярною). Якщо у звичайній точці (А, В, С, D) кривизна досягає екстремального значення (наприклад, нуль), то така точка називається спеціальною. До спеціальних точок відносяться точки перегину М, точки екстремуму (вершини кривої, D) і невласні точки (рисунок 7.2). У точці перегину гілки кривої розташовані з різних боків від дотичної, кривизна у ній дорівнює нулю (радіус кривизни прагне нескінченності). Невласна точка - це точка перетину кривої з невласною прямою площиною. Такі точки на кресленні задаються асимптотами.

Точка кривої, в якій не визначено положення щодо, отримала назву особливою. До таких точок відносять (малюнок 7.3) вузлові точки

А, точки повернення З і D , зламу K, припинення L, точки ізольовані, асимптотичні M і точки самодотику E.

Рисунок 7.3 – Особливі точки кривих

При проектуванні технічних форм слід уникати роботи з дугами, які мають особливі точки.

Алгебраїчні криві

Криві можуть бути класифіковані за видом їх рівняння. Криві, що визначаються рівняннями у вигляді поліномів типу:

або відносини поліномів, отримали назву алгебраїчних. Усі інші криві називають трансцендентними.

Для кривих алгебри існує спеціальна характеристика - порядок кривої.Вона збігається за значенням із максимальним ступенем полінома. Геометрично порядок визначається числом точок перетину кривою алгебри з довільною прямою лінією. Ці точки можуть бути: дійсними (А та В), або уявними (D) (відповідно до рисунка 7.4). Ще одна істотна характеристика – жанр (рід) кривий.

Малюнок 7.4 - Точки перетину кривої лінії з прямою

Жанр (рід) кривої визначається як різницю між можливими для даного порядку та існуючими кількостями подвійних (збіглися) точок. Криві нульового жанру називають раціональними. Ці криві знайшли широке застосування для опису гідро- та аеродинамічних профілів.

Конічні перерізи

Криві, що виходять при перетині прямого кругового конуса площиною, називаються кониками або конічними перерізами (рисунок 7.5).

Якщо січна площина перпендикулярна осі обертання, то в перерізі (загалом) виходить коло. При проходженні такої площини через вершину конуса коло вироджується у крапку.

Площина, що перетинає конус одночасно по всіх утворюючих, дозволяє отримати еліпс.

Площина, що паралельна утворює, відсікає параболу. У окремому випадку, коли січна площина стосується утворювальної, парабола вироджується в дві прямі, що збіглися.

Площина, паралельна осі обертання, відтинає гіперболу. В окремому випадку, при проходженні площини через саму вісь, виходять дві прямі, що перетинаються.

Найбільш уживані графічні способи побудови дуг кривих другого порядку ґрунтуються на методах проективної геометрії. Відповідно до рисунка 7.6 дуга кривої другого порядку може бути визначена трьома точками і дотичними у двох точках. Наприклад, точки А, В, С та дотичні

Малюнок 7.6 - Побудова конік

Порядок побудови точок дуги коніки наступний: будується трикутник АТВ, де потім усередині цього трикутника - точки кривої другого порядку.

Для побудови поточної точки дуги поєднуються точки А, В і С. Проводиться довільна пряма l, яка у перетині з прямою ПС визначить положення точки N. Точки N і Т (перетин дотичних) з'єднуються прямою. Перетин прямих NT та АС дозволяє отримати точку Р. Положення поточної точки дуги коніки – знайдеться у перетині прямих ВР та AN.

Змінюючи положення точки N, можна отримати множину точок дуги кривої другого порядку.

Зміна положення точки С призведе до отримання іншої форми коніки. Така можливість управління формою кривої широко використовують у інженерної практиці, навіщо введено поняття інженерного дискримінанта.
У цьому випадку точка С задається на медіані DT. Інженерний дискримінант f визначається відношення f = CD/TD. Він характеризує тип коніки: при f 0.5 - Дуга гіперболи.
В окремих випадках, якщо відомий тип коніки, побудова кривої може бути спрощена. Наприклад, парабола може бути побудована як пропорційна крива (рисунок 7.7).

Малюнок 7.7 - Парабола

Вихідна інформація для побудови дуги параболи: граничні точки А, В та точка перетину дотичних Т.

Відрізки АТ та ВТ діляться точками 1 та 2 навпіл. Пряма 12 також ділиться навпіл. Точка М – точка параболи.

Потім процес повторюється (в обидві сторони): граничні точки А, М та точка перетину дотичних 1 і т.д.

Еліпс зручніше коштувати його півосях (великий ОВ і малої ОА).

Для побудови еліпса проводяться два співвісні кола радіусами ОВ та ОА (рисунок 7.8).Проведення довільної прямої ОС та подальша побудова "ключа" (трикутника СDM зі сторонами паралельними осям еліпса) дозволяє визначити положення поточної точки еліпса М.

Плоскі обводи

Вирішення практичних завдань щодо формування складних технічних контурів наштовхується на таку проблему, як неможливість представлення всього контуру єдиної кривої. Це породило необхідність конструювання складових кривих (кривих, сформованих з дуг простих).

У техніці такі криві отримали назву обводів, у математиці вони відомі як сплайни (spline). Основною характеристикою обведення є гладкість. Під гладкістю розуміють число похідних, що збіглися (рівнянь стикуючих кривих) в точках стику.

Найбільш простий варіант побудови складової кривої – з дуг кіл.

Кола можуть сполучатися таким чином, що в точках стику розташовуватимуться загальні дотичні. Такий стик відповідає першому порядку гладкості (збігаються лише перші похідні).

Для побудови цього обводу використовується ідея радіус - графічного сполучення дуг кіл. Вихідною інформацією є точковий ряд (1,2,3. n) і дотична на одному з кінців цього ряду (наприклад,

Внаслідок того, що коло трипараметрична крива, для її побудови крім точки i потрібно визначити ще одну, наприклад (i+1) або (i-1). Не порушуючи спільності міркувань, розглянемо варіант з (i+1)-ою точкою (рисунок 7.9).

Рисунок 7.9 - Дуга кола із заданими параметрами

Малюнок 7.10 - Обведення першого порядку гладкості

Графічне рішення виглядає так: через точку i проводиться нормаль n . Кінцеві точки i та (i+1) з'єднуються хордою.У середній точці хорди будується перпендикуляр h. Перетин нормалі п і перпендикуляра h і визначить положення центру окружності, що шукається. Радіус кола збігається з відрізками [o-i] і [o-(i+ Дотична до побудованого кола буде перпендикулярна радіусу, проведеному в (i+1)-ю точку).

Центри дотичних кіл лежать на одній прямій, що проходить через точку торкання. Таким чином, визначення центру кола, що сполучається з i-тою, знайдеться на перетині лінії з перпендикуляром до середини хорди (i+l)(i+2) (рисунок 7.10).

Просторові криві

На відміну від плоских кривих, просторові криві (лінії подвійної кривизни) не лежать усіма своїми точками в одній площині.

Загальні властивості просторової кривої, її проекції пов'язані з властивостями проектування та справедливі для проекцій плоских кривих:

• невласна точка кривої проектується в невласну точку її
• проекції;
• дотична до кривої проектується у дотичну до її проекції;
• порядок проекції кривої алгебри дорівнює порядку самої кривої. В окремих випадках проекція може розпадатися і мати менший, ніж у кривої, порядок. Наприклад, крива другого порядку, що лежить у проецірующей площині, проектується в подвійну пряму.

Дослідження властивостей кривої в околиці її точки, так званих диференціальних (локальних) властивостей проводиться шляхом побудови проекцій кривої на гранях супроводжуючого тригранника (рисунок 7.11).
Супроводжуючий тригранник (тригранник Френе) складається з трьох ребер - дотичної t, нормалі n і бінормалі b і з трьох граней - нормальної Г, що спрямовує площин, що стикається.

Малюнок 7.11 - Оснащення просторової кривої

Розглянемо просторову криву, що найчастіше зустрічається на практиці, — циліндричну гвинтову лінію (рисунок 7.12.).

Циліндрична гвинтова лінія є траєкторією точки, що здійснює рівномірний рух уздовж деякої прямої, яка в свою чергу рівномірно обертається навколо паралельної їй осі.

Відстань h, на яку точка М переміщається вздовж твірної, що утворює за один її оборот, називається кроком гвинтової лінії. Описувана у своїй точкою М дуга називається витком.

Число р = h/2 називається параметром гвинтової лінії та визначає переміщення z точки М вздовж прямої m за час повороту останньої на кут

При копіюванні будь-яких матеріалів із сайту evkova.org обов'язкове активне посилання на сайт www.evkova.org

Сайт створений колективом викладачів на некомерційній основі для додаткової освіти молоді

Сайт пишеться, підтримується та керується колективом викладачів

Telegram та логотип telegram є товарними знаками корпорації Telegram FZ-LLC.

Cайт носить інформаційний характер і за жодних умов не є публічною офертою, яка визначається положеннями статті 437 Цивільного кодексу РФ. Ганна Євкова не надає жодних послуг.