3.3. Лінійна функція

Має вигляд , де - константи (числа). Графік лінійної функції є пряма. Для її побудови достатньо знати дві точки. Так, для функції зручно вибрати значення і знайти , і, наприклад, обчислити . Зазначаємо знайдені точки на кресленні та акуратно, по лінійці проводимо пряму:
Прямий вид проходить через початок координат і називається прямою пропорційністю. Для її побудови необхідно знайти одну точку. Так, для прямої зручно вибрати. Зазначаємо на кресленні точку та порядок!

Коефіцієнт називається кутовим коефіцієнтом прямої. Якщо , то графік йде «знизу нагору», наприклад, графік . Якщо , то графік йде «згори донизу», наприклад, .
Чим більше за модулемтим крутіше йде графік, і навпаки, чим за модулем менше – тим графік пологіший. Так, графік має крутіший нахил, ніж графік , бо .
Якщо , то отримуємо функцію-константу: . Як її зрозуміти неформально? «Ігрек» ЗАВЖДИ (за будь-якого «ікс») дорівнює одному й тому ж числу. Дана пряма паралельна осі проходить через точку , так, пряма проходить через точку . Функція задає вісь - Запам'ятайте цей важливий факт!

І залишилися у нас прямі, паралельні осі. На жаль, їх не можна задати за допомогою функції , але можна за допомогою загального рівняння прямої:

Якщо, то виходить рівняння виду. Воно задає пряму, яка паралельна до осі і проходить через точку . Так, пряма проходить через точку. І, зокрема, рівняння ставить саму вісь .

Якщо ж , то з загального рівняння легко висловити функцію:
яка описує всі інші випадки.

Графіки функцій та їх формули

Графік функції – це візуальне подання залежності між вхідними та вихідними даними функції.Графік дозволяє наочно побачити, як змінюються значення функції залежно від змін її аргументах.

На площині він представляється як набір точок, координати яких відповідають аргументам та значенням функції. Горизонтальна вісь зазвичай є вісь аргументів (незалежної змінної), а вертикальна вісь - вісь значень функції (залежної змінної).

Графік функції може мати різні форми, такі як прямі лінії, параболи, гіперболи, експонентні криві та інші. Візуальне уявлення графіка дозволяє легше аналізувати поведінку функції, знаходити екстремуми (мінімуми та максимуми), визначати інтервали зростання та спадання, а також робити висновки про її властивості. Відіграють важливу роль у математиці, науках, інженерії та інших галузях, де потрібно аналізувати та візуалізувати залежності між змінними.

Обережно! Якщо викладач виявить плагіат у роботі, не уникнути великих проблем (аж до відрахування). Якщо немає можливості написати самому, замовте тут.

Декарт вводить свою систему координат - спосіб представлення точок на площині за допомогою пар дійсних чисел.

Які бувають

Графіки функцій можуть бути класифіковані за різними критеріями. Ось деякі загальні класифікації:

1. За формою:
   • пряма лінія (лінійна функція);
   • парабола (квадратична функція);
   • гіпербола (раціональна функція);
   • експоненційна крива (експоненційна функція);
   • логарифмічна крива (логарифмічна функція);
   • тригонометричні криві (синусоїди, косінусоїди та ін).
2. За поведінкою:
   • функції зростання та спадання;
   • монотонні функції (завжди спадні або зростаючі);
   • обмежені функції (обмежені згори чи знизу);
   • функції з екстремумами (мінімуми та максимуми);
   • функції з точками перегину.
3. За періодичністю:
   • періодичні функції (функції, що повторюються через певні інтервали).
4. За асимптотами:
   • функції з горизонтальними чи вертикальними асимптотами.
5. За кількістю аргументів:
   • одновимірні функції (залежать від одного аргументу);
   • багатовимірні функції (залежать від кількох аргументів).
6. За типом змінних:
   • дійсні функції (працюють із дійсними числами);
   • комплексні функції (працюють із комплексними числами).
7. По області визначення та значень:
   • певні функції (мають визначення всім можливих значень аргументу);
   • частково певні функції (мають обмежену область визначення).

Формули

Ось деякі приклади функцій разом з їх формулами:

1. Лінійна функція: Формула: f(x) = ax + b, де a - коефіцієнт нахилу, b - вільний член.
2. Квадратична функція: Формула: f (x) = a x 2 + b x + c, де a, b і c - коефіцієнти.
3. Експонентна функція: Формула: f ( x ) = a ⋅ e b x , де a і b - Коефіцієнти, e - число Ейлера (приблизно 2.71828).
4. Логарифмічна функція: Формула: f(x) = a ⋅ ln (b x ) , де a і b — коефіцієнти, ln⁡ — натуральний логарифм.
5. Синусоїдальна функція (синус або косинус): Формула: f (x) = A ⋅ sin (b x + c) або f (x) = A ⋅ cos (b x + c), де A - амплітуда, b - коефіцієнт частоти, c - зміщення.
6. Параболічна функція: Формула: f (x) = a x 2 + b x + c, аналогічна квадратичної функції.
7. Гіперболічна функція: Приклад: f (x) = x a , де a - Коефіцієнт.
8. Поліноміальна функція: Приклад: f(x) = a _n x n + a _{n − 1} x n − 1 + … + a ₁ x + a ₀ , де a _i​ - Коефіцієнти, n - ступінь полінома.

Як побудувати

Побудова графіків функцій це процес побудови графіка (кривий) відповідної функції. Побудова графіків базових функцій, таких як лінійна, квадратична, кубічна тощо, досить проста, а побудова графіків складних функцій, таких як раціональна, логарифмічна тощо, потребує певних навичок та розуміння деяких математичних понять.

Графіком функції f називається множина всіх точок на площині виду (x, f(x)). Графік функції f можна визначити як графік рівняння y = f(x). Таким чином, графік функції є окремим випадком графіка рівняння.

При побудові графіків функцій ми виконуємо такі действия:

1. Знайдіть дію функції.
2. Знайдіть та побудуйте графіки x- та y-перетинів.
3. Знайдіть асимптоти по вертикалі, горизонталі та нахилу і проведіть пунктирні лінії, щоб розбити графік вздовж цих ліній і переконатися, що графік не стосується їх.
4. Створіть таблицю значень, взявши кілька довільних значень x (з обох боків від x-інтерцепту і з обох боків від вертикальної асимптоти) і обчисливши відповідні значення y.
5. Побудуйте точки з таблиці та з'єднайте їх за допомогою асимптот, області та діапазону.

Основна концепція побудови графіків функцій полягає в наступному:

1. Якщо це можливо, визначте форму. Якщо це лінійна функція виду f(x) = ax+ b, її графіком є ​​пряма; якщо квадратична функція виду, то графіком є ​​парабола.
2. Знаходження деяких точок на ній шляхом встановлення довільних значень x і знаходження відповідних значень y шляхом встановлення кожного значення в функцію.

Постійною функцією називається будь-яка функція виду f(x)=c, де c може бути будь-яким дійсним числом. Постійні функції лінійні та мають вигляд f(x)=0x+c.З цієї форми видно, що нахил дорівнює 0, а перехрестя y - (0, c). Виходить при обчисленні будь-якого значення x, наприклад x=2.

p align="justify"> Графіком постійної функції є горизонтальна лінія. Доменна область складається з усіх дійсних чисел R, а область дії з єдиного значення c.

Приклади розв'язання задач

Визначте, які з наведених нижче точок лежать на графіку функції f(x) = 2x3 - 2? (a) (1, 1) (b) (1, 0) (c) (2, 6).

Підставимо кожну точку в задану функцію і подивимося, яка їх задовольняє функції.

1 = 2(1)3 - 2
1 = 2 - 2
1 = 0, ні

Таким чином, (1, 1) НЕ лежить на графіку функції.

0 = 2(1)3 - 2
0 = 2 - 2
0 = 0, так

Таким чином, (1, 1) знаходиться на графіку функції.

6 = 2(2)3 - 2
6 = 16 - 2
6 = 14, ні.

Таким чином, (2, 6) НЕ лежить на графіку функції.

Відповідь: Тільки (b) лежить на заданій функції.

Питання: чи має графік вищий за асимптот? Скільки частин він має?

Рішення: Дана функція f(x) = 2x3 - 2 є поліноміальною функцією і, отже, немає асимптот. Якщо асимптоти відсутні, то при побудові графіка функції ми отримаємо лише одну криву (оскільки крива ніде не ламається).

Відповідь: Асимптоти відсутні, і крива лише одна.

Побудуйте графік функції із завдання 1 із зазначенням точки (крапок), в якій знаходиться її розв'язання.

Рішення: Раніше ми вже з'ясували, що точка (1, 0) лежить на графіку функції f(x) = 2x3 - 2. Для побудови графіків функцій потрібна більша кількість точок. Для цього збудуємо таблицю.

Нанесемо ці точки на графік (1, 0) і збудуємо його.

Накидати графік функції, заданої рівнянням f(x) = x3.

Почнемо із значень x -2,-1,0,1 і 2, потім скористаємось рівнянням f(x)=x3 для визначення пар (x, f(x)) (наприклад, f(-2)=(-2)3 =-8). Вони наведені у таблиці.

Побудова пар (x, f(x)), що визначаються рівнянням f(x) = x3.

Потім будуємо графік точок з таблиці в системі декартової координат, як показано на малюнку. Додамо до нашої таблиці ще кілька пар і побудуємо їх графік. Це показано нижче:

Побудова додаткових пар (x, f(x)), що визначаються рівнянням f(x) = x3.

Остаточний графік f(x)=x3: